3924:
1094:
660:
283:
939:
954:
465:
2952:"On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure"
2956:
2545:
2424:
2255:
2143:
734:
1905:
1639:
784:
1747:
1696:
2193:
1960:
3582:
2786:
2676:
2480:
2359:
2303:
2064:
2796:
The third statement gives a necessary and sufficient condition concerning stability. Besides, the first statement exhibits some similarities with a result concerning
498:
2014:
1987:
343:
316:
132:
103:
506:
152:
2876:
Kreĭn, M. G.; Naĭmark, M. A. (1981) , "The method of symmetric and
Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations",
3796:
1089:{\displaystyle \operatorname {Bez} :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(f,g)\,y.}
792:
3015:
3887:
3806:
3572:
367:
2940:
2921:
3607:
3154:
3371:
3008:
3446:
3602:
3124:
2801:
3706:
3577:
3491:
3811:
3701:
3409:
3089:
2789:
2485:
2364:
2200:
3846:
3775:
3657:
3517:
3114:
3001:
2075:
676:
3716:
3299:
3104:
139:
41:
1758:
1126:
3662:
3399:
3249:
3244:
3079:
3054:
3049:
3923:
739:
3960:
3856:
3214:
3044:
3024:
49:
3877:
3851:
3429:
3234:
3224:
1701:
1650:
2150:
1927:
3928:
3882:
3872:
3826:
3821:
3750:
3686:
3552:
3289:
3284:
3219:
3209:
3074:
2983:
2435:
2749:
2639:
2443:
2322:
2266:
2027:
3965:
3939:
3726:
3721:
3711:
3691:
3652:
3647:
3476:
3471:
3456:
3451:
3442:
3437:
3384:
3279:
3229:
3174:
3144:
3139:
3119:
3109:
3069:
2975:
2936:
2917:
2893:
2743:
65:
2853:
3934:
3902:
3831:
3770:
3765:
3745:
3681:
3587:
3557:
3542:
3522:
3461:
3414:
3389:
3379:
3350:
3269:
3264:
3239:
3169:
3149:
3059:
3039:
2965:
2885:
2865:
2797:
2629:
2067:
473:
2905:
1992:
1965:
321:
294:
3632:
3567:
3547:
3532:
3512:
3496:
3394:
3325:
3315:
3274:
3159:
3129:
2901:
108:
79:
655:{\displaystyle {\frac {f(x)g(y)-f(y)g(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.}
2933:
Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness
3892:
3836:
3816:
3801:
3760:
3637:
3597:
3562:
3486:
3425:
3404:
3345:
3335:
3320:
3254:
3199:
3189:
3184:
3094:
2573:
135:
3954:
3897:
3755:
3696:
3627:
3617:
3612:
3537:
3466:
3340:
3330:
3259:
3179:
3164:
3099:
2849:
945:
278:{\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{n}u_{i}z^{i},\qquad g(z)=\sum _{i=0}^{n}v_{i}z^{i}.}
45:
33:
3780:
3737:
3642:
3355:
3294:
3204:
3084:
2258:
3622:
3592:
3360:
3194:
3064:
2548:
2314:
289:
57:
17:
934:{\displaystyle b_{ij}=\sum _{k=0}^{m_{ij}}(u_{j+k+1}v_{i-k}-u_{i-k}v_{j+k+1}).}
3673:
3134:
2889:
37:
2979:
2897:
2869:
3907:
3481:
2552:
61:
2970:
3841:
64:
of the two polynomials. Bézout matrices are sometimes used to test the
2987:
2951:
2993:
460:{\displaystyle B_{n}(f,g)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}}
2997:
2572:
An important application of Bézout matrices can be found in
1924:(which is 4). The other zero entries are because for each
2957:
673:
complex matrix, and its entries are such that if we let
944:
To each Bézout matrix, one can associate the following
1795:
1163:
2931:
Pritchard, Anthony J.; Hinrichsen, Diederich (2005).
2752:
2642:
2488:
2446:
2367:
2325:
2269:
2203:
2153:
2078:
2030:
1995:
1968:
1930:
1761:
1704:
1653:
1129:
957:
795:
742:
679:
509:
476:
370:
324:
297:
155:
111:
82:
3865:
3789:
3735:
3671:
3505:
3423:
3369:
3308:
3032:
2780:
2670:
2539:
2474:
2418:
2353:
2297:
2249:
2187:
2137:
2058:
2008:
1981:
1954:
1899:
1741:
1690:
1633:
1088:
933:
778:
728:
654:
492:
459:
337:
310:
277:
126:
97:
1893:
1627:
2723:)/2 of them lie in the open left half-plane, and
2495:
2374:
696:
3009:
2854:"Note sur la methode d'elimination de Bezout"
8:
1109: = 3, we have for any polynomials
723:
699:
2678:. Then, we have the following statements:
3583:Fundamental (linear differential equation)
3016:
3002:
2994:
2969:
2820:
2757:
2751:
2647:
2641:
2487:
2451:
2445:
2366:
2330:
2324:
2274:
2268:
2226:
2202:
2158:
2152:
2114:
2083:
2077:
2035:
2029:
2000:
1994:
1973:
1967:
1929:
1794:
1766:
1760:
1727:
1703:
1676:
1652:
1613:
1603:
1590:
1580:
1568:
1558:
1545:
1535:
1523:
1513:
1500:
1490:
1476:
1466:
1453:
1443:
1431:
1421:
1408:
1398:
1385:
1375:
1362:
1352:
1340:
1330:
1317:
1307:
1293:
1283:
1270:
1260:
1248:
1238:
1225:
1215:
1203:
1193:
1180:
1170:
1162:
1134:
1128:
1079:
1058:
1048:
995:
994:
985:
981:
980:
970:
966:
965:
956:
907:
891:
872:
850:
832:
827:
816:
800:
794:
741:
684:
678:
643:
638:
632:
627:
618:
602:
585:
510:
508:
481:
475:
421:
408:
375:
369:
329:
323:
302:
296:
266:
256:
246:
235:
206:
196:
186:
175:
154:
110:
81:
1912:The last row and column are all zero as
3888:Matrix representation of conic sections
2813:
2800:while the second one can be related to
2540:{\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}
2419:{\displaystyle n=\max(\deg(f),\deg(g))}
2250:{\displaystyle (f,g)\mapsto B_{n}(f,g)}
2832:
2138:{\displaystyle B_{n}(f,g)=-B_{n}(g,f)}
729:{\displaystyle m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}}
60:of this matrix, which is equal to the
2734:)/2 lie in the open right half-plane;
7:
2584:) be a complex polynomial of degree
2697:roots in common with its conjugate;
1900:{\displaystyle B_{4}(f,g)=\left\!.}
1634:{\displaystyle B_{3}(f,g)=\left\!.}
2916:. Basel, Switzerland: Birkhäuser.
2914:Polynomial and matrix computations
2712:) are located in such a way that:
14:
2912:Pan, Victor; Bini, Dario (1994).
3922:
2950:Sylvester, James Joseph (1853),
779:{\displaystyle i,j=0,\dots ,n-1}
353:associated with the polynomials
3790:Used in science and engineering
2596:the real polynomials such that
1920:have degree strictly less than
215:
3033:Explicitly constrained entries
2964:, The Royal Society: 407–548,
2878:Linear and Multilinear Algebra
2775:
2763:
2665:
2653:
2534:
2531:
2525:
2513:
2507:
2498:
2469:
2457:
2413:
2410:
2404:
2392:
2386:
2377:
2348:
2336:
2292:
2280:
2244:
2232:
2219:
2216:
2204:
2176:
2164:
2132:
2120:
2101:
2089:
2053:
2041:
1784:
1772:
1749:be the two polynomials. Then:
1714:
1708:
1663:
1657:
1152:
1140:
1076:
1064:
1038:
1026:
1017:
1014:
1002:
991:
925:
843:
561:
555:
549:
543:
534:
528:
522:
516:
393:
381:
225:
219:
165:
159:
121:
115:
92:
86:
1:
3807:Fundamental (computer vision)
1742:{\displaystyle g(x)=5x^{2}+1}
1691:{\displaystyle f(x)=3x^{3}-x}
2188:{\displaystyle B_{n}(f,f)=0}
1955:{\displaystyle i=0,\dots ,n}
3573:Duplication and elimination
3372:eigenvalues or eigenvectors
3982:
3506:With specific applications
3135:Discrete Fourier Transform
2781:{\displaystyle B_{n}(p,q)}
2671:{\displaystyle B_{n}(p,q)}
2624:is real). We also denote
2475:{\displaystyle B_{n}(f,g)}
2354:{\displaystyle B_{n}(f,g)}
2298:{\displaystyle B_{n}(f,g)}
2059:{\displaystyle B_{n}(f,g)}
3916:
3797:Cabibbo–Kobayashi–Maskawa
3424:Satisfying conditions on
2890:10.1080/03081088108817420
500:result from the identity
2870:10.1515/crll.1857.53.366
948:, called the Bézoutian:
48:in 1857 and named after
3155:Generalized permutation
68:of a given polynomial.
3929:Mathematics portal
2971:10.1098/rstl.1853.0018
2782:
2672:
2541:
2476:
2420:
2355:
2299:
2251:
2189:
2139:
2060:
2010:
1983:
1956:
1901:
1743:
1692:
1635:
1117:of degree (at most) 3:
1090:
935:
842:
780:
730:
656:
613:
494:
493:{\displaystyle b_{ij}}
461:
339:
312:
279:
251:
191:
128:
99:
56:may also refer to the
42:James Joseph Sylvester
2858:J. Reine Angew. Math.
2802:Routh–Hurwitz theorem
2783:
2673:
2636:for the signature of
2542:
2477:
2421:
2356:
2300:
2252:
2190:
2140:
2061:
2011:
2009:{\displaystyle v_{i}}
1984:
1982:{\displaystyle u_{i}}
1957:
1902:
1744:
1693:
1636:
1091:
936:
812:
781:
731:
657:
581:
495:
462:
340:
338:{\displaystyle v_{i}}
313:
311:{\displaystyle u_{i}}
280:
231:
171:
129:
100:
2935:. Berlin: Springer.
2750:
2640:
2576:. To see this, let
2486:
2444:
2365:
2361:is nonsingular with
2323:
2305:is a real matrix if
2267:
2201:
2151:
2076:
2028:
1993:
1966:
1928:
1759:
1702:
1651:
1127:
955:
793:
740:
677:
507:
474:
368:
345:could be zero.) The
322:
295:
153:
127:{\displaystyle g(z)}
109:
98:{\displaystyle f(z)}
80:
36:associated with two
3878:Linear independence
3125:Diagonally dominant
3883:Matrix exponential
3873:Jordan normal form
3707:Fisher information
3578:Euclidean distance
3492:Totally unimodular
2798:Sylvester matrices
2778:
2668:
2537:
2472:
2416:
2351:
2295:
2247:
2185:
2135:
2056:
2006:
1979:
1952:
1897:
1887:
1739:
1688:
1631:
1621:
1086:
931:
776:
726:
652:
490:
470:where the entries
457:
335:
308:
275:
124:
95:
3948:
3947:
3940:Category:Matrices
3812:Fuzzy associative
3702:Doubly stochastic
3410:Positive-definite
3090:Block tridiagonal
2790:positive definite
576:
3973:
3935:List of matrices
3927:
3926:
3903:Row echelon form
3847:State transition
3776:Seidel adjacency
3658:Totally positive
3518:Alternating sign
3115:Complex Hadamard
3018:
3011:
3004:
2995:
2990:
2973:
2946:
2927:
2908:
2872:
2836:
2830:
2824:
2818:
2787:
2785:
2784:
2779:
2762:
2761:
2677:
2675:
2674:
2669:
2652:
2651:
2546:
2544:
2543:
2538:
2481:
2479:
2478:
2473:
2456:
2455:
2425:
2423:
2422:
2417:
2360:
2358:
2357:
2352:
2335:
2334:
2304:
2302:
2301:
2296:
2279:
2278:
2256:
2254:
2253:
2248:
2231:
2230:
2194:
2192:
2191:
2186:
2163:
2162:
2144:
2142:
2141:
2136:
2119:
2118:
2088:
2087:
2065:
2063:
2062:
2057:
2040:
2039:
2015:
2013:
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