4662:
4498:
4494:
231:
2632:
4657:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}
3795:
4357:
1459:
3533:
2387:
1171:
3316:
1044:
2506:
3127:
1614:
1892:
2245:
2517:
2030:
2859:
3215:
4142:
4231:
3684:
3973:
3673:
2780:
4038:
4489:{\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},}
638:
1697:
1319:
2136:
3452:
2256:
1055:
3248:
922:
3598:
3441:
3010:
5669:
6197:
5941:
5114:
2398:
5722:
6248:
5991:
3021:
5051:
4998:
5358:
1492:
1308:
689:
5308:
5268:
1805:
2147:
2627:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
1928:
783:
5429:
4945:
1771:
5467:
3895:
2791:
6115:
5859:
5821:
5760:
5584:
892:
160:
6284:
6026:
5228:
3138:
4057:
334:
6340:
6312:
6054:
5546:
5518:
3790:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
4153:
4897:
4838:
3909:
3609:
5170:
5144:
4861:
4694:
5193:
4717:
4322:
4278:
67:
6144:
5888:
5613:
5388:
2643:
3984:
6363:
6077:
5783:
5490:
4809:
4786:
4763:
4740:
4344:
4300:
4256:
3240:
2928:
2906:
2884:
1920:
1793:
1734:
1484:
1454:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}
1244:
914:
832:
569:
529:
395:
212:
185:
123:
92:
363:
1625:
1212:
507:
736:
714:
482:
460:
297:
267:
3528:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}}
2382:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
2055:
438:
563:
The Cauchy stress (or true stress) is a measure of the force acting on an element of area in the deformed configuration. This tensor is symmetric and is defined via
415:
1166:{\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}}
3311:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}}
1039:{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
810:
553:
3549:
3327:
2944:
2501:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
5619:
6150:
5894:
5057:
3122:{\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})}
5675:
1178:
The asymmetry derives from the fact that, as a tensor, it has one index attached to the reference configuration and one to the deformed configuration.
6204:
5947:
1609:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}}
5004:
4951:
5314:
834:. It is used widely in numerical algorithms in metal plasticity (where there is no change in volume during plastic deformation). It can be called
1252:
649:
1887:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.}
6469:
5274:
5234:
2240:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
2025:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
6505:
847:
752:
98:
5394:
4903:
1739:
5435:
2854:{\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.}
1187:
3806:
3210:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}}
6083:
5827:
5789:
5728:
5552:
860:
128:
6255:
5997:
5199:
4137:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}}
302:
223:
Consider the situation shown in the following figure. The following definitions use the notations shown in the figure.
6495:
6318:
6290:
6032:
5524:
5496:
4226:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}
336:
and the traction acting on that surface (assuming it deforms like a generic vector belonging to the deformation) is
4044:
3968:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}
3668:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
6500:
4867:
4817:
6490:
509:. Note that this surface can either be a hypothetical cut inside the body or an actual surface. The quantity
5150:
5123:
4844:
4677:
6401:
6396:
3900:
Since the Cauchy stress (and hence the
Kirchhoff stress) is symmetric, the 2nd PK stress is also symmetric.
2775:{\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}}
5176:
4700:
4305:
4261:
4033:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}
50:
6123:
5867:
5592:
5367:
1922:
does not have any physical interpretation. However, the unsymmetrized Biot stress has the interpretation
633:{\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma }
6391:
1692:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}}
6346:
6060:
5766:
5473:
4792:
4769:
4746:
4723:
4327:
4283:
4239:
3223:
2911:
2889:
2867:
1903:
1776:
1717:
1467:
1217:
897:
815:
512:
368:
195:
168:
106:
75:
1708:
339:
6381:
1712:
532:
36:
1214:
to the reference configuration we obtain the traction acting on that surface before the deformation
6386:
1796:
1192:
487:
28:
894:
is the transpose of the first Piola–Kirchhoff stress (PK1 stress, also called engineering stress)
719:
697:
465:
443:
272:
2131:{\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}}
245:
43:
stress tensor or "true stress". However, several alternative measures of stress can be defined:
32:
6465:
1246:
assuming it behaves like a generic vector belonging to the deformation. In particular we have
420:
400:
6376:
3593:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}
2046:
795:
538:
3436:{\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}}
3005:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} }
6484:
5664:{\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6192:{\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
5936:{\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
1176:
This stress is unsymmetric and is a two-point tensor like the deformation gradient.
5109:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
17:
6459:
5717:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6243:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
5986:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
1799:
of the deformation gradient. Therefore, the Biot stress tensor is defined as
5046:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
4993:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
5353:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
4048:
230:
1303:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} }
684:{\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} }
5303:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
5263:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
1736:. The Biot stress is defined as the symmetric part of the tensor
778:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}}
125:). This stress tensor is the transpose of the nominal stress (
5424:{\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
2049:
relating areas in the reference and deformed configurations:
4940:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
1766:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}}
5462:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}}
6421:
Nonlinear
Continuum Mechanics for Finite Element Analysis
3890:{\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}}
738:
is the normal to the surface on which the traction acts.
6110:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}
5854:{\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}}
5816:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}}
5755:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}}
5579:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}}
887:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}}
155:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}}
6279:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}}
6021:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}}
5223:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}}
2934:
Relations between nominal stress and second P–K stress
1818:
6349:
6321:
6293:
6258:
6207:
6153:
6126:
6086:
6063:
6035:
6000:
5950:
5897:
5870:
5830:
5792:
5769:
5731:
5678:
5622:
5595:
5555:
5527:
5499:
5476:
5438:
5397:
5370:
5317:
5277:
5237:
5202:
5179:
5153:
5126:
5060:
5007:
4954:
4906:
4870:
4847:
4820:
4795:
4772:
4749:
4726:
4703:
4680:
4501:
4360:
4330:
4308:
4286:
4264:
4242:
4156:
4060:
3987:
3912:
3809:
3687:
3612:
3552:
3539:
Relations between Cauchy stress and second P–K stress
3455:
3330:
3251:
3226:
3141:
3024:
2947:
2914:
2892:
2870:
2794:
2646:
2520:
2401:
2259:
2150:
2058:
1931:
1906:
1808:
1779:
1742:
1720:
1628:
1495:
1470:
1322:
1255:
1220:
1195:
1080:
1058:
925:
900:
863:
818:
798:
755:
722:
700:
652:
572:
541:
515:
490:
468:
446:
423:
403:
371:
342:
305:
275:
248:
198:
171:
131:
109:
78:
53:
234:
Quantities used in the definition of stress measures
1897:The Biot stress is also called the Jaumann stress.
329:{\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}}
6357:
6335:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}}
6334:
6307:{\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}
6306:
6278:
6242:
6191:
6138:
6109:
6071:
6049:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}}
6048:
6020:
5985:
5935:
5882:
5853:
5815:
5777:
5754:
5716:
5663:
5607:
5578:
5541:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}}
5540:
5513:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}}
5512:
5484:
5461:
5423:
5382:
5352:
5302:
5262:
5222:
5187:
5164:
5138:
5108:
5045:
4992:
4939:
4891:
4855:
4832:
4803:
4780:
4757:
4734:
4711:
4688:
4656:
4488:
4338:
4316:
4294:
4272:
4250:
4225:
4136:
4032:
3967:
3889:
3789:
3667:
3592:
3527:
3435:
3310:
3234:
3209:
3121:
3004:
2922:
2900:
2878:
2853:
2774:
2626:
2500:
2381:
2239:
2130:
2041:Relations between Cauchy stress and nominal stress
2024:
1914:
1886:
1787:
1765:
1728:
1691:
1608:
1478:
1453:
1302:
1238:
1206:
1165:
1038:
908:
886:
826:
804:
777:
730:
708:
683:
632:
547:
523:
501:
476:
454:
432:
409:
389:
357:
328:
291:
261:
206:
179:
154:
117:
86:
61:
165:The second Piola–Kirchhoff stress or PK2 stress (
4367:
1486:) is symmetric and is defined via the relation
8:
4892:{\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}}
853:Nominal stress/First Piola–Kirchhoff stress
4833:{\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,}
269:, the outward normal to a surface element
6350:
6348:
6327:
6322:
6320:
6299:
6294:
6292:
6271:
6265:
6260:
6257:
6231:
6226:
6220:
6214:
6209:
6206:
6180:
6175:
6169:
6163:
6158:
6152:
6135:
6127:
6125:
6102:
6093:
6088:
6085:
6064:
6062:
6041:
6036:
6034:
6013:
6007:
6002:
5999:
5974:
5969:
5963:
5957:
5952:
5949:
5924:
5919:
5913:
5907:
5902:
5896:
5879:
5871:
5869:
5846:
5837:
5832:
5829:
5808:
5799:
5794:
5791:
5770:
5768:
5747:
5738:
5733:
5730:
5705:
5700:
5694:
5685:
5680:
5677:
5652:
5647:
5641:
5632:
5627:
5621:
5604:
5596:
5594:
5571:
5562:
5557:
5554:
5533:
5528:
5526:
5505:
5500:
5498:
5477:
5475:
5450:
5445:
5439:
5437:
5412:
5407:
5401:
5396:
5379:
5371:
5369:
5344:
5339:
5333:
5324:
5319:
5316:
5294:
5289:
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5139:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,}
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1707:The Biot stress is useful because it is
229:
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2908:are (generally) not symmetric because
5188:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
4712:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
4317:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
4273:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
62:{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
7:
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31:, the most commonly used measure of
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595:
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250:
103:The first Piola–Kirchhoff stress (
25:
6358:{\displaystyle {\boldsymbol {M}}}
6072:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
5778:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
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4804:{\displaystyle {\boldsymbol {M}}}
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4251:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
3235:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
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1915:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
1788:{\displaystyle {\boldsymbol {R}}}
1729:{\displaystyle {\boldsymbol {U}}}
1479:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
1239:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}
909:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}
827:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
524:{\displaystyle {\boldsymbol {F}}}
417:, the surface element changes to
397:. In the deformed configuration
390:{\displaystyle d\mathbf {f} _{0}}
207:{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
180:{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
118:{\displaystyle {\boldsymbol {P}}}
87:{\displaystyle {\boldsymbol {N}}}
4043:Clearly, from definition of the
3197:
3159:
3090:
3049:
3029:
2998:
2965:
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702:
677:
654:
617:
585:
577:
495:
470:
448:
377:
358:{\displaystyle \mathbf {t} _{0}}
345:
316:
307:
6434:Non-linear Elastic Deformations
4635:
4606:
4556:
4536:
4452:
4430:
4386:
3493:
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2706:
2564:
2558:
242:In the reference configuration
225:
6445:L. D. Landau, E. M. Lifshitz,
4183:
4175:
4087:
4079:
3116:
3070:
2930:is (generally) not symmetric.
2450:
2423:
2330:
2275:
1982:
1958:
1875:
1829:
99:Piola–Kirchhoff stress tensors
1:
6423:, Cambridge University Press.
4350:Summary of conversion formula
1207:{\displaystyle d\mathbf {f} }
1182:Second Piola–Kirchhoff stress
848:Piola–Kirchhoff stress tensor
836:weighted Cauchy stress tensor
502:{\displaystyle d\mathbf {f} }
6461:Three-Dimensional Elasticity
3903:Alternatively, we can write
3446:Alternatively, we can write
731:{\displaystyle \mathbf {n} }
709:{\displaystyle \mathbf {t} }
477:{\displaystyle \mathbf {t} }
455:{\displaystyle \mathbf {n} }
292:{\displaystyle d\Gamma _{0}}
533:deformation gradient tensor
262:{\displaystyle \Omega _{0}}
6522:
6506:Tensor physical quantities
6464:. Elsevier. 1 April 1988.
3220:or (using the symmetry of
845:
365:leading to a force vector
6419:J. Bonet and R. W. Wood,
4789:
4766:
4743:
4720:
4697:
4674:
4671:
433:{\displaystyle d\Gamma }
6402:Critical plane analysis
6397:Cauchy elastic material
4324:is the push forward of
790:Kirchhoff stress tensor
410:{\displaystyle \Omega }
6359:
6336:
6308:
6280:
6244:
6193:
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