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3510:
2709:
1371:
1813:
3251:
can sometimes be confusing. For instance, "strong convergence" for vectors in a normed space sometimes refers to norm-convergence, which is very often distinct from (and stronger than) than SOT-convergence when the normed space in question is
3402:
3122:
3799:
1768:
3695:
1580:{\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}
2543:
510:
1349:
1670:
2000:{\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}
6088:
1710:
1171:
5707:
860:
is the topology of pointwise convergence. Because the inner product is a continuous function, the SOT is stronger than WOT. The following example shows that this inclusion is strict. Let
2457:
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902:
3178:
2765:
5580:
2798:
2949:
1028:
are precisely those that are continuous in the WOT (actually, the WOT is the weakest operator topology that leaves continuous all strongly continuous linear functionals on the set
2341:
221:
3839:
3393:, the weak topology can be very different than the weak operator topology. And while the WOT is formally weaker than the SOT, the SOT is weaker than the operator norm topology.
1262:. Since every finite-rank operator is trace-class, this implies that WOT is weaker than the Ï-weak topology. To see why the claim is true, recall that every finite-rank operator
768:
584:
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393:
288:
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186:
162:
3505:{\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}
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5083:
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3599:
6151:
4550:
2704:{\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}
6325:
3890:
2092:. (Because WOT coincides with the Ï-weak topology on bounded sets, multiplication is not jointly continuous in the Ï-weak topology.)
89:
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4724:
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6267:
5189:
5162:
4808:
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4121:
3593:
is a formally weaker topology than the SOT, but they nevertheless share some important properties. For example,
2381:
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4254:
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Extending slightly, one can say that the weak-operator and Ï-weak topologies agree on norm-bounded sets in
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1213:
or Ï-weak topology. The weak-operator and Ï-weak topologies agree on norm-bounded sets in
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6006:
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2095:
However, a weaker claim can be made: multiplication is separately continuous in WOT. If a net
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542:
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4545:
4390:
4370:
4290:
3943:
3913:
2999:. Thus, a topological base for the SOT is given by open neighborhoods of the form
3117:{\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}
6121:
6097:
6011:
5526:
5442:
5348:
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4439:
4219:
4209:
4116:
3918:
1190:
24:
2149:
We can extend the definitions of SOT and WOT to the more general setting where
6116:
5631:
5592:
5282:
5247:
5088:
4836:
4598:
4152:
3992:
3988:
3984:
1062:
1024:
on the set of bounded operators on a
Hilbert space that are continuous in the
6288:
6174:
6141:
5358:
4603:
4567:
1065:
of operators in the WOT is the same as the closure of that set in the SOT.
3794:{\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}
3515:
and these inclusions may or may not be strict depending on the choices of
5661:
5624:
5508:
5434:
5394:
5297:
5120:
134:
2861:
is a locally convex topological vector space when endowed with the WOT.
2060:
be the unilateral shift. Appealing to Cauchy-Schwarz, one has that both
5429:
5263: ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H
4512:
2037:, as an immediate consequence of its definition, is continuous in WOT.
4339:
3804:
in other words, SOT-closure and WOT-closure coincide for convex sets.
1763:{\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}
3690:{\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}
5830:
6070:
5834:
4343:
3859:
3311:
is the coarsest topology that makes the linear functionals in
937:
of right shifts. An application of Cauchy-Schwarz shows that
505:{\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}
18:
1344:{\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}
2040:
Multiplication is not jointly continuous in WOT: again let
2017:
Therefore every norm-bounded set is compact in WOT, by the
294:
of the following type: choose a finite number of vectors
3216:
The different terminology for the various topologies on
1665:{\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}
5749:
5675:
5637:
5598:
5546:
5449:
5400:
3840:
Topologies on the set of operators on a
Hilbert space
3750:
3706:
3602:
3564:
3541:
3521:
3405:
3379:
3344:
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3297:
3258:
3222:
3186:
3133:
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2957:
2909:
2874:
2832:
2806:
2773:
2720:
2546:
2504:
2469:
2384:
2349:
2303:
2260:
2234:
2202:
2196:
is the space of bounded linear operators of the form
2167:
2078:
2046:
1816:
1776:
1718:
1681:
1607:
1374:
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1131:
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1003:
976:
943:
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686:
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592:
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381:
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174:
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6297:
6276:
6260:
6239:
6160:
6109:
6025:
5969:
5938:
5912:
5868:
5792:
5377:
5306:
5215:
5049:
4894:
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4668:
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4495:
4378:
4278:
4202:
4181:
4140:
4079:
4021:
3967:
3902:
2459:. The resulting family of seminorms generates the
49:. Unsourced material may be challenged and removed.
5777:
5701:
5650:
5611:
5574:
5484:
5418:
4215:Spectral theory of ordinary differential equations
3793:
3733:
3689:
3585:
3547:
3527:
3504:
3385:
3365:
3330:
3303:
3279:
3243:
3198:
3172:
3116:
2991:
2943:
2895:
2853:
2818:
2792:
2759:
2703:
2525:
2490:
2451:
2370:
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2286:
2246:
2220:
2188:
2084:
2052:
1999:
1795:
1762:
1704:
1664:
1579:
1343:
1165:
1117:
1097:
1049:
1009:
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962:
929:
896:
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743:
711:
672:
646:
613:
578:
530:
504:
407:
387:
367:
340:
313:
282:
259:
239:
215:
180:
156:
1705:{\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}
1166:{\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}
5702:{\displaystyle S\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}
3209:Relationships between different topologies on
6082:
5846:
5810:Mathematical formulation of quantum mechanics
4355:
3871:
1598:): Every trace-class operator is of the form
8:
3496:
3470:
3464:
3438:
3432:
3406:
3108:
3087:
3066:
3036:
2986:
2977:
2965:
2958:
2917:
2910:
2392:
2385:
2311:
2304:
1742:
1729:
1201:), and it generates the w*-topology on
1092:
1079:
924:
911:
210:
195:
3396:In general, the following inclusions hold:
2452:{\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}
799:, the bounded operators on a Hilbert space
6089:
6075:
6067:
5853:
5839:
5831:
4362:
4348:
4340:
3906:
3878:
3864:
3856:
1061:). Because of this fact, the closure of a
1057:of bounded operators on the Hilbert space
5766:
5748:
5689:
5685:
5684:
5674:
5642:
5636:
5603:
5597:
5551:
5545:
5485:{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\mathbb {R} )}
5475:
5474:
5465:
5454:
5448:
5399:
3782:
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2873:
2831:
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109:Learn how and when to remove this message
4168:Group algebra of a locally compact group
3173:{\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}
2903:is generated by the family of seminorms
2760:{\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}
767:The WOT is the weakest among all common
415:lies in the neighborhood if and only if
5575:{\displaystyle L^{\lambda ,p}(\Omega )}
3823:Combinatorial Set Theory of C*-algebras
3813:
2793:{\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}
5815:Ordinary Differential Equations (ODEs)
4929:BanachâSteinhaus (Uniform boundedness)
2944:{\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}
755:Relationship with other topologies on
7:
2336:{\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}
216:{\displaystyle \langle Tx,y\rangle }
47:adding citations to reliable sources
6152:Topologies on spaces of linear maps
1683:
579:{\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}
5643:
5604:
5566:
5410:
2774:
2690:
2565:
1754:
586:of bounded operators converges to
14:
5977:Compact operator on Hilbert space
5307:Subsets / set operations
5084:Differentiation in Fréchet spaces
3734:{\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}
2072:is the identity operator for all
4324:
4323:
4250:Topological quantum field theory
3475:operator-norm-open sets in
2992:{\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}
1796:{\displaystyle T_{\alpha }\to T}
368:{\displaystyle \varepsilon _{i}}
23:
16:Weak topology on function spaces
5612:{\displaystyle \ell ^{\infty }}
3199:{\displaystyle \epsilon >0.}
2010:by invoking, for instance, the
1098:{\displaystyle \{T_{\alpha }\}}
375:indexed by the same finite set
34:needs additional citations for
5772:
5753:
5569:
5563:
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5471:
5413:
5407:
5001:Lomonosov's invariant subspace
4924:BanachâSchauder (open mapping)
3728:
3716:
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423:
348:, and positive real constants
1:
4046:Uniform boundedness principle
2012:dominated convergence theorem
4886:Singular value decomposition
3777:
3757:
2498:. Equivalently, the WOT on
270:Explicitly, for an operator
6331:Topology of function spaces
5651:{\displaystyle L^{\infty }}
5419:{\displaystyle ba(\Sigma )}
5288:Radially convex/Star-shaped
3851:Weak-star operator topology
2228:. In this case, each pair
2068:converges to 0 in WOT. But
1720:
1211:weak-star operator topology
1177:Weak-star operator topology
6347:
5946:Hilbert projection theorem
5778:{\displaystyle W(X,L^{p})}
4189:Invariant subspace problem
2800:is also a finite set, and
963:{\displaystyle T^{n}\to 0}
904:and consider the sequence
647:{\displaystyle y\in H^{*}}
6326:Topological vector spaces
6268:Transpose of a linear map
5925:CauchyâSchwarz inequality
5324:Algebraic interior (core)
4939:CauchyâSchwarz inequality
4582:Function space Topologies
4319:
3909:
3847: â Mathematical term
3338:continuous; when we take
930:{\displaystyle \{T^{n}\}}
712:{\displaystyle y(T_{i}x)}
614:{\displaystyle T\in B(H)}
321:, continuous functionals
4158:Spectrum of a C*-algebra
2866:strong operator topology
2535:basic open neighborhoods
2533:is formed by taking for
2221:{\displaystyle T:X\to Y}
1026:strong operator topology
829:strong operator topology
823:Strong operator topology
58:"Weak operator topology"
4255:Noncommutative geometry
2537:those sets of the form
5779:
5703:
5652:
5613:
5576:
5486:
5420:
4589:BanachâMazur compactum
4379:Types of Banach spaces
4311:TomitaâTakesaki theory
4286:Approximation property
4230:Calculus of variations
3795:
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3691:
3587:
3586:{\displaystyle B(X,Y)}
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3411:WOT-open sets in
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5956:Polarization identity
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5805:Finite element method
5800:Differential operator
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5261:Convex series related
5057:Abstract Wiener space
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129:, often abbreviated
43:improve this article
6305:Biorthogonal system
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5920:Bessel's inequality
5470:
5208:measurable function
5158:Functional calculus
5021:Parseval's identity
4934:Bessel's inequality
4881:Polar decomposition
4660:Uniform convergence
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1950:
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1712:converges. Suppose
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1337:
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139:bounded operators
133:, is the weakest
119:
118:
111:
93:
6338:
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5708:
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