3099:
3078:
2363:
1417:
722:
1210:
222:
883:
1779:
293:
1252:
1084:
375:
977:
1682:
121:
1446:
1137:
2399:
1293:
1615:
588:
2252:
806:
613:
432:
491:
319:
1035:
909:
1712:
1539:
1505:
780:
552:
1006:
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1566:
748:
3140:
1915:
1638:
1474:
1313:
1108:
929:
608:
454:
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1142:
1321:
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2501:
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2017:
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1932:
1717:
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2650:
2159:
2093:
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2608:
2601:
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2408:
2195:
1996:
2511:
2068:
934:
3159:
2874:
2855:
2531:
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227:
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3053:
3037:
2737:
2686:
2586:
2571:
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2231:
1647:
1508:
74:
79:
3032:
2732:
2719:
2701:
2666:
2506:
1422:
1113:
3048:
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2971:
2306:
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1818:
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1257:
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2931:
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2804:
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2774:
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2144:
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2046:
2041:
2012:
1893:
1867:
1542:
982:
496:
1971:
1855:
1784:
1548:
1412:{\displaystyle x=\left(x_{0},x_{1}\right)\mapsto \left|x_{0}\right|+\left|x_{1}\right|.}
730:
3106:
3027:
2976:
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2333:
2185:
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1623:
1459:
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1093:
914:
593:
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3153:
3011:
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2752:
2727:
2671:
2623:
2559:
2338:
2262:
1991:
1976:
1966:
128:
717:{\displaystyle p(x)={\begin{cases}|x|,&x\leq 0;\\2|x|,&x\geq 0;\end{cases}}}
3058:
3006:
2966:
2956:
2834:
2681:
2676:
2473:
2423:
2377:
2328:
1981:
1951:
1316:
51:
28:
1419:
Different convex sets yield different seminorms, and every asymmetric seminorm on
3098:
3016:
3001:
2894:
2788:
2783:
2768:
2747:
2711:
2618:
2438:
2257:
2247:
2154:
1956:
48:
20:
2829:
2742:
2706:
2566:
2448:
2190:
2030:
2026:
2022:
1685:
1087:
1863:
1040:
Corresponce between asymmetric seminorms and convex subsets of the dual space
2981:
2798:
1453:
563:
2946:
2941:
2899:
2879:
2849:
2640:
1205:{\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\langle \varphi ,x\rangle .}
2889:
1832:
CobzaĹź, S. (2006). "Compact operators on spaces with asymmetric norm".
1846:
2381:
1897:
217:{\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y){\text{ for all }}x,y\in X.}
878:{\displaystyle p_{B}(x)=\inf \left\{r\geq 0:x\in rB\right\}\,}
710:
436:
If the condition of positive definiteness is omitted, then
1774:{\displaystyle p(x)=\max _{\varphi \in B^{*}}\varphi (x)}
3114:
1456:
with convex sets that contain the origin. The seminorm
1090:
that contains the origin, then an asymmetric seminorm
1882:, Frontiers in Mathematics, Basel: Birkhäuser, 2013;
1787:
1720:
1693:
1650:
1626:
1577:
1551:
1520:
1486:
1462:
1425:
1324:
1301:
1260:
1218:
1145:
1116:
1096:
1050:
1014:
985:
937:
917:
891:
814:
788:
761:
733:
616:
596:
571:
528:
499:
470:
442:
390:
334:
301:
237:
142:
82:
59:
2817:
2761:
2659:
2547:
2482:
2416:
2316:
2240:
2219:
2178:
2117:
2059:
2005:
1940:
808:that contains the origin is defined by the formula
460:. A weaker condition than positive definiteness is
288:{\displaystyle p(rx)=rp(x){\text{ for all }}x\in X}
2253:Spectral theory of ordinary differential equations
1796:
1773:
1706:
1676:
1632:
1609:
1560:
1533:
1499:
1468:
1440:
1411:
1307:
1287:
1246:
1204:
1131:
1102:
1078:
1029:
1000:
971:
923:
903:
877:
800:
774:
742:
716:
602:
582:
546:
514:
485:
448:
426:
369:
313:
287:
216:
115:
65:
1448:can be obtained from some convex set, called its
1737:
1162:
837:
1880:Functional Analysis in Asymmetric Normed Spaces
1247:{\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}}
1079:{\displaystyle B^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
911:. This functional is an asymmetric seminorm if
1815: – Generalization of Riemannian manifolds
3134:
2393:
1909:
370:{\displaystyle p(x)>0{\text{ unless }}x=0}
8:
1196:
1184:
384:in that they need not satisfy the equality
3141:
3127:
2400:
2386:
2378:
1944:
1916:
1902:
1894:
1845:
1786:
1751:
1740:
1719:
1698:
1692:
1668:
1655:
1649:
1625:
1598:
1582:
1576:
1550:
1525:
1519:
1491:
1485:
1461:
1452:. Therefore, asymmetric seminorms are in
1432:
1428:
1427:
1424:
1396:
1375:
1353:
1340:
1323:
1300:
1259:
1238:
1234:
1233:
1223:
1217:
1176:
1165:
1144:
1123:
1119:
1118:
1115:
1095:
1070:
1066:
1065:
1055:
1049:
1013:
984:
942:
936:
916:
890:
874:
819:
813:
787:
766:
760:
732:
685:
677:
648:
640:
632:
615:
595:
573:
572:
570:
527:
498:
469:
441:
389:
353:
333:
300:
271:
236:
191:
141:
81:
58:
2206:Group algebra of a locally compact group
31:is a generalization of the concept of a
972:{\displaystyle \bigcup _{r\geq 0}rB=X,}
16:Generalization of the concept of a norm
2539:Uniform boundedness (Banach–Steinhaus)
931:is an absorbing set, which means that
724:is an asymmetric norm but not a norm.
7:
3095:
3093:
1677:{\displaystyle B^{*}\subseteq X^{*}}
295:and every non-negative real number
123:that has the following properties:
116:{\displaystyle p:X\to [0,+\infty )}
3113:. You can help Knowledge (XXG) by
1684:is a compact convex subset of the
107:
14:
1480:positive definite if and only if
3097:
3077:
3076:
2362:
2361:
2288:Topological quantum field theory
1821: – Function made from a set
1441:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
1132:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
493:at least one of the two numbers
3064:With the approximation property
1714:that contains the origin, then
2527:Open mapping (Banach–Schauder)
1768:
1762:
1730:
1724:
1364:
1288:{\displaystyle (\pm 1,\pm 1),}
1279:
1261:
1155:
1149:
995:
989:
831:
825:
686:
678:
649:
641:
626:
620:
541:
532:
509:
503:
418:
412:
403:
394:
344:
338:
268:
262:
250:
241:
188:
182:
173:
167:
158:
146:
110:
95:
92:
1:
2084:Uniform boundedness principle
1834:Stud. Univ. BabeĹź-Bolyai Math
1781:is an asymmetric seminorm on
1610:{\displaystyle B^{*}=-B^{*}.}
583:{\displaystyle \mathbb {R} ,}
380:Asymmetric norms differ from
1254:is the square with vertices
801:{\displaystyle B\subseteq X}
2748:Radially convex/Star-shaped
2733:Pre-compact/Totally bounded
1507:contains the origin in its
427:{\displaystyle p(-x)=p(x).}
3186:
3092:
2434:Continuous linear operator
2227:Invariant subspace problem
1514:degenerate if and only if
3072:
2779:Algebraic interior (core)
2521:Vector-valued Hahn–Banach
2409:Topological vector spaces
2357:
1947:
1571:symmetric if and only if
1454:one-to-one correspondence
2609:Topological homomorphism
2469:Topological vector space
2196:Spectrum of a C*-algebra
486:{\displaystyle x\neq 0,}
314:{\displaystyle r\geq 0.}
2293:Noncommutative geometry
1545:of dimension less than
1030:{\displaystyle x\in X.}
727:In a real vector space
228:Nonnegative homogeneity
3109:-related article is a
2667:Absolutely convex/disk
2349:Tomita–Takesaki theory
2324:Approximation property
2268:Calculus of variations
1798:
1775:
1708:
1678:
1644:real vector space and
1634:
1611:
1562:
1535:
1501:
1470:
1442:
1413:
1309:
1289:
1248:
1206:
1133:
1104:
1080:
1031:
1002:
973:
925:
905:
904:{\displaystyle x\in X}
879:
802:
776:
744:
718:
604:
584:
548:
516:
487:
450:
428:
371:
315:
289:
218:
117:
67:
2702:Complemented subspace
2516:hyperplane separation
2344:Banach–Mazur distance
2307:Generalized functions
1799:
1776:
1709:
1707:{\displaystyle X^{*}}
1679:
1635:
1612:
1563:
1536:
1534:{\displaystyle B^{*}}
1502:
1500:{\displaystyle B^{*}}
1471:
1443:
1414:
1310:
1290:
1249:
1207:
1134:
1105:
1081:
1032:
1003:
974:
926:
906:
880:
803:
777:
775:{\displaystyle p_{B}}
745:
719:
605:
585:
549:
547:{\displaystyle p(-x)}
517:
488:
451:
429:
372:
325:Positive definiteness
316:
290:
219:
118:
68:
3170:Linear algebra stubs
2952:Locally convex space
2502:Closed graph theorem
2454:Locally convex space
2089:Kakutani fixed-point
2074:Riesz representation
1819:Minkowski functional
1785:
1718:
1691:
1648:
1624:
1575:
1549:
1518:
1509:topological interior
1484:
1460:
1423:
1322:
1299:
1258:
1216:
1143:
1114:
1094:
1048:
1012:
1001:{\displaystyle p(x)}
983:
935:
915:
889:
812:
786:
759:
753:Minkowski functional
731:
614:
594:
569:
526:
515:{\displaystyle p(x)}
497:
468:
440:
388:
332:
299:
235:
140:
80:
57:
3165:Norms (mathematics)
2932:Interpolation space
2464:Operator topologies
2273:Functional calculus
2232:Mahler's conjecture
2211:Von Neumann algebra
1925:Functional analysis
1856:2006math......8031C
1620:More generally, if
1008:is finite for each
782:of a convex subset
458:asymmetric seminorm
273: for all
193: for all
134:triangle inequality
2962:(Pseudo)Metrizable
2794:Minkowski addition
2646:Sublinear function
2298:Riemann hypothesis
1997:Topological vector
1797:{\displaystyle X.}
1794:
1771:
1758:
1704:
1674:
1642:finite-dimensional
1630:
1607:
1561:{\displaystyle n,}
1558:
1541:is contained in a
1531:
1497:
1466:
1438:
1409:
1305:
1285:
1244:
1202:
1183:
1129:
1110:can be defined on
1100:
1076:
1027:
998:
969:
953:
921:
901:
875:
798:
772:
743:{\displaystyle X,}
740:
714:
709:
600:
580:
544:
512:
483:
446:
424:
367:
355: unless
311:
285:
214:
113:
63:
3122:
3121:
3090:
3089:
2809:Relative interior
2555:Bilinear operator
2439:Linear functional
2375:
2374:
2278:Integral operator
2055:
2054:
1888:978-3-0348-0477-6
1736:
1633:{\displaystyle X}
1469:{\displaystyle p}
1308:{\displaystyle p}
1212:For instance, if
1161:
1103:{\displaystyle p}
979:and ensures that
938:
924:{\displaystyle B}
603:{\displaystyle p}
449:{\displaystyle p}
356:
274:
194:
66:{\displaystyle X}
3177:
3143:
3136:
3129:
3101:
3094:
3080:
3079:
3054:Uniformly smooth
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