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975:
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123:
1124:
111:
115:
25:
130:
828:
is
Noetherian, the statement of the Artin–Tate lemma is no longer true. Indeed, for any non-Noetherian ring
871:
980:
467:
246:
160:
1059:
E Artin, J.T Tate, "A note on finite ring extensions," J. Math. Soc Japan, Volume 3, 1951, pp. 74–77
589:
949:
76:
1080:
454:{\displaystyle x_{i}=\sum _{j}b_{ij}y_{j}\quad {\text{and}}\quad y_{i}y_{j}=\sum _{k}b_{ijk}y_{k}}
839:
119:
954:
50:
1084:
1043:
1072:
41:
17:
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1035:
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779:
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638:
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522:
312:
292:
226:
206:
1113:
1104:
29:
118:".) The lemma was introduced by E. Artin and J. Tate in 1951 to give a
1042:, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995,
157:
The following proof can be found in Atiyah–MacDonald. Let
1040:
Commutative
Algebra with a View Toward Algebraic Geometry
983:
957:
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842:
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53:
1019:, but all conditions as in the lemma are satisfied.
1007:
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8:
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52:
1028:
941:{\displaystyle (a,x)(b,y)=(ab,bx+ay)}
7:
1008:{\displaystyle B=A\oplus I\subset C}
1077:Introduction to Commutative Algebra
512:{\displaystyle b_{ij},b_{ijk}\in B}
282:{\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}}
196:{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{m}}
14:
977:which is not finitely generated,
391:
385:
110:(Here, "of finite type" means "
935:
908:
902:
890:
887:
875:
628:{\displaystyle b_{ij},b_{ijk}}
1:
824:Without the assumption that
129:The lemma is similar to the
1015:is not of finite type over
861:{\displaystyle C=A\oplus A}
329:-module. Then we can write
145:is a Noetherian ring, then
1146:
970:{\displaystyle I\subset A}
112:finitely generated algebra
66:{\displaystyle B\subset C}
124:Hilbert's Nullstellensatz
116:finitely generated module
796:is a finitely generated
756:is a finitely generated
1120:Theorems about algebras
102:is of finite type over
86:is of finite type over
28:and his former advisor
1009:
971:
942:
862:
836:-algebra structure on
810:
790:
770:
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676:
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533:
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303:
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197:
149:is a Noetherian ring.
114:" and "finite" means "
67:
1010:
972:
943:
863:
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820:Noetherian necessary
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760:
733:
706:
686:
682:is Noetherian, also
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543:
523:
468:
336:
313:
293:
247:
227:
207:
161:
131:Eakin–Nagata theorem
51:
1130:Commutative algebra
539:is finite over the
1005:
967:
938:
858:
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361:
319:
299:
279:
233:
213:
193:
63:
1125:Lemmas in algebra
1091:. Proposition 7.8
832:we can define an
809:{\displaystyle A}
789:{\displaystyle B}
769:{\displaystyle A}
695:{\displaystyle B}
648:{\displaystyle A}
586:generated by the
552:{\displaystyle A}
532:{\displaystyle C}
415:
389:
352:
322:{\displaystyle B}
302:{\displaystyle C}
243:-algebra and let
236:{\displaystyle A}
216:{\displaystyle C}
133:, which says: if
1137:
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22:Artin–Tate lemma
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1095:
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1058:
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1050:, Exercise 4.32
1036:Eisenbud, David
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948:. Then for any
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776:-algebra, also
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1099:External links
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868:by declaring
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635:. Using that
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37:
21:
15:
74:commutative
42:commutative
1114:Categories
1023:References
816:-algebra.
655:and hence
32:, states:
30:Emil Artin
1069:M. Atiyah
1000:⊂
994:⊕
962:⊂
853:⊕
559:-algebra
504:∈
417:∑
354:∑
289:generate
264:…
203:generate
178:…
58:⊂
26:John Tate
1083:, 1994.
729:. Since
519:. Then
98:, then
90:and if
18:algebra
1087:
1046:
223:as an
20:, the
950:ideal
464:with
309:as a
153:Proof
120:proof
82:. If
40:be a
1085:ISBN
1044:ISBN
141:and
47:and
36:Let
388:and
122:of
16:In
1116::
1079:,
1075:,
1071:,
1038:,
126:.
1017:A
1003:C
997:I
991:A
988:=
985:B
965:A
959:I
936:)
933:y
930:a
927:+
924:x
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906:=
903:)
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856:A
850:A
847:=
844:C
834:A
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