3183:
2610:
3748:. Both approaches focus on the logarithm of torsions and their traces. This is easier for odd-dimensional manifolds than in the even-dimensional case, which involves additional technical difficulties. This Cheeger–Müller theorem (that the two notions of torsion are equivalent), along with
3641:
2287:
2955:
613:
2490:
3852:
889:
2881:
1346:
1247:
3465:
318:
2785:
1554:
1460:
1061:
2081:
J. H. C. Whitehead defined the "torsion" of a homotopy equivalence between finite complexes. This is a direct generalization of the
Reidemeister, Franz, and de Rham concept; but is a more delicate invariant.
2164:
1403:
2462:
3178:{\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}
409:
1935:
3714:
1813:
2093:
In 1960 Milnor discovered the duality relation of torsion invariants of manifolds and show that the (twisted) Alexander polynomial of knots is the
Reidemeister torsion of its knot complement in
2361:
439:
1610:
1142:
2086:
provides a key tool for the study of combinatorial or differentiable manifolds with nontrivial fundamental group and is closely related to the concept of "simple homotopy type", see (
3285:
1977:
1878:
3358:
1690:
937:
3386:
690:
3245:
2947:
3457:
2605:{\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}
2817:
1083:
959:
722:
3312:
2911:
2667:
1737:
1645:
3734:
2694:
2640:
2404:
2156:
2118:
2017:
2037:
762:
3412:
4020:
3206:
2482:
1997:
1833:
1760:
1710:
1267:
979:
742:
641:
2366:
The representation of the fundamental group of knot complement plays a central role in them. It gives the relation between knot theory and torsion invariants.
770:
2825:
1272:
1151:
3636:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}
243:
4365:
3759:
A proof of the
Cheeger-MĂĽller theorem for arbitrary representations was later given by J. M. Bismut and Weiping Zhang. Their proof uses the
2282:{\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}
2702:
1471:
1408:
984:
1351:
2409:
4324:
4131:
116:
3773:
Bismut, J. -M.; Zhang, W. (1994-03-01), "Milnor and Ray-Singer metrics on the equivariant determinant of a flat vector bundle",
3749:
345:
1883:
4391:
3949:
56:
4061:
3649:
1765:
608:{\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}
2298:
4056:
1562:
4360:, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 288–307,
1088:
3753:
4401:
4220:
4070:
3250:
1940:
1838:
4118:, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., pp. xiv+249,
4051:
3321:
1650:
897:
4154:
3987:
3913:
3811:
3760:
332:
32:
3363:
2819:, the Laplacian is then a symmetric positive semi-positive elliptic operator with pure point spectrum
653:
3211:
2058:) by Reidemeister, and in higher-dimensional spaces by Franz. The classification includes examples of
4396:
4345:
3861:
2916:
124:
3420:
4198:, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIII, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 167–181,
3954:
2129:
2059:
162:
135:
80:
2793:
1066:
942:
698:
4270:
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4004:
3971:
3930:
3828:
3798:
3290:
2889:
2645:
1715:
206:
143:
131:
1615:
4356:
Seeley, R. T. (1967), "Complex powers of an elliptic operator", in CalderĂłn, Alberto P. (ed.),
4361:
4320:
4250:
4127:
3897:
3790:
2083:
648:
154:
40:
84:
4312:
4293:
4262:
4229:
4163:
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4079:
4029:
3996:
3963:
3922:
3887:
3869:
3820:
3782:
2067:
4375:
4334:
4243:
4203:
4183:
4141:
4093:
4043:
3942:
3883:
3840:
3719:
2672:
2618:
2377:
2134:
2096:
2002:
4371:
4330:
4304:
4297:
4281:
4239:
4199:
4179:
4137:
4089:
4039:
3938:
3879:
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2022:
747:
693:
64:
3391:
3865:
4211:
4191:
4149:
3736:. This Ray–Singer conjecture was eventually proved, independently, by Cheeger (
3191:
2467:
1982:
1818:
1745:
1695:
1252:
964:
884:{\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} }C_{*}({\tilde {X}}))=0}
727:
626:
88:
3892:
4385:
4274:
4234:
4084:
3975:
3802:
2075:
414:
which is formally the product of the positive eigenvalues of the laplacian acting on
198:
16:
Topological invariant of manifolds that can distinguish homotopy-equivalent manifolds
4311:, Progress in Mathematics, vol. 208, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. x+196,
4034:
3908:
3847:
2876:{\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}
2063:
139:
104:
2886:
As before, we can therefore define a zeta function associated with the
Laplacian
1341:{\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}
4068:
MĂĽller, Werner (1978), "Analytic torsion and R-torsion of
Riemannian manifolds",
4341:
4015:
3982:
3853:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
3417:
As in the case of an orthogonal representation, we define the analytic torsion
4316:
3967:
2484:
on a real vector space of dimension N. Then we can define the de Rham complex
2051:
2050:
Reidemeister torsion was first used to combinatorially classify 3-dimensional
644:
218:
147:
48:
3794:
1242:{\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}
52:
3901:
3874:
4123:
4101:
3809:
Brody, E. J. (1960), "The topological classification of the lens spaces",
36:
313:{\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}
4284:(1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister",
4266:
4175:
4008:
3934:
3832:
3786:
4167:
4000:
3926:
3824:
127:
and analytic torsion are the same for compact
Riemannian manifolds.
4358:
Singular
Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966)
2780:{\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}
1549:{\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}
1455:{\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}
1056:{\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} }C_{*}({\tilde {X}})}
1398:{\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,{\text{odd}}}\,D_{n}}
2457:{\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}
335:. The zeta regularized determinant of the Laplacian acting on
2406:
be an orientable compact
Riemann manifold of dimension n and
3257:
517:
384:
2696:. As usual, we also obtain the Hodge Laplacian on p-forms
1612:
404:{\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}
134:
that could distinguish between closed manifolds which are
1930:{\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}
2066:— at the time (1935) the classification was only up to
1835:
has a smooth triangulation. For any choice of a volume
1647:
is independent of the choice of the cellular basis for
4218:-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.",
3985:(1962), "A duality theorem for Reidemeister torsion",
2074:) showed that this was in fact a classification up to
3850:(1977), "Analytic torsion and Reidemeister torsion",
3722:
3652:
3468:
3423:
3394:
3366:
3324:
3293:
3253:
3214:
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2958:
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2705:
2675:
2648:
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2137:
2099:
2025:
2005:
1985:
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1411:
1354:
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1255:
1154:
1091:
1069:
987:
967:
945:
900:
773:
750:
730:
701:
656:
629:
442:
348:
246:
4152:(1973a), "Analytic torsion for complex manifolds.",
3709:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}
1808:{\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}
100:
96:
103:) as an analytic analogue of Reidemeister torsion.
92:
3911:(1979), "Analytic torsion and the heat equation",
3728:
3708:
3646:In 1971 D.B. Ray and I.M. Singer conjectured that
3635:
3451:
3406:
3380:
3352:
3306:
3279:
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1077:
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883:
756:
736:
716:
684:
635:
607:
403:
312:
169:). For more recent work on torsion see the books (
161:). It has also given some important motivation to
3625:
3606:
3505:
2356:{\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}
3952:(1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung",
1848:
1605:{\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}
1501:
146:as a distinct field. It can be used to classify
130:Reidemeister torsion was the first invariant in
3955:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
4286:Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)
4021:Bulletin of the American Mathematical Society
2464:a representation of the fundamental group of
8:
2055:
1137:{\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}
44:
327:large, and this is extended to all complex
153:Reidemeister torsion is closely related to
4253:(1935), "Homotopieringe und Linsenräume",
894:for all n. If we fix a cellular basis for
178:
174:
123:) proved Ray and Singer's conjecture that
4233:
4083:
4033:
3891:
3873:
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3685:
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3535:
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3510:
3504:
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3473:
3467:
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2098:
2024:
2004:
1984:
1979:the Reidemeister torsion of the manifold
1948:
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301:
296:
278:
273:
251:
245:
1937:. Then we call the positive real number
4116:The Reidemeister torsion of 3-manifolds
3741:
3737:
2046:A short history of Reidemeister torsion
142:, and can thus be seen as the birth of
112:
108:
68:
3745:
3315:
2121:
2087:
2062:3-dimensional manifolds which are not
1762:be a compact smooth manifold, and let
170:
158:
120:
4346:"Remarks on the Alexander polynomial"
3360:extends to a meromorphic function of
3280:{\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}
2071:
1972:{\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}
1873:{\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}
60:
7:
1063:is a contractible finite based free
744:be an orthogonal finite-dimensional
4309:Torsions of 3-dimensional manifolds
3775:Geometric & Functional Analysis
3353:{\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}
1685:{\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}
932:{\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}
4050:Mishchenko, Aleksandr S. (2001) ,
3295:
3225:
3103:
3062:
3037:
2921:
2894:
2867:
2797:
2707:
2593:
2528:
2495:
2330:
2302:
619:Definition of Reidemeister torsion
558:
350:
14:
4103:Notes on the Reidemeister torsion
3381:{\displaystyle s\in \mathbf {C} }
2070:, but later E.J. Brody (
685:{\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}
166:
3754:Chern–Simons perturbation theory
3374:
3240:{\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}
1917:
1815:be a unimodular representation.
1533:
1071:
1010:
947:
829:
4035:10.1090/S0002-9904-1966-11484-2
3752:, later provided the basis for
3716:for any unitary representation
2942:{\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}
4196:Partial differential equations
4194:(1973b), "Analytic torsion.",
3703:
3691:
3675:
3663:
3600:
3588:
3551:
3541:
3491:
3479:
3452:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}
3446:
3434:
3347:
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869:
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833:
817:
801:
789:
764:-representation. Suppose that
708:
679:
673:
580:
570:
528:
522:
495:
485:
458:
446:
398:
395:
389:
368:
263:
257:
185:Definition of analytic torsion
1:
4255:Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
4114:Nicolaescu, Liviu I. (2003),
4100:Nicolaescu, Liviu I. (2002),
4018:(1966), "Whitehead torsion",
3314:. It was moreover shown by (
1144:be any chain contraction of D
193:is a Riemannian manifold and
4235:10.1016/0001-8708(71)90045-4
4085:10.1016/0001-8708(78)90116-0
3750:Atiyah–Patodi–Singer theorem
2812:{\displaystyle \partial M=0}
1078:{\displaystyle \mathbf {R} }
954:{\displaystyle \mathbf {R} }
717:{\displaystyle {\tilde {X}}}
4057:Encyclopedia of Mathematics
3307:{\displaystyle \Delta _{q}}
2906:{\displaystyle \Delta _{q}}
2662:{\displaystyle \delta _{p}}
1732:{\displaystyle \gamma _{*}}
1692:, the orthogonal basis for
1269:. We obtain an isomorphism
4418:
1712:and the chain contraction
1640:{\displaystyle \rho (X;U)}
51:and generalized to higher
29:Reidemeister–Franz torsion
4317:10.1007/978-3-0348-7999-6
3968:10.1515/crll.1935.173.245
1559:where A is the matrix of
3388:which is holomorphic at
231:then the zeta function ζ
4221:Advances in Mathematics
4071:Advances in Mathematics
2669:due to the flatness of
2615:and the formal adjoint
173:) and (Nicolaescu
4052:"Reidemeister torsion"
3875:10.1073/pnas.74.7.2651
3730:
3710:
3637:
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3453:
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3382:
3354:
3308:
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3247:onto the kernel space
3241:
3202:
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2370:Cheeger–Müller theorem
2357:
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2114:
2033:
2013:
1993:
1973:
1931:
1880:, we get an invariant
1874:
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1809:
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955:
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718:
686:
643:be a finite connected
637:
609:
405:
314:
213:-forms with values in
4392:Differential geometry
4155:Annals of Mathematics
4124:10.1515/9783110198102
3988:Annals of Mathematics
3914:Annals of Mathematics
3812:Annals of Mathematics
3731:
3729:{\displaystyle \rho }
3711:
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3242:
3208:is the projection of
3203:
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2014:
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406:
333:analytic continuation
315:
79:) is an invariant of
33:topological invariant
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2023:
2003:
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125:Reidemeister torsion
81:Riemannian manifolds
21:Reidemeister torsion
3866:1977PNAS...74.2651C
3407:{\displaystyle s=0}
3066:
3027:
2292:and then we obtain
2060:homotopy equivalent
788:
601:
521:
433:) is defined to be
388:
309:
163:arithmetic topology
136:homotopy equivalent
65:Georges de Rham
4288:, Nouvelle SĂ©rie,
4267:10.1007/BF02940717
4251:Reidemeister, Kurt
4212:Singer, Isadore M.
4192:Singer, Isadore M.
4150:Singer, Isadore M.
3787:10.1007/BF01895837
3761:Witten deformation
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3706:
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291:
207:Laplacian operator
205:, then there is a
144:geometric topology
132:algebraic topology
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57:Wolfgang Franz
4367:978-0-8218-1410-9
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3518:
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1755:{\displaystyle M}
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1419:
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1335:
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923:
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737:{\displaystyle U}
711:
649:fundamental group
636:{\displaystyle X}
547:
475:
269:
237:is defined to be
155:Whitehead torsion
117:Werner MĂĽller
89:Isadore M. Singer
45:Reidemeister 1935
41:Kurt Reidemeister
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4378:
4352:
4350:
4337:
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4300:
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4277:
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4206:
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4186:
4148:Ray, Daniel B.;
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2038:
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1500:
1462:. We define the
1461:
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