232:
521:
584:
95:
438:
336:
773:
965:
942:
807:
676:
784:
724:
Stawiska, Małgorzata (November 15, 2013). "Lucjan Emil Böttcher (1872–1937) - The Polish
Pioneer of Holomorphic Dynamics".
999:
658:
Böttcher, L. E. (1904). "The principal laws of convergence of iterates and their application to analysis (in
Russian)".
128:
235:
459:
114:
634:
366:
263:
747:
532:
677:
J. F. Ritt. On the iteration of rational functions . Trans. Amer. Math. Soc. 21 (1920) 348-356. MR 1501149.
279:
442:
34:
595:
973:
950:
275:
24:
725:
410:
289:
20:
803:
799:
Early Days in
Complex Dynamics: A history of complex dynamics in one variable during 1906–1942
745:
Cowen, C. C. (1982). "Analytic solutions of Böttcher's functional equation in the unit disk".
283:
110:
923:
913:
886:
876:
849:
839:
756:
704:
607:
306:
927:
890:
853:
622:
774:
math.stackexchange question: explicitly-calculating-greens-function-in-complex-dynamics
709:
692:
993:
901:
827:
618:
864:
897:
860:
823:
639:
614:
351:
688:
359:
603:
599:
292:
sketched a proof in 1904 on the existence of solution: an analytic function
259:
918:
881:
760:
844:
797:
785:
Chaos by Arun V. Holden
Princeton University Press, 14 lip 2014 - 334
796:
Alexander, Daniel S.; Iavernaro, Felice; Rosa, Alessandro (2012).
730:
613:
Global properties of the Böttcher coordinate were studied by
594:
Böttcher's equation plays a fundamental role in the part of
966:"Étude dynamique des polynômes convexes (deuxième partie)"
943:"Étude dynamique de polynômes complexes (première partie)"
403:
One can explicitly compute Böttcher coordinates for:
375:
in a neighbourhood of the fixed point to the function
362:
in 1920, who was unaware of the original formulation.
535:
462:
413:
309:
131:
37:
578:
515:
432:
330:
227:{\displaystyle h(z)=a+c(z-a)^{n}+O((z-a)^{n+1})~,}
226:
89:
516:{\displaystyle h(x)={\frac {x^{2}}{1-2x^{2}}}}
906:Bulletin de la Société Mathématique de France
869:Bulletin de la Société Mathématique de France
832:Bulletin de la Société Mathématique de France
8:
365:Böttcher's coordinate (the logarithm of the
917:
880:
843:
729:
708:
579:{\displaystyle F(x)={\frac {x}{1+x^{2}}}}
567:
551:
534:
504:
484:
478:
461:
424:
412:
308:
203:
172:
130:
81:
36:
693:"On the iteration of rational functions"
381:. An especially important case is when
902:"Sur les équations fonctionnelles, III"
650:
262:of this functional equation amounts to
865:"Sur les équations fonctionnelles, II"
828:"Sur les équations fonctionnelles, I"
296:in a neighborhood of the fixed point
7:
358:The complete proof was published by
341:This solution is sometimes called:
90:{\displaystyle F(h(z))=(F(z))^{n}}
14:
710:10.1090/S0002-9947-1920-1501149-6
964:Douady, A.; Hubbard, J. (1985).
941:Douady, A.; Hubbard, J. (1984).
545:
539:
472:
466:
417:
319:
313:
215:
200:
187:
184:
169:
156:
141:
135:
78:
74:
68:
62:
56:
53:
47:
41:
1:
526:the Böttcher function F is:
660:Izv. Kazan. Fiz.-Mat. Obshch
453:For the function h and n=2
1016:
433:{\displaystyle z\to z^{d}}
387:is a polynomial of degree
748:Aequationes Mathematicae
345:the Böttcher coordinate
113:with a superattracting
697:Trans. Amer. Math. Soc
580:
517:
434:
332:
331:{\displaystyle F(a)=0}
228:
91:
581:
518:
443:Chebyshev polynomials
435:
348:the Böttcher function
333:
254:is a sought function.
229:
92:
1000:Functional equations
596:holomorphic dynamics
533:
460:
411:
307:
290:Lucian Emil Böttcher
129:
35:
635:Schröder's equation
276:functional equation
264:Schröder's equation
25:functional equation
17:Böttcher's equation
919:10.24033/bsmf.1008
882:10.24033/bsmf.1003
761:10.1007/BF02193043
576:
513:
430:
328:
224:
87:
970:Publ. Math. Orsay
947:Publ. Math. Orsay
845:10.24033/bsmf.998
809:978-0-8218-4464-9
574:
511:
367:Schröder function
352:the Boettcher map
220:
111:analytic function
1007:
985:
984:
982:
981:
972:. Archived from
961:
959:
958:
949:. Archived from
938:
932:
931:
921:
894:
884:
857:
847:
820:
814:
813:
793:
787:
782:
776:
771:
765:
764:
742:
736:
735:
733:
721:
715:
714:
712:
685:
679:
674:
668:
667:
655:
608:complex variable
585:
583:
582:
577:
575:
573:
572:
571:
552:
522:
520:
519:
514:
512:
510:
509:
508:
489:
488:
479:
439:
437:
436:
431:
429:
428:
394:
390:
386:
380:
374:
337:
335:
334:
329:
253:
241:
233:
231:
230:
225:
218:
214:
213:
177:
176:
124:
120:
108:
96:
94:
93:
88:
86:
85:
1015:
1014:
1010:
1009:
1008:
1006:
1005:
1004:
990:
989:
988:
979:
977:
963:
956:
954:
940:
939:
935:
896:
859:
822:
821:
817:
810:
795:
794:
790:
783:
779:
772:
768:
744:
743:
739:
723:
722:
718:
687:
686:
682:
675:
671:
657:
656:
652:
648:
631:
592:
563:
556:
531:
530:
500:
490:
480:
458:
457:
451:
420:
409:
408:
401:
392:
388:
382:
376:
370:
305:
304:
300:, such that:
272:
249:
239:
199:
168:
127:
126:
122:
118:
106:
77:
33:
32:
21:Lucjan Böttcher
12:
11:
5:
1013:
1011:
1003:
1002:
992:
991:
987:
986:
933:
815:
808:
788:
777:
766:
737:
716:
703:(3): 348–356.
680:
669:
649:
647:
644:
643:
642:
637:
630:
627:
598:which studies
591:
588:
587:
586:
570:
566:
562:
559:
555:
550:
547:
544:
541:
538:
524:
523:
507:
503:
499:
496:
493:
487:
483:
477:
474:
471:
468:
465:
450:
447:
446:
445:
440:
427:
423:
419:
416:
400:
397:
356:
355:
349:
346:
339:
338:
327:
324:
321:
318:
315:
312:
271:
268:
256:
255:
247:
246: ≥ 2
223:
217:
212:
209:
206:
202:
198:
195:
192:
189:
186:
183:
180:
175:
171:
167:
164:
161:
158:
155:
152:
149:
146:
143:
140:
137:
134:
100:
99:
98:
97:
84:
80:
76:
73:
70:
67:
64:
61:
58:
55:
52:
49:
46:
43:
40:
19:, named after
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1012:
1001:
998:
997:
995:
976:on 2013-12-24
975:
971:
967:
953:on 2013-12-24
952:
948:
944:
937:
934:
929:
925:
920:
915:
911:
907:
903:
899:
892:
888:
883:
878:
874:
870:
866:
862:
855:
851:
846:
841:
837:
833:
829:
825:
819:
816:
811:
805:
801:
800:
792:
789:
786:
781:
778:
775:
770:
767:
762:
758:
754:
750:
749:
741:
738:
732:
727:
720:
717:
711:
706:
702:
698:
694:
690:
684:
681:
678:
673:
670:
665:
661:
654:
651:
645:
641:
638:
636:
633:
632:
628:
626:
624:
620:
616:
611:
609:
605:
601:
597:
589:
568:
564:
560:
557:
553:
548:
542:
536:
529:
528:
527:
505:
501:
497:
494:
491:
485:
481:
475:
469:
463:
456:
455:
454:
448:
444:
441:
425:
421:
414:
406:
405:
404:
398:
396:
385:
379:
373:
369:) conjugates
368:
363:
361:
353:
350:
347:
344:
343:
342:
325:
322:
316:
310:
303:
302:
301:
299:
295:
291:
287:
285:
284:implicit form
281:
277:
269:
267:
265:
261:
252:
248:
245:
237:
236:neighbourhood
221:
210:
207:
204:
196:
193:
190:
181:
178:
173:
165:
162:
159:
153:
150:
147:
144:
138:
132:
116:
112:
105:
104:
103:
82:
71:
65:
59:
50:
44:
38:
31:
30:
29:
28:
27:
26:
22:
18:
978:. Retrieved
974:the original
969:
955:. Retrieved
951:the original
946:
936:
909:
905:
872:
868:
835:
831:
818:
798:
791:
780:
769:
752:
746:
740:
719:
700:
696:
689:Ritt, Joseph
683:
672:
663:
659:
653:
640:External ray
612:
593:
590:Applications
525:
452:
402:
383:
377:
371:
364:
357:
340:
297:
293:
288:
274:Solution of
273:
257:
250:
243:
125:, (that is,
101:
16:
15:
912:: 208–314.
838:: 161–271.
755:: 187–194.
604:polynomials
407:power maps
360:Joseph Ritt
115:fixed point
109:is a given
980:2012-01-22
957:2012-01-22
928:47.0921.02
891:47.0921.02
854:47.0921.02
666:: 155–234.
646:References
898:Fatou, P.
875:: 33–94.
861:Fatou, P.
824:Fatou, P.
731:1307.7778
600:iteration
495:−
418:→
260:logarithm
194:−
163:−
117:of order
23:, is the
994:Category
900:(1920).
863:(1920).
826:(1919).
691:(1920).
629:See also
449:Examples
399:Explicit
280:function
270:Solution
242:), with
623:Hubbard
606:of one
102:where
926:
889:
852:
806:
619:Douady
395:= ∞ .
391:, and
219:
726:arXiv
615:Fatou
278:is a
234:in a
804:ISBN
621:and
617:and
384:h(z)
372:h(z)
258:The
924:JFM
914:doi
887:JFM
877:doi
850:JFM
840:doi
757:doi
705:doi
610:.
602:of
286:.
282:in
238:of
121:at
996::
968:.
962:;
945:.
922:.
910:48
908:.
904:.
895:;
885:.
873:48
871:.
867:.
858:;
848:.
836:47
834:.
830:.
802:.
753:24
751:.
701:21
699:.
695:.
664:14
662:.
625:.
266:.
983:.
960:.
930:.
916::
893:.
879::
856:.
842::
812:.
763:.
759::
734:.
728::
713:.
707::
569:2
565:x
561:+
558:1
554:x
549:=
546:)
543:x
540:(
537:F
506:2
502:x
498:2
492:1
486:2
482:x
476:=
473:)
470:x
467:(
464:h
426:d
422:z
415:z
393:a
389:n
378:z
354:.
326:0
323:=
320:)
317:a
314:(
311:F
298:a
294:F
251:F
244:n
240:a
222:,
216:)
211:1
208:+
205:n
201:)
197:a
191:z
188:(
185:(
182:O
179:+
174:n
170:)
166:a
160:z
157:(
154:c
151:+
148:a
145:=
142:)
139:z
136:(
133:h
123:a
119:n
107:h
83:n
79:)
75:)
72:z
69:(
66:F
63:(
60:=
57:)
54:)
51:z
48:(
45:h
42:(
39:F
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.