3194:
2621:
3759:. Both approaches focus on the logarithm of torsions and their traces. This is easier for odd-dimensional manifolds than in the even-dimensional case, which involves additional technical difficulties. This Cheeger–Müller theorem (that the two notions of torsion are equivalent), along with
3652:
2298:
2966:
624:
2501:
3863:
900:
2892:
1357:
1258:
3476:
329:
2796:
1565:
1471:
1072:
2092:
J. H. C. Whitehead defined the "torsion" of a homotopy equivalence between finite complexes. This is a direct generalization of the
Reidemeister, Franz, and de Rham concept; but is a more delicate invariant.
2175:
1414:
2473:
3189:{\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }t^{s-1}{\text{Tr}}(e^{-t\Delta _{q}}-P_{q})dt,\ \ \ {\text{Re}}(s)>{\frac {n}{2}}}
420:
1946:
3725:
1824:
2104:
In 1960 Milnor discovered the duality relation of torsion invariants of manifolds and show that the (twisted) Alexander polynomial of knots is the
Reidemeister torsion of its knot complement in
2372:
450:
1621:
1153:
2097:
provides a key tool for the study of combinatorial or differentiable manifolds with nontrivial fundamental group and is closely related to the concept of "simple homotopy type", see (
3296:
1988:
1889:
3369:
1701:
948:
3397:
701:
3256:
2958:
3468:
2616:{\displaystyle \Lambda ^{0}{\stackrel {d_{0}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{1}{\stackrel {d_{1}}{\longrightarrow }}\cdots {\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\Lambda ^{n}}
2828:
1094:
970:
733:
3323:
2922:
2678:
1748:
1656:
3745:
2705:
2651:
2415:
2167:
2129:
2028:
2048:
773:
3423:
4031:
3217:
2493:
2008:
1844:
1771:
1721:
1278:
990:
753:
652:
2377:
The representation of the fundamental group of knot complement plays a central role in them. It gives the relation between knot theory and torsion invariants.
781:
2836:
1283:
1162:
3647:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\exp {\biggl (}{\frac {1}{2}}\sum _{q=0}^{n}(-l)^{q}q{\frac {d}{ds}}\zeta _{q}(s;\rho ){\biggl |}_{s=0}{\biggr )}.}
254:
4376:
3770:
A proof of the
Cheeger-MĂĽller theorem for arbitrary representations was later given by J. M. Bismut and Weiping Zhang. Their proof uses the
2293:{\displaystyle P_{o}\colon \operatorname {det} (H_{q}(M)){\overset {\sim }{\,\longrightarrow \,}}(\operatorname {det} (H_{n-q}(M)))^{-1}}
2713:
1482:
1419:
995:
1362:
2420:
4335:
4142:
127:
3784:
Bismut, J. -M.; Zhang, W. (1994-03-01), "Milnor and Ray-Singer metrics on the equivariant determinant of a flat vector bundle",
3760:
356:
1894:
4402:
3960:
67:
4072:
3660:
1776:
619:{\displaystyle T(M,E)=\exp \left(\sum _{k}(-1)^{k}k\zeta _{k}^{\prime }(0)/2\right)=\prod _{k}\Delta _{k}^{-(-1)^{k}k/2}.}
2309:
4067:
1573:
4371:, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 10, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 288–307,
1099:
3764:
4412:
4231:
4081:
3261:
1951:
1849:
4129:, de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 30, Berlin: Walter de Gruyter & Co., pp. xiv+249,
4062:
3332:
1661:
908:
4165:
3998:
3924:
3822:
3771:
343:
43:
3374:
2830:, the Laplacian is then a symmetric positive semi-positive elliptic operator with pure point spectrum
664:
3222:
2069:) by Reidemeister, and in higher-dimensional spaces by Franz. The classification includes examples of
4407:
4356:
3872:
2927:
135:
3431:
4209:, Proc. Sympos. Pure Math., vol. XXIII, Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., pp. 167–181,
3965:
2140:
2070:
173:
146:
91:
2804:
1077:
953:
709:
4281:
4182:
4015:
3982:
3941:
3839:
3809:
3301:
2900:
2656:
1726:
217:
154:
142:
1626:
4367:
Seeley, R. T. (1967), "Complex powers of an elliptic operator", in CalderĂłn, Alberto P. (ed.),
4372:
4331:
4261:
4138:
3908:
3801:
2094:
659:
165:
51:
95:
4323:
4304:
4273:
4240:
4174:
4130:
4090:
4040:
4007:
3974:
3933:
3898:
3880:
3831:
3793:
2078:
4386:
4345:
4254:
4214:
4194:
4152:
4104:
4054:
3953:
3894:
3851:
3730:
2683:
2629:
2388:
2145:
2107:
2013:
4382:
4341:
4315:
4308:
4292:
4250:
4210:
4190:
4148:
4100:
4050:
3949:
3890:
3847:
2033:
758:
704:
75:
3402:
3876:
4222:
4202:
4160:
3747:. This Ray–Singer conjecture was eventually proved, independently, by Cheeger (
3202:
2478:
1993:
1829:
1756:
1706:
1263:
975:
895:{\displaystyle H_{n}^{\pi }(X;U):=H_{n}(U\otimes _{\mathbf {Z} }C_{*}({\tilde {X}}))=0}
738:
637:
99:
3903:
4396:
4285:
4245:
4095:
3986:
3813:
2086:
425:
which is formally the product of the positive eigenvalues of the laplacian acting on
209:
27:
Topological invariant of manifolds that can distinguish homotopy-equivalent manifolds
4322:, Progress in Mathematics, vol. 208, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. x+196,
4045:
17:
3919:
3858:
2887:{\displaystyle 0\leq \lambda _{0}\leq \lambda _{1}\leq \cdots \rightarrow \infty .}
2074:
150:
115:
2897:
As before, we can therefore define a zeta function associated with the
Laplacian
1352:{\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}:D_{\text{odd}}\to D_{\text{even}}}
4079:
MĂĽller, Werner (1978), "Analytic torsion and R-torsion of
Riemannian manifolds",
4352:
4026:
3993:
3864:
Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
3428:
As in the case of an orthogonal representation, we define the analytic torsion
4327:
3978:
2495:
on a real vector space of dimension N. Then we can define the de Rham complex
2062:
2061:
Reidemeister torsion was first used to combinatorially classify 3-dimensional
655:
229:
158:
59:
3805:
1253:{\displaystyle d_{n+1}\circ \gamma _{n}+\gamma _{n-1}\circ d_{n}=id_{D_{n}}}
63:
3912:
3885:
4134:
4112:
3820:
Brody, E. J. (1960), "The topological classification of the lens spaces",
47:
324:{\displaystyle \zeta _{k}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}
4295:(1936), "Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister",
4277:
4186:
4019:
3945:
3843:
3797:
4178:
4011:
3937:
3835:
138:
and analytic torsion are the same for compact
Riemannian manifolds.
4369:
Singular
Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966)
2791:{\displaystyle \Delta _{p}=\delta _{p+1}d_{p}+d_{p-1}\delta _{p}.}
1560:{\displaystyle \rho (X;U):=|\det(A)|^{-1}\in \mathbf {R} ^{>0}}
1466:{\displaystyle D_{\text{even}}:=\oplus _{n\,{\text{even}}}\,D_{n}}
1067:{\displaystyle D_{*}:=U\otimes _{\mathbf {Z} }C_{*}({\tilde {X}})}
1409:{\displaystyle D_{\text{odd}}:=\oplus _{n\,{\text{odd}}}\,D_{n}}
2468:{\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow \mathop {GL} (E)}
346:. The zeta regularized determinant of the Laplacian acting on
2417:
be an orientable compact
Riemann manifold of dimension n and
3268:
528:
395:
2707:. As usual, we also obtain the Hodge Laplacian on p-forms
1623:
415:{\displaystyle \Delta _{k}=\exp(-\zeta _{k}^{\prime }(0))}
145:
that could distinguish between closed manifolds which are
1941:{\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )\in \mathbf {R} ^{+}}
2077:— at the time (1935) the classification was only up to
1846:
has a smooth triangulation. For any choice of a volume
1658:
is independent of the choice of the cellular basis for
4229:-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.",
3996:(1962), "A duality theorem for Reidemeister torsion",
2085:) showed that this was in fact a classification up to
3861:(1977), "Analytic torsion and Reidemeister torsion",
3733:
3663:
3479:
3434:
3405:
3377:
3335:
3304:
3264:
3225:
3205:
2969:
2930:
2903:
2839:
2807:
2716:
2686:
2659:
2632:
2504:
2481:
2423:
2391:
2312:
2178:
2148:
2110:
2036:
2016:
1996:
1954:
1897:
1852:
1832:
1779:
1759:
1729:
1709:
1664:
1629:
1576:
1485:
1422:
1365:
1286:
1266:
1165:
1102:
1080:
998:
978:
956:
911:
784:
761:
741:
712:
667:
640:
453:
359:
257:
4163:(1973a), "Analytic torsion for complex manifolds.",
3720:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)=\tau _{M}(\rho ;\mu )}
1819:{\displaystyle \rho \colon \pi (M)\rightarrow GL(E)}
111:
107:
114:) as an analytic analogue of Reidemeister torsion.
103:
3922:(1979), "Analytic torsion and the heat equation",
3739:
3719:
3657:In 1971 D.B. Ray and I.M. Singer conjectured that
3646:
3462:
3417:
3391:
3363:
3317:
3290:
3250:
3211:
3188:
2952:
2916:
2886:
2822:
2790:
2699:
2672:
2645:
2615:
2487:
2467:
2409:
2366:
2292:
2161:
2123:
2042:
2022:
2002:
1982:
1940:
1883:
1838:
1818:
1765:
1742:
1715:
1695:
1650:
1615:
1559:
1465:
1408:
1351:
1272:
1252:
1147:
1088:
1066:
984:
964:
942:
894:
767:
747:
727:
695:
646:
618:
414:
323:
180:). For more recent work on torsion see the books (
172:). It has also given some important motivation to
3636:
3617:
3516:
2367:{\displaystyle \Delta (t)=\pm t^{n}\Delta (1/t).}
3963:(1935), "Ueber die Torsion einer Ueberdeckung",
1859:
1616:{\displaystyle (d_{*}+\gamma _{*})_{\text{odd}}}
1512:
157:as a distinct field. It can be used to classify
141:Reidemeister torsion was the first invariant in
3966:Journal fĂĽr die reine und angewandte Mathematik
4297:Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik)
4032:Bulletin of the American Mathematical Society
2475:a representation of the fundamental group of
8:
2066:
1148:{\displaystyle \gamma _{*}:D_{*}\to D_{*+1}}
55:
338:large, and this is extended to all complex
164:Reidemeister torsion is closely related to
4264:(1935), "Homotopieringe und Linsenräume",
905:for all n. If we fix a cellular basis for
189:
185:
134:) proved Ray and Singer's conjecture that
4244:
4094:
4044:
3902:
3884:
3732:
3696:
3668:
3662:
3635:
3634:
3622:
3616:
3615:
3593:
3574:
3565:
3546:
3535:
3521:
3515:
3514:
3484:
3478:
3439:
3433:
3404:
3384:
3376:
3340:
3334:
3309:
3303:
3273:
3267:
3266:
3263:
3230:
3224:
3204:
3176:
3159:
3132:
3117:
3106:
3094:
3082:
3072:
3067:
3042:
3030:
3025:
3007:
3002:
2974:
2968:
2935:
2929:
2908:
2902:
2863:
2850:
2838:
2806:
2779:
2763:
2750:
2734:
2721:
2715:
2691:
2685:
2664:
2658:
2637:
2631:
2607:
2587:
2582:
2577:
2575:
2574:
2561:
2556:
2551:
2549:
2548:
2542:
2528:
2523:
2518:
2516:
2515:
2509:
2503:
2480:
2445:
2422:
2390:
2350:
2335:
2311:
2281:
2253:
2230:
2226:
2223:
2205:
2183:
2177:
2153:
2147:
2115:
2109:
2035:
2015:
1995:
1990:the Reidemeister torsion of the manifold
1959:
1953:
1932:
1927:
1902:
1896:
1866:
1851:
1831:
1778:
1758:
1734:
1728:
1708:
1679:
1678:
1669:
1663:
1628:
1607:
1597:
1584:
1575:
1548:
1543:
1530:
1525:
1507:
1484:
1457:
1452:
1445:
1444:
1440:
1427:
1421:
1400:
1395:
1388:
1387:
1383:
1370:
1364:
1343:
1330:
1317:
1307:
1294:
1285:
1265:
1242:
1237:
1221:
1202:
1189:
1170:
1164:
1133:
1120:
1107:
1101:
1081:
1079:
1050:
1049:
1040:
1020:
1019:
1003:
997:
977:
957:
955:
926:
925:
916:
910:
869:
868:
859:
839:
838:
822:
794:
789:
783:
760:
740:
714:
713:
711:
678:
666:
639:
603:
594:
577:
572:
562:
542:
527:
522:
509:
490:
452:
394:
389:
364:
358:
312:
307:
289:
284:
262:
256:
1948:. Then we call the positive real number
4127:The Reidemeister torsion of 3-manifolds
3752:
3748:
2057:A short history of Reidemeister torsion
153:, and can thus be seen as the birth of
123:
119:
79:
3756:
3326:
2132:
2098:
2073:3-dimensional manifolds which are not
1773:be a compact smooth manifold, and let
181:
169:
131:
4357:"Remarks on the Alexander polynomial"
3371:extends to a meromorphic function of
3291:{\displaystyle {\mathcal {H}}^{q}(E)}
2082:
1983:{\displaystyle \tau _{M}(\rho :\mu )}
1884:{\displaystyle \mu \in \det H_{*}(M)}
71:
7:
1074:is a contractible finite based free
755:be an orthogonal finite-dimensional
4320:Torsions of 3-dimensional manifolds
3786:Geometric & Functional Analysis
3364:{\displaystyle \zeta _{q}(s;\rho )}
1696:{\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}
943:{\displaystyle C_{*}({\tilde {X}})}
4061:Mishchenko, Aleksandr S. (2001) ,
3306:
3236:
3114:
3073:
3048:
2932:
2905:
2878:
2808:
2718:
2604:
2539:
2506:
2341:
2313:
630:Definition of Reidemeister torsion
569:
361:
25:
4114:Notes on the Reidemeister torsion
3392:{\displaystyle s\in \mathbf {C} }
2081:, but later E.J. Brody (
696:{\displaystyle \pi :=\pi _{1}(X)}
177:
3765:Chern–Simons perturbation theory
3385:
3251:{\displaystyle L^{2}\Lambda (E)}
1928:
1826:be a unimodular representation.
1544:
1082:
1021:
958:
840:
4046:10.1090/S0002-9904-1966-11484-2
3763:, later provided the basis for
3727:for any unitary representation
2953:{\displaystyle \Lambda ^{q}(E)}
4207:Partial differential equations
4205:(1973b), "Analytic torsion.",
3714:
3702:
3686:
3674:
3611:
3599:
3562:
3552:
3502:
3490:
3463:{\displaystyle T_{M}(\rho ;E)}
3457:
3445:
3358:
3346:
3285:
3279:
3245:
3239:
3170:
3164:
3138:
3099:
3057:
3051:
2992:
2980:
2947:
2941:
2875:
2578:
2552:
2519:
2462:
2456:
2442:
2439:
2433:
2404:
2392:
2358:
2344:
2322:
2316:
2278:
2274:
2271:
2265:
2246:
2237:
2227:
2220:
2217:
2211:
2198:
1977:
1965:
1920:
1908:
1878:
1872:
1813:
1807:
1798:
1795:
1789:
1690:
1684:
1675:
1645:
1633:
1604:
1577:
1526:
1521:
1515:
1508:
1501:
1489:
1336:
1314:
1287:
1126:
1061:
1055:
1046:
1031:
1025:
937:
931:
922:
883:
880:
874:
865:
850:
844:
828:
812:
800:
775:-representation. Suppose that
719:
690:
684:
591:
581:
539:
533:
506:
496:
469:
457:
409:
406:
400:
379:
274:
268:
196:Definition of analytic torsion
1:
4266:Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg
4125:Nicolaescu, Liviu I. (2003),
4111:Nicolaescu, Liviu I. (2002),
4029:(1966), "Whitehead torsion",
3325:. It was moreover shown by (
1155:be any chain contraction of D
204:is a Riemannian manifold and
4246:10.1016/0001-8708(71)90045-4
4096:10.1016/0001-8708(78)90116-0
3761:Atiyah–Patodi–Singer theorem
2823:{\displaystyle \partial M=0}
1089:{\displaystyle \mathbf {R} }
965:{\displaystyle \mathbf {R} }
728:{\displaystyle {\tilde {X}}}
4068:Encyclopedia of Mathematics
3318:{\displaystyle \Delta _{q}}
2917:{\displaystyle \Delta _{q}}
2673:{\displaystyle \delta _{p}}
1743:{\displaystyle \gamma _{*}}
1703:, the orthogonal basis for
1280:. We obtain an isomorphism
4429:
1723:and the chain contraction
1651:{\displaystyle \rho (X;U)}
62:and generalized to higher
40:Reidemeister–Franz torsion
4328:10.1007/978-3-0348-7999-6
3979:10.1515/crll.1935.173.245
1570:where A is the matrix of
3399:which is holomorphic at
242:then the zeta function ζ
4232:Advances in Mathematics
4082:Advances in Mathematics
2680:due to the flatness of
2626:and the formal adjoint
184:) and (Nicolaescu
4063:"Reidemeister torsion"
3886:10.1073/pnas.74.7.2651
3741:
3721:
3648:
3551:
3464:
3419:
3393:
3365:
3319:
3292:
3258:onto the kernel space
3252:
3213:
3190:
2954:
2918:
2888:
2824:
2792:
2701:
2674:
2647:
2617:
2489:
2469:
2411:
2381:Cheeger–Müller theorem
2368:
2294:
2163:
2125:
2044:
2024:
2004:
1984:
1942:
1891:, we get an invariant
1885:
1840:
1820:
1767:
1744:
1717:
1697:
1652:
1617:
1561:
1467:
1410:
1353:
1274:
1254:
1149:
1090:
1068:
986:
966:
944:
896:
769:
749:
729:
697:
654:be a finite connected
648:
620:
416:
325:
224:-forms with values in
4403:Differential geometry
4166:Annals of Mathematics
4135:10.1515/9783110198102
3999:Annals of Mathematics
3925:Annals of Mathematics
3823:Annals of Mathematics
3742:
3740:{\displaystyle \rho }
3722:
3649:
3531:
3465:
3420:
3394:
3366:
3320:
3293:
3253:
3219:is the projection of
3214:
3191:
2955:
2919:
2889:
2825:
2793:
2702:
2700:{\displaystyle E_{q}}
2675:
2648:
2646:{\displaystyle d_{p}}
2618:
2490:
2470:
2412:
2410:{\displaystyle (M,g)}
2369:
2295:
2164:
2162:{\displaystyle P_{o}}
2126:
2124:{\displaystyle S^{3}}
2045:
2025:
2023:{\displaystyle \rho }
2005:
1985:
1943:
1886:
1841:
1821:
1768:
1745:
1718:
1698:
1653:
1618:
1562:
1468:
1411:
1354:
1275:
1255:
1150:
1091:
1069:
987:
967:
945:
897:
770:
750:
730:
698:
649:
621:
417:
344:analytic continuation
326:
90:) is an invariant of
44:topological invariant
3731:
3661:
3477:
3432:
3403:
3375:
3333:
3302:
3262:
3223:
3203:
2967:
2928:
2901:
2837:
2805:
2714:
2684:
2657:
2630:
2502:
2479:
2421:
2389:
2310:
2176:
2146:
2108:
2043:{\displaystyle \mu }
2034:
2014:
1994:
1952:
1895:
1850:
1830:
1777:
1757:
1727:
1707:
1662:
1627:
1574:
1483:
1475:Reidemeister torsion
1420:
1363:
1284:
1264:
1163:
1100:
1096:-chain complex. Let
1078:
996:
976:
954:
909:
782:
768:{\displaystyle \pi }
759:
739:
710:
665:
638:
451:
357:
255:
136:Reidemeister torsion
92:Riemannian manifolds
32:Reidemeister torsion
18:Reidemeister torsion
3877:1977PNAS...74.2651C
3418:{\displaystyle s=0}
3077:
3038:
2303:and then we obtain
2071:homotopy equivalent
799:
612:
532:
444:) is defined to be
399:
320:
174:arithmetic topology
147:homotopy equivalent
76:Georges de Rham
4299:, Nouvelle SĂ©rie,
4278:10.1007/BF02940717
4262:Reidemeister, Kurt
4223:Singer, Isadore M.
4203:Singer, Isadore M.
4161:Singer, Isadore M.
3798:10.1007/BF01895837
3772:Witten deformation
3737:
3717:
3644:
3460:
3415:
3389:
3361:
3315:
3288:
3248:
3209:
3186:
3063:
3021:
3020:
2950:
2914:
2884:
2820:
2788:
2697:
2670:
2643:
2613:
2485:
2465:
2407:
2364:
2290:
2159:
2121:
2040:
2020:
2000:
1980:
1938:
1881:
1836:
1816:
1763:
1740:
1713:
1693:
1648:
1613:
1557:
1463:
1406:
1349:
1270:
1250:
1145:
1086:
1064:
982:
962:
950:and an orthogonal
940:
892:
785:
765:
745:
725:
693:
644:
616:
568:
567:
518:
495:
412:
385:
321:
303:
302:
218:Laplacian operator
216:, then there is a
155:geometric topology
143:algebraic topology
88:Ray–Singer torsion
68:Wolfgang Franz
4378:978-0-8218-1410-9
3587:
3529:
3298:of the Laplacian
3212:{\displaystyle P}
3184:
3162:
3158:
3155:
3152:
3097:
3061:
2998:
2600:
2568:
2535:
2488:{\displaystyle M}
2235:
2095:Whitehead torsion
2067:Reidemeister 1935
2003:{\displaystyle M}
1839:{\displaystyle M}
1766:{\displaystyle M}
1716:{\displaystyle U}
1687:
1610:
1448:
1430:
1391:
1373:
1346:
1333:
1320:
1273:{\displaystyle n}
1058:
985:{\displaystyle U}
934:
877:
748:{\displaystyle U}
722:
660:fundamental group
647:{\displaystyle X}
558:
486:
280:
248:is defined to be
166:Whitehead torsion
128:Werner MĂĽller
100:Isadore M. Singer
56:Reidemeister 1935
52:Kurt Reidemeister
16:(Redirected from
4420:
4389:
4363:
4361:
4348:
4316:Turaev, Vladimir
4311:
4293:de Rham, Georges
4288:
4257:
4248:
4221:Ray, Daniel B.;
4217:
4201:Ray, Daniel B.;
4197:
4159:Ray, Daniel B.;
4155:
4120:
4119:
4107:
4098:
4075:
4057:
4048:
4022:
3989:
3973:(173): 245–254,
3956:
3915:
3906:
3888:
3871:(7): 2651–2654,
3854:
3816:
3746:
3744:
3743:
3738:
3726:
3724:
3723:
3718:
3701:
3700:
3673:
3672:
3653:
3651:
3650:
3645:
3640:
3639:
3633:
3632:
3621:
3620:
3598:
3597:
3588:
3586:
3575:
3570:
3569:
3550:
3545:
3530:
3522:
3520:
3519:
3489:
3488:
3469:
3467:
3466:
3461:
3444:
3443:
3424:
3422:
3421:
3416:
3398:
3396:
3395:
3390:
3388:
3370:
3368:
3367:
3362:
3345:
3344:
3324:
3322:
3321:
3316:
3314:
3313:
3297:
3295:
3294:
3289:
3278:
3277:
3272:
3271:
3257:
3255:
3254:
3249:
3235:
3234:
3218:
3216:
3215:
3210:
3195:
3193:
3192:
3187:
3185:
3177:
3163:
3160:
3156:
3153:
3150:
3137:
3136:
3124:
3123:
3122:
3121:
3098:
3095:
3093:
3092:
3076:
3071:
3062:
3060:
3043:
3037:
3029:
3019:
3012:
3011:
2979:
2978:
2959:
2957:
2956:
2951:
2940:
2939:
2923:
2921:
2920:
2915:
2913:
2912:
2893:
2891:
2890:
2885:
2868:
2867:
2855:
2854:
2829:
2827:
2826:
2821:
2797:
2795:
2794:
2789:
2784:
2783:
2774:
2773:
2755:
2754:
2745:
2744:
2726:
2725:
2706:
2704:
2703:
2698:
2696:
2695:
2679:
2677:
2676:
2671:
2669:
2668:
2652:
2650:
2649:
2644:
2642:
2641:
2622:
2620:
2619:
2614:
2612:
2611:
2602:
2601:
2599:
2598:
2597:
2581:
2576:
2570:
2569:
2567:
2566:
2565:
2555:
2550:
2547:
2546:
2537:
2536:
2534:
2533:
2532:
2522:
2517:
2514:
2513:
2494:
2492:
2491:
2486:
2474:
2472:
2471:
2466:
2452:
2416:
2414:
2413:
2408:
2373:
2371:
2370:
2365:
2354:
2340:
2339:
2299:
2297:
2296:
2291:
2289:
2288:
2264:
2263:
2236:
2231:
2224:
2210:
2209:
2188:
2187:
2168:
2166:
2165:
2160:
2158:
2157:
2141:Poincaré duality
2130:
2128:
2127:
2122:
2120:
2119:
2079:PL homeomorphism
2049:
2047:
2046:
2041:
2029:
2027:
2026:
2021:
2010:with respect to
2009:
2007:
2006:
2001:
1989:
1987:
1986:
1981:
1964:
1963:
1947:
1945:
1944:
1939:
1937:
1936:
1931:
1907:
1906:
1890:
1888:
1887:
1882:
1871:
1870:
1845:
1843:
1842:
1837:
1825:
1823:
1822:
1817:
1772:
1770:
1769:
1764:
1749:
1747:
1746:
1741:
1739:
1738:
1722:
1720:
1719:
1714:
1702:
1700:
1699:
1694:
1689:
1688:
1680:
1674:
1673:
1657:
1655:
1654:
1649:
1622:
1620:
1619:
1614:
1612:
1611:
1608:
1602:
1601:
1589:
1588:
1566:
1564:
1563:
1558:
1556:
1555:
1547:
1538:
1537:
1529:
1511:
1473:. We define the
1472:
1470:
1469:
1464:
1462:
1461:
1451:
1450:
1449:
1446:
1432:
1431:
1428:
1415:
1413:
1412:
1407:
1405:
1404:
1394:
1393:
1392:
1389:
1375:
1374:
1371:
1358:
1356:
1355:
1350:
1348:
1347:
1344:
1335:
1334:
1331:
1322:
1321:
1318:
1312:
1311:
1299:
1298:
1279:
1277:
1276:
1271:
1259:
1257:
1256:
1251:
1249:
1248:
1247:
1246:
1226:
1225:
1213:
1212:
1194:
1193:
1181:
1180:
1154:
1152:
1151:
1146:
1144:
1143:
1125:
1124:
1112:
1111:
1095:
1093:
1092:
1087:
1085:
1073:
1071:
1070:
1065:
1060:
1059:
1051:
1045:
1044:
1035:
1034:
1024:
1008:
1007:
991:
989:
988:
983:
971:
969:
968:
963:
961:
949:
947:
946:
941:
936:
935:
927:
921:
920:
901:
899:
898:
893:
879:
878:
870:
864:
863:
854:
853:
843:
827:
826:
798:
793:
774:
772:
771:
766:
754:
752:
751:
746:
734:
732:
731:
726:
724:
723:
715:
702:
700:
699:
694:
683:
682:
653:
651:
650:
645:
625:
623:
622:
617:
611:
607:
599:
598:
576:
566:
554:
550:
546:
531:
526:
514:
513:
494:
431:analytic torsion
421:
419:
418:
413:
398:
393:
369:
368:
330:
328:
327:
322:
319:
311:
301:
294:
293:
267:
266:
116:Jeff Cheeger
84:Analytic torsion
30:In mathematics,
21:
4428:
4427:
4423:
4422:
4421:
4419:
4418:
4417:
4393:
4392:
4379:
4366:
4359:
4351:
4338:
4314:
4291:
4260:
4220:
4200:
4179:10.2307/1970909
4158:
4145:
4124:
4117:
4110:
4078:
4060:
4025:
4012:10.2307/1970268
3992:
3961:Franz, Wolfgang
3959:
3938:10.2307/1971113
3918:
3857:
3836:10.2307/1969884
3819:
3783:
3780:
3729:
3728:
3692:
3664:
3659:
3658:
3614:
3589:
3579:
3561:
3480:
3475:
3474:
3435:
3430:
3429:
3401:
3400:
3373:
3372:
3336:
3331:
3330:
3305:
3300:
3299:
3265:
3260:
3259:
3226:
3221:
3220:
3201:
3200:
3128:
3113:
3102:
3078:
3047:
3003:
2970:
2965:
2964:
2931:
2926:
2925:
2904:
2899:
2898:
2859:
2846:
2835:
2834:
2803:
2802:
2775:
2759:
2746:
2730:
2717:
2712:
2711:
2687:
2682:
2681:
2660:
2655:
2654:
2633:
2628:
2627:
2603:
2583:
2557:
2538:
2524:
2505:
2500:
2499:
2477:
2476:
2419:
2418:
2387:
2386:
2383:
2331:
2308:
2307:
2277:
2249:
2225:
2201:
2179:
2174:
2173:
2149:
2144:
2143:
2111:
2106:
2105:
2059:
2053:
2032:
2031:
2012:
2011:
1992:
1991:
1955:
1950:
1949:
1926:
1898:
1893:
1892:
1862:
1848:
1847:
1828:
1827:
1775:
1774:
1755:
1754:
1730:
1725:
1724:
1705:
1704:
1665:
1660:
1659:
1625:
1624:
1603:
1593:
1580:
1572:
1571:
1542:
1524:
1481:
1480:
1453:
1436:
1423:
1418:
1417:
1396:
1379:
1366:
1361:
1360:
1339:
1326:
1313:
1303:
1290:
1282:
1281:
1262:
1261:
1238:
1233:
1217:
1198:
1185:
1166:
1161:
1160:
1158:
1129:
1116:
1103:
1098:
1097:
1076:
1075:
1036:
1015:
999:
994:
993:
974:
973:
952:
951:
912:
907:
906:
855:
834:
818:
780:
779:
757:
756:
737:
736:
708:
707:
705:universal cover
674:
663:
662:
636:
635:
632:
590:
505:
485:
481:
449:
448:
360:
355:
354:
285:
258:
253:
252:
247:
241:
198:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
4426:
4424:
4416:
4415:
4413:Surgery theory
4410:
4405:
4395:
4394:
4391:
4390:
4377:
4364:
4349:
4336:
4312:
4303:(5): 737–742,
4289:
4258:
4239:(2): 145–210,
4218:
4198:
4173:(1): 154–177,
4156:
4143:
4122:
4108:
4089:(3): 233–305,
4076:
4058:
4039:(3): 358–426,
4023:
4006:(1): 137–138,
3990:
3957:
3932:(2): 259–322,
3916:
3855:
3830:(1): 163–184,
3817:
3792:(2): 136–212,
3779:
3776:
3736:
3716:
3713:
3710:
3707:
3704:
3699:
3695:
3691:
3688:
3685:
3682:
3679:
3676:
3671:
3667:
3655:
3654:
3643:
3638:
3631:
3628:
3625:
3619:
3613:
3610:
3607:
3604:
3601:
3596:
3592:
3585:
3582:
3578:
3573:
3568:
3564:
3560:
3557:
3554:
3549:
3544:
3541:
3538:
3534:
3528:
3525:
3518:
3513:
3510:
3507:
3504:
3501:
3498:
3495:
3492:
3487:
3483:
3459:
3456:
3453:
3450:
3447:
3442:
3438:
3414:
3411:
3408:
3387:
3383:
3380:
3360:
3357:
3354:
3351:
3348:
3343:
3339:
3312:
3308:
3287:
3284:
3281:
3276:
3270:
3247:
3244:
3241:
3238:
3233:
3229:
3208:
3197:
3196:
3183:
3180:
3175:
3172:
3169:
3166:
3149:
3146:
3143:
3140:
3135:
3131:
3127:
3120:
3116:
3112:
3109:
3105:
3101:
3091:
3088:
3085:
3081:
3075:
3070:
3066:
3059:
3056:
3053:
3050:
3046:
3041:
3036:
3033:
3028:
3024:
3018:
3015:
3010:
3006:
3001:
2997:
2994:
2991:
2988:
2985:
2982:
2977:
2973:
2949:
2946:
2943:
2938:
2934:
2911:
2907:
2895:
2894:
2883:
2880:
2877:
2874:
2871:
2866:
2862:
2858:
2853:
2849:
2845:
2842:
2819:
2816:
2813:
2810:
2801:Assuming that
2799:
2798:
2787:
2782:
2778:
2772:
2769:
2766:
2762:
2758:
2753:
2749:
2743:
2740:
2737:
2733:
2729:
2724:
2720:
2694:
2690:
2667:
2663:
2640:
2636:
2624:
2623:
2610:
2606:
2596:
2593:
2590:
2586:
2580:
2573:
2564:
2560:
2554:
2545:
2541:
2531:
2527:
2521:
2512:
2508:
2484:
2464:
2461:
2458:
2455:
2451:
2448:
2444:
2441:
2438:
2435:
2432:
2429:
2426:
2406:
2403:
2400:
2397:
2394:
2382:
2379:
2375:
2374:
2363:
2360:
2357:
2353:
2349:
2346:
2343:
2338:
2334:
2330:
2327:
2324:
2321:
2318:
2315:
2301:
2300:
2287:
2284:
2280:
2276:
2273:
2270:
2267:
2262:
2259:
2256:
2252:
2248:
2245:
2242:
2239:
2234:
2229:
2222:
2219:
2216:
2213:
2208:
2204:
2200:
2197:
2194:
2191:
2186:
2182:
2156:
2152:
2118:
2114:
2058:
2055:
2039:
2019:
1999:
1979:
1976:
1973:
1970:
1967:
1962:
1958:
1935:
1930:
1925:
1922:
1919:
1916:
1913:
1910:
1905:
1901:
1880:
1877:
1874:
1869:
1865:
1861:
1858:
1855:
1835:
1815:
1812:
1809:
1806:
1803:
1800:
1797:
1794:
1791:
1788:
1785:
1782:
1762:
1737:
1733:
1712:
1692:
1686:
1683:
1677:
1672:
1668:
1647:
1644:
1641:
1638:
1635:
1632:
1606:
1600:
1596:
1592:
1587:
1583:
1579:
1568:
1567:
1554:
1551:
1546:
1541:
1536:
1533:
1528:
1523:
1520:
1517:
1514:
1510:
1506:
1503:
1500:
1497:
1494:
1491:
1488:
1460:
1456:
1443:
1439:
1435:
1426:
1403:
1399:
1386:
1382:
1378:
1369:
1342:
1338:
1329:
1325:
1316:
1310:
1306:
1302:
1297:
1293:
1289:
1269:
1245:
1241:
1236:
1232:
1229:
1224:
1220:
1216:
1211:
1208:
1205:
1201:
1197:
1192:
1188:
1184:
1179:
1176:
1173:
1169:
1156:
1142:
1139:
1136:
1132:
1128:
1123:
1119:
1115:
1110:
1106:
1084:
1063:
1057:
1054:
1048:
1043:
1039:
1033:
1030:
1027:
1023:
1018:
1014:
1011:
1006:
1002:
981:
960:
939:
933:
930:
924:
919:
915:
903:
902:
891:
888:
885:
882:
876:
873:
867:
862:
858:
852:
849:
846:
842:
837:
833:
830:
825:
821:
817:
814:
811:
808:
805:
802:
797:
792:
788:
764:
744:
721:
718:
692:
689:
686:
681:
677:
673:
670:
643:
631:
628:
627:
626:
615:
610:
606:
602:
597:
593:
589:
586:
583:
580:
575:
571:
565:
561:
557:
553:
549:
545:
541:
538:
535:
530:
525:
521:
517:
512:
508:
504:
501:
498:
493:
489:
484:
480:
477:
474:
471:
468:
465:
462:
459:
456:
423:
422:
411:
408:
405:
402:
397:
392:
388:
384:
381:
378:
375:
372:
367:
363:
332:
331:
318:
315:
310:
306:
300:
297:
292:
288:
283:
279:
276:
273:
270:
265:
261:
243:
237:
220:acting on the
197:
194:
50:introduced by
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
4425:
4414:
4411:
4409:
4406:
4404:
4401:
4400:
4398:
4388:
4384:
4380:
4374:
4370:
4365:
4358:
4354:
4350:
4347:
4343:
4339:
4337:3-7643-6911-6
4333:
4329:
4325:
4321:
4317:
4313:
4310:
4306:
4302:
4298:
4294:
4290:
4287:
4283:
4279:
4275:
4271:
4267:
4263:
4259:
4256:
4252:
4247:
4242:
4238:
4234:
4233:
4228:
4224:
4219:
4216:
4212:
4208:
4204:
4199:
4196:
4192:
4188:
4184:
4180:
4176:
4172:
4168:
4167:
4162:
4157:
4154:
4150:
4146:
4144:3-11-017383-2
4140:
4136:
4132:
4128:
4123:
4116:
4115:
4109:
4106:
4102:
4097:
4092:
4088:
4084:
4083:
4077:
4074:
4070:
4069:
4064:
4059:
4056:
4052:
4047:
4042:
4038:
4034:
4033:
4028:
4024:
4021:
4017:
4013:
4009:
4005:
4001:
4000:
3995:
3991:
3988:
3984:
3980:
3976:
3972:
3968:
3967:
3962:
3958:
3955:
3951:
3947:
3943:
3939:
3935:
3931:
3927:
3926:
3921:
3920:Cheeger, Jeff
3917:
3914:
3910:
3905:
3900:
3896:
3892:
3887:
3882:
3878:
3874:
3870:
3866:
3865:
3860:
3859:Cheeger, Jeff
3856:
3853:
3849:
3845:
3841:
3837:
3833:
3829:
3825:
3824:
3818:
3815:
3811:
3807:
3803:
3799:
3795:
3791:
3787:
3782:
3781:
3777:
3775:
3773:
3768:
3766:
3762:
3758:
3757:MĂĽller (1978)
3754:
3750:
3734:
3711:
3708:
3705:
3697:
3693:
3689:
3683:
3680:
3677:
3669:
3665:
3641:
3629:
3626:
3623:
3608:
3605:
3602:
3594:
3590:
3583:
3580:
3576:
3571:
3566:
3558:
3555:
3547:
3542:
3539:
3536:
3532:
3526:
3523:
3511:
3508:
3505:
3499:
3496:
3493:
3485:
3481:
3473:
3472:
3471:
3454:
3451:
3448:
3440:
3436:
3426:
3412:
3409:
3406:
3381:
3378:
3355:
3352:
3349:
3341:
3337:
3328:
3310:
3282:
3274:
3242:
3231:
3227:
3206:
3181:
3178:
3173:
3167:
3147:
3144:
3141:
3133:
3129:
3125:
3118:
3110:
3107:
3103:
3089:
3086:
3083:
3079:
3068:
3064:
3054:
3044:
3039:
3034:
3031:
3026:
3022:
3016:
3013:
3008:
3004:
2999:
2995:
2989:
2986:
2983:
2975:
2971:
2963:
2962:
2961:
2944:
2936:
2909:
2881:
2872:
2869:
2864:
2860:
2856:
2851:
2847:
2843:
2840:
2833:
2832:
2831:
2817:
2814:
2811:
2785:
2780:
2776:
2770:
2767:
2764:
2760:
2756:
2751:
2747:
2741:
2738:
2735:
2731:
2727:
2722:
2710:
2709:
2708:
2692:
2688:
2665:
2661:
2638:
2634:
2608:
2594:
2591:
2588:
2584:
2571:
2562:
2558:
2543:
2529:
2525:
2510:
2498:
2497:
2496:
2482:
2459:
2453:
2449:
2446:
2436:
2430:
2427:
2424:
2401:
2398:
2395:
2380:
2378:
2361:
2355:
2351:
2347:
2336:
2332:
2328:
2325:
2319:
2306:
2305:
2304:
2285:
2282:
2268:
2260:
2257:
2254:
2250:
2243:
2240:
2232:
2214:
2206:
2202:
2195:
2192:
2189:
2184:
2180:
2172:
2171:
2170:
2154:
2150:
2142:
2138:
2134:
2116:
2112:
2102:
2100:
2096:
2090:
2088:
2087:homeomorphism
2084:
2080:
2076:
2072:
2068:
2064:
2056:
2054:
2051:
2037:
2017:
1997:
1974:
1971:
1968:
1960:
1956:
1933:
1923:
1917:
1914:
1911:
1903:
1899:
1875:
1867:
1863:
1856:
1853:
1833:
1810:
1804:
1801:
1792:
1786:
1783:
1780:
1760:
1751:
1735:
1731:
1710:
1681:
1670:
1666:
1642:
1639:
1636:
1630:
1598:
1594:
1590:
1585:
1581:
1552:
1549:
1539:
1534:
1531:
1518:
1504:
1498:
1495:
1492:
1486:
1479:
1478:
1477:
1476:
1458:
1454:
1441:
1437:
1433:
1424:
1401:
1397:
1384:
1380:
1376:
1367:
1340:
1327:
1323:
1308:
1304:
1300:
1295:
1291:
1267:
1243:
1239:
1234:
1230:
1227:
1222:
1218:
1214:
1209:
1206:
1203:
1199:
1195:
1190:
1186:
1182:
1177:
1174:
1171:
1167:
1140:
1137:
1134:
1130:
1121:
1117:
1113:
1108:
1104:
1052:
1041:
1037:
1028:
1016:
1012:
1009:
1004:
1000:
979:
928:
917:
913:
889:
886:
871:
860:
856:
847:
835:
831:
823:
819:
815:
809:
806:
803:
795:
790:
786:
778:
777:
776:
762:
742:
716:
706:
687:
679:
675:
671:
668:
661:
657:
641:
629:
613:
608:
604:
600:
595:
587:
584:
578:
573:
563:
559:
555:
551:
547:
543:
536:
523:
519:
515:
510:
502:
499:
491:
487:
482:
478:
475:
472:
466:
463:
460:
454:
447:
446:
445:
443:
439:
435:
432:
428:
403:
390:
386:
382:
376:
373:
370:
365:
353:
352:
351:
349:
345:
341:
337:
316:
313:
308:
304:
298:
295:
290:
286:
281:
277:
271:
263:
259:
251:
250:
249:
246:
240:
235:
231:
227:
223:
219:
215:
211:
210:vector bundle
207:
203:
195:
193:
191:
187:
183:
179:
175:
171:
167:
162:
160:
156:
152:
148:
144:
139:
137:
133:
129:
125:
121:
117:
113:
109:
105:
101:
98: and
97:
96:Daniel B. Ray
93:
89:
85:
81:
77:
73:
69:
65:
61:
57:
53:
49:
45:
41:
37:
33:
19:
4368:
4353:Mazur, Barry
4319:
4300:
4296:
4269:
4265:
4236:
4230:
4226:
4206:
4170:
4164:
4126:
4113:
4086:
4080:
4066:
4036:
4030:
4027:Milnor, John
4003:
3997:
3994:Milnor, John
3970:
3964:
3929:
3923:
3868:
3862:
3827:
3821:
3789:
3785:
3769:
3656:
3427:
3198:
2896:
2800:
2625:
2384:
2376:
2302:
2136:
2103:
2091:
2075:homeomorphic
2060:
2052:
1752:
1569:
1474:
904:
633:
441:
437:
433:
430:
429:-forms. The
426:
424:
347:
339:
335:
333:
244:
238:
236:-forms are λ
233:
225:
221:
213:
205:
201:
199:
163:
151:homeomorphic
140:
87:
83:
39:
35:
31:
29:
4408:3-manifolds
4272:: 102–109,
4121:Online book
3327:Seeley 1967
2135:) For each
2133:Milnor 1962
2099:Milnor 1966
2063:lens spaces
972:-basis for
230:eigenvalues
182:Turaev 2002
170:Milnor 1966
159:lens spaces
94:defined by
60:3-manifolds
4397:Categories
4309:0016.04501
3778:References
735:, and let
656:CW-complex
350:-forms is
64:dimensions
4286:124078064
4225:(1971), "
4073:EMS Press
3987:125224119
3814:121327250
3806:1420-8970
3735:ρ
3712:μ
3706:ρ
3694:τ
3678:ρ
3609:ρ
3591:ζ
3556:−
3533:∑
3512:
3494:ρ
3449:ρ
3382:∈
3356:ρ
3338:ζ
3307:Δ
3237:Λ
3126:−
3115:Δ
3108:−
3087:−
3074:∞
3065:∫
3049:Γ
3032:−
3023:λ
3005:λ
3000:∑
2990:ρ
2972:ζ
2933:Λ
2906:Δ
2879:∞
2876:→
2873:⋯
2870:≤
2861:λ
2857:≤
2848:λ
2844:≤
2809:∂
2777:δ
2768:−
2732:δ
2719:Δ
2662:δ
2605:Λ
2592:−
2579:⟶
2572:⋯
2553:⟶
2540:Λ
2520:⟶
2507:Λ
2454:
2443:→
2431:π
2428::
2425:ρ
2342:Δ
2329:±
2314:Δ
2283:−
2258:−
2244:
2233:∼
2228:⟶
2196:
2190::
2038:μ
2018:ρ
1975:μ
1969:ρ
1957:τ
1924:∈
1918:μ
1912:ρ
1900:τ
1868:∗
1857:∈
1854:μ
1799:→
1787:π
1784::
1781:ρ
1736:∗
1732:γ
1685:~
1671:∗
1631:ρ
1599:∗
1595:γ
1586:∗
1540:∈
1532:−
1487:ρ
1438:⊕
1381:⊕
1337:→
1309:∗
1305:γ
1296:∗
1215:∘
1207:−
1200:γ
1187:γ
1183:∘
1135:∗
1127:→
1122:∗
1109:∗
1105:γ
1056:~
1042:∗
1029:π
1017:⊗
1005:∗
932:~
918:∗
875:~
861:∗
848:π
836:⊗
796:π
763:π
720:~
676:π
669:π
585:−
579:−
570:Δ
560:∏
529:′
520:ζ
500:−
488:∑
479:
396:′
387:ζ
383:−
377:
362:Δ
314:−
305:λ
287:λ
282:∑
260:ζ
228:. If the
48:manifolds
36:R-torsion
4318:(2002),
3913:16592411
2169:induces
1260:for all
149:but not
4387:0237943
4346:1958479
4255:0295381
4215:0339293
4195:0383463
4187:1970909
4153:1968575
4105:0498252
4055:0196736
4020:1970268
3954:0528965
3946:1971113
3895:0451312
3873:Bibcode
3852:0116336
3844:1969884
3755:) and
3329:) that
1159:, i.e.
992:, then
176:; see (
168:; see (
130: (
118: (
102: (
78: (
70: (
42:) is a
4385:
4375:
4344:
4334:
4307:
4284:
4253:
4213:
4193:
4185:
4151:
4141:
4103:
4053:
4018:
3985:
3952:
3944:
3911:
3904:431228
3901:
3893:
3850:
3842:
3812:
3804:
3199:where
3157:
3154:
3151:
126:) and
74:) and
58:) for
4360:(PDF)
4282:S2CID
4183:JSTOR
4169:, 2,
4118:(PDF)
4016:JSTOR
3983:S2CID
3942:JSTOR
3928:, 2,
3840:JSTOR
3826:, 2,
3810:S2CID
1359:with
658:with
212:over
178:Mazur
112:1973b
108:1973a
38:, or
4373:ISBN
4332:ISBN
4139:ISBN
3971:1935
3909:PMID
3802:ISSN
3753:1979
3749:1977
3174:>
3014:>
2653:and
2385:Let
2139:the
2083:1960
2065:in (
2030:and
1753:Let
1550:>
1447:even
1429:even
1345:even
703:and
634:Let
334:for
296:>
190:2003
186:2002
132:1978
124:1979
120:1977
104:1971
86:(or
80:1936
72:1935
34:(or
4324:doi
4305:Zbl
4274:doi
4241:doi
4175:doi
4131:doi
4091:doi
4041:doi
4008:doi
3975:doi
3934:doi
3930:109
3899:PMC
3881:doi
3832:doi
3794:doi
3509:exp
3470:by
2960:by
2924:on
2241:det
2193:det
2131:. (
1860:det
1609:odd
1513:det
1390:odd
1372:odd
1332:odd
1319:odd
476:exp
374:exp
342:by
232:on
200:If
192:).
82:).
66:by
46:of
4399::
4383:MR
4381:,
4355:.
4342:MR
4340:,
4330:,
4280:,
4270:11
4268:,
4251:MR
4249:,
4235:,
4211:MR
4191:MR
4189:,
4181:,
4171:98
4149:MR
4147:,
4137:,
4101:MR
4099:,
4087:28
4085:,
4071:,
4065:,
4051:MR
4049:,
4037:72
4035:,
4014:,
4004:76
4002:,
3981:,
3969:,
3950:MR
3948:,
3940:,
3907:,
3897:,
3891:MR
3889:,
3879:,
3869:74
3867:,
3848:MR
3846:,
3838:,
3828:71
3808:,
3800:,
3788:,
3774:.
3767:.
3751:,
3425:.
3161:Re
3096:Tr
2101:)
2089:.
2050:.
1750:.
1505::=
1434::=
1416:,
1377::=
1010::=
816::=
672::=
208:a
188:,
161:.
122:,
110:,
106:,
4362:.
4326::
4301:1
4276::
4243::
4237:7
4227:R
4177::
4133::
4093::
4043::
4010::
3977::
3936::
3883::
3875::
3834::
3796::
3790:4
3715:)
3709:;
3703:(
3698:M
3690:=
3687:)
3684:E
3681:;
3675:(
3670:M
3666:T
3642:.
3637:)
3630:0
3627:=
3624:s
3618:|
3612:)
3606:;
3603:s
3600:(
3595:q
3584:s
3581:d
3577:d
3572:q
3567:q
3563:)
3559:l
3553:(
3548:n
3543:0
3540:=
3537:q
3527:2
3524:1
3517:(
3506:=
3503:)
3500:E
3497:;
3491:(
3486:M
3482:T
3458:)
3455:E
3452:;
3446:(
3441:M
3437:T
3413:0
3410:=
3407:s
3386:C
3379:s
3359:)
3353:;
3350:s
3347:(
3342:q
3311:q
3286:)
3283:E
3280:(
3275:q
3269:H
3246:)
3243:E
3240:(
3232:2
3228:L
3207:P
3182:2
3179:n
3171:)
3168:s
3165:(
3148:,
3145:t
3142:d
3139:)
3134:q
3130:P
3119:q
3111:t
3104:e
3100:(
3090:1
3084:s
3080:t
3069:0
3058:)
3055:s
3052:(
3045:1
3040:=
3035:s
3027:j
3017:0
3009:j
2996:=
2993:)
2987:;
2984:s
2981:(
2976:q
2948:)
2945:E
2942:(
2937:q
2910:q
2882:.
2865:1
2852:0
2841:0
2818:0
2815:=
2812:M
2786:.
2781:p
2771:1
2765:p
2761:d
2757:+
2752:p
2748:d
2742:1
2739:+
2736:p
2728:=
2723:p
2693:q
2689:E
2666:p
2639:p
2635:d
2609:n
2595:1
2589:n
2585:d
2563:1
2559:d
2544:1
2530:0
2526:d
2511:0
2483:M
2463:)
2460:E
2457:(
2450:L
2447:G
2440:)
2437:M
2434:(
2405:)
2402:g
2399:,
2396:M
2393:(
2362:.
2359:)
2356:t
2352:/
2348:1
2345:(
2337:n
2333:t
2326:=
2323:)
2320:t
2317:(
2286:1
2279:)
2275:)
2272:)
2269:M
2266:(
2261:q
2255:n
2251:H
2247:(
2238:(
2221:)
2218:)
2215:M
2212:(
2207:q
2203:H
2199:(
2185:o
2181:P
2155:o
2151:P
2137:q
2117:3
2113:S
1998:M
1978:)
1972::
1966:(
1961:M
1934:+
1929:R
1921:)
1915::
1909:(
1904:M
1879:)
1876:M
1873:(
1864:H
1834:M
1814:)
1811:E
1808:(
1805:L
1802:G
1796:)
1793:M
1790:(
1761:M
1711:U
1691:)
1682:X
1676:(
1667:C
1646:)
1643:U
1640:;
1637:X
1634:(
1605:)
1591:+
1582:d
1578:(
1553:0
1545:R
1535:1
1527:|
1522:)
1519:A
1516:(
1509:|
1502:)
1499:U
1496:;
1493:X
1490:(
1459:n
1455:D
1442:n
1425:D
1402:n
1398:D
1385:n
1368:D
1341:D
1328:D
1324::
1315:)
1301:+
1292:d
1288:(
1268:n
1244:n
1240:D
1235:d
1231:i
1228:=
1223:n
1219:d
1210:1
1204:n
1196:+
1191:n
1178:1
1175:+
1172:n
1168:d
1157:*
1141:1
1138:+
1131:D
1118:D
1114::
1083:R
1062:)
1053:X
1047:(
1038:C
1032:]
1026:[
1022:Z
1013:U
1001:D
980:U
959:R
938:)
929:X
923:(
914:C
890:0
887:=
884:)
881:)
872:X
866:(
857:C
851:]
845:[
841:Z
832:U
829:(
824:n
820:H
813:)
810:U
807:;
804:X
801:(
791:n
787:H
743:U
717:X
691:)
688:X
685:(
680:1
642:X
614:.
609:2
605:/
601:k
596:k
592:)
588:1
582:(
574:k
564:k
556:=
552:)
548:2
544:/
540:)
537:0
534:(
524:k
516:k
511:k
507:)
503:1
497:(
492:k
483:(
473:=
470:)
467:E
464:,
461:M
458:(
455:T
442:E
440:,
438:M
436:(
434:T
427:k
410:)
407:)
404:0
401:(
391:k
380:(
371:=
366:k
348:k
340:s
336:s
317:s
309:j
299:0
291:j
278:=
275:)
272:s
269:(
264:k
245:k
239:j
234:k
226:E
222:k
214:M
206:E
202:M
54:(
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.