25:
4199:
4588:
2995:
3521:
4210:
3510:
5270:
1995:
2566:
2672:
4194:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} &=\mathbb {E} \left\right]=\mathbb {E} =\mathbb {E} =v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} &=\mathbb {E} \left\right]=\mathbb {E} =\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2}\\\mathbb {E} &=\mathbb {E} =\mathbb {E} =v^{2}+\mu ^{2}\end{aligned}}}
4583:{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu ^{2}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}(v^{2}+\mu ^{2})+a_{ik}(\sigma ^{2}+v^{2}+\mu ^{2})-(v^{2}+\mu ^{2})=a_{ik}\sigma ^{2}-\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)v^{2}=0}
3121:
5011:
2662:
In our previous equation, we decompose minimized function in the sum of two expressions. The second expression does not depend on parameters used in minimization. Therefore, minimizing the function is the same as minimizing the first part of the sum.
999:
5000:
1422:
2006:
1255:
We can give this result the interpretation, that Z part of the premium is based on the information that we have about the specific risk, and (1-Z) part is based on the information that we have about the whole population.
441:
4694:
1264:
The following proof is slightly different from the one in the original paper. It is also more general, because it considers all linear estimators, while original proof considers only estimators based on average claim.
4831:
2990:{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{i0}}}=\mathbb {E} \left=a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\mathbb {E} (X_{ij})-\mathbb {E} (m(\vartheta ))=a_{i0}+\left(\sum _{j=1}^{m}a_{ij}-1\right)\mu }
221:
3084:
1250:
580:
490:
334:
3526:
2011:
1427:
646:
1082:
705:
1409:
5439:
3505:{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial a_{ik}}}=\mathbb {E} \left=\mathbb {E} \lefta_{i0}+\sum _{j=1,j\neq k}^{m}a_{ij}\mathbb {E} +a_{ik}\mathbb {E} -\mathbb {E} =0}
1177:
5265:{\displaystyle a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}={\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}{\bar {X_{i}}}+\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu =Z{\bar {X_{i}}}+(1-Z)\mu }
2658:
773:
5974:
803:
737:
250:
793:
5798:
3113:
1990:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left&=\mathbb {E} \left+\mathbb {E} \left-2\mathbb {E} \left\\&=\mathbb {E} \left+\mathbb {E} \left\end{aligned}}}
4864:
4731:
4872:
1102:
6401:
5394:
2561:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left&=\mathbb {E} _{\Theta }\left\right]\\&=\mathbb {E} _{\Theta }\left\right]\right]\\&=0\end{aligned}}}
5931:
5911:
6315:
6232:
6242:
5916:
340:
5926:
6284:
152:
4596:
5999:
6181:
4739:
6471:
6461:
5984:
129:
th risk is to be determined based on the expected value of claims. A linear estimator which minimizes the mean square error is sought. Write
6371:
6335:
46:
6288:
6639:
6376:
160:
5486:
5387:
3003:
6441:
6019:
5989:
1188:
68:
6292:
6276:
6486:
6191:
5411:
496:
6391:
6356:
6325:
6320:
5959:
5756:
5673:
6330:
5658:
5954:
5761:
5680:
448:
6416:
6296:
257:
6670:
6644:
6421:
6257:
6156:
6141:
5553:
5469:
5380:
6431:
6067:
586:
6426:
1007:
6029:
5613:
5558:
5474:
105:
for a group of insurance contracts. The model is named after Hans Bühlmann who first published a description in 1967.
6361:
6351:
5994:
5964:
652:
39:
33:
5322:
6665:
6366:
5531:
5429:
6077:
5653:
5434:
1277:
6446:
6247:
6161:
6146:
5536:
98:
6280:
6166:
5588:
50:
5668:
5643:
5351:
Frees, E.W.; Young, V.R.; Luo, Y. (1999). "A longitudinal data analysis interpretation of credibility models".
1122:
6386:
5969:
5504:
6581:
6571:
6262:
6044:
5783:
5648:
5459:
5866:
6523:
6451:
5710:
6546:
6528:
6508:
6503:
6222:
6054:
6034:
5881:
5824:
5663:
5573:
2574:
994:{\displaystyle {\underset {a_{i0},a_{i1},...,a_{im}}{\operatorname {arg\,min} }}\operatorname {E} \left}
6014:
742:
6621:
6576:
6566:
6307:
6252:
6227:
6196:
6176:
5936:
5921:
5788:
94:
6616:
6456:
6381:
6186:
5946:
5856:
5746:
713:
6586:
6551:
6466:
6436:
6206:
6201:
6024:
5861:
5526:
5464:
5403:
228:
82:
6267:
778:
6606:
6411:
5819:
5736:
5705:
5598:
5578:
5568:
5424:
5419:
4995:{\displaystyle a_{i0}=(1-ma_{ik})\mu =\left(1-{\frac {mv^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}\right)\mu }
102:
86:
6272:
6009:
3092:
6626:
6513:
6396:
5766:
5741:
5690:
5618:
5541:
5494:
5360:
4839:
4706:
6591:
6491:
6476:
6237:
6171:
5849:
5793:
5776:
5521:
1087:
6406:
5638:
6596:
6561:
6481:
6087:
5834:
5751:
5720:
5715:
5695:
5685:
5628:
5623:
5603:
5583:
5548:
5516:
5499:
5295:
5364:
6659:
6498:
6039:
5876:
5871:
5829:
5771:
5593:
5509:
5449:
6556:
6518:
6072:
6004:
5893:
5888:
5700:
5633:
5608:
5444:
6136:
6601:
6120:
6115:
6110:
6100:
5903:
5844:
5839:
5803:
5563:
5454:
6611:
6151:
6095:
5979:
436:{\displaystyle \Pi =\operatorname {E} (m(\vartheta )|X_{i1},X_{i2},...X_{im})}
6105:
4689:{\displaystyle \sigma ^{2}a_{ik}=v^{2}\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)}
5329:
4826:{\displaystyle a_{i1}=\cdots =a_{im}={\frac {v^{2}}{\sigma ^{2}+mv^{2}}}}
5932:
Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity (GARCH) model
5372:
1105:
2571:
We are using here the law of total expectation and the fact, that
5328:. Institute of Mathematics, University of Cologne. Archived from
216:{\displaystyle \scriptstyle ={\frac {1}{m}}\sum _{j=1}^{m}X_{ij}}
117:
risks which generate random losses for which historical data of
5376:
4204:
Taking above equations and inserting into derivative, we have:
3079:{\displaystyle a_{i0}=\left(1-\sum _{j=1}^{m}a_{ij}\right)\mu }
1108:
represents the parameter values which minimize the expression.
1245:{\displaystyle Z={\frac {1}{1+{\frac {\sigma ^{2}}{v^{2}m}}}}}
18:
2173:
575:{\displaystyle s^{2}(\vartheta )=\operatorname {Var} \left}
5912:
Autoregressive conditional heteroskedasticity (ARCH) model
5440:
Independent and identically distributed random variables
5917:
Autoregressive integrated moving average (ARIMA) model
485:{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (m(\vartheta ))}
164:
5014:
4875:
4842:
4742:
4709:
4599:
4213:
3524:
3124:
3095:
3006:
2675:
2577:
2009:
1425:
1280:
1191:
1125:
1090:
1010:
806:
797:
The Bühlmann model is the solution for the problem:
781:
745:
716:
655:
589:
499:
451:
343:
329:{\displaystyle m(\vartheta )=\operatorname {E} \left}
260:
252:- the parameter for the distribution of the i-th risk
231:
163:
6539:
6344:
6306:
6215:
6129:
6086:
6053:
5945:
5902:
5812:
5729:
5485:
5410:
641:{\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} \left}
5264:
4994:
4858:
4825:
4725:
4688:
4582:
4193:
3504:
3107:
3078:
2989:
2652:
2560:
1989:
1403:
1244:
1171:
1096:
1077:{\displaystyle a_{i0}+\sum _{j=1}^{m}a_{ij}X_{ij}}
1076:
993:
787:
767:
731:
699:
640:
574:
484:
435:
328:
244:
215:
5799:Stochastic chains with memory of variable length
1398:
700:{\displaystyle v^{2}=\operatorname {Var} \left}
5388:
2000:The last equation follows from the fact that
8:
2666:Let us find critical points of the function
1404:{\displaystyle f=\mathbb {E} \left\to \min }
1272:The problem can be stated alternatively as:
5927:Autoregressive–moving-average (ARMA) model
5395:
5381:
5373:
3515:We can simplify derivative, noting that:
16:Random effects model in credibility theory
5229:
5223:
5222:
5199:
5183:
5171:
5161:
5135:
5129:
5128:
5119:
5103:
5091:
5081:
5069:
5056:
5046:
5035:
5019:
5013:
4975:
4959:
4947:
4937:
4908:
4880:
4874:
4847:
4841:
4814:
4798:
4787:
4781:
4769:
4747:
4741:
4714:
4708:
4672:
4662:
4651:
4630:
4614:
4604:
4598:
4568:
4550:
4540:
4529:
4505:
4492:
4476:
4463:
4444:
4431:
4418:
4402:
4386:
4373:
4357:
4347:
4324:
4311:
4293:
4283:
4272:
4242:
4224:
4214:
4212:
4181:
4168:
4152:
4126:
4125:
4113:
4104:
4083:
4072:
4071:
4064:
4063:
4032:
4021:
4020:
4010:
3997:
3984:
3968:
3931:
3920:
3919:
3900:
3894:
3886:
3875:
3874:
3865:
3864:
3848:
3840:
3829:
3828:
3818:
3805:
3789:
3763:
3762:
3745:
3736:
3725:
3724:
3713:
3704:
3693:
3692:
3678:
3669:
3656:
3644:
3637:
3636:
3617:
3608:
3595:
3584:
3583:
3574:
3573:
3554:
3541:
3530:
3529:
3525:
3523:
3472:
3461:
3460:
3448:
3440:
3429:
3428:
3419:
3400:
3387:
3376:
3375:
3366:
3356:
3333:
3317:
3300:
3288:
3287:
3250:
3237:
3227:
3216:
3200:
3182:
3169:
3168:
3153:
3135:
3125:
3123:
3094:
3059:
3049:
3038:
3011:
3005:
2964:
2954:
2943:
2922:
2893:
2892:
2877:
2866:
2865:
2856:
2846:
2835:
2819:
2783:
2770:
2760:
2749:
2733:
2720:
2719:
2704:
2686:
2676:
2674:
2635:
2613:
2604:
2585:
2584:
2576:
2517:
2495:
2486:
2451:
2447:
2446:
2420:
2407:
2397:
2386:
2370:
2350:
2346:
2345:
2315:
2293:
2240:
2227:
2217:
2206:
2190:
2166:
2162:
2161:
2149:
2145:
2144:
2083:
2070:
2060:
2049:
2033:
2015:
2014:
2010:
2008:
1973:
1936:
1935:
1922:
1902:
1889:
1879:
1868:
1852:
1834:
1833:
1770:
1757:
1747:
1736:
1720:
1702:
1701:
1685:
1648:
1647:
1634:
1614:
1601:
1591:
1580:
1564:
1546:
1545:
1528:
1499:
1486:
1476:
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1288:
1287:
1279:
1227:
1216:
1210:
1198:
1190:
1172:{\displaystyle Z{\bar {X}}_{i}+(1-Z)\mu }
1142:
1131:
1130:
1124:
1089:
1065:
1052:
1042:
1031:
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1009:
981:
961:
948:
938:
927:
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809:
807:
805:
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618:
594:
588:
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546:
537:
504:
498:
450:
421:
396:
380:
371:
342:
309:
300:
291:
259:
236:
230:
203:
193:
182:
168:
162:
69:Learn how and when to remove this message
147:-th risk (we assume that all claims for
121:recent claims are available (indexed by
32:This article includes a list of general
5286:
153:independent and identically distributed
6233:Doob's martingale convergence theorems
5985:Constant elasticity of variance (CEV)
5975:Chan–Karolyi–Longstaff–Sanders (CKLS)
7:
5353:Insurance: Mathematics and Economics
101:) used to determine the appropriate
5296:"Experience rating and credibility"
97:(or "variance components model" or
6472:Skorokhod's representation theorem
6253:Law of large numbers (weak/strong)
4235:
4227:
4110:
3146:
3138:
2697:
2689:
2653:{\displaystyle \Pi =\mathbb {E} .}
2578:
2480:
2432:
2351:
2278:
2252:
2150:
2123:
2095:
1965:
1914:
1810:
1782:
1677:
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1091:
973:
891:
826:
823:
820:
816:
813:
810:
775:are functions of random parameter
603:
552:
458:
350:
344:
306:
276:
233:
38:it lacks sufficient corresponding
14:
6442:Martingale representation theorem
5319:Proof can be found on this site:
1116:The solution for the problem is:
768:{\displaystyle s^{2}(\vartheta )}
6487:Stochastic differential equation
6377:Doob's optional stopping theorem
6372:Doob–Meyer decomposition theorem
23:
6357:Convergence of random variables
6243:Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
5005:Finally, the best estimator is
5955:Binomial options pricing model
5323:"Lecture notes on Risk Theory"
5256:
5244:
5235:
5141:
4917:
4892:
4482:
4456:
4450:
4411:
4392:
4366:
4158:
4149:
4145:
4139:
4133:
4130:
4119:
4105:
4101:
4095:
4076:
4068:
4053:
4050:
4044:
4025:
3974:
3965:
3961:
3955:
3949:
3943:
3937:
3924:
3908:
3901:
3879:
3854:
3833:
3795:
3786:
3782:
3776:
3770:
3767:
3756:
3753:
3746:
3729:
3721:
3714:
3697:
3686:
3679:
3649:
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3563:
3534:
3493:
3490:
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3454:
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3380:
3271:
3265:
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2909:
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2870:
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2605:
2601:
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2589:
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2483:
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2272:
2266:
2260:
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2111:
1959:
1953:
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1665:
1520:
1514:
1395:
1377:
1371:
1163:
1151:
1136:
762:
756:
726:
720:
689:
683:
630:
624:
547:
516:
510:
479:
476:
470:
464:
430:
372:
368:
362:
356:
301:
270:
264:
1:
6422:Kolmogorov continuity theorem
6258:Law of the iterated logarithm
5365:10.1016/S0167-6687(98)00055-9
4699:Right side doesn't depend on
732:{\displaystyle m(\vartheta )}
6427:Kolmogorov extension theorem
6106:Generalized queueing network
5614:Interacting particle systems
1084:is the estimator of premium
5559:Continuous-time random walk
443:- premium for the i-th risk
245:{\displaystyle \Theta _{i}}
6687:
6567:Extreme value theory (EVT)
6367:Doob decomposition theorem
5659:Ornstein–Uhlenbeck process
5430:Chinese restaurant process
788:{\displaystyle \vartheta }
6635:
6447:Optional stopping theorem
6248:Large deviation principle
6000:Heath–Jarrow–Morton (HJM)
5937:Moving-average (MA) model
5922:Autoregressive (AR) model
5747:Hidden Markov model (HMM)
5681:Schramm–Loewner evolution
99:hierarchical linear model
6362:Doléans-Dade exponential
6192:Progressively measurable
5990:Cox–Ingersoll–Ross (CIR)
6582:Mathematical statistics
6572:Large deviations theory
6402:Infinitesimal generator
6263:Maximal ergodic theorem
6182:Piecewise-deterministic
5784:Random dynamical system
5649:Markov additive process
5294:Bühlmann, Hans (1967).
3108:{\displaystyle k\neq 0}
85:, a branch of study in
53:more precise citations.
6417:Karhunen–Loève theorem
6352:Cameron–Martin formula
6316:Burkholder–Davis–Gundy
5711:Variance gamma process
5266:
5051:
4996:
4860:
4859:{\displaystyle a_{i0}}
4836:From the solution for
4827:
4727:
4726:{\displaystyle a_{ik}}
4690:
4667:
4584:
4545:
4352:
4288:
4195:
3506:
3361:
3232:
3109:
3080:
3054:
2991:
2959:
2851:
2765:
2654:
2562:
2402:
2222:
2065:
1991:
1884:
1752:
1596:
1481:
1405:
1338:
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1173:
1098:
1078:
1047:
995:
943:
789:
769:
733:
701:
642:
576:
486:
437:
330:
246:
223:for the average value.
217:
198:
6547:Actuarial mathematics
6509:Uniform integrability
6504:Stratonovich integral
6432:Lévy–Prokhorov metric
6336:Marcinkiewicz–Zygmund
6223:Central limit theorem
5825:Gaussian random field
5654:McKean–Vlasov process
5574:Dyson Brownian motion
5435:Galton–Watson process
5321:Schmidli, Hanspeter.
5267:
5031:
4997:
4861:
4828:
4728:
4691:
4647:
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3329:
3212:
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3034:
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1992:
1864:
1732:
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1174:
1099:
1079:
1027:
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923:
790:
770:
734:
702:
643:
577:
487:
438:
331:
247:
218:
178:
125:). A premium for the
6671:Analysis of variance
6622:Time series analysis
6577:Mathematical finance
6462:Reflection principle
5789:Regenerative process
5589:Fleming–Viot process
5404:Stochastic processes
5012:
4873:
4840:
4740:
4707:
4597:
4211:
3522:
3122:
3093:
3004:
2673:
2575:
2007:
1423:
1278:
1189:
1123:
1097:{\displaystyle \Pi }
1088:
1008:
804:
779:
743:
714:
653:
587:
497:
449:
341:
258:
229:
161:
95:random effects model
6617:Stochastic analysis
6457:Quadratic variation
6452:Prokhorov's theorem
6387:Feynman–Kac formula
5857:Markov random field
5505:Birth–death process
5335:on August 11, 2013.
3899:
3853:
3453:
6587:Probability theory
6467:Skorokhod integral
6437:Malliavin calculus
6020:Korn-Kreer-Lenssen
5904:Time series models
5867:Pitman–Yor process
5262:
4992:
4856:
4823:
4723:
4686:
4580:
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2556:
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1985:
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765:
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638:
572:
482:
433:
326:
242:
213:
212:
83:credibility theory
6666:Actuarial science
6653:
6652:
6607:Signal processing
6326:Doob's upcrossing
6321:Doob's martingale
6285:Engelbert–Schmidt
6228:Donsker's theorem
6162:Feller-continuous
6030:Rendleman–Bartter
5820:Dirichlet process
5737:Branching process
5706:Telegraph process
5599:Geometric process
5579:Empirical process
5569:Diffusion process
5425:Branching process
5420:Bernoulli process
5238:
5206:
5144:
5126:
4982:
4821:
4703:. Therefore, all
4252:
4222:
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3163:
3133:
2714:
2684:
1240:
1237:
1139:
808:
176:
143:-th claim on the
109:Model description
87:actuarial science
79:
78:
71:
6678:
6627:Machine learning
6514:Usual hypotheses
6397:Girsanov theorem
6382:Dynkin's formula
6147:Continuous paths
6055:Actuarial models
5995:Garman–Kohlhagen
5965:Black–Karasinski
5960:Black–Derman–Toy
5947:Financial models
5813:Fields and other
5742:Gaussian process
5691:Sigma-martingale
5495:Additive process
5397:
5390:
5383:
5374:
5368:
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5334:
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4621:
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4558:
4557:
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4500:
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4481:
4480:
4468:
4467:
4449:
4448:
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4435:
4423:
4422:
4410:
4409:
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4390:
4378:
4377:
4365:
4364:
4351:
4346:
4316:
4315:
4306:
4302:
4301:
4300:
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4282:
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4251:
4250:
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4223:
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4197:
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3935:
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3915:
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3711:
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3677:
3676:
3664:
3663:
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2657:
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2456:
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2427:
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2377:
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2328:
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1789:
1785:
1778:
1777:
1765:
1764:
1751:
1746:
1728:
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1705:
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