3207:
4176:
2541:
25:
3617:
3202:{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(kx)&=P(D)y\\&=P(D)(c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4})\\&=c_{1}P(D)y_{1}+c_{2}P(D)y_{2}+c_{3}P(D)y_{3}+c_{4}P(D)y_{4}\\&=0+0+c_{3}(-k^{2}-4ik+5)y_{3}+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)y_{4}\\&=c_{3}(-k^{2}-4ik+5)(\cos(kx)+i\sin(kx))+c_{4}(-k^{2}+4ik+5)(\cos(kx)-i\sin(kx))\end{aligned}}}
4171:{\displaystyle {\begin{aligned}y&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}y_{3}+{\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}y_{4}\\&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)-(k^{2}-5)\sin(kx)}{(k^{2}+4ik-5)(k^{2}-4ik-5)}}\\&=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+{\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}.\end{aligned}}}
5093:
1653:
2419:
4316:
2546:
1348:
4815:
1128:
3622:
972:
581:
4807:
4684:
2533:
1741:
3330:
3445:
1233:
841:
5183:
3606:
1947:
3527:
4393:
380:
1834:
1499:
432:
1033:
2200:
4560:
4505:
2094:
2004:
725:
883:
772:
283:
204:
616:
2241:
2135:
2039:
1507:
650:
434:
as before. Then the original inhomogeneous ODE is used to construct a system of equations restricting the coefficients of the linear combination to satisfy the ODE.
4447:
4420:
678:
1870:
316:
236:
4449:
are determined usually through a set of initial conditions. Since this is a second-order equation, two such conditions are necessary to determine these values.
1766:
2246:
5202:
4184:
1241:
5088:{\displaystyle c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=c_{1}e^{2x}(\cos x+i\sin x)+c_{2}e^{2x}(\cos x-i\sin x)=(c_{1}+c_{2})e^{2x}\cos x+i(c_{1}-c_{2})e^{2x}\sin x}
138:
1041:
149:
145:
46:
891:
478:
4692:
4572:
116:
2426:
97:
1659:
69:
3218:
4319:
3336:
1872:
consists of the sum of the expressions given in the table, the annihilator is the product of the corresponding annihilators.
1134:
780:
141:
50:
5098:
5095:, and a suitable reassignment of the constants gives a simpler and more understandable form of the complementary solution,
76:
3532:
3456:
83:
4325:
321:
1775:
1354:
65:
35:
385:
438:
54:
39:
978:
156:
can also be used to refer to the step in the annihilator method in which the coefficients are calculated.
1883:
2140:
207:
4510:
4455:
2044:
1952:
686:
847:
731:
1648:{\displaystyle a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}+b_{1}e^{\pm c_{1}x}+\cdots +b_{k}e^{\mp c_{k}x}\!}
4563:
4181:
This solution can be broken down into the homogeneous and nonhomogeneous parts. In particular,
241:
162:
90:
587:
2205:
2099:
2009:
624:
4425:
4398:
656:
1846:
292:
212:
2414:{\displaystyle \{y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}\}=\{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x},e^{ikx},e^{-ikx}\}.}
1769:
1751:
5196:
4395:
is a complementary solution to the corresponding homogeneous equation. The values of
152:, the particular solution is determined systematically in this technique. The phrase
1837:
130:
24:
4311:{\displaystyle y_{p}={\frac {4k\cos(kx)+(5-k^{2})\sin(kx)}{k^{4}+6k^{2}+25}}}
1343:{\displaystyle x^{n}e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;x^{n}e^{ax}\sin(bx)\!}
137:
is a procedure used to find a particular solution to certain types of
1123:{\displaystyle e^{ax}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;e^{ax}\sin(bx)\!}
967:{\displaystyle x^{n}\cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;x^{n}\sin(bx)\!}
16:
Method of solving non-homogeneous ordinary differential equations
576:{\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\!}
4802:{\displaystyle e^{(2-i)x}=e^{2x}e^{-ix}=e^{2x}(\cos x-i\sin x)}
4679:{\displaystyle e^{(2+i)x}=e^{2x}e^{ix}=e^{2x}(\cos x+i\sin x)}
18:
2528:{\displaystyle y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}+c_{3}y_{3}+c_{4}y_{4}}
1736:{\displaystyle D^{n+1}(D\mp c_{1}).\cdots .(D\pm c_{k})\!}
159:
The annihilator method is used as follows. Given the ODE
148:, but instead of guessing the particular solution in the
3325:{\displaystyle i=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(-k^{2}+4ik+5)c_{4}}
441:
in the sense that an annihilator does not always exist.
3440:{\displaystyle 0=(k^{2}+4ik-5)c_{3}+(k^{2}-4ik-5)c_{4}}
1228:{\displaystyle (D-a)^{2}+b^{2}=D^{2}-2aD+a^{2}+b^{2}\!}
836:{\displaystyle \cos(bx)\;\;\mathrm {or} \;\;\sin(bx)\!}
5178:{\displaystyle y_{c}=e^{2x}(c_{1}\cos x+c_{2}\sin x)}
5101:
4818:
4695:
4575:
4513:
4458:
4428:
4401:
4328:
4187:
3620:
3535:
3459:
3339:
3221:
2544:
2429:
2249:
2208:
2143:
2102:
2047:
2012:
1955:
1886:
1849:
1778:
1754:
1662:
1510:
1357:
1244:
1137:
1044:
981:
894:
850:
783:
734:
689:
659:
627:
590:
481:
388:
324:
295:
244:
215:
165:
5177:
5087:
4801:
4678:
4554:
4499:
4441:
4414:
4387:
4322:for the nonhomogeneous differential equation, and
4310:
4170:
3601:{\displaystyle c_{4}={\frac {i}{2(-k^{2}+4ik+5)}}}
3600:
3521:
3439:
3324:
3201:
2527:
2413:
2235:
2194:
2129:
2088:
2033:
1998:
1941:
1864:
1828:
1760:
1735:
1647:
1493:
1342:
1227:
1122:
1027:
966:
877:
835:
766:
719:
672:
644:
610:
575:
426:
374:
310:
277:
230:
198:
3522:{\displaystyle c_{3}={\frac {i}{2(k^{2}+4ik-5)}}}
1732:
1644:
1490:
1339:
1224:
1119:
1024:
963:
874:
832:
763:
716:
669:
641:
607:
572:
318:to both sides of the ODE gives a homogeneous ODE
358:
327:
8:
2405:
2308:
2302:
2250:
2189:
2144:
421:
389:
4388:{\displaystyle y_{c}=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}}
375:{\displaystyle {\big (}A(D)P(D){\big )}y=0}
53:. Unsourced material may be challenged and
1297:
1296:
1287:
1286:
1087:
1086:
1077:
1076:
934:
933:
924:
923:
813:
812:
803:
802:
5157:
5135:
5119:
5106:
5100:
5067:
5054:
5041:
5010:
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4984:
4935:
4925:
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4869:
4856:
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4833:
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4817:
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4741:
4728:
4700:
4694:
4637:
4621:
4608:
4580:
4574:
4531:
4518:
4512:
4476:
4463:
4457:
4433:
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4400:
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4356:
4346:
4333:
4327:
4293:
4277:
4244:
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4186:
4146:
4130:
4097:
4054:
4045:
4035:
4022:
4012:
3968:
3934:
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3855:
3846:
3836:
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3813:
3793:
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3740:
3731:
3697:
3681:
3672:
3662:
3649:
3639:
3621:
3619:
3568:
3549:
3540:
3534:
3489:
3473:
3464:
3458:
3431:
3400:
3384:
3353:
3338:
3316:
3285:
3266:
3235:
3220:
3120:
3104:
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3006:
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2939:
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2777:
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2270:
2257:
2248:
2207:
2142:
2101:
2080:
2067:
2046:
2011:
1975:
1954:
1885:
1848:
1829:{\displaystyle k,b,a,c_{1},\cdots ,c_{k}}
1820:
1801:
1777:
1753:
1723:
1692:
1667:
1661:
1633:
1625:
1615:
1591:
1583:
1573:
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1544:
1525:
1515:
1509:
1494:{\displaystyle \left^{n+1}=\left^{n+1}\!}
1478:
1467:
1454:
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1393:
1380:
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1288:
1259:
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1218:
1205:
1180:
1167:
1154:
1136:
1092:
1078:
1049:
1043:
1012:
1002:
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980:
939:
925:
899:
893:
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855:
849:
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751:
733:
707:
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688:
658:
632:
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595:
589:
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550:
525:
509:
496:
486:
480:
415:
396:
387:
357:
356:
326:
325:
323:
294:
289:, hence the name of the method. Applying
243:
214:
164:
117:Learn how and when to remove this message
448:
427:{\displaystyle \{y_{1},\ldots ,y_{n}\}}
1028:{\displaystyle (D^{2}+b^{2})^{n+1}\!}
7:
51:adding citations to reliable sources
1942:{\displaystyle y''-4y'+5y=\sin(kx)}
382:for which we find a solution basis
150:method of undetermined coefficients
146:method of undetermined coefficients
2195:{\displaystyle \{2+i,2-i,ik,-ik\}}
1292:
1289:
1082:
1079:
929:
926:
808:
805:
14:
437:This method is not as general as
4555:{\displaystyle y_{2}=e^{(2-i)x}}
4500:{\displaystyle y_{1}=e^{(2+i)x}}
2089:{\displaystyle A(D)=D^{2}+k^{2}}
23:
5203:Ordinary differential equations
4562:can be further rewritten using
1999:{\displaystyle P(D)=D^{2}-4D+5}
144:(ODE's). It is similar to the
142:ordinary differential equations
5172:
5128:
5060:
5034:
5003:
4977:
4971:
4944:
4915:
4888:
4796:
4769:
4713:
4701:
4673:
4646:
4593:
4581:
4544:
4532:
4489:
4477:
4268:
4259:
4250:
4231:
4225:
4216:
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4112:
4103:
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4078:
4069:
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3922:
3913:
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3879:
3870:
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3749:
3721:
3690:
3592:
3558:
3513:
3482:
3424:
3393:
3377:
3346:
3309:
3275:
3259:
3228:
3192:
3189:
3180:
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2555:
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2328:
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2218:
2212:
2124:
2118:
2112:
2106:
2057:
2051:
2028:
2019:
2006:. The simplest annihilator of
1965:
1959:
1936:
1927:
1859:
1853:
1729:
1710:
1698:
1679:
1377:
1364:
1336:
1327:
1283:
1274:
1151:
1138:
1116:
1107:
1073:
1064:
1009:
982:
960:
951:
920:
911:
829:
820:
799:
790:
748:
735:
720:{\displaystyle x^{n}.e^{kx}\!}
353:
347:
341:
335:
305:
299:
285:. This operator is called the
266:
260:
254:
248:
225:
219:
193:
187:
175:
169:
1:
878:{\displaystyle D^{2}+b^{2}\!}
767:{\displaystyle (D-k)^{n+1}\!}
2202:, so the solution basis of
5219:
4452:The fundamental solutions
278:{\displaystyle A(D)f(x)=0}
199:{\displaystyle P(D)y=f(x)}
611:{\displaystyle D^{n+1}\!}
154:undetermined coefficients
3611:giving the solution set
2236:{\displaystyle A(D)P(D)}
2130:{\displaystyle A(z)P(z)}
2034:{\displaystyle \sin(kx)}
645:{\displaystyle e^{kx}\!}
439:variation of parameters
5179:
5089:
4803:
4680:
4556:
4501:
4443:
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4389:
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4172:
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3441:
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3203:
2529:
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2237:
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2131:
2090:
2035:
2000:
1943:
1866:
1830:
1762:
1737:
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1124:
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646:
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577:
428:
376:
312:
279:
232:
200:
5180:
5090:
4804:
4681:
4557:
4502:
4444:
4442:{\displaystyle c_{2}}
4417:
4415:{\displaystyle c_{1}}
4390:
4313:
4173:
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3442:
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2001:
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