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428:
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812:
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1026:
85:
680:
1089:
1054:
371:
1120:
523:{\displaystyle S^{\prime }=S^{\prime \prime \prime }=S^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\cdots =S^{2n-1}=\cdots }
1082:
1010:{\displaystyle \left(S_{1}'\cup S_{2}'\right)''=\left(S_{1}''\cap S_{2}''\right)'=\left(S_{1}\cap S_{2}\right)'.}
115:
47:
of the commutant of that subset. It is also known as the double commutant or second commutant and is written
140:
111:
1115:
361:{\displaystyle S^{\prime }\subseteq \left(S^{\prime }\right)^{\prime \prime }=S^{\prime \prime \prime }}
284:{\displaystyle S^{\prime \prime \prime }=\left(S^{\prime \prime }\right)^{\prime }\subseteq S^{\prime }}
176:
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173:, and that if not, the von Neumann algebra it generates is
88:, which relates the algebraic and analytic structures of
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69:
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1097:
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80:The bicommutant is particularly useful in
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122:are equal. This tells us that a unital
858:(this is the case, for instance, for
7:
1051:
1049:
1027:von Neumann double commutant theorem
166:{\displaystyle M=M^{\prime \prime }}
86:von Neumann double commutant theorem
1069:. You can help Knowledge (XXG) by
196:{\displaystyle M^{\prime \prime }}
70:{\displaystyle S^{\prime \prime }}
14:
1042:, North-Holland, Amsterdam, 1981.
862:), then the above equality gives
92:. Specifically, it shows that if
1053:
851:{\displaystyle S_{2}=S_{2}''\,}
807:{\displaystyle S_{1}=S_{1}''\,}
1:
674:are subsets of a semigroup,
418:is equal to the commutant of
1137:
1048:
422:. By induction, we have:
1065:-related article is a
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770:If it is assumed that
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291:. On the other hand,
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1040:Von Neumann Algebras
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135:von Neumann algebra
118:and bicommutant of
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103:, for some
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60:′
45:commutant
43:) is the
33:semigroup
1021:See also
1001:′
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913:″
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800:″
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657:> 1.
37:algebra
18:algebra
26:subset
20:, the
1061:This
368:. So
214:. So
133:is a
41:group
39:or a
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1067:stub
814:and
667:and
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