1924:
1234:
3373:
3185:
3047:
2684:
2562:
2088:
3917:
2842:
2434:
1409:
1318:
528:
3272:
1770:
1714:
1094:
1038:
4216:
4117:
4963:
4814:
1593:
3618:
4281:
1348:
4437:
4359:
838:
591:
346:
2242:
2288:
1775:
1543:
5011:
3491:
955:
4666:
4581:
634:
430:
3689:
4899:
4855:
4746:
5266:
5205:
5144:
3735:
3829:
2159:
5076:
4698:
1460:
2911:
2346:
1278:
979:
456:
3540:
3424:
747:
709:
672:
295:
256:
228:
200:
172:
148:
1984:
1953:
1132:
5039:
1616:
1429:
1254:
98:
71:
1658:
5560:
3756:
invariants of metric spaces in general and of finitely generated groups in particular. Asymptotic cones also turn out to be a useful tool in the study of
175:(whose inclusion function can be thought of as a measure) which is closed under finite intersection, upwards-closed, and also which, given any subset
5439:(in Russian), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), pp. 3–51; translated in: Russian Math. Surveys vol. 47, no. 2 (1992), pp. 1–58
2244:
is admissible. Therefore, in this situation the choice of base-points does not have to be specified when defining an ultralimit, and the ultralimit
4905:
where the distance between two lattice points is given by the length of the shortest edge-path between them in the grid. Then the asymptotic cone
3277:
3089:
2951:
2588:
2466:
1992:
5525:
5488:
5460:
5401:
5368:
5327:
3834:
2759:
2351:
1353:
5550:
5510:
5303:
2945:
2739:
105:
1283:
464:
5588:
3222:
1719:
1663:
1043:
987:
4122:
4023:
5480:
5452:
5393:
5360:
5319:
4908:
4759:
1551:
3545:
3757:
4235:
1323:
4386:
4308:
1919:{\displaystyle d_{\infty }(,):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}
795:
547:
303:
2181:
5593:
2247:
1502:
117:
4968:
3444:
898:
4620:
4535:
596:
392:
104:
to bypass the need for repeated consideration of subsequences to ensure convergence. Ultralimits generalize
3642:
5573:
4863:
4819:
4710:
4529:
3741:
5225:
5164:
5103:
3694:
4517:
2582:
2460:
5090:
3806:
2136:
5052:
4674:
3749:
1438:
1432:
2876:
2311:
1259:
960:
435:
4477:
3504:
2870:
3407:
1229:{\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}
730:
692:
655:
278:
239:
211:
183:
155:
131:
5535:
5499:
5423:
5344:
1962:
1931:
5546:
5521:
5484:
5456:
5412:
5397:
5364:
5323:
4489:
5016:
4701:
1601:
1414:
1239:
76:
49:
4902:
4753:
4669:
636:. (For this property to hold, it is crucial that the ultrafilter should be non-principal.)
5042:
3753:
1621:
125:
5582:
4611:
4584:
3745:
712:
5507:
On asymptotic cones and quasi-isometry classes of fundamental groups of 3-manifolds
5300:
On asymptotic cones and quasi-isometry classes of fundamental groups of 3-manifolds
5219:
3209:
3079:
2113:
1956:
768:
349:
43:
28:
101:
35:
5531:
Cornelia Druţu and Mark Sapir (with an
Appendix by Denis Osin and Mark Sapir),
5496:
On Gromov's theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic
5341:
On Gromov's theorem concerning groups of polynomial growth and elementary logic
4461:)=1. This shows that the ultralimit can depend on the choice of an ultrafilter
17:
5416:
984:
It follows from the triangle inequality that for any two admissible sequences
73:. The concept captures the limiting behavior of finite configurations in the
5147:
3376:
3368:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
3180:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
3042:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
2679:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
2557:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
2083:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}
5558:
Rigidity of quasi-isometries for symmetric spaces and
Euclidean buildings.
2690:
Actually, by construction, the limit space is always complete, even when (
5380:
Bridson, Haefliger "Metric Spaces of Non-positive curvature" Lemma 5.53
685:
In particular, any bounded sequence of real numbers has a well-defined
3912:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}
2837:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}
2429:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}
2730:) are compact metric spaces that converge to a compact metric space (
3635:; in this case the asymptotic cone does not depend on the choice of
2116:
of uniformly bounded diameter, that is, there exists a real number
1404:{\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}
5161:) be a metric space of finite diameter. Then the asymptotic cone
4756:
with the standard
Euclidean metric. Then the asymptotic cone
3740:
The notion of an asymptotic cone plays an important role in
1570:
1444:
1305:
1265:
966:
891:
is bounded, that is, if there exists a positive real number
267:
Limit of a sequence of points with respect to an ultrafilter
5543:
Metric
Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces.
2308:
but does not depend on the choice of a base-point sequence
1313:{\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}
3620:. One often takes the base-point sequence to be constant,
523:{\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}
3267:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}
2756:) have uniformly bounded diameter), then the ultralimit
1765:{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1709:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1089:{\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
1033:{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
5563:. Volume 86, Number 1, December 1997, pp. 115–197.
27:
For the direct limit of a sequence of ultrapowers, see
5437:
A. D. Aleksandrov spaces with curvatures bounded below
2094:
On base points in the case of uniformly bounded spaces
719:
Ultralimit of metric spaces with specified base-points
5228:
5167:
5106:
5055:
5019:
4971:
4911:
4866:
4822:
4762:
4713:
4677:
4623:
4538:
4389:
4311:
4238:
4211:{\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}
4125:
4112:{\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}
4026:
3837:
3809:
3697:
3645:
3548:
3507:
3447:
3410:
3280:
3225:
3092:
2954:
2879:
2762:
2591:
2469:
2354:
2314:
2250:
2184:
2139:
1995:
1965:
1934:
1778:
1722:
1666:
1624:
1604:
1554:
1505:
1441:
1417:
1356:
1326:
1286:
1262:
1242:
1135:
1046:
990:
963:
957:, then denote the set of all admissible sequences by
901:
798:
733:
695:
658:
599:
550:
467:
438:
395:
306:
281:
242:
214:
186:
158:
134:
79:
52:
5545:
3966:) be a sequence of metric spaces such that for each
3388:
An important class of ultralimits are the so-called
541:-limit of a sequence of points exists, it is unique.
2742:
sense (this automatically implies that the spaces (
5533:Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups.
5421:Tree-graded spaces and asymptotic cones of groups.
5260:
5199:
5138:
5070:
5033:
5005:
4958:{\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}
4957:
4893:
4849:
4809:{\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}
4808:
4740:
4692:
4660:
4575:
4431:
4353:
4275:
4210:
4111:
3911:
3823:
3744:since asymptotic cones (or, more precisely, their
3729:
3683:
3612:
3534:
3485:
3418:
3367:
3266:
3179:
3041:
2905:
2836:
2678:
2556:
2428:
2340:
2282:
2236:
2153:
2082:
1978:
1947:
1918:
1764:
1708:
1652:
1610:
1588:{\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}
1587:
1537:
1454:
1423:
1403:
1342:
1312:
1272:
1248:
1228:
1088:
1032:
973:
949:
832:
741:
703:
666:
628:
585:
522:
450:
424:
340:
289:
250:
222:
194:
166:
142:
92:
65:
3952:) be two distinct compact metric spaces and let (
3613:{\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}
2913:are base-points such that the pointed sequence (
42:is a geometric construction that assigns a limit
4625:
4540:
4391:
4313:
3871:
3314:
3227:
3126:
2988:
2796:
2625:
2503:
2388:
2029:
1865:
1178:
607:
558:
403:
5426:, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.
5538:, Volume 44 (2005), no. 5, pp. 959–1058.
4528:. Then the ultralimit (and even the ordinary
4276:{\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}
1343:{\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }
8:
4432:{\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}
4354:{\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}
4204:
4139:
4105:
4040:
1280:of all admissible sequences as follows. For
508:
468:
833:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
586:{\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}
341:{\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}
2237:{\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}
5518:Hyperbolic Manifolds and Discrete Groups.
5435:Yu. Burago, M. Gromov, and G. Perel'man.
5306:, Vol. 5 (1995), no. 3, pp. 582–603
5257:
5242:
5227:
5196:
5181:
5166:
5135:
5120:
5105:
5062:
5058:
5057:
5054:
5030:
5024:
5018:
4994:
4981:
4977:
4976:
4970:
4940:
4936:
4935:
4925:
4910:
4876:
4872:
4871:
4865:
4832:
4828:
4827:
4821:
4791:
4787:
4786:
4776:
4761:
4723:
4719:
4718:
4712:
4684:
4680:
4679:
4676:
4628:
4622:
4543:
4537:
4420:
4407:
4394:
4388:
4342:
4329:
4316:
4310:
4266:
4265:
4256:
4243:
4237:
4207:
4195:
4170:
4157:
4145:
4130:
4124:
4108:
4096:
4071:
4058:
4046:
4031:
4025:
3900:
3887:
3874:
3858:
3845:
3836:
3817:
3816:
3808:
3726:
3711:
3696:
3680:
3659:
3644:
3609:
3600:
3590:
3562:
3547:
3531:
3525:
3515:
3506:
3474:
3457:
3446:
3412:
3411:
3409:
3356:
3343:
3330:
3317:
3301:
3288:
3279:
3246:
3230:
3224:
3168:
3155:
3142:
3129:
3113:
3100:
3091:
3030:
3017:
3004:
2991:
2975:
2962:
2953:
2897:
2884:
2878:
2825:
2812:
2799:
2783:
2770:
2761:
2667:
2654:
2641:
2628:
2612:
2599:
2590:
2545:
2532:
2519:
2506:
2490:
2477:
2468:
2417:
2404:
2391:
2375:
2362:
2353:
2332:
2319:
2313:
2283:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}
2271:
2258:
2249:
2228:
2215:
2202:
2192:
2183:
2147:
2146:
2138:
2071:
2058:
2045:
2032:
2016:
2003:
1994:
1970:
1964:
1939:
1933:
1904:
1891:
1878:
1868:
1853:
1845:
1836:
1825:
1824:
1809:
1795:
1783:
1777:
1756:
1755:
1748:
1738:
1723:
1721:
1700:
1699:
1692:
1682:
1667:
1665:
1642:
1628:
1623:
1603:
1580:
1575:
1569:
1568:
1559:
1553:
1538:{\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}
1526:
1513:
1504:
1443:
1442:
1440:
1416:
1387:
1379:
1370:
1359:
1358:
1355:
1335:
1327:
1325:
1304:
1303:
1295:
1287:
1285:
1264:
1263:
1261:
1241:
1217:
1204:
1191:
1181:
1166:
1158:
1149:
1138:
1137:
1134:
1080:
1079:
1072:
1062:
1047:
1045:
1024:
1023:
1016:
1006:
991:
989:
965:
964:
962:
932:
919:
906:
900:
824:
823:
816:
806:
797:
735:
734:
732:
697:
696:
694:
660:
659:
657:
620:
610:
598:
577:
561:
549:
487:
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416:
406:
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324:
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305:
283:
282:
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213:
188:
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133:
84:
78:
57:
51:
5513:, Vol. 5 (1995), no. 3, pp. 582–603
5006:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}
3486:{\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}
950:{\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}
5278:
4661:{\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}
4576:{\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}
3437:be a sequence of base-points. Then the
2936:) converges to a proper metric space (
2704:) is a repeating sequence of a space (
629:{\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}
425:{\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}
3777:) be a compact metric space and put (
3684:{\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}
1125:is bounded and hence there exists an
7:
5561:Publications Mathématiques de L'IHÉS
5415:and Mark Sapir (with an Appendix by
5294:
5292:
5290:
5288:
5286:
5284:
5282:
4894:{\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}
4850:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}
4741:{\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}
682:exists (and is necessarily unique).
678:-limit of any sequence of points in
640:A fundamental fact states that, if (
5347:, Vol. 89(1984), pp. 349–374.
5261:{\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}
5200:{\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}
5139:{\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}
3730:{\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}
5502:, Vol. 89(1984), pp. 349–374.
3859:
3846:
3441:–ultralimit of the sequence
3404:be a non-principal ultrafilter on
3302:
3289:
3258:
3237:
3114:
3101:
2976:
2963:
2784:
2771:
2613:
2600:
2491:
2478:
2376:
2363:
2272:
2259:
2017:
2004:
1971:
1940:
1837:
1784:
1560:
1527:
1514:
1371:
1150:
727:be a non-principal ultrafilter on
652:is a non-principal Ultrafilter on
568:
275:is a non-principal ultrafilter on
25:
5511:Geometric and Functional Analysis
5304:Geometric and Functional Analysis
3824:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
3493:is called the asymptotic cone of
2154:{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
1955:is well-defined and that it is a
862:If the sequence of real numbers (
5071:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
4693:{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}
2686:is also a complete metric space.
2564:is also a geodesic metric space.
1854:
1846:
1810:
1796:
1724:
1668:
1643:
1629:
1388:
1380:
1336:
1328:
1296:
1288:
1167:
1159:
1048:
992:
151:is a set of nonempty subsets of
5096:geodesic metric space for some
2440:Basic properties of ultralimits
1455:{\displaystyle {\mathcal {A}}.}
46:to a sequence of metric spaces
5254:
5248:
5193:
5187:
5132:
5126:
5000:
4972:
4952:
4931:
4888:
4867:
4844:
4823:
4803:
4782:
4735:
4714:
4655:
4634:
4602:with the distance function on
4570:
4549:
4426:
4400:
4348:
4322:
4201:
4182:
4176:
4150:
4146:
4102:
4083:
4077:
4051:
4047:
3906:
3880:
3864:
3838:
3723:
3717:
3677:
3665:
3606:
3597:
3583:
3568:
3522:
3508:
3480:
3448:
3362:
3323:
3307:
3281:
3234:
3174:
3135:
3119:
3093:
3036:
2997:
2981:
2955:
2906:{\displaystyle p_{n}\in X_{n}}
2831:
2805:
2789:
2763:
2673:
2634:
2618:
2592:
2551:
2512:
2496:
2470:
2423:
2397:
2381:
2355:
2341:{\displaystyle p_{n}\in X_{n}}
2277:
2251:
2199:
2185:
2077:
2038:
2022:
1996:
1910:
1884:
1858:
1842:
1830:
1817:
1814:
1806:
1800:
1792:
1789:
1745:
1731:
1689:
1675:
1647:
1639:
1633:
1625:
1532:
1506:
1392:
1376:
1364:
1273:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
1223:
1197:
1171:
1155:
1143:
1069:
1055:
1013:
999:
974:{\displaystyle {\mathcal {A}}}
938:
912:
813:
799:
565:
499:
480:
451:{\displaystyle \epsilon >0}
321:
307:
263:if it contains no finite set.
1:
5494:L.Van den Dries, A.J.Wilkie,
5481:American Mathematical Society
5453:American Mathematical Society
5394:American Mathematical Society
5361:American Mathematical Society
5339:L.Van den Dries, A.J.Wilkie,
5320:American Mathematical Society
5100:≥0. Then the asymptotic cone
4301:-measure 1 and the other has
3535:{\displaystyle (p_{n})_{n}\,}
348:is a sequence of points in a
5478:Lectures on Coarse Geometry.
5450:Lectures on Coarse Geometry.
5391:Lectures on Coarse Geometry.
5358:Lectures on Coarse Geometry.
5317:Lectures on Coarse Geometry.
4617:. Therefore, the ultralimit
3758:relatively hyperbolic groups
3419:{\displaystyle \mathbb {N} }
1236:. One can define a relation
742:{\displaystyle \mathbb {N} }
704:{\displaystyle \mathbb {R} }
667:{\displaystyle \mathbb {N} }
290:{\displaystyle \mathbb {N} }
251:{\displaystyle \mathbb {N} }
223:{\displaystyle \mathbb {N} }
195:{\displaystyle \mathbb {N} }
167:{\displaystyle \mathbb {N} }
143:{\displaystyle \mathbb {N} }
106:Gromov–Hausdorff convergence
5371:; Proposition 7.20, p. 108.
5222:. Then the asymptotic cone
3760:and their generalizations.
2948:sense. Then the ultralimit
1979:{\displaystyle X_{\infty }}
1948:{\displaystyle d_{\infty }}
771:with specified base-points
5610:
5330:; Definition 7.19, p. 107.
2348:. In this case one writes
711:, as closed intervals are
26:
4476:) be a compact connected
3400:) be a metric space, let
2712:) which is not complete.
5556:B. Kleiner and B. Leeb,
1660:of admissible sequences
1411:This helps to show that
792:Suppose that a sequence
5463:; Example 7.30, p. 118.
5268:is also a CAT(0)-space.
5034:{\displaystyle d_{1}\,}
3392:of metric spaces. Let (
2161:. Then for any choice
593:in the standard sense,
5589:Geometric group theory
5574:Geometric group theory
5262:
5201:
5140:
5072:
5035:
5007:
4959:
4895:
4851:
4810:
4742:
4694:
4662:
4577:
4530:Gromov-Hausdorff limit
4520:. Choose a base point
4433:
4355:
4277:
4212:
4113:
3913:
3831:. Then the ultralimit
3825:
3742:geometric group theory
3731:
3685:
3614:
3536:
3487:
3420:
3369:
3268:
3181:
3086:. Then the ultralimit
3043:
2907:
2838:
2680:
2583:complete metric spaces
2558:
2461:geodesic metric spaces
2430:
2342:
2284:
2238:
2155:
2120:> 0 such that diam(
2084:
1980:
1949:
1920:
1766:
1710:
1654:
1612:
1589:
1539:
1456:
1425:
1405:
1344:
1314:
1274:
1250:
1230:
1090:
1034:
975:
951:
834:
743:
705:
668:
630:
587:
524:
452:
426:
342:
291:
252:
224:
196:
168:
144:
94:
67:
5505:M. Kapovich B. Leeb.
5298:M. Kapovich B. Leeb.
5263:
5202:
5141:
5073:
5036:
5008:
4960:
4901:be the 2-dimensional
4896:
4852:
4811:
4743:
4695:
4663:
4578:
4518:geodesic metric space
4434:
4356:
4278:
4213:
4114:
3914:
3826:
3732:
3686:
3615:
3537:
3488:
3421:
3370:
3269:
3182:
3044:
2908:
2839:
2681:
2559:
2431:
2343:
2285:
2239:
2156:
2085:
1981:
1950:
1921:
1767:
1711:
1655:
1618:-equivalence classes
1613:
1611:{\displaystyle \sim }
1590:
1540:
1457:
1426:
1424:{\displaystyle \sim }
1406:
1345:
1315:
1275:
1251:
1249:{\displaystyle \sim }
1231:
1091:
1035:
976:
952:
835:
744:
706:
669:
631:
588:
533:It is observed that,
525:
453:
427:
343:
292:
253:
235:. An ultrafilter on
225:
197:
169:
145:
95:
93:{\displaystyle X_{n}}
68:
66:{\displaystyle X_{n}}
5226:
5165:
5104:
5053:
5017:
4969:
4909:
4864:
4820:
4760:
4711:
4675:
4668:is isometric to the
4621:
4583:is isometric to the
4536:
4387:
4309:
4236:
4123:
4024:
3835:
3807:
3695:
3643:
3546:
3505:
3445:
3408:
3278:
3274:Then the ultralimit
3223:
3208:) be a sequence of
3090:
3078:) be a sequence of
2952:
2877:
2871:proper metric spaces
2760:
2589:
2467:
2352:
2312:
2248:
2182:
2137:
1993:
1963:
1932:
1776:
1720:
1664:
1622:
1602:
1552:
1545:defined as follows.
1503:
1499:) is a metric space
1439:
1433:equivalence relation
1415:
1354:
1324:
1284:
1260:
1240:
1133:
1044:
988:
961:
899:
796:
731:
693:
656:
597:
548:
465:
436:
393:
304:
279:
240:
212:
184:
156:
132:
100:spaces employing an
77:
50:
5220:CAT(0)-metric space
4478:Riemannian manifold
3639:and is denoted by
2112:) is a sequence of
767:) be a sequence of
203:, contains either
5520:Birkhäuser, 2000.
5500:Journal of Algebra
5345:Journal of Algebra
5258:
5207:is a single point.
5197:
5136:
5068:
5031:
5003:
4955:
4891:
4847:
4806:
4738:
4700:with the standard
4690:
4658:
4633:
4573:
4548:
4429:
4399:
4351:
4321:
4305:-measure 0. Hence
4283:Therefore, one of
4273:
4208:
4109:
3909:
3879:
3821:
3750:bi-Lipschitz types
3727:
3681:
3610:
3532:
3483:
3416:
3365:
3322:
3264:
3241:
3177:
3134:
3039:
2996:
2903:
2834:
2804:
2676:
2633:
2554:
2511:
2426:
2396:
2338:
2280:
2234:
2168:of base-points in
2151:
2080:
2037:
1976:
1945:
1916:
1873:
1762:
1706:
1650:
1608:
1585:
1548:Written as a set,
1535:
1452:
1421:
1401:
1340:
1310:
1270:
1246:
1226:
1186:
1086:
1030:
971:
947:
830:
739:
701:
664:
626:
615:
583:
572:
520:
448:
422:
411:
338:
287:
271:In the following,
248:
220:
192:
164:
140:
108:in metric spaces.
90:
63:
5526:978-0-8176-3904-4
5489:978-0-8218-3332-2
5461:978-0-8218-3332-2
5419:and Mark Sapir),
5402:978-0-8218-3332-2
5369:978-0-8218-3332-2
5328:978-0-8218-3332-2
4624:
4539:
4504:corresponding to
4500:be the metric on
4490:Riemannian metric
4439:is isometric to (
4390:
4361:is isometric to (
4312:
4232:are disjoint and
3919:is isometric to (
3870:
3746:topological types
3465:
3313:
3226:
3125:
3049:is isometric to (
2987:
2844:is isometric to (
2795:
2624:
2502:
2387:
2290:depends only on (
2028:
1864:
1833:
1653:{\displaystyle ,}
1472:of the sequence (
1367:
1177:
1146:
648:) is compact and
606:
557:
402:
368:, then the point
16:(Redirected from
5601:
5464:
5446:
5440:
5433:
5427:
5410:
5404:
5387:
5381:
5378:
5372:
5354:
5348:
5337:
5331:
5313:
5307:
5296:
5267:
5265:
5264:
5259:
5247:
5246:
5206:
5204:
5203:
5198:
5186:
5185:
5145:
5143:
5142:
5137:
5125:
5124:
5077:
5075:
5074:
5069:
5067:
5066:
5061:
5040:
5038:
5037:
5032:
5029:
5028:
5012:
5010:
5009:
5004:
4999:
4998:
4986:
4985:
4980:
4965:is isometric to
4964:
4962:
4961:
4956:
4945:
4944:
4939:
4930:
4929:
4900:
4898:
4897:
4892:
4881:
4880:
4875:
4856:
4854:
4853:
4848:
4837:
4836:
4831:
4816:is isometric to
4815:
4813:
4812:
4807:
4796:
4795:
4790:
4781:
4780:
4748:be the standard
4747:
4745:
4744:
4739:
4728:
4727:
4722:
4702:Euclidean metric
4699:
4697:
4696:
4691:
4689:
4688:
4683:
4667:
4665:
4664:
4659:
4632:
4582:
4580:
4579:
4574:
4547:
4438:
4436:
4435:
4430:
4425:
4424:
4412:
4411:
4398:
4360:
4358:
4357:
4352:
4347:
4346:
4334:
4333:
4320:
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