3514:
3119:
3509:{\displaystyle {\begin{array}{lccclcl}0&\to &M\otimes _{A}B&\to &\quad N\otimes _{A}B&{\xrightarrow {d^{0}-\varphi \circ d^{1}}}&N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}\otimes _{A}B\\&&\downarrow &&\varphi \circ d^{1}\downarrow &&\quad \downarrow \varphi \otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\circ d^{2}\\0&\to &N&\to &\quad N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}&{\xrightarrow {d^{0}-d^{1}}}&N\otimes _{d^{0},d^{1}}B^{\otimes 3}\\\end{array}}}
4864:
657:
4426:
1561:
2246:
2706:
3983:
1639:
1167:
2845:
3712:
refers simply to the fact that a quasi-coherent sheaf can be obtained by gluing those on a (Zariski-)open cover. It is a special case of a faithfully flat descent but is frequently used to reduce the descent problem to the affine case.
2361:
4818:
378:
1347:
1258:
1423:
1030:
3020:
4267:
1940:
1805:
930:
4081:
1858:
1086:
2074:
3081:
2759:
3630:
2419:
4019:
5062:
879:
1431:
36:"Vanilla" faithfully flat descent is generally false; instead, faithfully flat descent is valid under some finiteness conditions (e.g., quasi-compact or locally of finite presentation).
4134:
642:
410:
4262:
4210:
2139:
4523:
3756:
2612:
199:
4556:
4462:
2487:
814:
3856:
4650:
4490:
3820:
3861:
2604:
2449:
1754:
960:
263:
3669:
1975:
565:
5065:, Exposé VIII – this is the main reference (but it depends on a result from Giraud (1964), which replaced (in much more general form) the unpublished Exposé VII of SGA1)
3697:
2909:
1659:
1566:
1094:
2764:
3576:
3111:
2550:
2103:
2004:
840:
711:
78:
4588:
3787:
2514:
2273:
2134:
477:
4849:
1682:
4612:
4154:
2929:
2889:
2869:
2574:
2278:
1724:
1704:
775:
755:
735:
521:
450:
430:
283:
150:
130:
106:
4743:
288:
1264:
1175:
33:
In practice, from an affine point of view, this technique allows one to prove some statement about a ring or scheme after faithfully flat base change.
1353:
965:
2937:
4421:{\displaystyle F|_{U_{i}\cap U_{j}}\simeq F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\varphi _{ij}}{\underset {\sim }{\to }}}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}
5232:
5148:
5088:
1866:
1759:
884:
5013:, Ch. II, Exercise 1.22.; NB: since "quasi-coherent" is a local property, gluing quasi-coherent sheaves results in a quasi-coherent one.
5034:
4024:
714:
52:
1810:
1038:
2012:
3032:
2714:
5140:
3584:
2366:
40:
4660:
There is a succinct statement for the major result in this area: (the prestack of quasi-coherent sheaves over a scheme
3988:
5258:
5097:
1556:{\displaystyle \rho ^{i}(x)(y_{0}\otimes \cdots \otimes y_{r})=y_{0}\cdots y_{i-1}\otimes x\otimes y_{i}\cdots y_{r}}
845:
1686:
Now, the most basic form of faithfully flat descent says that the above construction can be reversed; i.e., given a
5135:
4086:
3124:
27:
2241:{\displaystyle B^{\otimes n}\simeq A\otimes _{A}B^{\otimes n}\to B\otimes _{A}B^{\otimes n}=B^{\otimes {n+1}}}
570:
383:
2701:{\displaystyle \varphi :N\otimes _{d^{1}}B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}
4215:
4163:
4722:
4495:
3719:
5208:
158:
4528:
4434:
3535:, which is exact by a theorem of Grothendieck. The cocycle condition ensures that the above diagram is
2454:
3978:{\displaystyle \varphi _{ij}:F_{i}|_{U_{i}\cap U_{j}}{\overset {\sim }{\to }}F_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}
780:
4703:
3825:
4617:
4471:
3792:
4465:
2579:
2424:
1729:
935:
208:
30:. Such morphisms, that are flat and surjective, are common, one example coming from an open cover.
3642:
1948:
5174:
1634:{\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}
1162:{\displaystyle \varphi ^{i}:N\otimes B^{\otimes 2}{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B^{\otimes 2}}
530:
23:
2840:{\displaystyle \varphi \otimes _{d^{0}}B^{\otimes 3}\circ \varphi \otimes _{d^{2}}B^{\otimes 3}}
5228:
5144:
5084:
5030:
3682:
2894:
1644:
5024:
5220:
5184:
5130:
5109:
5076:
4431:
In a fancy language, the
Zariski descent states that, with respect to the Zariski topology,
3555:
3090:
2529:
2082:
1983:
819:
690:
57:
5242:
5158:
5123:
4561:
3765:
2492:
2251:
2112:
455:
5238:
5216:
5154:
5119:
4918:
3532:
2356:{\displaystyle B^{\otimes n}\simeq B\otimes A\otimes B^{\otimes n-1}\to B^{\otimes {n+1}}}
5188:
4826:
1664:
4923:
4597:
4139:
2914:
2874:
2854:
2559:
1709:
1689:
760:
740:
720:
482:
435:
415:
268:
135:
115:
91:
4863:
4813:{\displaystyle V\otimes _{k}F\simeq \prod _{\sigma }V,\,v\otimes a\mapsto \sigma (a)v}
3539:. Since the second and the third vertical maps are isomorphisms, so is the first one.
656:
5252:
4695:
3520:
80:, the faithfully flat descent is, roughy, the statement that to give a module or an
4525:
the category of (relative) schemes that has an effective descent theory. Here, let
373:{\displaystyle \operatorname {Spec} (B)=\bigcup _{i=1}^{r}\operatorname {Spec} (A)}
1342:{\displaystyle \varphi ^{1}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{2}(b)\varphi (n\otimes c)}
1253:{\displaystyle \varphi ^{0}(n\otimes b\otimes c)=\rho ^{1}(b)\varphi (n\otimes c)}
5165:
Street, Ross (2004), "Categorical and
Combinatorial Aspects of Descent Theory",
5080:
4928:
1418:{\displaystyle \varphi ^{2}(n\otimes b\otimes c)=\varphi (n\otimes b)\otimes c}
5224:
1025:{\displaystyle B^{\otimes 2}\simeq B^{\otimes 2},x\otimes y\mapsto y\otimes x}
5197:
3015:{\displaystyle d^{0}-\varphi \circ d^{1}:N\to N\otimes _{d^{0}}B^{\otimes 2}}
108:
together with the so-called descent datum (or data). That is to say one can
1980:
Here is the precise definition of descent datum. Given a ring homomorphism
5198:"Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory"
527:; the descend datum in this case amounts to the gluing data; i.e., how
81:
4989:, § 4.2.1. NB: in the reference, the index starts with 1 instead of 0.
5179:
1935:{\displaystyle M=\{n\in N|\varphi (n\otimes 1)=n\otimes 1\}\subset N}
1800:{\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}
925:{\displaystyle \varphi :N\otimes B{\overset {\sim }{\to }}N\otimes B}
5114:
3427:
3184:
26:, allowing one to draw conclusions about objects on the target of a
5215:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 66, Berlin, New York:
3762:. Then Zariski descent states that, given quasi-coherent sheaves
4823:
where the product runs over the elements in the Galois group of
4952:, Progress in Math., vol. 87, Birkhäuser, pp. 111–195
3113:
is faithfully flat. This is seen by considering the following:
4858:
4076:{\displaystyle \varphi _{ik}=\varphi _{jk}\circ \varphi _{ij}}
651:
5026:
Fundamental
Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained
4534:
4507:
4477:
4440:
3725:
4904:
An Ă©tale descent is a consequence of a faithfully descent.
1853:{\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}
1081:{\displaystyle \varphi ^{1}=\varphi ^{0}\circ \varphi ^{2}}
4950:
4690:
The prestack of quasi-coherent sheaves over a base scheme
3758:
denote the category of quasi-coherent sheaves on a scheme
2069:{\displaystyle d^{i}:B^{\otimes n}\to B^{\otimes {n+1}}}
4875:
668:
3076:{\displaystyle M\otimes B\to N,\,x\otimes a\mapsto xa}
4829:
4746:
4620:
4600:
4564:
4531:
4498:
4474:
4437:
4270:
4218:
4166:
4142:
4089:
4027:
3991:
3864:
3828:
3795:
3768:
3722:
3685:
3645:
3587:
3558:
3122:
3093:
3035:
2940:
2917:
2897:
2877:
2857:
2767:
2754:{\displaystyle \varphi \otimes _{d^{1}}B^{\otimes 3}}
2717:
2615:
2582:
2562:
2532:
2495:
2457:
2427:
2369:
2281:
2254:
2142:
2115:
2085:
2015:
1986:
1951:
1869:
1813:
1762:
1732:
1712:
1692:
1667:
1647:
1569:
1434:
1356:
1267:
1178:
1097:
1041:
968:
938:
887:
848:
822:
783:
763:
743:
723:
693:
573:
533:
485:
458:
438:
418:
386:
291:
271:
211:
161:
138:
118:
94:
60:
4706:
and the faithfully flat descent in the affine case.
4676:-point of the prestack is a quasi-coherent sheaf on
3087:
The key point is that this map is an isomorphism if
4843:
4812:
4644:
4606:
4582:
4550:
4517:
4484:
4456:
4420:
4256:
4204:
4148:
4128:
4075:
4013:
3977:
3850:
3814:
3781:
3750:
3691:
3663:
3625:{\displaystyle M\mapsto (M\otimes _{A}B,\varphi )}
3624:
3570:
3542:The forgoing can be summarized simply as follows:
3508:
3105:
3075:
3014:
2923:
2903:
2883:
2863:
2839:
2753:
2700:
2598:
2568:
2544:
2508:
2481:
2443:
2414:{\displaystyle -\otimes _{d^{i}}B^{\otimes {n+1}}}
2413:
2355:
2267:
2240:
2128:
2097:
2068:
1998:
1969:
1934:
1852:
1799:
1748:
1718:
1698:
1676:
1653:
1633:
1555:
1417:
1341:
1252:
1161:
1080:
1024:
954:
924:
873:
834:
808:
769:
749:
729:
705:
636:
559:
515:
471:
444:
424:
404:
372:
277:
257:
193:
144:
124:
100:
72:
4014:{\displaystyle \varphi _{ii}=\operatorname {id} }
5075:, Modern Birkhäuser Classics, pp. 111–195,
5071:Deligne, P. (2007), "Catégories tannakiennes",
874:{\displaystyle M\hookrightarrow M\otimes _{A}B}
39:A faithfully flat descent is a special case of
5102:Mémoires de la Société Mathématique de France
8:
4136:, then exists a unique quasi-coherent sheaf
1923:
1876:
962:-modules that is induced by the isomorphism
5143:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
4709:Here "quasi-compact" cannot be eliminated.
4684:
3546:
2520:
5010:
4974:
4962:
3552:Given a faithfully flat ring homomorphism
1032:and that satisfies the cocycle condition:
842:is faithfully flat, we have the inclusion
5178:
5113:
5029:. American Mathematical Soc. p. 82.
4833:
4828:
4782:
4770:
4754:
4745:
4619:
4599:
4563:
4533:
4532:
4530:
4506:
4505:
4497:
4476:
4475:
4473:
4439:
4438:
4436:
4410:
4397:
4392:
4387:
4380:
4365:
4351:
4343:
4330:
4325:
4320:
4313:
4298:
4285:
4280:
4275:
4269:
4248:
4233:
4228:
4223:
4217:
4196:
4181:
4176:
4171:
4165:
4141:
4129:{\displaystyle U_{i}\cap U_{j}\cap U_{k}}
4120:
4107:
4094:
4088:
4064:
4048:
4032:
4026:
3996:
3990:
3967:
3954:
3949:
3944:
3937:
3923:
3915:
3902:
3897:
3892:
3885:
3869:
3863:
3842:
3827:
3800:
3794:
3773:
3767:
3724:
3723:
3721:
3684:
3644:
3604:
3586:
3557:
3493:
3481:
3468:
3463:
3445:
3432:
3422:
3411:
3399:
3394:
3356:
3340:
3328:
3315:
3310:
3287:
3256:
3243:
3231:
3226:
3208:
3189:
3179:
3168:
3144:
3123:
3121:
3092:
3054:
3034:
3003:
2991:
2986:
2964:
2945:
2939:
2916:
2896:
2876:
2856:
2828:
2816:
2811:
2792:
2780:
2775:
2766:
2742:
2730:
2725:
2716:
2689:
2677:
2672:
2655:
2646:
2634:
2629:
2614:
2587:
2581:
2561:
2531:
2500:
2494:
2466:
2462:
2456:
2432:
2426:
2398:
2394:
2382:
2377:
2368:
2340:
2336:
2314:
2286:
2280:
2259:
2253:
2225:
2221:
2205:
2195:
2176:
2166:
2147:
2141:
2120:
2114:
2084:
2053:
2049:
2033:
2020:
2014:
1985:
1950:
1888:
1868:
1844:
1831:
1818:
1812:
1778:
1761:
1737:
1731:
1711:
1691:
1666:
1646:
1622:
1602:
1593:
1574:
1568:
1547:
1534:
1509:
1496:
1480:
1461:
1439:
1433:
1361:
1355:
1306:
1272:
1266:
1217:
1183:
1177:
1150:
1130:
1121:
1102:
1096:
1072:
1059:
1046:
1040:
989:
973:
967:
943:
937:
903:
886:
862:
847:
821:
797:
782:
762:
742:
722:
692:
619:
614:
598:
593:
572:
551:
538:
532:
501:
496:
484:
463:
457:
437:
417:
385:
355:
350:
325:
314:
290:
270:
243:
238:
222:
210:
185:
166:
160:
137:
117:
93:
59:
4558:denote the category consisting of pairs
637:{\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}
405:{\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}
5192:(a detailed discussion of a 2-category)
5073:The Grothendieck Festschrift, Volume II
4986:
4940:
88:is to give a module or an algebra over
4590:consisting of a (Zariski)-open subset
4257:{\displaystyle F|_{U_{j}}\simeq F_{j}}
4205:{\displaystyle F|_{U_{i}}\simeq F_{i}}
2711:that satisfies the cocycle condition:
5196:Vistoli, Angelo (September 2, 2008).
4594:and a quasi-coherent sheaf on it and
112:the objects (or even statements) on
7:
5213:Introduction to affine group schemes
4518:{\displaystyle p:{\mathcal {C}}\to }
3751:{\displaystyle {\mathcal {Q}}coh(X)}
881:. Moreover, we have the isomorphism
5189:10.1023/B:APCS.0000049317.24861.36
4656:Descent for quasi-coherent sheaves
3639:-modules to the category of pairs
3519:where the top row is exact by the
194:{\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}}
14:
5100:(1964), "MĂ©thode de la descent",
4998:
4551:{\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}
4457:{\displaystyle {\mathcal {Q}}coh}
2489:is given the module structure by
2482:{\displaystyle B^{\otimes {n+1}}}
715:faithfully flat ring homomorphism
155:For example, given some elements
53:faithfully flat ring homomorphism
16:Technique from algebraic geometry
4862:
809:{\displaystyle N=M\otimes _{A}B}
655:
412:and so descending a module from
4694:is a stack with respect to the
3851:{\displaystyle X=\bigcup U_{i}}
3386:
3299:
3160:
2761:is the same as the composition
2079:for the map given by inserting
152:provided some additional data.
5167:Applied Categorical Structures
4804:
4798:
4792:
4729:. Then, for each vector space
4645:{\displaystyle (U,F)\mapsto U}
4636:
4633:
4621:
4577:
4565:
4512:
4485:{\displaystyle {\mathcal {C}}}
4388:
4354:
4321:
4276:
4224:
4172:
3945:
3925:
3893:
3815:{\displaystyle U_{i}\subset X}
3745:
3739:
3658:
3646:
3619:
3594:
3591:
3562:
3381:
3371:
3300:
3293:
3271:
3155:
3132:
3097:
3064:
3045:
2976:
2657:
2552:, a descent datum on a module
2536:
2329:
2185:
2089:
2042:
1990:
1908:
1896:
1889:
1780:
1604:
1486:
1454:
1451:
1445:
1406:
1394:
1385:
1367:
1336:
1324:
1318:
1312:
1296:
1278:
1247:
1235:
1229:
1223:
1207:
1189:
1132:
1010:
905:
852:
826:
697:
631:
628:
586:
580:
510:
489:
399:
393:
367:
364:
343:
337:
304:
298:
252:
231:
64:
1:
5141:Graduate Texts in Mathematics
2599:{\displaystyle B^{\otimes 2}}
2444:{\displaystyle B^{\otimes n}}
1749:{\displaystyle B^{\otimes 2}}
955:{\displaystyle B^{\otimes 2}}
258:{\displaystyle B=\prod _{i}A}
201:generating the unit ideal of
3664:{\displaystyle (N,\varphi )}
1970:{\displaystyle M\otimes B=N}
5081:10.1007/978-0-8176-4575-5_3
4212:in a compatible way (i.e.,
567:are identified on overlaps
560:{\displaystyle M_{i},M_{j}}
5275:
5023:Fantechi, Barbara (2005).
4492:equipped with the functor
3531:and the bottom row is the
2526:Given a ring homomorphism
1860:, an invariant submodule:
452:would mean gluing modules
5225:10.1007/978-1-4612-6217-6
5001:, Exposé VIII, Lemme 1.6.
3699:on it is an equivalence.
3026:Consider the natural map
41:Beck's monadicity theorem
4948:Deligne, Pierre (1990),
3692:{\displaystyle \varphi }
2904:{\displaystyle \varphi }
1654:{\displaystyle \varphi }
1563:. Note the isomorphisms
265:is faithfully flat over
28:faithfully flat morphism
4713:Example: a vector space
1641:are determined only by
20:Faithfully flat descent
4845:
4814:
4723:Galois field extension
4646:
4614:the forgetful functor
4608:
4584:
4552:
4519:
4486:
4458:
4422:
4258:
4206:
4150:
4130:
4077:
4015:
3979:
3852:
3816:
3783:
3752:
3693:
3665:
3626:
3572:
3571:{\displaystyle A\to B}
3510:
3107:
3106:{\displaystyle A\to B}
3077:
3016:
2925:
2905:
2885:
2865:
2841:
2755:
2702:
2600:
2570:
2546:
2545:{\displaystyle A\to B}
2510:
2483:
2445:
2415:
2357:
2269:
2242:
2130:
2099:
2098:{\displaystyle A\to B}
2070:
2000:
1999:{\displaystyle A\to B}
1971:
1936:
1854:
1801:
1750:
1720:
1700:
1678:
1655:
1635:
1557:
1419:
1343:
1254:
1163:
1082:
1026:
956:
926:
875:
836:
835:{\displaystyle A\to B}
810:
771:
751:
731:
707:
706:{\displaystyle A\to B}
638:
561:
517:
473:
446:
426:
406:
374:
330:
279:
259:
195:
146:
126:
102:
74:
73:{\displaystyle A\to B}
4846:
4815:
4647:
4609:
4585:
4583:{\displaystyle (U,F)}
4553:
4520:
4487:
4459:
4423:
4259:
4207:
4151:
4131:
4078:
4016:
3980:
3853:
3817:
3784:
3782:{\displaystyle F_{i}}
3753:
3694:
3666:
3635:from the category of
3627:
3573:
3511:
3108:
3078:
3017:
2926:
2906:
2891:with a descent datum
2886:
2866:
2842:
2756:
2703:
2601:
2571:
2547:
2511:
2509:{\displaystyle d^{i}}
2484:
2446:
2416:
2363:, etc. We also write
2358:
2270:
2268:{\displaystyle d^{1}}
2243:
2131:
2129:{\displaystyle d^{0}}
2100:
2071:
2001:
1972:
1937:
1855:
1802:
1751:
1721:
1701:
1679:
1656:
1636:
1558:
1420:
1344:
1255:
1164:
1083:
1027:
957:
927:
876:
837:
811:
772:
752:
732:
708:
639:
562:
518:
474:
472:{\displaystyle M_{i}}
447:
427:
407:
375:
310:
280:
260:
196:
147:
127:
103:
75:
4827:
4744:
4664:means that, for any
4618:
4598:
4562:
4529:
4496:
4472:
4435:
4268:
4216:
4164:
4140:
4087:
4025:
3989:
3862:
3826:
3793:
3766:
3720:
3683:
3679:and a descent datum
3643:
3585:
3556:
3120:
3091:
3033:
2938:
2931:to be the kernel of
2915:
2895:
2875:
2855:
2765:
2715:
2613:
2606:-module isomorphism
2580:
2560:
2530:
2493:
2455:
2425:
2367:
2279:
2252:
2140:
2113:
2083:
2013:
1984:
1949:
1867:
1811:
1760:
1756:-module isomorphism
1730:
1710:
1690:
1665:
1645:
1567:
1432:
1354:
1265:
1176:
1095:
1039:
966:
936:
885:
846:
820:
781:
761:
741:
721:
691:
571:
531:
483:
456:
436:
416:
384:
380:is an open cover of
289:
269:
209:
159:
136:
116:
92:
58:
22:is a technique from
5209:Waterhouse, William
4844:{\displaystyle F/k}
4688: —
4468:; i.e., a category
3550: —
3451:
3214:
2524: —
2421:for tensoring over
1661:and do not involve
627:
606:
523:to get a module on
509:
363:
251:
5259:Algebraic geometry
5136:Algebraic Geometry
4874:. You can help by
4841:
4810:
4775:
4686:
4642:
4604:
4580:
4548:
4515:
4482:
4454:
4418:
4360:
4254:
4202:
4146:
4126:
4073:
4011:
3975:
3848:
3812:
3779:
3748:
3689:
3661:
3622:
3568:
3548:
3506:
3504:
3103:
3073:
3012:
2921:
2901:
2881:
2861:
2837:
2751:
2698:
2596:
2566:
2542:
2522:
2506:
2479:
2441:
2411:
2353:
2265:
2238:
2126:
2095:
2066:
1996:
1967:
1932:
1850:
1797:
1746:
1716:
1696:
1677:{\displaystyle M.}
1674:
1651:
1631:
1553:
1415:
1339:
1250:
1159:
1078:
1022:
952:
922:
871:
832:
806:
767:
747:
727:
703:
667:. You can help by
634:
610:
589:
557:
513:
492:
469:
442:
422:
402:
370:
346:
275:
255:
234:
227:
191:
142:
122:
98:
70:
24:algebraic geometry
5234:978-0-387-90421-4
5150:978-0-387-90244-9
5131:Hartshorne, Robin
5090:978-0-8176-4567-0
4892:
4891:
4855:Specific descents
4766:
4607:{\displaystyle p}
4374:
4353:
4149:{\displaystyle F}
3931:
3858:and isomorphisms
3452:
3215:
2924:{\displaystyle M}
2884:{\displaystyle N}
2864:{\displaystyle B}
2663:
2569:{\displaystyle B}
1786:
1719:{\displaystyle N}
1699:{\displaystyle B}
1610:
1138:
911:
770:{\displaystyle B}
750:{\displaystyle M}
730:{\displaystyle A}
685:
684:
516:{\displaystyle A}
445:{\displaystyle A}
425:{\displaystyle B}
285:. Geometrically,
278:{\displaystyle A}
218:
145:{\displaystyle A}
125:{\displaystyle B}
101:{\displaystyle B}
5266:
5245:
5204:
5202:
5191:
5182:
5173:(5–6): 537–576,
5161:
5126:
5117:
5093:
5067:
5048:
5047:
5045:
5043:
5020:
5014:
5008:
5002:
4996:
4990:
4984:
4978:
4972:
4966:
4960:
4954:
4953:
4945:
4887:
4884:
4866:
4859:
4850:
4848:
4847:
4842:
4837:
4819:
4817:
4816:
4811:
4774:
4759:
4758:
4689:
4651:
4649:
4648:
4643:
4613:
4611:
4610:
4605:
4589:
4587:
4586:
4581:
4557:
4555:
4554:
4549:
4538:
4537:
4524:
4522:
4521:
4516:
4511:
4510:
4491:
4489:
4488:
4483:
4481:
4480:
4463:
4461:
4460:
4455:
4444:
4443:
4427:
4425:
4424:
4419:
4417:
4416:
4415:
4414:
4402:
4401:
4391:
4385:
4384:
4375:
4373:
4372:
4352:
4350:
4349:
4348:
4347:
4335:
4334:
4324:
4318:
4317:
4305:
4304:
4303:
4302:
4290:
4289:
4279:
4263:
4261:
4260:
4255:
4253:
4252:
4240:
4239:
4238:
4237:
4227:
4211:
4209:
4208:
4203:
4201:
4200:
4188:
4187:
4186:
4185:
4175:
4155:
4153:
4152:
4147:
4135:
4133:
4132:
4127:
4125:
4124:
4112:
4111:
4099:
4098:
4082:
4080:
4079:
4074:
4072:
4071:
4056:
4055:
4040:
4039:
4020:
4018:
4017:
4012:
4004:
4003:
3984:
3982:
3981:
3976:
3974:
3973:
3972:
3971:
3959:
3958:
3948:
3942:
3941:
3932:
3924:
3922:
3921:
3920:
3919:
3907:
3906:
3896:
3890:
3889:
3877:
3876:
3857:
3855:
3854:
3849:
3847:
3846:
3821:
3819:
3818:
3813:
3805:
3804:
3789:on open subsets
3788:
3786:
3785:
3780:
3778:
3777:
3757:
3755:
3754:
3749:
3729:
3728:
3716:In details, let
3698:
3696:
3695:
3690:
3671:consisting of a
3670:
3668:
3667:
3662:
3631:
3629:
3628:
3623:
3609:
3608:
3577:
3575:
3574:
3569:
3551:
3515:
3513:
3512:
3507:
3505:
3501:
3500:
3488:
3487:
3486:
3485:
3473:
3472:
3453:
3450:
3449:
3437:
3436:
3423:
3419:
3418:
3406:
3405:
3404:
3403:
3361:
3360:
3348:
3347:
3335:
3334:
3333:
3332:
3320:
3319:
3297:
3292:
3291:
3275:
3269:
3268:
3261:
3260:
3251:
3250:
3238:
3237:
3236:
3235:
3216:
3213:
3212:
3194:
3193:
3180:
3173:
3172:
3149:
3148:
3112:
3110:
3109:
3104:
3082:
3080:
3079:
3074:
3021:
3019:
3018:
3013:
3011:
3010:
2998:
2997:
2996:
2995:
2969:
2968:
2950:
2949:
2930:
2928:
2927:
2922:
2910:
2908:
2907:
2902:
2890:
2888:
2887:
2882:
2870:
2868:
2867:
2862:
2846:
2844:
2843:
2838:
2836:
2835:
2823:
2822:
2821:
2820:
2800:
2799:
2787:
2786:
2785:
2784:
2760:
2758:
2757:
2752:
2750:
2749:
2737:
2736:
2735:
2734:
2707:
2705:
2704:
2699:
2697:
2696:
2684:
2683:
2682:
2681:
2664:
2656:
2654:
2653:
2641:
2640:
2639:
2638:
2605:
2603:
2602:
2597:
2595:
2594:
2575:
2573:
2572:
2567:
2551:
2549:
2548:
2543:
2525:
2515:
2513:
2512:
2507:
2505:
2504:
2488:
2486:
2485:
2480:
2478:
2477:
2476:
2450:
2448:
2447:
2442:
2440:
2439:
2420:
2418:
2417:
2412:
2410:
2409:
2408:
2389:
2388:
2387:
2386:
2362:
2360:
2359:
2354:
2352:
2351:
2350:
2328:
2327:
2294:
2293:
2274:
2272:
2271:
2266:
2264:
2263:
2247:
2245:
2244:
2239:
2237:
2236:
2235:
2213:
2212:
2200:
2199:
2184:
2183:
2171:
2170:
2155:
2154:
2135:
2133:
2132:
2127:
2125:
2124:
2109:-th spot; i.e.,
2104:
2102:
2101:
2096:
2075:
2073:
2072:
2067:
2065:
2064:
2063:
2041:
2040:
2025:
2024:
2005:
2003:
2002:
1997:
1976:
1974:
1973:
1968:
1941:
1939:
1938:
1933:
1892:
1859:
1857:
1856:
1851:
1849:
1848:
1836:
1835:
1823:
1822:
1806:
1804:
1803:
1798:
1787:
1779:
1755:
1753:
1752:
1747:
1745:
1744:
1725:
1723:
1722:
1717:
1705:
1703:
1702:
1697:
1683:
1681:
1680:
1675:
1660:
1658:
1657:
1652:
1640:
1638:
1637:
1632:
1630:
1629:
1611:
1603:
1601:
1600:
1579:
1578:
1562:
1560:
1559:
1554:
1552:
1551:
1539:
1538:
1520:
1519:
1501:
1500:
1485:
1484:
1466:
1465:
1444:
1443:
1424:
1422:
1421:
1416:
1366:
1365:
1348:
1346:
1345:
1340:
1311:
1310:
1277:
1276:
1259:
1257:
1256:
1251:
1222:
1221:
1188:
1187:
1168:
1166:
1165:
1160:
1158:
1157:
1139:
1131:
1129:
1128:
1107:
1106:
1087:
1085:
1084:
1079:
1077:
1076:
1064:
1063:
1051:
1050:
1031:
1029:
1028:
1023:
997:
996:
981:
980:
961:
959:
958:
953:
951:
950:
931:
929:
928:
923:
912:
904:
880:
878:
877:
872:
867:
866:
841:
839:
838:
833:
815:
813:
812:
807:
802:
801:
776:
774:
773:
768:
756:
754:
753:
748:
736:
734:
733:
728:
712:
710:
709:
704:
680:
677:
659:
652:
643:
641:
640:
635:
626:
618:
605:
597:
566:
564:
563:
558:
556:
555:
543:
542:
522:
520:
519:
514:
508:
500:
478:
476:
475:
470:
468:
467:
451:
449:
448:
443:
431:
429:
428:
423:
411:
409:
408:
403:
379:
377:
376:
371:
362:
354:
329:
324:
284:
282:
281:
276:
264:
262:
261:
256:
250:
242:
226:
200:
198:
197:
192:
190:
189:
171:
170:
151:
149:
148:
143:
131:
129:
128:
123:
107:
105:
104:
99:
79:
77:
76:
71:
5274:
5273:
5269:
5268:
5267:
5265:
5264:
5263:
5249:
5248:
5235:
5217:Springer-Verlag
5207:
5200:
5195:
5164:
5151:
5129:
5115:10.24033/msmf.2
5096:
5091:
5070:
5060:
5057:
5052:
5051:
5041:
5039:
5037:
5022:
5021:
5017:
5011:Hartshorne 1977
5009:
5005:
4997:
4993:
4985:
4981:
4975:Waterhouse 1979
4973:
4969:
4963:Waterhouse 1979
4961:
4957:
4947:
4946:
4942:
4937:
4919:Amitsur complex
4915:
4910:
4902:
4897:
4888:
4882:
4879:
4872:needs expansion
4857:
4825:
4824:
4750:
4742:
4741:
4715:
4704:Zariski descent
4702:The proof uses
4700:
4687:
4658:
4616:
4615:
4596:
4595:
4560:
4559:
4527:
4526:
4494:
4493:
4470:
4469:
4433:
4432:
4406:
4393:
4386:
4376:
4361:
4339:
4326:
4319:
4309:
4294:
4281:
4274:
4266:
4265:
4244:
4229:
4222:
4214:
4213:
4192:
4177:
4170:
4162:
4161:
4138:
4137:
4116:
4103:
4090:
4085:
4084:
4060:
4044:
4028:
4023:
4022:
3992:
3987:
3986:
3963:
3950:
3943:
3933:
3911:
3898:
3891:
3881:
3865:
3860:
3859:
3838:
3824:
3823:
3796:
3791:
3790:
3769:
3764:
3763:
3718:
3717:
3710:Zariski descent
3706:
3704:Zariski descent
3701:
3681:
3680:
3641:
3640:
3600:
3583:
3582:
3554:
3553:
3549:
3533:Amitsur complex
3503:
3502:
3489:
3477:
3464:
3459:
3454:
3441:
3428:
3420:
3407:
3395:
3390:
3384:
3379:
3374:
3369:
3363:
3362:
3352:
3336:
3324:
3311:
3306:
3296:
3283:
3274:
3266:
3265:
3252:
3239:
3227:
3222:
3217:
3204:
3185:
3177:
3164:
3158:
3153:
3140:
3135:
3130:
3118:
3117:
3089:
3088:
3031:
3030:
2999:
2987:
2982:
2960:
2941:
2936:
2935:
2913:
2912:
2893:
2892:
2873:
2872:
2853:
2852:
2849:
2824:
2812:
2807:
2788:
2776:
2771:
2763:
2762:
2738:
2726:
2721:
2713:
2712:
2685:
2673:
2668:
2642:
2630:
2625:
2611:
2610:
2583:
2578:
2577:
2558:
2557:
2528:
2527:
2523:
2496:
2491:
2490:
2458:
2453:
2452:
2428:
2423:
2422:
2390:
2378:
2373:
2365:
2364:
2332:
2310:
2282:
2277:
2276:
2255:
2250:
2249:
2217:
2201:
2191:
2172:
2162:
2143:
2138:
2137:
2116:
2111:
2110:
2081:
2080:
2045:
2029:
2016:
2011:
2010:
1982:
1981:
1947:
1946:
1865:
1864:
1840:
1827:
1814:
1809:
1808:
1758:
1757:
1733:
1728:
1727:
1708:
1707:
1688:
1687:
1663:
1662:
1643:
1642:
1618:
1589:
1570:
1565:
1564:
1543:
1530:
1505:
1492:
1476:
1457:
1435:
1430:
1429:
1357:
1352:
1351:
1302:
1268:
1263:
1262:
1213:
1179:
1174:
1173:
1146:
1117:
1098:
1093:
1092:
1068:
1055:
1042:
1037:
1036:
985:
969:
964:
963:
939:
934:
933:
883:
882:
858:
844:
843:
818:
817:
793:
779:
778:
759:
758:
739:
738:
719:
718:
689:
688:
681:
675:
672:
665:needs expansion
650:
569:
568:
547:
534:
529:
528:
481:
480:
459:
454:
453:
434:
433:
414:
413:
382:
381:
287:
286:
267:
266:
207:
206:
181:
162:
157:
156:
134:
133:
114:
113:
90:
89:
56:
55:
49:
17:
12:
11:
5:
5272:
5270:
5262:
5261:
5251:
5250:
5247:
5246:
5233:
5205:
5193:
5162:
5149:
5127:
5094:
5089:
5068:
5056:
5053:
5050:
5049:
5035:
5015:
5003:
4991:
4979:
4967:
4955:
4939:
4938:
4936:
4933:
4932:
4931:
4926:
4924:Hilbert scheme
4921:
4914:
4911:
4909:
4908:Galois descent
4906:
4901:
4898:
4896:
4893:
4890:
4889:
4869:
4867:
4856:
4853:
4840:
4836:
4832:
4821:
4820:
4809:
4806:
4803:
4800:
4797:
4794:
4791:
4788:
4785:
4781:
4778:
4773:
4769:
4765:
4762:
4757:
4753:
4749:
4714:
4711:
4682:
4657:
4654:
4641:
4638:
4635:
4632:
4629:
4626:
4623:
4603:
4579:
4576:
4573:
4570:
4567:
4547:
4544:
4541:
4536:
4514:
4509:
4504:
4501:
4479:
4453:
4450:
4447:
4442:
4413:
4409:
4405:
4400:
4396:
4390:
4383:
4379:
4371:
4368:
4364:
4359:
4356:
4346:
4342:
4338:
4333:
4329:
4323:
4316:
4312:
4308:
4301:
4297:
4293:
4288:
4284:
4278:
4273:
4251:
4247:
4243:
4236:
4232:
4226:
4221:
4199:
4195:
4191:
4184:
4180:
4174:
4169:
4145:
4123:
4119:
4115:
4110:
4106:
4102:
4097:
4093:
4070:
4067:
4063:
4059:
4054:
4051:
4047:
4043:
4038:
4035:
4031:
4010:
4007:
4002:
3999:
3995:
3985:such that (1)
3970:
3966:
3962:
3957:
3953:
3947:
3940:
3936:
3930:
3927:
3918:
3914:
3910:
3905:
3901:
3895:
3888:
3884:
3880:
3875:
3872:
3868:
3845:
3841:
3837:
3834:
3831:
3811:
3808:
3803:
3799:
3776:
3772:
3747:
3744:
3741:
3738:
3735:
3732:
3727:
3705:
3702:
3688:
3660:
3657:
3654:
3651:
3648:
3633:
3632:
3621:
3618:
3615:
3612:
3607:
3603:
3599:
3596:
3593:
3590:
3578:, the functor
3567:
3564:
3561:
3544:
3517:
3516:
3499:
3496:
3492:
3484:
3480:
3476:
3471:
3467:
3462:
3458:
3455:
3448:
3444:
3440:
3435:
3431:
3426:
3421:
3417:
3414:
3410:
3402:
3398:
3393:
3389:
3385:
3383:
3380:
3378:
3375:
3373:
3370:
3368:
3365:
3364:
3359:
3355:
3351:
3346:
3343:
3339:
3331:
3327:
3323:
3318:
3314:
3309:
3305:
3302:
3298:
3295:
3290:
3286:
3282:
3279:
3276:
3273:
3270:
3267:
3264:
3259:
3255:
3249:
3246:
3242:
3234:
3230:
3225:
3221:
3218:
3211:
3207:
3203:
3200:
3197:
3192:
3188:
3183:
3178:
3176:
3171:
3167:
3163:
3159:
3157:
3154:
3152:
3147:
3143:
3139:
3136:
3134:
3131:
3129:
3126:
3125:
3102:
3099:
3096:
3085:
3084:
3072:
3069:
3066:
3063:
3060:
3057:
3053:
3050:
3047:
3044:
3041:
3038:
3024:
3023:
3009:
3006:
3002:
2994:
2990:
2985:
2981:
2978:
2975:
2972:
2967:
2963:
2959:
2956:
2953:
2948:
2944:
2920:
2900:
2880:
2860:
2834:
2831:
2827:
2819:
2815:
2810:
2806:
2803:
2798:
2795:
2791:
2783:
2779:
2774:
2770:
2748:
2745:
2741:
2733:
2729:
2724:
2720:
2709:
2708:
2695:
2692:
2688:
2680:
2676:
2671:
2667:
2662:
2659:
2652:
2649:
2645:
2637:
2633:
2628:
2624:
2621:
2618:
2593:
2590:
2586:
2565:
2541:
2538:
2535:
2518:
2503:
2499:
2475:
2472:
2469:
2465:
2461:
2438:
2435:
2431:
2407:
2404:
2401:
2397:
2393:
2385:
2381:
2376:
2372:
2349:
2346:
2343:
2339:
2335:
2331:
2326:
2323:
2320:
2317:
2313:
2309:
2306:
2303:
2300:
2297:
2292:
2289:
2285:
2262:
2258:
2234:
2231:
2228:
2224:
2220:
2216:
2211:
2208:
2204:
2198:
2194:
2190:
2187:
2182:
2179:
2175:
2169:
2165:
2161:
2158:
2153:
2150:
2146:
2123:
2119:
2094:
2091:
2088:
2077:
2076:
2062:
2059:
2056:
2052:
2048:
2044:
2039:
2036:
2032:
2028:
2023:
2019:
1995:
1992:
1989:
1966:
1963:
1960:
1957:
1954:
1943:
1942:
1931:
1928:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1907:
1904:
1901:
1898:
1895:
1891:
1887:
1884:
1881:
1878:
1875:
1872:
1847:
1843:
1839:
1834:
1830:
1826:
1821:
1817:
1796:
1793:
1790:
1785:
1782:
1777:
1774:
1771:
1768:
1765:
1743:
1740:
1736:
1715:
1695:
1673:
1670:
1650:
1628:
1625:
1621:
1617:
1614:
1609:
1606:
1599:
1596:
1592:
1588:
1585:
1582:
1577:
1573:
1550:
1546:
1542:
1537:
1533:
1529:
1526:
1523:
1518:
1515:
1512:
1508:
1504:
1499:
1495:
1491:
1488:
1483:
1479:
1475:
1472:
1469:
1464:
1460:
1456:
1453:
1450:
1447:
1442:
1438:
1426:
1425:
1414:
1411:
1408:
1405:
1402:
1399:
1396:
1393:
1390:
1387:
1384:
1381:
1378:
1375:
1372:
1369:
1364:
1360:
1349:
1338:
1335:
1332:
1329:
1326:
1323:
1320:
1317:
1314:
1309:
1305:
1301:
1298:
1295:
1292:
1289:
1286:
1283:
1280:
1275:
1271:
1260:
1249:
1246:
1243:
1240:
1237:
1234:
1231:
1228:
1225:
1220:
1216:
1212:
1209:
1206:
1203:
1200:
1197:
1194:
1191:
1186:
1182:
1169:are given as:
1156:
1153:
1149:
1145:
1142:
1137:
1134:
1127:
1124:
1120:
1116:
1113:
1110:
1105:
1101:
1089:
1088:
1075:
1071:
1067:
1062:
1058:
1054:
1049:
1045:
1021:
1018:
1015:
1012:
1009:
1006:
1003:
1000:
995:
992:
988:
984:
979:
976:
972:
949:
946:
942:
921:
918:
915:
910:
907:
902:
899:
896:
893:
890:
870:
865:
861:
857:
854:
851:
831:
828:
825:
805:
800:
796:
792:
789:
786:
766:
746:
726:
702:
699:
696:
683:
682:
662:
660:
649:
646:
633:
630:
625:
622:
617:
613:
609:
604:
601:
596:
592:
588:
585:
582:
579:
576:
554:
550:
546:
541:
537:
512:
507:
504:
499:
495:
491:
488:
466:
462:
441:
421:
401:
398:
395:
392:
389:
369:
366:
361:
358:
353:
349:
345:
342:
339:
336:
333:
328:
323:
320:
317:
313:
309:
306:
303:
300:
297:
294:
274:
254:
249:
246:
241:
237:
233:
230:
225:
221:
217:
214:
188:
184:
180:
177:
174:
169:
165:
141:
121:
97:
69:
66:
63:
48:
45:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
5271:
5260:
5257:
5256:
5254:
5244:
5240:
5236:
5230:
5226:
5222:
5218:
5214:
5210:
5206:
5199:
5194:
5190:
5186:
5181:
5176:
5172:
5168:
5163:
5160:
5156:
5152:
5146:
5142:
5138:
5137:
5132:
5128:
5125:
5121:
5116:
5111:
5107:
5103:
5099:
5095:
5092:
5086:
5082:
5078:
5074:
5069:
5066:
5064:
5059:
5058:
5054:
5038:
5036:9780821842454
5032:
5028:
5027:
5019:
5016:
5012:
5007:
5004:
5000:
4995:
4992:
4988:
4983:
4980:
4976:
4971:
4968:
4964:
4959:
4956:
4951:
4944:
4941:
4934:
4930:
4927:
4925:
4922:
4920:
4917:
4916:
4912:
4907:
4905:
4900:Étale descent
4899:
4894:
4886:
4877:
4873:
4870:This section
4868:
4865:
4861:
4860:
4854:
4852:
4838:
4834:
4830:
4807:
4801:
4795:
4789:
4786:
4783:
4779:
4776:
4771:
4767:
4763:
4760:
4755:
4751:
4747:
4740:
4739:
4738:
4736:
4732:
4728:
4724:
4720:
4712:
4710:
4707:
4705:
4699:
4697:
4696:fpqc topology
4693:
4681:
4679:
4675:
4671:
4667:
4663:
4655:
4653:
4639:
4630:
4627:
4624:
4601:
4593:
4574:
4571:
4568:
4545:
4542:
4539:
4502:
4499:
4467:
4451:
4448:
4445:
4429:
4411:
4407:
4403:
4398:
4394:
4381:
4377:
4369:
4366:
4362:
4357:
4344:
4340:
4336:
4331:
4327:
4314:
4310:
4306:
4299:
4295:
4291:
4286:
4282:
4271:
4264:restricts to
4249:
4245:
4241:
4234:
4230:
4219:
4197:
4193:
4189:
4182:
4178:
4167:
4159:
4143:
4121:
4117:
4113:
4108:
4104:
4100:
4095:
4091:
4068:
4065:
4061:
4057:
4052:
4049:
4045:
4041:
4036:
4033:
4029:
4008:
4005:
4000:
3997:
3993:
3968:
3964:
3960:
3955:
3951:
3938:
3934:
3928:
3916:
3912:
3908:
3903:
3899:
3886:
3882:
3878:
3873:
3870:
3866:
3843:
3839:
3835:
3832:
3829:
3809:
3806:
3801:
3797:
3774:
3770:
3761:
3742:
3736:
3733:
3730:
3714:
3711:
3703:
3700:
3686:
3678:
3674:
3655:
3652:
3649:
3638:
3616:
3613:
3610:
3605:
3601:
3597:
3588:
3581:
3580:
3579:
3565:
3559:
3543:
3540:
3538:
3534:
3530:
3526:
3522:
3497:
3494:
3490:
3482:
3478:
3474:
3469:
3465:
3460:
3456:
3446:
3442:
3438:
3433:
3429:
3424:
3415:
3412:
3408:
3400:
3396:
3391:
3387:
3376:
3366:
3357:
3353:
3349:
3344:
3341:
3337:
3329:
3325:
3321:
3316:
3312:
3307:
3303:
3288:
3284:
3280:
3277:
3262:
3257:
3253:
3247:
3244:
3240:
3232:
3228:
3223:
3219:
3209:
3205:
3201:
3198:
3195:
3190:
3186:
3181:
3174:
3169:
3165:
3161:
3150:
3145:
3141:
3137:
3127:
3116:
3115:
3114:
3100:
3094:
3070:
3067:
3061:
3058:
3055:
3051:
3048:
3042:
3039:
3036:
3029:
3028:
3027:
3007:
3004:
3000:
2992:
2988:
2983:
2979:
2973:
2970:
2965:
2961:
2957:
2954:
2951:
2946:
2942:
2934:
2933:
2932:
2918:
2898:
2878:
2858:
2851:Now, given a
2848:
2832:
2829:
2825:
2817:
2813:
2808:
2804:
2801:
2796:
2793:
2789:
2781:
2777:
2772:
2768:
2746:
2743:
2739:
2731:
2727:
2722:
2718:
2693:
2690:
2686:
2678:
2674:
2669:
2665:
2660:
2650:
2647:
2643:
2635:
2631:
2626:
2622:
2619:
2616:
2609:
2608:
2607:
2591:
2588:
2584:
2563:
2555:
2539:
2533:
2521:Descent datum
2517:
2501:
2497:
2473:
2470:
2467:
2463:
2459:
2436:
2433:
2429:
2405:
2402:
2399:
2395:
2391:
2383:
2379:
2374:
2370:
2347:
2344:
2341:
2337:
2333:
2324:
2321:
2318:
2315:
2311:
2307:
2304:
2301:
2298:
2295:
2290:
2287:
2283:
2260:
2256:
2232:
2229:
2226:
2222:
2218:
2214:
2209:
2206:
2202:
2196:
2192:
2188:
2180:
2177:
2173:
2167:
2163:
2159:
2156:
2151:
2148:
2144:
2121:
2117:
2108:
2092:
2086:
2060:
2057:
2054:
2050:
2046:
2037:
2034:
2030:
2026:
2021:
2017:
2009:
2008:
2007:
1993:
1987:
1978:
1964:
1961:
1958:
1955:
1952:
1945:is such that
1929:
1926:
1920:
1917:
1914:
1911:
1905:
1902:
1899:
1893:
1885:
1882:
1879:
1873:
1870:
1863:
1862:
1861:
1845:
1841:
1837:
1832:
1828:
1824:
1819:
1815:
1794:
1791:
1788:
1783:
1775:
1772:
1769:
1766:
1763:
1741:
1738:
1734:
1713:
1693:
1684:
1671:
1668:
1648:
1626:
1623:
1619:
1615:
1612:
1607:
1597:
1594:
1590:
1586:
1583:
1580:
1575:
1571:
1548:
1544:
1540:
1535:
1531:
1527:
1524:
1521:
1516:
1513:
1510:
1506:
1502:
1497:
1493:
1489:
1481:
1477:
1473:
1470:
1467:
1462:
1458:
1448:
1440:
1436:
1412:
1409:
1403:
1400:
1397:
1391:
1388:
1382:
1379:
1376:
1373:
1370:
1362:
1358:
1350:
1333:
1330:
1327:
1321:
1315:
1307:
1303:
1299:
1293:
1290:
1287:
1284:
1281:
1273:
1269:
1261:
1244:
1241:
1238:
1232:
1226:
1218:
1214:
1210:
1204:
1201:
1198:
1195:
1192:
1184:
1180:
1172:
1171:
1170:
1154:
1151:
1147:
1143:
1140:
1135:
1125:
1122:
1118:
1114:
1111:
1108:
1103:
1099:
1073:
1069:
1065:
1060:
1056:
1052:
1047:
1043:
1035:
1034:
1033:
1019:
1016:
1013:
1007:
1004:
1001:
998:
993:
990:
986:
982:
977:
974:
970:
947:
944:
940:
919:
916:
913:
908:
900:
897:
894:
891:
888:
868:
863:
859:
855:
849:
829:
823:
803:
798:
794:
790:
787:
784:
764:
757:, we get the
744:
724:
716:
700:
694:
679:
670:
666:
663:This section
661:
658:
654:
653:
647:
645:
623:
620:
615:
611:
607:
602:
599:
594:
590:
583:
577:
574:
552:
548:
544:
539:
535:
526:
505:
502:
497:
493:
486:
464:
460:
439:
419:
396:
390:
387:
359:
356:
351:
347:
340:
334:
331:
326:
321:
318:
315:
311:
307:
301:
295:
292:
272:
247:
244:
239:
235:
228:
223:
219:
215:
212:
204:
186:
182:
178:
175:
172:
167:
163:
153:
139:
119:
111:
95:
87:
83:
67:
61:
54:
46:
44:
42:
37:
34:
31:
29:
25:
21:
5212:
5180:math/0303175
5170:
5166:
5134:
5105:
5101:
5098:Giraud, Jean
5072:
5061:
5040:. Retrieved
5025:
5018:
5006:
4994:
4987:Vistoli 2008
4982:
4970:
4958:
4949:
4943:
4903:
4895:fpqc descent
4880:
4876:adding to it
4871:
4822:
4734:
4730:
4726:
4721:be a finite
4718:
4716:
4708:
4701:
4691:
4683:
4677:
4673:
4669:
4665:
4661:
4659:
4591:
4430:
4157:
3759:
3715:
3709:
3707:
3676:
3672:
3636:
3634:
3545:
3541:
3536:
3528:
3524:
3518:
3086:
3025:
2850:
2710:
2553:
2519:
2136:is given as
2106:
2078:
2006:, we write:
1979:
1944:
1685:
1427:
1090:
816:and because
686:
673:
669:adding to it
664:
524:
202:
154:
109:
85:
50:
38:
35:
32:
19:
18:
4929:Quot scheme
4725:of a field
3537:commutative
717:. Given an
648:Affine case
5055:References
4883:March 2023
4160:such that
1807:such that
676:March 2023
5108:: 1–150,
4977:, § 17.2.
4965:, § 17.1.
4796:σ
4793:↦
4787:⊗
4772:σ
4768:∏
4764:≃
4752:⊗
4637:↦
4513:→
4404:∩
4363:φ
4358:∼
4355:→
4337:∩
4307:≃
4292:∩
4242:≃
4190:≃
4114:∩
4101:∩
4062:φ
4058:∘
4046:φ
4030:φ
3994:φ
3961:∩
3929:∼
3926:→
3909:∩
3867:φ
3836:⋃
3807:⊂
3687:φ
3656:φ
3617:φ
3602:⊗
3592:↦
3563:→
3495:⊗
3461:⊗
3439:−
3413:⊗
3392:⊗
3382:→
3372:→
3350:∘
3342:⊗
3308:⊗
3304:φ
3301:↓
3294:↓
3281:∘
3278:φ
3272:↓
3254:⊗
3245:⊗
3224:⊗
3202:∘
3199:φ
3196:−
3166:⊗
3156:→
3142:⊗
3133:→
3098:→
3065:↦
3059:⊗
3046:→
3040:⊗
3005:⊗
2984:⊗
2977:→
2958:∘
2955:φ
2952:−
2911:, define
2899:φ
2830:⊗
2809:⊗
2805:φ
2802:∘
2794:⊗
2773:⊗
2769:φ
2744:⊗
2723:⊗
2719:φ
2691:⊗
2670:⊗
2661:∼
2658:→
2648:⊗
2627:⊗
2617:φ
2589:⊗
2537:→
2464:⊗
2434:⊗
2396:⊗
2375:⊗
2371:−
2338:⊗
2330:→
2322:−
2316:⊗
2308:⊗
2302:⊗
2296:≃
2288:⊗
2223:⊗
2207:⊗
2193:⊗
2186:→
2178:⊗
2164:⊗
2157:≃
2149:⊗
2090:→
2051:⊗
2043:→
2035:⊗
1991:→
1956:⊗
1927:⊂
1918:⊗
1903:⊗
1894:φ
1883:∈
1842:φ
1838:∘
1829:φ
1816:φ
1792:⊗
1784:∼
1781:→
1773:⊗
1764:φ
1739:⊗
1649:φ
1624:⊗
1616:⊗
1608:∼
1605:→
1595:⊗
1587:⊗
1572:φ
1541:⋯
1528:⊗
1522:⊗
1514:−
1503:⋯
1474:⊗
1471:⋯
1468:⊗
1437:ρ
1410:⊗
1401:⊗
1392:φ
1380:⊗
1374:⊗
1359:φ
1331:⊗
1322:φ
1304:ρ
1291:⊗
1285:⊗
1270:φ
1242:⊗
1233:φ
1215:ρ
1202:⊗
1196:⊗
1181:φ
1152:⊗
1144:⊗
1136:∼
1133:→
1123:⊗
1115:⊗
1100:φ
1070:φ
1066:∘
1057:φ
1044:φ
1017:⊗
1011:↦
1005:⊗
991:⊗
983:≃
975:⊗
945:⊗
917:⊗
909:∼
906:→
898:⊗
889:φ
860:⊗
853:↪
827:→
795:⊗
698:→
621:−
600:−
578:
503:−
391:
357:−
335:
312:⋃
296:
245:−
220:∏
176:…
65:→
5253:Category
5211:(1979),
5133:(1977),
4913:See also
4668:-scheme
4021:and (2)
3675:-module
3521:flatness
3425:→
3182:→
2871:-module
1706:-module
777:-module
737:-module
51:Given a
5243:0547117
5159:0463157
5124:0190142
5042:3 March
4685:Theorem
4672:, each
3547:Theorem
2105:in the
110:descend
82:algebra
5241:
5231:
5157:
5147:
5122:
5087:
5033:
1726:and a
1091:where
5201:(PDF)
5175:arXiv
5063:SGA 1
4999:SGA I
4935:Notes
4733:over
4466:stack
4464:is a
3822:with
3527:over
2576:is a
2451:when
1428:with
713:be a
84:over
5229:ISBN
5145:ISBN
5085:ISBN
5044:2018
5031:ISBN
4717:Let
3708:The
687:Let
575:Spec
388:Spec
332:Spec
293:Spec
47:Idea
5221:doi
5185:doi
5110:doi
5077:doi
4878:.
4680:.)
4428:).
4156:on
4083:on
3523:of
2556:on
2275:as
932:of
671:.
479:on
432:to
132:to
5255::
5239:MR
5237:,
5227:,
5219:,
5183:,
5171:12
5169:,
5155:MR
5153:,
5139:,
5120:MR
5118:,
5104:,
5083:,
4851:.
4737:,
4698:.
4652:.
4009:id
2847:.
2516:.
2248:,
1977:.
644:.
205:,
43:.
5223::
5203:.
5187::
5177::
5112::
5106:2
5079::
5046:.
4885:)
4881:(
4839:k
4835:/
4831:F
4808:v
4805:)
4802:a
4799:(
4790:a
4784:v
4780:,
4777:V
4761:F
4756:k
4748:V
4735:F
4731:V
4727:k
4719:F
4692:S
4678:X
4674:X
4670:X
4666:S
4662:S
4640:U
4634:)
4631:F
4628:,
4625:U
4622:(
4602:p
4592:U
4578:)
4575:F
4572:,
4569:U
4566:(
4546:h
4543:o
4540:c
4535:Q
4508:C
4503::
4500:p
4478:C
4452:h
4449:o
4446:c
4441:Q
4412:j
4408:U
4399:i
4395:U
4389:|
4382:j
4378:F
4370:j
4367:i
4345:j
4341:U
4332:i
4328:U
4322:|
4315:i
4311:F
4300:j
4296:U
4287:i
4283:U
4277:|
4272:F
4250:j
4246:F
4235:j
4231:U
4225:|
4220:F
4198:i
4194:F
4183:i
4179:U
4173:|
4168:F
4158:X
4144:F
4122:k
4118:U
4109:j
4105:U
4096:i
4092:U
4069:j
4066:i
4053:k
4050:j
4042:=
4037:k
4034:i
4006:=
4001:i
3998:i
3969:j
3965:U
3956:i
3952:U
3946:|
3939:j
3935:F
3917:j
3913:U
3904:i
3900:U
3894:|
3887:i
3883:F
3879::
3874:j
3871:i
3844:i
3840:U
3833:=
3830:X
3810:X
3802:i
3798:U
3775:i
3771:F
3760:X
3746:)
3743:X
3740:(
3737:h
3734:o
3731:c
3726:Q
3677:N
3673:B
3659:)
3653:,
3650:N
3647:(
3637:A
3620:)
3614:,
3611:B
3606:A
3598:M
3595:(
3589:M
3566:B
3560:A
3529:A
3525:B
3498:3
3491:B
3483:1
3479:d
3475:,
3470:0
3466:d
3457:N
3447:1
3443:d
3434:0
3430:d
3416:2
3409:B
3401:0
3397:d
3388:N
3377:N
3367:0
3358:2
3354:d
3345:3
3338:B
3330:1
3326:d
3322:,
3317:0
3313:d
3289:1
3285:d
3263:B
3258:A
3248:2
3241:B
3233:0
3229:d
3220:N
3210:1
3206:d
3191:0
3187:d
3175:B
3170:A
3162:N
3151:B
3146:A
3138:M
3128:0
3101:B
3095:A
3083:.
3071:a
3068:x
3062:a
3056:x
3052:,
3049:N
3043:B
3037:M
3022:.
3008:2
3001:B
2993:0
2989:d
2980:N
2974:N
2971::
2966:1
2962:d
2947:0
2943:d
2919:M
2879:N
2859:B
2833:3
2826:B
2818:2
2814:d
2797:3
2790:B
2782:0
2778:d
2747:3
2740:B
2732:1
2728:d
2694:2
2687:B
2679:0
2675:d
2666:N
2651:2
2644:B
2636:1
2632:d
2623:N
2620::
2592:2
2585:B
2564:B
2554:N
2540:B
2534:A
2502:i
2498:d
2474:1
2471:+
2468:n
2460:B
2437:n
2430:B
2406:1
2403:+
2400:n
2392:B
2384:i
2380:d
2348:1
2345:+
2342:n
2334:B
2325:1
2319:n
2312:B
2305:A
2299:B
2291:n
2284:B
2261:1
2257:d
2233:1
2230:+
2227:n
2219:B
2215:=
2210:n
2203:B
2197:A
2189:B
2181:n
2174:B
2168:A
2160:A
2152:n
2145:B
2122:0
2118:d
2107:i
2093:B
2087:A
2061:1
2058:+
2055:n
2047:B
2038:n
2031:B
2027::
2022:i
2018:d
1994:B
1988:A
1965:N
1962:=
1959:B
1953:M
1930:N
1924:}
1921:1
1915:n
1912:=
1909:)
1906:1
1900:n
1897:(
1890:|
1886:N
1880:n
1877:{
1874:=
1871:M
1846:2
1833:0
1825:=
1820:1
1795:B
1789:N
1776:B
1770:N
1767::
1742:2
1735:B
1714:N
1694:B
1672:.
1669:M
1627:2
1620:B
1613:N
1598:2
1591:B
1584:N
1581::
1576:i
1549:r
1545:y
1536:i
1532:y
1525:x
1517:1
1511:i
1507:y
1498:0
1494:y
1490:=
1487:)
1482:r
1478:y
1463:0
1459:y
1455:(
1452:)
1449:x
1446:(
1441:i
1413:c
1407:)
1404:b
1398:n
1395:(
1389:=
1386:)
1383:c
1377:b
1371:n
1368:(
1363:2
1337:)
1334:c
1328:n
1325:(
1319:)
1316:b
1313:(
1308:2
1300:=
1297:)
1294:c
1288:b
1282:n
1279:(
1274:1
1248:)
1245:c
1239:n
1236:(
1230:)
1227:b
1224:(
1219:1
1211:=
1208:)
1205:c
1199:b
1193:n
1190:(
1185:0
1155:2
1148:B
1141:N
1126:2
1119:B
1112:N
1109::
1104:i
1074:2
1061:0
1053:=
1048:1
1020:x
1014:y
1008:y
1002:x
999:,
994:2
987:B
978:2
971:B
948:2
941:B
920:B
914:N
901:B
895:N
892::
869:B
864:A
856:M
850:M
830:B
824:A
804:B
799:A
791:M
788:=
785:N
765:B
745:M
725:A
701:B
695:A
678:)
674:(
632:)
629:]
624:1
616:j
612:f
608:,
603:1
595:i
591:f
587:[
584:A
581:(
553:j
549:M
545:,
540:i
536:M
525:A
511:]
506:1
498:i
494:f
490:[
487:A
465:i
461:M
440:A
420:B
400:)
397:A
394:(
368:)
365:]
360:1
352:i
348:f
344:[
341:A
338:(
327:r
322:1
319:=
316:i
308:=
305:)
302:B
299:(
273:A
253:]
248:1
240:i
236:f
232:[
229:A
224:i
216:=
213:B
203:A
187:r
183:f
179:,
173:,
168:1
164:f
140:A
120:B
96:B
86:A
68:B
62:A
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
