901:
3019:
2633:
1762:
449:
2710:
4898:
2298:
1473:
1450:
896:{\displaystyle {\begin{aligned}0&=\det(A+\delta A-\mu I)\\&=\det(V^{-1})\det(A+\delta A-\mu I)\det(V)\\&=\det \left(V^{-1}(A+\delta A-\mu I)V\right)\\&=\det \left(V^{-1}AV+V^{-1}\delta AV-V^{-1}\mu IV\right)\\&=\det \left(\Lambda +V^{-1}\delta AV-\mu I\right)\\&=\det(\Lambda -\mu I)\det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)\\\end{aligned}}}
3014:{\displaystyle \left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}=\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \sigma (A)}{\frac {1}{\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}={\frac {1}{\min _{\lambda \in \sigma (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|}}}
3978:
2628:{\displaystyle \left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}=\left\|V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}\right\|_{p}\leq \|V\|_{p}\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}=\kappa _{p}(V)\left\|\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}\right\|_{p}\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}.}
1757:{\displaystyle \left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}\right\|_{p}\ =\max _{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}\neq 0}{\frac {\left\|\left(\Lambda -\mu I\right)^{-1}{\boldsymbol {x}}\right\|_{p}}{\|{\boldsymbol {x}}\|_{p}}}=\max _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {1}{|\lambda -\mu |}}\ ={\frac {1}{\min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |}}}
3169:
1146:
4309:
2279:
2078:
3789:
1445:{\displaystyle 1=|-1|\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV\right\|_{p}\leq \left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\left\|V^{-1}\right\|_{p}\|V\|_{p}\|\delta A\|_{p}=\left\|(\Lambda -\mu I)^{-1}\right\|_{p}\ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}}
3334:
3030:
1876:
4192:
4181:
3701:
3517:
1022:
2145:
1967:
3617:
364:
242:
3973:{\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}\left|{\frac {\mu }{\lambda }}-1\right|=\min _{\lambda \in \Lambda (A)}{\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}
43:. In its substance, it states an absolute upper bound for the deviation of one perturbed matrix eigenvalue from a properly chosen eigenvalue of the exact matrix. Informally speaking, what it says is that
4078:
1102:
454:
2695:
3164:{\displaystyle \min _{\lambda \in \lambda (A)}\left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}.}
3224:
4787:
4304:{\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq {\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{2}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{2}}}}
1773:
4450:
4103:
3628:
4613:
3436:
1886:
The theorem can also be reformulated to better suit numerical methods. In fact, dealing with real eigensystem problems, one often has an exact matrix
4740:
4595:
4571:
2274:{\displaystyle {\boldsymbol {v}}^{a}=\left(A-\lambda ^{a}I\right)^{-1}{\boldsymbol {r}}=V\left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}V^{-1}{\boldsymbol {r}}}
2073:{\displaystyle \left|\lambda -\lambda ^{a}\right|\leq \kappa _{p}(V){\frac {\|{\boldsymbol {r}}\|_{p}}{\left\|{\boldsymbol {v}}^{a}\right\|_{p}}}}
935:
3528:
3179:
Both formulations of Bauer–Fike theorem yield an absolute bound. The following corollary is useful whenever a relative bound is needed:
292:
161:
4463:
4552:
4443:
4822:
4467:
4398:
Eisenstat, S. C.; Ipsen, I. C. F. (1998). "Three absolute perturbation bounds for matrix eigenvalues imply relative bounds".
4010:
1037:
4927:
4618:
4674:
4901:
4623:
4608:
4436:
4638:
2644:
4883:
4643:
4837:
4761:
4878:
4694:
4628:
4922:
4730:
4531:
4603:
4827:
4858:
4802:
4766:
4407:
4346:
3329:{\displaystyle {\frac {|\lambda -\mu |}{|\lambda |}}\leq \kappa _{p}(V)\left\|A^{-1}\delta A\right\|_{p}}
4841:
4323:
45:
the sensitivity of the eigenvalues is estimated by the condition number of the matrix of eigenvectors
1871:{\displaystyle \min _{\lambda \in \Lambda (A)}|\lambda -\mu |\leq \ \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}.}
4807:
4745:
4459:
4412:
32:
4832:
4699:
4386:
4350:
3761:
92:
51:
17:
4812:
4326:. In the hermitian case one can also restate the Bauer–Fike theorem in the form that the map
4817:
4735:
4704:
4684:
4669:
4664:
4659:
4496:
4417:
4378:
4319:
128:
4679:
4633:
4581:
4576:
4547:
4428:
4176:{\displaystyle \exists \lambda \in \Lambda (A):\quad |\lambda -\mu |\leq \|\delta A\|_{2}}
4506:
4868:
4720:
4521:
4001:
76:
40:
3696:{\displaystyle \left(A^{a}+(\delta A)^{a}-I\right){\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {0}}}
4916:
4873:
4797:
4526:
4511:
4501:
4390:
3993:
4863:
4516:
4486:
3512:{\displaystyle -A^{-1}(A+\delta A){\boldsymbol {v}}=-\mu A^{-1}{\boldsymbol {v}}.}
4792:
4782:
4689:
4491:
1112:
132:
24:
4725:
4565:
4561:
4557:
4421:
36:
1017:{\displaystyle \det \left((\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV+I\right)=0.}
4342:
4382:
3612:{\displaystyle A^{a}=\mu A^{-1},\qquad (\delta A)^{a}=-A^{-1}\delta A}
4322:. In this case, however, a much stronger result holds, known as the
1904:
and needs to bound the error. The following version comes in help.
4369:
Bauer, F. L.; Fike, C. T. (1960). "Norms and
Exclusion Theorems".
359:{\displaystyle |\lambda -\mu |\leq \kappa _{p}(V)\|\delta A\|_{p}}
237:{\displaystyle \kappa _{p}(X)=\|X\|_{p}\left\|X^{-1}\right\|_{p}.}
4432:
1890:, but knows only an approximate eigenvalue-eigenvector couple,
4073:{\displaystyle \|V\|_{2}=\left\|V^{-1}\right\|_{2}=1,}
4195:
4106:
4013:
3792:
3631:
3531:
3439:
3227:
3033:
2713:
2647:
2301:
2148:
1970:
1925:
be an approximate eigenvalue-eigenvector couple, and
1776:
1476:
1149:
1097:{\displaystyle (\Lambda -\mu I)^{-1}V^{-1}\delta AV.}
1040:
938:
452:
295:
164:
4851:
4775:
4754:
4713:
4652:
4594:
4540:
4475:
4788:Spectral theory of ordinary differential equations
4303:
4175:
4072:
3972:
3695:
3611:
3511:
3328:
3163:
3013:
2689:
2627:
2273:
2072:
1870:
1756:
1444:
1096:
1016:
895:
358:
236:
2690:{\displaystyle \left(D-\lambda ^{a}I\right)^{-1}}
4400:SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications
3848:
3794:
3035:
2958:
2891:
2772:
1778:
1708:
1643:
1531:
939:
820:
799:
739:
647:
581:
559:
529:
507:
467:
16:For the theorem in algebraic number theory, see
4444:
8:
4262:
4253:
4164:
4154:
4021:
4014:
3119:
3110:
2875:
2866:
2785:
2776:
2613:
2604:
2519:
2510:
2419:
2412:
2031:
2022:
1856:
1846:
1627:
1618:
1544:
1535:
1433:
1423:
1344:
1334:
1325:
1318:
347:
337:
194:
187:
3729:as an eigenvector. Now, the eigenvalues of
1909:Bauer–Fike Theorem (Alternate Formulation).
4479:
4451:
4437:
4429:
4411:
4293:
4283:
4278:
4265:
4256:
4250:
4236:
4194:
4167:
4146:
4132:
4105:
4055:
4042:
4024:
4012:
3964:
3944:
3919:
3904:
3896:
3889:
3875:
3872:
3851:
3823:
3797:
3791:
3688:
3680:
3663:
3641:
3630:
3594:
3578:
3552:
3536:
3530:
3501:
3492:
3474:
3447:
3438:
3320:
3300:
3275:
3260:
3252:
3245:
3231:
3228:
3226:
3150:
3140:
3135:
3122:
3113:
3107:
3092:
3074:
3038:
3032:
2997:
2961:
2951:
2935:
2915:
2894:
2878:
2869:
2859:
2849:
2840:
2826:
2802:
2788:
2779:
2775:
2762:
2749:
2735:
2712:
2678:
2664:
2646:
2616:
2607:
2598:
2585:
2571:
2535:
2522:
2513:
2504:
2491:
2476:
2463:
2449:
2422:
2403:
2393:
2384:
2371:
2357:
2323:
2313:
2308:
2300:
2266:
2257:
2244:
2230:
2203:
2194:
2180:
2155:
2150:
2147:
2062:
2052:
2047:
2034:
2025:
2019:
2004:
1986:
1969:
1859:
1831:
1816:
1802:
1781:
1775:
1746:
1732:
1711:
1701:
1687:
1673:
1667:
1646:
1630:
1621:
1611:
1601:
1592:
1561:
1547:
1538:
1534:
1518:
1505:
1475:
1436:
1408:
1395:
1381:
1347:
1328:
1312:
1299:
1284:
1270:
1236:
1213:
1200:
1167:
1156:
1148:
1073:
1060:
1039:
979:
966:
937:
860:
847:
757:
706:
681:
659:
593:
517:
453:
451:
350:
322:
310:
296:
294:
225:
212:
197:
169:
163:
4741:Group algebra of a locally compact group
4279:
4257:
4097:. The Bauer–Fike theorem then becomes:
3681:
3502:
3475:
3136:
3114:
2870:
2850:
2780:
2608:
2514:
2394:
2309:
2267:
2204:
2151:
2113:and the result is trivially true since
2048:
2026:
1622:
1602:
1539:
399:and the result is trivially true since
3768:. Applying the Bauer–Fike theorem to
7:
1467:-norm of which is easily computed:
4205:
4196:
4116:
4107:
3858:
3804:
1788:
1718:
1653:
1575:
1488:
1365:
1254:
1184:
1140:. In this instance this gives us:
1044:
950:
831:
805:
747:
14:
4353:on the set of compact subsets of
4897:
4896:
4823:Topological quantum field theory
4314:which obviously remains true if
3689:
2292:-norm of both sides, we obtain:
62:In what follows we assume that:
4220:
4131:
3564:
4289:
4274:
4214:
4208:
4147:
4133:
4125:
4119:
4051:
4035:
3960:
3936:
3931:
3925:
3905:
3897:
3890:
3876:
3867:
3861:
3813:
3807:
3660:
3650:
3575:
3565:
3471:
3456:
3354:can be formally viewed as the
3316:
3292:
3287:
3281:
3261:
3253:
3246:
3232:
3146:
3131:
3104:
3098:
3054:
3048:
2977:
2971:
2910:
2904:
2855:
2806:
2758:
2716:
2594:
2552:
2547:
2541:
2500:
2484:
2472:
2430:
2399:
2334:
2319:
2304:
2288:is diagonalizable; taking the
2058:
2043:
2016:
2010:
1843:
1837:
1817:
1803:
1797:
1791:
1747:
1733:
1727:
1721:
1688:
1674:
1662:
1656:
1607:
1565:
1514:
1479:
1420:
1414:
1391:
1378:
1362:
1358:
1308:
1292:
1280:
1267:
1251:
1247:
1232:
1197:
1181:
1177:
1168:
1157:
1057:
1041:
963:
947:
844:
828:
817:
802:
626:
602:
568:
562:
556:
532:
526:
510:
494:
470:
334:
328:
311:
297:
221:
205:
181:
175:
1:
4619:Uniform boundedness principle
4324:Weyl's theorem on eigenvalues
4186:Or in alternate formulation:
3391:is the relative variation of
2700:is a diagonal matrix and its
929:and therefore we can write:
31:is a standard result in the
3984:The Case of Normal Matrices
4944:
4762:Invariant subspace problem
4341:that maps a matrix to its
2704:-norm is easily computed:
1463:is a diagonal matrix, the
50:The theorem was proved by
15:
4892:
4482:
4422:10.1137/S0895479897323282
2139:exists, so we can write:
4731:Spectrum of a C*-algebra
3760:, while it has the same
1882:An Alternate Formulation
1031:to be an eigenvalue of
906:However our assumption,
54:and C. T. Fike in 1960.
4828:Noncommutative geometry
3190:is invertible and that
1113:consistent matrix norms
4884:Tomita–Takesaki theory
4859:Approximation property
4803:Calculus of variations
4347:non-expansive function
4305:
4177:
4074:
3974:
3697:
3613:
3513:
3330:
3165:
3015:
2691:
2629:
2275:
2074:
1872:
1758:
1446:
1098:
1018:
897:
360:
250:The Bauer–Fike Theorem
238:
4879:Banach–Mazur distance
4842:Generalized functions
4306:
4178:
4075:
3975:
3698:
3614:
3514:
3356:relative variation of
3331:
3166:
3016:
2692:
2630:
2276:
2075:
1873:
1759:
1447:
1099:
1019:
898:
361:
239:
114:is a diagonal matrix.
77:diagonalizable matrix
41:diagonalizable matrix
4928:Theorems in analysis
4624:Kakutani fixed-point
4609:Riesz representation
4349:with respect to the
4193:
4104:
4011:
3790:
3710:is an eigenvalue of
3629:
3529:
3437:
3423:, by multiplying by
3405:is an eigenvalue of
3225:
3204:. Then there exists
3194:is an eigenvalue of
3031:
2711:
2645:
2299:
2146:
1968:
1947:. Then there exists
1774:
1474:
1147:
1136:is an eigenvalue of
1038:
936:
450:
417:is an eigenvalue of
293:
272:. Then there exists
262:be an eigenvalue of
162:
91:is the non-singular
39:of a complex-valued
4808:Functional calculus
4767:Mahler's conjecture
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