1741:
906:
474:
1546:
729:
1261:
1914:
2245:
1818:
800:
1089:
338:
1535:
2363:
1736:{\displaystyle {\begin{aligned}&h(x_{0}\otimes m)=\rho (x_{0})\otimes m,\\&h(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m)=\theta (\rho (x_{0}))x_{1}\otimes \cdots \otimes x_{n}\otimes m.\end{aligned}}}
1991:
2064:
998:
1370:
290:
542:
602:
1551:
141:
2112:
217:
1157:
768:
2294:
1308:
89:
1826:
1402:
188:
2608:
2383:
161:
1442:
1331:
1109:
1030:
788:
2138:
2523:
2496:
2146:
1462:
1422:
594:
2441:
2421:
1938:
1149:
1129:
562:
330:
310:
901:{\displaystyle 0\to R\,{\overset {\theta }{\to }}\,S\,{\overset {\delta ^{0}}{\to }}\,S^{\otimes 2}\,{\overset {\delta ^{1}}{\to }}\,S^{\otimes 3}\to \cdots }
1749:
469:{\displaystyle d^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i-1}\otimes 1\otimes x_{i}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}
1039:
1470:
2299:
1947:
48:
2005:
914:
1336:
222:
724:{\displaystyle s^{i}(x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{n})=x_{0}\otimes \cdots \otimes x_{i}x_{i+1}\otimes \cdots \otimes x_{n}.}
482:
2621:
2392:
97:
2668:
2069:
1256:{\displaystyle 0\to M\to S\otimes _{R}M\to S^{\otimes 2}\otimes _{R}M\to S^{\otimes 3}\otimes _{R}M\to \cdots }
37:
2471:
The reference (M. Artin) seems to have a typo, and this should be the correct formula; see the calculation of
193:
737:
41:
2253:
1033:
1909:{\displaystyle h\circ \delta ^{n}+\delta ^{n-1}\circ h=\operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}
2673:
1281:
62:
40:, the Amitsur complex is exact (thus determining a resolution), which is the basis of the theory of
1375:
166:
2633:
2368:
2240:{\displaystyle 0\to M_{S}\to T\otimes _{S}M_{S}\to T^{\otimes 2}\otimes _{S}M_{S}\to \cdots ,}
1941:
146:
25:
1427:
1316:
1094:
1015:
773:
2603:
2117:
92:
29:
2501:
2474:
1447:
1407:
567:
2426:
2406:
1923:
1813:{\displaystyle \delta ^{-1}=\theta \otimes \operatorname {id} _{M}:M\to S\otimes _{R}M}
1134:
1114:
547:
315:
295:
2662:
2625:
2587:
2452:
2444:
2396:
21:
2448:
2591:
2645:
770:
is a cosimplicial set. It then determines the complex with the augumentation
47:
The notion should be thought of as a mechanism to go beyond the conventional
91:
be a homomorphism of (not-necessary-commutative) rings. First define the
1084:{\displaystyle 0\to R{\overset {\theta }{\to }}S^{\otimes \bullet +1}}
2606:(1959), "Simple algebras and cohomology groups of arbitrary fields",
1530:{\displaystyle h:S^{\otimes n+1}\otimes M\to S^{\otimes n}\otimes M}
2638:
2358:{\displaystyle T\otimes _{S}M_{S}\simeq S^{\otimes 2}\otimes _{R}M}
1993:
determines the zero map on cohomology: i.e., the complex is exact.
2649:
2365:, etc., by "faithfully flat", the original sequence is exact.
1986:{\displaystyle \operatorname {id} _{S^{\otimes n+1}\otimes M}}
2059:{\displaystyle S\to T:=S\otimes _{R}S,\,x\mapsto 1\otimes x}
734:
They satisfy the "obvious" cosimplicial identities and thus
993:{\displaystyle \delta ^{n}=\sum _{i=0}^{n+1}(-1)^{i}d^{i}.}
1365:{\displaystyle \rho \circ \theta =\operatorname {id} _{R}}
285:{\displaystyle d^{i}:S^{\otimes {n+1}}\to S^{\otimes n+2}}
2451:(which is a weaker condition than being a cover in the
1746:
An easy computation shows the following identity: with
2403:, §8) show that the Amitsur complex is exact if
2114:. Thus, Step 1 applied to the split ring homomorphism
1091:
is exact and thus is a resolution. More generally, if
537:{\displaystyle s^{i}:S^{\otimes n+1}\to S^{\otimes n}}
2504:
2477:
2429:
2409:
2371:
2302:
2256:
2149:
2120:
2072:
2008:
1950:
1926:
1829:
1752:
1549:
1473:
1450:
1430:
1410:
1378:
1339:
1319:
1284:
1160:
1137:
1117:
1097:
1042:
1018:
917:
803:
776:
740:
605:
570:
550:
485:
341:
318:
298:
225:
196:
169:
149:
100:
65:
136:{\displaystyle C^{\bullet }=S^{\otimes \bullet +1}}
2517:
2490:
2447:, and the map is required to be a covering in the
2435:
2415:
2377:
2357:
2288:
2239:
2132:
2106:
2058:
1985:
1932:
1908:
1812:
1735:
1529:
1456:
1436:
1416:
1396:
1364:
1325:
1302:
1255:
1143:
1123:
1103:
1083:
1024:
992:
900:
782:
762:
723:
588:
556:
536:
468:
324:
304:
284:
211:
182:
155:
135:
83:
2609:Transactions of the American Mathematical Society
1111:is right faithfully flat, then, for each left
2593:Noncommutative rings (Berkeley lecture notes)
2107:{\displaystyle T\to S,\,x\otimes y\mapsto xy}
8:
2400:
1032:is right faithfully flat, then a theorem of
2637:
2509:
2503:
2482:
2476:
2428:
2408:
2370:
2346:
2333:
2320:
2310:
2301:
2277:
2261:
2255:
2222:
2212:
2199:
2186:
2176:
2160:
2148:
2119:
2085:
2071:
2040:
2028:
2007:
1960:
1955:
1949:
1925:
1883:
1878:
1853:
1840:
1828:
1801:
1779:
1757:
1751:
1714:
1695:
1679:
1645:
1626:
1593:
1565:
1550:
1548:
1512:
1484:
1472:
1449:
1429:
1409:
1377:
1356:
1338:
1318:
1283:
1238:
1225:
1209:
1196:
1180:
1159:
1136:
1116:
1096:
1066:
1052:
1041:
1017:
981:
971:
946:
935:
922:
916:
883:
878:
870:
861:
860:
851:
846:
838:
829:
828:
824:
814:
813:
802:
775:
745:
739:
712:
687:
677:
658:
642:
623:
610:
604:
569:
549:
525:
503:
490:
484:
457:
438:
413:
394:
378:
359:
346:
340:
317:
297:
267:
247:
243:
230:
224:
203:
202:
201:
195:
174:
168:
148:
118:
105:
99:
64:
2538:
2464:
212:{\displaystyle \otimes _{\mathbb {Z} }}
33:
763:{\displaystyle S^{\otimes \bullet +1}}
2569:
2557:
2545:
7:
2289:{\displaystyle M_{S}=S\otimes _{R}M}
1999:: The statement is true in general.
1036:states that the (augmented) complex
219:) as follows. Define the face maps
14:
49:localization of rings and modules
1003:Exactness of the Amitsur complex
2630:Prisms and Prismatic Cohomology
1310:splits as a ring homomorphism.
2228:
2192:
2166:
2153:
2124:
2095:
2076:
2044:
2012:
1791:
1688:
1685:
1672:
1666:
1657:
1619:
1599:
1586:
1577:
1558:
1505:
1388:
1303:{\displaystyle \theta :R\to S}
1294:
1247:
1218:
1189:
1170:
1164:
1054:
1046:
968:
958:
892:
863:
831:
816:
807:
648:
616:
583:
571:
518:
384:
352:
260:
84:{\displaystyle \theta :R\to S}
75:
1:
1397:{\displaystyle \rho :S\to R}
183:{\displaystyle \otimes _{R}}
36:). When the homomorphism is
1278:: The statement is true if
1012:In the above notations, if
2690:
1444:a section). Given such a
2378:{\displaystyle \square }
479:Define the degeneracies
156:{\displaystyle \otimes }
1437:{\displaystyle \theta }
1326:{\displaystyle \theta }
1104:{\displaystyle \theta }
1025:{\displaystyle \theta }
783:{\displaystyle \theta }
544:by multiplying out the
42:faithfully flat descent
28:. It was introduced by
2519:
2492:
2437:
2417:
2379:
2359:
2290:
2241:
2134:
2133:{\displaystyle S\to T}
2108:
2060:
1987:
1934:
1910:
1814:
1737:
1531:
1458:
1438:
1418:
1398:
1372:for some homomorphism
1366:
1327:
1304:
1257:
1145:
1125:
1105:
1085:
1034:Alexander Grothendieck
1026:
994:
957:
902:
784:
764:
725:
590:
558:
538:
470:
326:
306:
286:
213:
184:
157:
137:
85:
2520:
2518:{\displaystyle d^{2}}
2493:
2491:{\displaystyle s_{0}}
2438:
2418:
2380:
2360:
2291:
2242:
2135:
2109:
2061:
1988:
1935:
1911:
1815:
1738:
1532:
1459:
1457:{\displaystyle \rho }
1439:
1419:
1417:{\displaystyle \rho }
1399:
1367:
1328:
1305:
1258:
1146:
1126:
1106:
1086:
1027:
995:
931:
903:
785:
765:
726:
591:
589:{\displaystyle (i+1)}
559:
539:
471:
327:
307:
287:
214:
185:
158:
138:
86:
2502:
2475:
2427:
2407:
2369:
2300:
2254:
2147:
2118:
2070:
2006:
1948:
1924:
1920:This is to say that
1827:
1750:
1547:
1471:
1448:
1428:
1424:is a retraction and
1408:
1376:
1337:
1317:
1282:
1158:
1135:
1115:
1095:
1040:
1016:
1008:Faithfully flat case
915:
801:
774:
738:
603:
568:
548:
483:
339:
316:
296:
223:
194:
167:
147:
98:
63:
30:Shimshon Amitsur
2669:Homological algebra
2515:
2488:
2443:are (commutative)
2433:
2413:
2375:
2355:
2296:, is exact. Since
2286:
2237:
2130:
2104:
2056:
1983:
1930:
1906:
1810:
1733:
1731:
1527:
1454:
1434:
1414:
1394:
1362:
1333:splits" is to say
1323:
1300:
1253:
1141:
1121:
1101:
1081:
1022:
990:
898:
780:
760:
721:
586:
554:
534:
466:
322:
302:
282:
209:
180:
153:
133:
81:
2604:Amitsur, Shimshon
2572:, Theorem III.6.6
2436:{\displaystyle S}
2416:{\displaystyle R}
2393:Bhargav Bhatt
2388:Arc topology case
1942:homotopy operator
1933:{\displaystyle h}
1144:{\displaystyle M}
1124:{\displaystyle R}
1060:
876:
844:
822:
557:{\displaystyle i}
325:{\displaystyle i}
305:{\displaystyle 1}
26:ring homomorphism
2681:
2642:
2641:
2617:
2599:
2598:
2573:
2567:
2561:
2555:
2549:
2543:
2526:
2524:
2522:
2521:
2516:
2514:
2513:
2497:
2495:
2494:
2489:
2487:
2486:
2469:
2442:
2440:
2439:
2434:
2422:
2420:
2419:
2414:
2384:
2382:
2381:
2376:
2364:
2362:
2361:
2356:
2351:
2350:
2341:
2340:
2325:
2324:
2315:
2314:
2295:
2293:
2292:
2287:
2282:
2281:
2266:
2265:
2246:
2244:
2243:
2238:
2227:
2226:
2217:
2216:
2207:
2206:
2191:
2190:
2181:
2180:
2165:
2164:
2139:
2137:
2136:
2131:
2113:
2111:
2110:
2105:
2066:is a section of
2065:
2063:
2062:
2057:
2033:
2032:
1992:
1990:
1989:
1984:
1982:
1981:
1974:
1973:
1939:
1937:
1936:
1931:
1915:
1913:
1912:
1907:
1905:
1904:
1897:
1896:
1864:
1863:
1845:
1844:
1819:
1817:
1816:
1811:
1806:
1805:
1784:
1783:
1765:
1764:
1742:
1740:
1739:
1734:
1732:
1719:
1718:
1700:
1699:
1684:
1683:
1650:
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1569:
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1519:
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1497:
1463:
1461:
1460:
1455:
1443:
1441:
1440:
1435:
1423:
1421:
1420:
1415:
1403:
1401:
1400:
1395:
1371:
1369:
1368:
1363:
1361:
1360:
1332:
1330:
1329:
1324:
1309:
1307:
1306:
1301:
1262:
1260:
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1254:
1243:
1242:
1233:
1232:
1214:
1213:
1204:
1203:
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1184:
1150:
1148:
1147:
1142:
1130:
1128:
1127:
1122:
1110:
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