2504:
4111:
1460:
2260:
3931:
1959:
337:
2200:
3173:
226:
881:
3942:
1279:
5417:
2499:{\displaystyle {\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{f(z)}}\mapsto (-1)^{i-1}{\frac {g(z)\,dz_{1}\wedge \dotsb \wedge {\widehat {dz_{i}}}\wedge \dotsb \wedge dz_{n}}{\partial f/\partial z_{i}}}{\bigg |}_{f=0}.}
2595:
4683:
3810:
3799:
634:
4917:
5288:
2032:
1158:
1712:
1819:
1593:
1514:
997:
793:
4786:
4187:
1811:
1086:
507:
4458:
1216:
943:
1271:
4263:
3335:
3262:
241:
2777:
2714:
2648:
553:
5545:
3419:
1757:
707:
1759:, which can be found using the decomposition of wedges of direct sums of vector bundles. Then, using the adjunction formula, a curve defined by the vanishing locus of a section
464:
5715:
3008:
2089:
420:
5113:
1642:
1543:
2123:
121:
3222:
1043:
2724:
The adjunction formula is false when the conormal exact sequence is not a short exact sequence. However, it is possible to use this failure to relate the singularities of
5874:
3520:
1545:
as a quadric surface given by the vanishing locus of a quadratic polynomial coming from a non-singular symmetric matrix. We can then restrict our attention to curves on
3084:
5658:
2838:
3546:
3388:
3368:
3295:
2940:
2891:
5455:
137:
4106:{\displaystyle \omega ={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}={\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{y^{d-1}\partial g/\partial v}}=u^{d-3}{\frac {du}{\partial g/\partial v}}}
3614:
3580:
3476:
3076:
3042:
360:
5613:
5576:
801:
3445:
2911:
2797:
1613:
747:
1455:{\displaystyle \omega _{X}\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1)\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d_{1}{+}d_{2})\,\cong \,{\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d_{1}{+}d_{2}).}
5296:
6297:
3926:{\displaystyle \partial f/\partial x=y^{d}{\frac {\partial g}{\partial v}}{\frac {\partial v}{\partial x}}=y^{d-1}{\frac {\partial g}{\partial v}}}
2515:
6026:
4558:
3622:
561:
6389:
5986:
5867:
4794:
5178:
1978:
1091:
6455:
6077:
5976:
6445:
1647:
5846:
5828:
5814:
1954:{\displaystyle \omega _{C}\,\cong \,{\mathcal {O}}(-2,-2)\otimes {\mathcal {O}}_{C}(a,b)\,\cong \,{\mathcal {O}}_{C}(a{-}2,b{-}2).}
6155:
5860:
5757:
1548:
6302:
6213:
1475:
956:
752:
6223:
6150:
4688:
5900:
6120:
6016:
4119:
375:
6379:
6343:
1762:
1048:
469:
6480:
6042:
5955:
4391:
1163:
889:
332:{\displaystyle \omega _{Y}=i^{*}\omega _{X}\otimes \operatorname {det} ({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2})^{\vee },}
6353:
5991:
1221:
6399:
4192:
3300:
3227:
6312:
6292:
6228:
6145:
6006:
4363:
6047:
2747:
6011:
40:
inside that variety. It is often used to deduce facts about varieties embedded in well-behaved spaces such as
2673:
2607:
512:
124:
6203:
2042:
is a complex manifold. Then on sections, the
Poincaré residue can be expressed as follows. Fix an open set
5462:
3393:
1717:
645:
5996:
6374:
6110:
5910:
4927:
2195:{\displaystyle \eta \otimes {\frac {s}{f}}\mapsto s{\frac {\partial \eta }{\partial f}}{\bigg |}_{f=0},}
433:
6072:
6021:
5666:
5661:
2945:
2061:
392:
5054:
1618:
1519:
6450:
6322:
6233:
5981:
4274:
6287:
2509:
Another way of viewing
Poincaré residue first reinterprets the adjunction formula as an isomorphism
102:
6165:
6130:
6087:
6067:
3181:
1970:
1002:
795:
we can compute its canonical and anti-canonical bundles using the adjunction formula. This reads as
3168:{\displaystyle \omega :={\frac {dx}{\partial f/\partial y}}={\frac {-dy}{\partial f/\partial x}}.}
6417:
6001:
21:
6208:
6188:
6160:
3481:
221:{\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}\to i^{*}\Omega _{X}\to \Omega _{Y}\to 0,}
6317:
6264:
6135:
5950:
5945:
5842:
5824:
5810:
5618:
2802:
25:
3525:
3373:
3340:
3267:
2919:
2843:
876:{\displaystyle \omega _{X}\cong i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(d)}
6307:
6193:
6170:
5838:
5731:
5726:
5434:
232:
41:
33:
4515:
has bidegree (−2,−2), the adjunction formula shows that the canonical class of
3585:
3551:
3453:
3047:
3013:
345:
6422:
6238:
6180:
6082:
5905:
5884:
5736:
5585:
5552:
3424:
6105:
5930:
5915:
5892:
2896:
2782:
1598:
732:
6474:
6437:
6218:
6198:
6125:
5920:
383:
62:
5764:
6384:
6358:
6348:
6338:
6140:
5960:
37:
5412:{\displaystyle g=1+{\tfrac {1}{2}}(d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}.}
4685:
by definition of the bidegree and by bilinearity, so applying
RiemannâRoch gives
6259:
6097:
2664:. The PoincarĂ© residue is the map that takes the wedge product of a section of Ï
387:
88:
17:
6254:
5852:
6115:
2590:{\displaystyle \omega _{D}\otimes i^{*}{\mathcal {O}}(-D)=i^{*}\omega _{X}.}
4678:{\displaystyle ((d_{1},d_{2}),(e_{1},e_{2}))\mapsto d_{1}e_{2}+d_{2}e_{1}}
3794:{\displaystyle g(u,v)=F(v,1,u)=F(x/y,1,1/y)=y^{-d}F(x,y,1)=y^{-d}f(x,y).}
629:{\displaystyle \omega _{D}=i^{*}(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)).}
6427:
6412:
5431:
be a complex surface (in particular a 4-dimensional manifold) and let
4912:{\displaystyle g=(d_{1}{-}1)(d_{2}{-}1)\,=\,d_{1}d_{2}-d_{1}-d_{2}+1.}
6407:
5283:{\displaystyle (d_{1}+\cdots +d_{n-1}-n-1)d_{1}\cdots d_{n-1}H^{n-1}}
1465:
This generalizes in the same fashion for all complete intersections.
5290:. The RiemannâRoch theorem implies that the genus of this curve is
4309:. Consequently, the adjunction formula says that the restriction of
2209:
to the volume form η, then multiplying by the holomorphic function
2027:{\displaystyle \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}(D)\to \omega _{D}}
1153:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1})\oplus {\mathcal {O}}(-d_{2})}
5171:, then an inductive computation shows that the canonical class of
235:. The determinant of this exact sequence is a natural isomorphism
4277:
for plane curves can be deduced from the adjunction formula. Let
4942:
can also be computed using the adjunction formula. Suppose that
4503:
are its intersection degrees with a fiber of each projection to
5856:
1707:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,0)\oplus {\mathcal {O}}(0,-2)}
5044:. By the RiemannâRoch theorem, this implies that the genus of
3370:
is a local parameter. In both cases the order of vanishing of
5002:
is a complete intersection, shows that the canonical divisor
3078:. We will explicitly compute the divisor of the differential
3390:
at the point is zero. Thus all contributions to the divisor
2736:. They are an important tool in modern birational geometry.
2689:
2623:
2544:
2067:
1997:
1906:
1872:
1840:
1780:
1723:
1681:
1653:
1388:
1338:
1301:
1227:
1169:
1126:
1097:
1067:
1054:
896:
853:
606:
528:
488:
475:
439:
398:
305:
292:
162:
149:
108:
4328:. This restriction is the same as the intersection product
5457:
be a smooth (non-singular) connected complex curve. Then
1588:{\displaystyle Y=\mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}
4301:, that is, the class of a line. The canonical class of
1509:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}
992:{\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}
788:{\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} _{S}^{n}}
5313:
4781:{\displaystyle 2g-2=d_{1}(d_{2}{-}2)+d_{2}(d_{1}{-}2)}
4519:
is the intersection product of divisors of bidegrees (
4402:
2205:
that is, it is formed by applying the vector field â/â
1615:
using the direct sum of the cotangent bundles on each
5669:
5621:
5588:
5555:
5465:
5437:
5299:
5181:
5057:
4797:
4691:
4561:
4394:
4195:
4122:
3945:
3813:
3625:
3588:
3554:
3528:
3484:
3456:
3427:
3396:
3376:
3343:
3303:
3270:
3230:
3184:
3087:
3050:
3016:
2948:
2922:
2899:
2846:
2805:
2785:
2750:
2676:
2610:
2518:
2263:
2126:
2064:
1981:
1822:
1765:
1720:
1650:
1621:
1601:
1551:
1522:
1478:
1282:
1224:
1166:
1094:
1051:
1005:
959:
892:
804:
755:
735:
648:
564:
515:
472:
436:
395:
348:
244:
140:
105:
6436:
6398:
6367:
6331:
6280:
6273:
6247:
6179:
6096:
6060:
6035:
5969:
5938:
5929:
5891:
4958:, respectively. Applying the adjunction formula to
5709:
5652:
5607:
5570:
5539:
5449:
5411:
5282:
5107:
4911:
4780:
4677:
4452:
4257:
4182:{\displaystyle \nu _{p}(\omega )=(d-3)\nu _{p}(u)}
4181:
4105:
3925:
3793:
3608:
3574:
3540:
3514:
3470:
3439:
3413:
3382:
3362:
3329:
3289:
3256:
3216:
3167:
3070:
3036:
3002:
2934:
2905:
2885:
2832:
2791:
2771:
2708:
2642:
2589:
2498:
2194:
2083:
2026:
1953:
1805:
1751:
1706:
1636:
1607:
1587:
1537:
1508:
1454:
1265:
1210:
1152:
1080:
1037:
991:
937:
875:
787:
741:
701:
628:
547:
501:
458:
414:
354:
331:
220:
115:
2476:
2172:
1806:{\displaystyle f\in \Gamma ({\mathcal {O}}(a,b))}
1081:{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}
502:{\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}
65:algebraic variety or smooth complex manifold and
5823:, Griffiths and Harris, Wiley classics library,
4453:{\displaystyle g={\tfrac {1}{2}}(d{-}1)(d{-}2).}
555:, which, combined with the formula above, gives
4347:, and so the degree of the canonical class of
1211:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-d_{1}{-}d_{2})}
938:{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-n{-}1{+}d)}
639:In terms of canonical classes, this says that
5868:
1266:{\displaystyle {\mathcal {O}}(d_{1}{+}d_{2})}
8:
4249:
4237:
2779:be a smooth plane curve cut out by a degree
4258:{\displaystyle {\text{div}}(\omega )=(d-3)}
3330:{\displaystyle \partial f/\partial x\neq 0}
3257:{\displaystyle \partial f/\partial y\neq 0}
6277:
5935:
5875:
5861:
5853:
4265:which agrees with the adjunction formula.
712:Both of these two formulas are called the
5677:
5668:
5626:
5620:
5599:
5587:
5554:
5513:
5500:
5464:
5436:
5394:
5381:
5350:
5331:
5312:
5298:
5268:
5252:
5239:
5208:
5189:
5180:
5091:
5056:
4897:
4884:
4871:
4861:
4856:
4852:
4841:
4835:
4817:
4811:
4796:
4767:
4761:
4748:
4730:
4724:
4711:
4690:
4669:
4659:
4646:
4636:
4617:
4604:
4585:
4572:
4560:
4467:is a smooth curve on the quadric surface
4436:
4419:
4401:
4393:
4196:
4194:
4164:
4127:
4121:
4089:
4072:
4060:
4039:
4021:
4006:
3998:
3989:
3972:
3952:
3944:
3903:
3891:
3864:
3844:
3838:
3820:
3812:
3761:
3721:
3703:
3683:
3624:
3598:
3587:
3564:
3553:
3527:
3483:
3457:
3455:
3426:
3397:
3395:
3375:
3354:
3342:
3310:
3302:
3281:
3269:
3237:
3229:
3205:
3192:
3183:
3148:
3128:
3111:
3094:
3086:
3060:
3049:
3026:
3015:
2947:
2921:
2898:
2845:
2840:. We claim that the canonical divisor is
2804:
2784:
2772:{\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{2}}
2763:
2758:
2749:
2688:
2687:
2681:
2675:
2650:is the product of a holomorphic function
2622:
2621:
2615:
2609:
2578:
2568:
2543:
2542:
2536:
2523:
2517:
2481:
2475:
2474:
2464:
2452:
2438:
2409:
2399:
2398:
2383:
2375:
2360:
2348:
2309:
2287:
2279:
2264:
2262:
2177:
2171:
2170:
2149:
2133:
2125:
2066:
2065:
2063:
2018:
1996:
1995:
1986:
1980:
1937:
1923:
1911:
1905:
1904:
1902:
1898:
1877:
1871:
1870:
1839:
1838:
1837:
1833:
1827:
1821:
1779:
1778:
1764:
1722:
1721:
1719:
1680:
1679:
1652:
1651:
1649:
1628:
1624:
1623:
1620:
1600:
1595:. We can compute the cotangent bundle of
1579:
1575:
1574:
1564:
1560:
1559:
1550:
1529:
1525:
1524:
1521:
1500:
1496:
1495:
1485:
1481:
1480:
1477:
1440:
1431:
1425:
1416:
1408:
1393:
1387:
1386:
1384:
1380:
1371:
1362:
1356:
1343:
1337:
1336:
1321:
1306:
1300:
1299:
1297:
1293:
1287:
1281:
1254:
1245:
1239:
1226:
1225:
1223:
1199:
1190:
1184:
1168:
1167:
1165:
1141:
1125:
1124:
1112:
1096:
1095:
1093:
1072:
1066:
1065:
1059:
1053:
1052:
1050:
1026:
1013:
1004:
983:
978:
974:
973:
958:
924:
916:
901:
895:
894:
891:
858:
852:
851:
839:
835:
834:
832:
822:
809:
803:
779:
774:
770:
769:
754:
734:
690:
685:
669:
653:
647:
605:
604:
595:
582:
569:
563:
527:
526:
520:
514:
493:
487:
486:
480:
474:
473:
471:
438:
437:
435:
397:
396:
394:
347:
320:
310:
304:
303:
297:
291:
290:
272:
262:
249:
243:
203:
190:
180:
167:
161:
160:
154:
148:
147:
139:
107:
106:
104:
2050:is given by the vanishing of a function
1714:. Then, the canonical sheaf is given by
5809:2nd edition, William Fulton, Springer,
5748:
4979:, which is the intersection product of
2709:{\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}
2643:{\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}
548:{\displaystyle i^{*}{\mathcal {O}}(-D)}
366:The particular case of a smooth divisor
6298:Clifford's theorem on special divisors
2740:The Canonical Divisor of a Plane Curve
5540:{\displaystyle 2g(C)-2=^{2}-c_{1}(S)}
4547:−2). The intersection form on
3616:. The equation of the curve becomes
3414:{\displaystyle {\text{div}}(\omega )}
2254:, then this can also be expressed as
1752:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-2,-2)}
702:{\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}.}
7:
5789:Hartshorne, chapter V, example 1.5.2
5780:Hartshorne, chapter V, example 1.5.1
4962:shows that its canonical divisor is
3522:so it suffices to look in the chart
5615:denotes the self-intersections and
2732:. Theorems of this type are called
953:For a smooth complete intersection
362:denotes the dual of a line bundle.
44:or to prove theorems by induction.
6456:Vector bundles on algebraic curves
6390:Weber's theorem (Algebraic curves)
5987:Hasse's theorem on elliptic curves
5977:Counting points on elliptic curves
4285:be a smooth plane curve of degree
4094:
4083:
4044:
4033:
3977:
3966:
3914:
3906:
3875:
3867:
3855:
3847:
3825:
3814:
3315:
3304:
3242:
3231:
3153:
3142:
3116:
3105:
2457:
2446:
2160:
2152:
2117:. The Poincaré residue is the map
1772:
459:{\displaystyle {\mathcal {O}}(-D)}
200:
187:
14:
5710:{\displaystyle <c_{1}(S),>}
3003:{\displaystyle f(x,y)=F(x,y,1)=0}
2084:{\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}
415:{\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}
5821:Principles of algebraic geometry
5122:is the complete intersection of
5108:{\displaystyle g=de(d+e-4)/2+1.}
4507:), since the canonical class of
4297:be the class of a hyperplane in
2759:
1637:{\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}
1538:{\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}
6078:Hurwitz's automorphisms theorem
5798:Gompf, Stipsicz, Theorem 1.4.17
2916:First work in the affine chart
1160:, so the determinant bundle is
53:Formula for a smooth subvariety
48:Adjunction for smooth varieties
6303:Gonality of an algebraic curve
6214:Differential of the first kind
5701:
5695:
5689:
5683:
5647:
5641:
5638:
5632:
5596:
5589:
5565:
5559:
5534:
5528:
5525:
5519:
5497:
5490:
5478:
5472:
5441:
5374:
5324:
5232:
5182:
5088:
5070:
4849:
4828:
4825:
4804:
4775:
4754:
4738:
4717:
4629:
4626:
4623:
4597:
4591:
4565:
4562:
4444:
4430:
4427:
4413:
4324:equals the canonical class of
4252:
4228:
4225:
4213:
4207:
4201:
4176:
4170:
4157:
4145:
4139:
4133:
3785:
3773:
3751:
3733:
3711:
3677:
3668:
3650:
3641:
3629:
3503:
3485:
3408:
3402:
3211:
3185:
2991:
2973:
2964:
2952:
2880:
2868:
2865:
2853:
2827:
2809:
2703:
2694:
2637:
2628:
2558:
2549:
2372:
2366:
2345:
2335:
2332:
2326:
2320:
2276:
2270:
2143:
2078:
2072:
2011:
2008:
2002:
1945:
1917:
1895:
1883:
1863:
1845:
1800:
1797:
1785:
1775:
1746:
1728:
1701:
1686:
1673:
1658:
1446:
1399:
1377:
1349:
1329:
1312:
1260:
1232:
1205:
1174:
1147:
1131:
1118:
1102:
1032:
1006:
969:
932:
907:
870:
864:
765:
686:
681:
662:
620:
617:
611:
588:
542:
533:
453:
444:
409:
403:
317:
287:
209:
196:
173:
144:
116:{\displaystyle {\mathcal {I}}}
1:
6446:BirkhoffâGrothendieck theorem
6156:Nagata's conjecture on curves
6027:SchoofâElkiesâAtkin algorithm
5901:Five points determine a conic
3421:are at the line at infinity,
3217:{\displaystyle (x_{0},y_{0})}
2103:is a holomorphic function on
1038:{\displaystyle (d_{1},d_{2})}
6017:Supersingular elliptic curve
4998:, which is possible because
4385:, which implies the formula
6224:Riemann's existence theorem
6151:Hilbert's sixteenth problem
6043:Elliptic curve cryptography
5956:Fundamental pair of periods
5423:In low dimensional topology
2913:is the hyperplane divisor.
1469:Curves in a quadric surface
73:. Denote the inclusion map
6497:
6354:Moduli of algebraic curves
3515:{\displaystyle \not \in C}
2728:with the singularities of
2107:. Let η be a section over
1968:
69:be a smooth subvariety of
5029:, that is, it has degree
2217:admits local coordinates
426:, and the ideal sheaf of
6121:CayleyâBacharach theorem
6048:Elliptic curve primality
5758:"10. Algebraic Surfaces"
5653:{\displaystyle c_{1}(S)}
4994:. Doing this again with
4116:with order of vanishing
3297:is a local parameter or
2833:{\displaystyle F(X,Y,Z)}
2604:as before, a section of
430:corresponds to its dual
6380:RiemannâHurwitz formula
6344:GromovâWitten invariant
6204:Compact Riemann surface
5992:Mazur's torsion theorem
3541:{\displaystyle Y\neq 0}
3383:{\displaystyle \omega }
3363:{\displaystyle y-y_{0}}
3290:{\displaystyle x-x_{0}}
2942:. The equation becomes
2935:{\displaystyle Z\neq 0}
2886:{\displaystyle K=(d-3)}
2799:homogeneous polynomial
2734:inversion of adjunction
2720:Inversion of adjunction
886:which is isomorphic to
125:conormal exact sequence
5997:Modular elliptic curve
5849:, Proposition II.8.20.
5711:
5654:
5609:
5572:
5541:
5451:
5450:{\displaystyle C\to S}
5413:
5284:
5109:
4913:
4782:
4679:
4454:
4269:Applications to curves
4259:
4183:
4107:
3927:
3795:
3610:
3576:
3542:
3516:
3472:
3441:
3415:
3384:
3364:
3331:
3291:
3258:
3218:
3169:
3072:
3038:
3004:
2936:
2907:
2887:
2834:
2793:
2773:
2710:
2644:
2591:
2500:
2196:
2085:
2028:
1955:
1807:
1753:
1708:
1638:
1609:
1589:
1539:
1510:
1463:
1456:
1267:
1212:
1154:
1082:
1045:, the conormal bundle
1039:
993:
949:Complete intersections
939:
884:
877:
789:
743:
729:Given a smooth degree
725:Degree d hypersurfaces
703:
630:
549:
503:
466:. The conormal bundle
460:
416:
356:
333:
222:
117:
5911:Rational normal curve
5712:
5655:
5610:
5573:
5542:
5452:
5414:
5285:
5110:
4928:complete intersection
4922:The genus of a curve
4914:
4783:
4680:
4455:
4260:
4184:
4108:
3928:
3796:
3611:
3609:{\displaystyle v=x/y}
3577:
3575:{\displaystyle u=1/y}
3543:
3517:
3473:
3471:{\displaystyle {Z=0}}
3450:Now look on the line
3442:
3416:
3385:
3365:
3332:
3292:
3259:
3219:
3170:
3073:
3071:{\displaystyle y=Y/Z}
3039:
3037:{\displaystyle x=X/Z}
3005:
2937:
2908:
2888:
2835:
2794:
2774:
2711:
2645:
2592:
2501:
2197:
2086:
2029:
1956:
1813:, can be computed as
1808:
1754:
1709:
1639:
1610:
1590:
1540:
1511:
1457:
1275:
1268:
1213:
1155:
1083:
1040:
994:
940:
878:
797:
790:
744:
704:
631:
550:
504:
461:
417:
357:
355:{\displaystyle \vee }
334:
223:
118:
6451:Stable vector bundle
6323:Weil reciprocity law
6313:RiemannâRoch theorem
6293:BrillâNoether theory
6229:RiemannâRoch theorem
6146:Genusâdegree formula
6007:MordellâWeil theorem
5982:Division polynomials
5667:
5619:
5608:{\displaystyle ^{2}}
5586:
5571:{\displaystyle g(C)}
5553:
5463:
5435:
5297:
5179:
5055:
4795:
4689:
4559:
4392:
4364:RiemannâRoch theorem
4275:genus-degree formula
4193:
4120:
3943:
3811:
3623:
3586:
3552:
3526:
3482:
3454:
3425:
3394:
3374:
3341:
3301:
3268:
3228:
3182:
3085:
3048:
3014:
2946:
2920:
2897:
2844:
2803:
2783:
2748:
2674:
2608:
2516:
2261:
2124:
2062:
1979:
1975:The restriction map
1820:
1763:
1718:
1648:
1619:
1599:
1549:
1520:
1476:
1280:
1222:
1164:
1092:
1049:
1003:
957:
890:
802:
753:
733:
646:
562:
513:
470:
434:
393:
346:
242:
138:
103:
6274:Structure of curves
6166:Quartic plane curve
6088:Hyperelliptic curve
6068:De Franchis theorem
6012:NagellâLutz theorem
5841:, Springer GTM 52,
5807:Intersection theory
5118:More generally, if
4950:are the degrees of
3440:{\displaystyle Z=0}
2233:such that for some
2054:. Any section over
988:
784:
36:of a variety and a
6481:Algebraic geometry
6281:Divisors on curves
6073:Faltings's theorem
6022:Schoof's algorithm
6002:Modularity theorem
5835:Algebraic geometry
5707:
5650:
5605:
5568:
5537:
5447:
5409:
5322:
5280:
5105:
4909:
4778:
4675:
4450:
4411:
4255:
4179:
4103:
3923:
3791:
3606:
3572:
3538:
3512:
3468:
3437:
3411:
3380:
3360:
3327:
3287:
3254:
3214:
3165:
3068:
3034:
3000:
2932:
2903:
2883:
2830:
2789:
2769:
2706:
2640:
2587:
2496:
2192:
2091:can be written as
2081:
2024:
1951:
1803:
1749:
1704:
1634:
1605:
1585:
1535:
1506:
1452:
1263:
1208:
1150:
1078:
1035:
989:
972:
935:
873:
785:
768:
739:
714:adjunction formula
699:
626:
545:
499:
456:
412:
352:
329:
231:where Ω denotes a
218:
113:
30:adjunction formula
24:and the theory of
22:algebraic geometry
6468:
6467:
6464:
6463:
6375:HasseâWitt matrix
6318:Weierstrass point
6265:Smooth completion
6234:TeichmĂŒller space
6136:Cubic plane curve
6056:
6055:
5970:Arithmetic theory
5951:Elliptic integral
5946:Elliptic function
5817:, Example 3.2.12.
5662:Kronecker pairing
5321:
4410:
4199:
4101:
4051:
4004:
3984:
3921:
3882:
3862:
3548:with coordinates
3400:
3160:
3123:
2906:{\displaystyle H}
2792:{\displaystyle d}
2670:and a section of
2471:
2419:
2330:
2167:
2141:
1608:{\displaystyle Y}
1088:is isomorphic to
742:{\displaystyle d}
26:complex manifolds
6488:
6308:Jacobian variety
6278:
6181:Riemann surfaces
6171:Real plane curve
6131:Cramer's paradox
6111:BĂ©zout's theorem
5936:
5885:algebraic curves
5877:
5870:
5863:
5854:
5839:Robin Hartshorne
5799:
5796:
5790:
5787:
5781:
5778:
5772:
5771:
5769:
5763:. Archived from
5762:
5753:
5732:Poincare residue
5727:Logarithmic form
5716:
5714:
5713:
5708:
5682:
5681:
5659:
5657:
5656:
5651:
5631:
5630:
5614:
5612:
5611:
5606:
5604:
5603:
5578:is the genus of
5577:
5575:
5574:
5569:
5546:
5544:
5543:
5538:
5518:
5517:
5505:
5504:
5456:
5454:
5453:
5448:
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