3609:
3457:
2479:
734:
4250:
449:. Conversely, one can show a bijective module homomorphism is an isomorphism; i.e., the inverse is a module homomorphism. In particular, a module homomorphism is an isomorphism if and only if it is an isomorphism between the underlying abelian groups.
3145:
3604:{\displaystyle \cdots {\overset {f_{3}}{\longrightarrow }}M_{2}{\overset {f_{2}}{\longrightarrow }}M_{1}{\overset {f_{1}}{\longrightarrow }}M_{0}{\overset {f_{0}}{\longrightarrow }}M_{-1}{\overset {f_{-1}}{\longrightarrow }}\cdots .}
3033:
1282:
4454:
2336:
858:
2157:
543:
3806:
428:
of module homomorphisms is again a module homomorphism, and the identity map on a module is a module homomorphism. Thus, all the (say left) modules together with all the module homomorphisms between them form the
3867:
3422:
2648:
1997:
4048:
2577:
1340:
2698:. The above procedure then gives the matrix representation with respect to such choices of the bases. For more general modules, matrix representations may either lack uniqueness or not exist.
638:
3279:
1397:
952:
2241:
1754:
1495:
1203:
407:
4170:
5079:
1106:
4990:
4695:
4522:
3668:
2915:
1842:
4637:
2304:
4358:
198:
4305:
4277:
2696:
1432:
899:
4734:
2512:
1012:
331:
252:
4884:
4551:
3985:
3180:
2873:
2026:
1871:
91:
3701:
4922:
4847:
2825:
2799:
2757:
4796:
4765:
3728:
1546:
1140:
5111:
3044:
4151:
4131:
4111:
4091:
4071:
3950:
3930:
3910:
3890:
1215:
2474:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(U^{\oplus n},U^{\oplus m}){\overset {f\mapsto }{\underset {\sim }{\to }}}M_{m,n}(\operatorname {End} _{R}(U))}
4389:
2923:
759:
2034:
478:
3741:
2661:
Note the above isomorphism is canonical; no choice is involved. On the other hand, if one is given a module homomorphism between finite-rank
3814:
3336:
5157:
5275:
5236:
5204:
2585:
1883:
3993:
2537:
729:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /n,\mathbb {Z} /m)=\mathbb {Z} /\operatorname {gcd} (n,m)}
1290:
1210:
4245:{\displaystyle 0\to A_{\mathfrak {m}}{\overset {f}{\to }}B_{\mathfrak {m}}{\overset {g}{\to }}C_{\mathfrak {m}}\to 0}
3210:
1351:
904:
2707:
2201:
1714:
1455:
1163:
549:. It is not only an abelian group but is also a ring with multiplication given by function composition, called the
367:
4558:
955:
5009:
4280:
1346:
is viewed as a left module over itself. Textbooks or other references usually specify which convention is used.
1035:
5309:
4931:
4642:
4462:
3621:
1785:
39:
4580:
2250:
2655:
2327:
626:
4313:
135:
583:) must be either zero or an isomorphism. In particular, the endomorphism ring of a simple module is a
5231:, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 8 (2nd ed.), Cambridge University Press,
4887:
4286:
4258:
1640:
1582:
425:
43:
2318:
generalizes in a natural way to module homomorphisms between free modules. Precisely, given a right
4772:
3183:
2668:
1632:
1402:
869:
744:
453:
430:
4707:
2487:
978:
283:
204:
562:
262:
55:
4860:
4530:
2878:
5271:
5259:
5232:
5200:
5162:
5145:
4803:
3958:
3153:
2846:
2772:
2005:
1850:
1652:
550:
353:
64:
5267:
3673:
5304:
5192:
4897:
4826:
4157:
2804:
2778:
2736:
572:
418:
345:
31:
5285:
5246:
5214:
4781:
4750:
3730:. (If the numbers increase instead of decrease, then it is called a cochain complex; e.g.,
3706:
3140:{\displaystyle f\otimes g:M\otimes M'\to N\otimes N',\,x\otimes y\mapsto f(x)\otimes g(y).}
1524:
1118:
5281:
5242:
5210:
5087:
4815:
4366:
3731:
591:
4136:
4116:
4096:
4076:
4056:
3935:
3915:
3895:
3875:
3735:
2315:
558:
1209:
is viewed as a right module over itself. Explicitly, this isomorphism is given by the
5298:
5167:
4161:
3615:
1277:{\displaystyle R{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {End} _{R}(R),\,r\mapsto l_{r}}
584:
576:
410:
2706:
In practice, one often defines a module homomorphism by specifying its values on a
630:
595:
472:
464:
265:(for the underlying additive groups) that commutes with scalar multiplication. If
17:
2662:
1498:
599:
2665:, then a choice of an ordered basis corresponds to a choice of an isomorphism
4806:(which can be defined for any endomorphism with some finiteness conditions.)
4449:{\displaystyle 0\to M\times _{B}N\to M\times N{\overset {\phi }{\to }}B\to 0}
3028:{\displaystyle f\oplus g:M\oplus M'\to N\oplus N',\,(x,y)\mapsto (f(x),g(y))}
5148:
that arises from a spectral sequence is an example of an additive relation.
3323:
2654:
which turns out to be a ring isomorphism (as a composition corresponds to a
580:
446:
853:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R/J)=\{r\in R|rI\subset J\}/J}
4767:
is killed by its characteristic polynomial relative to the generators of
2152:{\displaystyle (st\cdot f)(x)=f(xst)=(t\cdot f)(xs)=s\cdot (t\cdot f)(x)}
612:
538:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(M)=\operatorname {Hom} _{R}(M,M)}
337:
3801:{\displaystyle \operatorname {im} (f_{i+1})=\operatorname {ker} (f_{i})}
5172:
3862:{\displaystyle 0\to A{\overset {f}{\to }}B{\overset {g}{\to }}C\to 0}
3417:{\displaystyle f^{*}:N^{*}\to M^{*},\,f^{*}(\alpha )=\alpha \circ f.}
2723:
413:(under pointwise addition) but is not necessarily a module unless
3808:. A special case of an exact sequence is a short exact sequence:
2314:
The relationship between matrices and linear transformations in
2163:
Note: the above verification would "fail" if one used the left
2643:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R^{n})\simeq M_{n}(R)}
445:
if it admits an inverse homomorphism; in particular, it is a
4160:, a sequence is exact if and only if it is exact at all the
1992:{\displaystyle (s\cdot f)(rx)=f(rxs)=rf(xs)=r(s\cdot f)(x),}
4043:{\displaystyle 0\to K\to M{\overset {f}{\to }}N\to C\to 0,}
3618:(or often just complex) if each composition is zero; i.e.,
2171:-action. In this sense, Hom is often said to "use up" the
1438:. (The module structure on Hom here comes from the right
3431:
is an isomorphism, then the transpose of the inverse of
4360:
are module homomorphisms, then they are said to form a
5090:
5012:
4934:
4900:
4863:
4829:
4784:
4753:
4710:
4645:
4583:
4533:
4465:
4392:
4316:
4289:
4261:
4173:
4139:
4119:
4099:
4079:
4059:
3996:
3961:
3938:
3918:
3898:
3878:
3817:
3744:
3709:
3676:
3624:
3460:
3339:
3213:
3156:
3047:
2926:
2881:
2849:
2807:
2781:
2739:
2671:
2588:
2540:
2490:
2339:
2253:
2204:
2037:
2008:
1886:
1853:
1788:
1717:
1527:
1458:
1405:
1354:
1293:
1218:
1166:
1121:
1038:
981:
907:
872:
762:
641:
481:
370:
286:
277:-modules, then the second condition is replaced with
207:
138:
67:
46:
that preserves the module structures. Explicitly, if
5266:, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, p.
3182:be a module homomorphism between left modules. The
2917:are module homomorphisms, then their direct sum is
2572:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)\simeq R}
5105:
5073:
4984:
4916:
4878:
4841:
4790:
4759:
4728:
4689:
4631:
4545:
4516:
4448:
4352:
4299:
4271:
4244:
4145:
4125:
4105:
4085:
4065:
4042:
3979:
3944:
3924:
3904:
3884:
3861:
3800:
3722:
3695:
3662:
3603:
3416:
3273:
3174:
3139:
3027:
2909:
2867:
2819:
2793:
2751:
2690:
2642:
2571:
2506:
2473:
2298:
2235:
2151:
2020:
1991:
1865:
1836:
1748:
1668:In short, Hom inherits a ring action that was not
1540:
1489:
1426:
1391:
1335:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R^{op}}
1334:
1276:
1197:
1134:
1100:
1006:
946:
893:
852:
728:
537:
401:
325:
246:
192:
85:
3274:{\displaystyle \Gamma _{f}=\{(x,f(x))|x\in M\}}
1392:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R,M)=M}
947:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(R/I,R)}
4996:determines a homomorphism from a submodule of
4736:be an endomorphism between finitely generated
3285:which is the image of the module homomorphism
2514:consisting of column vectors and then writing
2236:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
1749:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
1490:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,R)}
1447:
1198:{\displaystyle \operatorname {End} _{R}(R)=R}
594:, an injective homomorphism is also called a
545:for the set of all endomorphisms of a module
402:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(M,N)}
8:
5199:, Elements of Mathematics, Springer-Verlag,
5068:
5036:
4979:
4935:
4890:" homomorphism defined on some submodule of
3451:Consider a sequence of module homomorphisms
3268:
3227:
839:
810:
5227:Matsumura, Hideyuki (1989), "Theorem 2.4",
4700:Endomorphisms of finitely generated modules
5074:{\displaystyle D(f)\to N/\{y|(0,y)\in f\}}
1513:with the module structure coming from the
5089:
5042:
5031:
5011:
4953:
4933:
4905:
4899:
4862:
4828:
4783:
4752:
4709:
4676:
4663:
4659:
4644:
4621:
4607:
4593:
4582:
4532:
4464:
4427:
4406:
4391:
4315:
4291:
4290:
4288:
4263:
4262:
4260:
4229:
4228:
4214:
4207:
4206:
4192:
4185:
4184:
4172:
4138:
4118:
4113:is the cokernel, that is the quotient of
4098:
4078:
4058:
4012:
3995:
3960:
3937:
3917:
3897:
3877:
3840:
3827:
3816:
3789:
3758:
3743:
3714:
3708:
3681:
3675:
3642:
3629:
3623:
3584:
3575:
3566:
3554:
3545:
3539:
3527:
3518:
3512:
3500:
3491:
3485:
3473:
3464:
3459:
3384:
3379:
3370:
3357:
3344:
3338:
3254:
3218:
3212:
3155:
3094:
3046:
2973:
2925:
2880:
2848:
2806:
2780:
2738:
2682:
2670:
2625:
2609:
2593:
2587:
2545:
2539:
2495:
2489:
2450:
2431:
2412:
2388:
2376:
2360:
2344:
2338:
2252:
2209:
2203:
2036:
2007:
1885:
1852:
1787:
1722:
1716:
1532:
1526:
1463:
1457:
1404:
1359:
1353:
1323:
1298:
1292:
1268:
1257:
1236:
1222:
1217:
1171:
1165:
1126:
1120:
1080:
1043:
1037:
986:
980:
927:
912:
906:
871:
842:
822:
796:
782:
767:
761:
700:
696:
695:
681:
677:
676:
665:
661:
660:
648:
647:
646:
640:
511:
486:
480:
375:
369:
285:
206:
137:
66:
754:, there is the canonical identification
5195:(1998), "Chapter II, ยง1.14, remark 2",
5184:
1505:; it is a left (resp. right) module if
1101:{\displaystyle l_{r}(st)=rst=l_{r}(s)t}
2775:). Then to give a module homomorphism
7:
4985:{\displaystyle \{(y,x)|(x,y)\in f\}}
4798:is surjective, then it is injective.
4690:{\displaystyle B=A\times _{A/I}B/I.}
4517:{\displaystyle \phi (x,y)=f(x)-g(x)}
3663:{\displaystyle f_{i}\circ f_{i+1}=0}
1837:{\displaystyle (s\cdot f)(x)=f(xs).}
1509:is a right (resp. left) module over
459:A module homomorphism from a module
4632:{\displaystyle A\to A/I,B/I\to A/I}
4292:
4264:
4230:
4208:
4186:
2299:{\displaystyle (f\cdot s)(x)=f(x)s}
5158:Mapping cone (homological algebra)
3215:
1014:denote the left multiplication by
441:A module homomorphism is called a
25:
4353:{\displaystyle f:M\to B,g:N\to B}
2801:is to give a module homomorphism
598:and a surjective homomorphism an
575:says that a homomorphism between
356:of all module homomorphisms from
193:{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}
4740:-modules for a commutative ring
3734:.) A chain complex is called an
622:that maps every element to zero.
4300:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4272:{\displaystyle {\mathfrak {m}}}
4255:are exact, where the subscript
2526:matrix. In particular, viewing
1672:to form Hom. More precise, let
456:hold for module homomorphisms.
5100:
5094:
5059:
5047:
5043:
5025:
5022:
5016:
4970:
4958:
4954:
4950:
4938:
4833:
4720:
4615:
4587:
4553:be commutative rings, and let
4511:
4505:
4496:
4490:
4481:
4469:
4440:
4429:
4415:
4396:
4344:
4326:
4236:
4216:
4194:
4177:
4156:In the case of modules over a
4031:
4025:
4014:
4006:
4000:
3971:
3853:
3842:
3829:
3821:
3795:
3782:
3770:
3751:
3703:is contained in the kernel of
3577:
3547:
3520:
3493:
3466:
3396:
3390:
3363:
3255:
3251:
3248:
3242:
3230:
3166:
3131:
3125:
3116:
3110:
3104:
3074:
3022:
3019:
3013:
3004:
2998:
2992:
2989:
2986:
2974:
2953:
2896:
2859:
2811:
2785:
2743:
2733:; i.e., there is a surjection
2637:
2631:
2615:
2602:
2560:
2554:
2468:
2465:
2459:
2443:
2421:
2405:
2402:
2391:
2385:
2353:
2290:
2284:
2275:
2269:
2266:
2254:
2230:
2218:
2167:-action in place of the right
2146:
2140:
2137:
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178:
169:
163:
154:
142:
77:
1:
3670:or equivalently the image of
2691:{\displaystyle F\simeq R^{n}}
1688:has a right action of a ring
1427:{\displaystyle f\mapsto f(1)}
894:{\displaystyle f\mapsto f(1)}
579:(modules with no non-trivial
4729:{\displaystyle \phi :M\to M}
3892:is injective, the kernel of
3614:Such a sequence is called a
3038:and their tensor product is
2507:{\displaystyle U^{\oplus n}}
1759:has the structure of a left
1561:of commutative rings and an
1007:{\displaystyle l_{r}:R\to R}
326:{\displaystyle f(xr)=f(x)r.}
247:{\displaystyle f(rx)=rf(x).}
4810:Variant: additive relations
1211:left regular representation
5326:
4879:{\displaystyle M\oplus N.}
4813:
4546:{\displaystyle B\subset A}
3987:defines an exact sequence
2910:{\displaystyle g:M'\to N'}
1847:It is well-defined (i.e.,
1553:Given a ring homomorphism
340:of the zero element under
5113:consists of all elements
4886:In other words, it is a "
4639:form a fiber square with
4164:; that is all sequences
1448:#Module structures on Hom
4992:. Any additive relation
3980:{\displaystyle f:M\to N}
3955:Any module homomorphism
3175:{\displaystyle f:M\to N}
2868:{\displaystyle f:M\to N}
2763:with a basis indexed by
2021:{\displaystyle s\cdot f}
1866:{\displaystyle s\cdot f}
1763:-module defined by: for
1664:Module structures on Hom
467:and an isomorphism from
86:{\displaystyle f:M\to N}
54:are left modules over a
5229:Commutative Ring Theory
5197:Algebra I, Chapters 1โ3
4577:). Then canonical maps
3696:{\displaystyle f_{i+1}}
2310:A matrix representation
2028:is a ring action since
1692:that commutes with the
739:For a commutative ring
590:In the language of the
463:to itself is called an
5107:
5075:
4986:
4918:
4917:{\displaystyle f^{-1}}
4880:
4843:
4842:{\displaystyle M\to N}
4792:
4773:Nakayama's lemma#Proof
4761:
4730:
4691:
4633:
4573:(which is an ideal of
4547:
4518:
4450:
4354:
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2753:
2752:{\displaystyle F\to M}
2710:. More precisely, let
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2328:canonical isomorphism
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627:linear transformation
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3196:is the submodule of
3154:
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2722:-modules. Suppose a
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2586:
2538:
2488:
2484:obtained by viewing
2337:
2251:
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1641:algebra homomorphism
1633:associative algebras
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1403:
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639:
561:of this ring is the
479:
454:isomorphism theorems
368:
284:
205:
136:
65:
4283:at a maximal ideal
2759:with a free module
1521:. It is denoted by
431:category of modules
99:module homomorphism
36:module homomorphism
5260:Mac Lane, Saunders
5103:
5071:
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4876:
4857:is a submodule of
4839:
4788:
4757:
4726:
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4514:
4446:
4383:, if it fits into
4350:
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244:
190:
83:
61:, then a function
5193:Bourbaki, Nicolas
5163:Smith normal form
5000:to a quotient of
4928:is the submodule
4822:additive relation
4804:Herbrand quotient
4435:
4222:
4200:
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4126:{\displaystyle N}
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4073:is the kernel of
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3925:{\displaystyle f}
3905:{\displaystyle g}
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3560:
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3506:
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2773:free presentation
2771:(i.e., one has a
2425:
2390:
1653:ring homomorphism
1230:
901:. In particular,
551:endomorphism ring
18:Additive relation
16:(Redirected from
5317:
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1655:that is also an
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