2510:
1473:
2505:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\Omega }\nabla u'\cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\\\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\Omega }u'\left(-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi \right)dV+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }u'\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)dV-\int _{\Omega }gu'\ dV&=0\qquad {\text{(Repeating integration by parts on diffusion volume term)}}\\\int _{\Omega }u'\leftdV+\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA+\int _{\partial \Omega }u'\left(\mu \nabla \psi \right)\cdot {\vec {n}}dA&=0.\end{aligned}}}
769:
453:
3065:
1416:
764:{\displaystyle {\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}}
2956:
263:
1197:
2804:
971:
1186:
120:
3122:
1411:{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\partial \Omega }\psi \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla \psi \cdot \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)dV&=\int _{\Omega }gu'\ dV.\end{aligned}}}
2742:
2951:{\displaystyle {\begin{aligned}-{\vec {c}}\cdot \nabla \psi -\nabla \cdot \left(\mu \nabla \psi \right)&=g,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\\psi &=0,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}}
442:
2809:
1478:
1202:
1076:
834:
458:
387:
125:
28:. Gradient values with respect to a particular quantity of interest can be efficiently calculated by solving the adjoint equation. Methods based on solution of adjoint equations are used in
329:
258:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}}
1063:
1022:
374:
88:
2988:
2793:
2663:
2558:
2538:
1445:
999:
108:
3159:
2762:
2643:
1465:
801:
829:
1071:
821:
3106:
2764:
to be zero there in order for the first boundary term to vanish. The second boundary term vanishes trivially since the primal boundary condition requires
3188:
2668:
3152:
3183:
382:
49:
3099:
3178:
3145:
111:
21:
3092:
37:
274:
29:
1030:
1004:
2999:
33:
25:
3072:
341:
55:
3044:
1001:
must vanish at the boundary, since the
Dirichlet boundary condition does not admit variations on
2964:
2515:
The adjoint PDE and its boundary conditions can be deduced from the last equation above. Since
3004:
2648:
2543:
93:
3034:
3026:
966:{\displaystyle {\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}}
335:
2747:
2563:
1450:
1181:{\displaystyle {\begin{aligned}L'(\psi )&=J(u')\\B(u',\psi )&=J(u'),\end{aligned}}}
2767:
777:
2518:
1425:
979:
3129:
3076:
806:
3172:
3048:
3064:
3039:
2665:, in order for the volume term to vanish. Similarly, since the primal flux
2990:
in the adjoint equation, whereas the diffusion term remains self-adjoint.
2961:
Note that the advection term reverses the sign of the convective velocity
3121:
3030:
2737:{\displaystyle \left({\vec {c}}u'-\mu \nabla u'\right)\cdot {\vec {n}}}
3017:
Jameson, Antony (1988). "Aerodynamic Design via
Control Theory".
437:{\displaystyle {\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}}
268:
Let the output of interest be the following linear functional:
338:
by multiplying the primal equation with a weighting function
1027:
Using the weak form above and the definition of the adjoint
1422:
Next, use integration by parts to transfer derivatives of
2238:(Repeating integration by parts on diffusion volume term)
3133:
3128:
This article about a mechanical engineering topic is a
3080:
2967:
2807:
2770:
2750:
2671:
2651:
2566:
2546:
2521:
1476:
1453:
1428:
1200:
1074:
1033:
1007:
982:
832:
809:
780:
456:
385:
344:
277:
123:
96:
58:
2982:
2950:
2787:
2756:
2744:is generally non-zero at the boundary, we require
2736:
2657:
2637:
2552:
2532:
2504:
1459:
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1180:
1057:
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965:
815:
795:
763:
436:
368:
323:
257:
102:
82:
24:, usually derived from its primal equation using
774:Then, consider an infinitesimal perturbation to
3153:
3100:
8:
2798:Therefore, the adjoint problem is given by:
324:{\displaystyle J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.}
3160:
3146:
3107:
3093:
803:which produces an infinitesimal change in
3038:
2969:
2968:
2966:
2921:
2920:
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2878:
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1952:
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1800:
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1547:
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122:
95:
66:
65:
57:
2540:is generally non-zero within the domain
48:Consider the following linear, scalar
376:and performing integration by parts:
7:
3118:
3116:
3061:
3059:
976:Note that the solution perturbation
2938:
2935:
2893:
2853:
2839:
2830:
2703:
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1573:
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14:
1058:{\displaystyle \psi ({\vec {x}})}
3120:
3063:
1017:{\displaystyle \partial \Omega }
44:Example: Advection-Diffusion PDE
3019:Journal of Scientific Computing
2919:
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700:
226:
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62:
1:
369:{\displaystyle w({\vec {x}})}
112:Dirichlet boundary conditions
83:{\displaystyle u({\vec {x}})}
3189:Mechanical engineering stubs
3132:. You can help Knowledge by
3079:. You can help Knowledge by
50:advection-diffusion equation
22:linear differential equation
3205:
3115:
3058:
2983:{\displaystyle {\vec {c}}}
38:uncertainty quantification
3184:Applied mathematics stubs
52:for the primal solution
2658:{\displaystyle \Omega }
2553:{\displaystyle \Omega }
103:{\displaystyle \Omega }
30:wing shape optimization
3075:-related article is a
2984:
2952:
2789:
2758:
2738:
2659:
2639:
2560:, it is required that
2554:
2534:
2506:
1461:
1441:
1412:
1182:
1059:
1018:
995:
967:
817:
797:
765:
703:(Integration by parts)
438:
370:
325:
259:
104:
84:
3179:Differential calculus
2985:
2953:
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2759:
2757:{\displaystyle \psi }
2739:
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2640:
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2555:
2535:
2507:
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1460:{\displaystyle \psi }
1442:
1413:
1183:
1060:
1019:
996:
968:
818:
798:
766:
439:
371:
326:
260:
105:
85:
3000:Adjoint state method
2965:
2805:
2788:{\displaystyle u'=0}
2768:
2748:
2669:
2649:
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2544:
2519:
1474:
1451:
1447:into derivatives of
1426:
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1005:
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830:
807:
796:{\displaystyle L(w)}
778:
454:
383:
342:
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121:
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26:integration by parts
3073:applied mathematics
3031:10.1007/BF01061285
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2948:
2946:
2795:at the boundary.
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1176:
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80:
34:fluid flow control
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3140:
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3087:
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