Knowledge (XXG)

Bochner's formula

Source đź“ť

22: 961: 324: 725: 810: 180: 802: 172: 579: 611: 40: 493: 425: 546: 351: 768: 116: 603: 517: 469: 449: 395: 375: 956:{\displaystyle \int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}} 1020: 58: 319:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)} 1012: 1050: 582: 773: 143: 967:
This immediately follows from the first identity, observing that the integral of the left-hand side vanishes (by the
732: 985: 551: 720:{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)} 84: 474: 400: 968: 80: 522: 1016: 333: 1006: 980: 1030: 741: 89: 1026: 496: 129: 119: 588: 502: 454: 434: 428: 380: 360: 1044: 126: 123: 72: 354: 1015:, vol. 77, Providence, RI: Science Press, New York, p. 19, 971:) and integrating by parts the first term on the right-hand side. 15: 36: 947: 908: 848: 690: 616: 479: 289: 185: 813: 776: 744: 614: 591: 554: 525: 505: 477: 457: 437: 403: 383: 363: 336: 183: 146: 92: 31:
may be too technical for most readers to understand
955: 796: 762: 719: 597: 573: 540: 511: 487: 463: 443: 419: 389: 369: 345: 318: 166: 110: 937: 869: 797:{\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} } 167:{\displaystyle u\colon M\rightarrow \mathbb {R} } 804:is a smooth, compactly supported function, then 770:is a Riemannian manifold without boundary and 8: 1005:Chow, Bennett; Lu, Peng; Ni, Lei (2006), 946: 942: 936: 935: 907: 898: 893: 883: 874: 868: 867: 861: 847: 843: 837: 818: 812: 790: 789: 775: 743: 689: 680: 675: 665: 656: 647: 642: 630: 615: 613: 590: 565: 553: 524: 504: 478: 476: 456: 436: 408: 402: 382: 362: 335: 288: 279: 274: 264: 255: 216: 211: 199: 184: 182: 160: 159: 145: 91: 59:Learn how and when to remove this message 43:, without removing the technical details. 997: 731:Bochner used this formula to prove the 41:make it understandable to non-experts 7: 574:{\displaystyle \Delta =\Delta _{g}} 926: 917: 880: 827: 708: 699: 662: 635: 627: 562: 555: 526: 405: 337: 307: 298: 261: 243: 234: 231: 204: 196: 122:. The formula is named after the 14: 20: 1013:Graduate Studies in Mathematics 975:Variations and generalizations 932: 914: 894: 875: 834: 824: 786: 757: 745: 714: 696: 676: 657: 643: 631: 313: 295: 275: 256: 249: 228: 212: 200: 156: 105: 93: 1: 605:), Bochner's formula becomes 488:{\displaystyle {\mbox{Ric}}} 420:{\displaystyle \nabla ^{2}u} 585:with respect to the metric 174:is a smooth function, then 1067: 541:{\displaystyle \Delta u=0} 733:Bochner vanishing theorem 346:{\displaystyle \nabla u} 79:is a statement relating 957: 798: 764: 721: 599: 575: 542: 513: 497:Ricci curvature tensor 489: 465: 445: 421: 391: 371: 347: 320: 168: 112: 1051:Differential geometry 1008:Hamilton's Ricci flow 958: 799: 765: 763:{\displaystyle (M,g)} 722: 600: 576: 543: 514: 490: 466: 446: 422: 392: 372: 348: 321: 169: 113: 111:{\displaystyle (M,g)} 986:Weitzenböck identity 811: 774: 742: 612: 589: 552: 523: 519:is harmonic (i.e., 503: 475: 455: 435: 401: 381: 361: 334: 181: 144: 90: 738:As a corollary, if 85:Riemannian manifold 969:divergence theorem 953: 951: 912: 852: 794: 760: 717: 694: 625: 595: 571: 538: 509: 485: 483: 461: 441: 417: 387: 367: 343: 316: 293: 194: 164: 108: 81:harmonic functions 1022:978-0-8218-4231-7 950: 911: 851: 693: 624: 598:{\displaystyle g} 512:{\displaystyle u} 482: 464:{\displaystyle g} 444:{\displaystyle u} 390:{\displaystyle g} 370:{\displaystyle u} 292: 193: 77:Bochner's formula 69: 68: 61: 1058: 1035: 1033: 1002: 981:Bochner identity 962: 960: 959: 954: 952: 948: 941: 940: 913: 909: 903: 902: 897: 888: 887: 878: 873: 872: 866: 865: 853: 849: 842: 841: 823: 822: 803: 801: 800: 795: 793: 769: 767: 766: 761: 726: 724: 723: 718: 695: 691: 685: 684: 679: 670: 669: 660: 652: 651: 646: 634: 626: 617: 604: 602: 601: 596: 580: 578: 577: 572: 570: 569: 547: 545: 544: 539: 518: 516: 515: 510: 494: 492: 491: 486: 484: 480: 470: 468: 467: 462: 451:with respect to 450: 448: 447: 442: 426: 424: 423: 418: 413: 412: 396: 394: 393: 388: 377:with respect to 376: 374: 373: 368: 352: 350: 349: 344: 325: 323: 322: 317: 294: 290: 284: 283: 278: 269: 268: 259: 221: 220: 215: 203: 195: 186: 173: 171: 170: 165: 163: 136:Formal statement 117: 115: 114: 109: 64: 57: 53: 50: 44: 24: 23: 16: 1066: 1065: 1061: 1060: 1059: 1057: 1056: 1055: 1041: 1040: 1039: 1038: 1023: 1004: 1003: 999: 994: 977: 892: 879: 857: 833: 814: 809: 808: 772: 771: 740: 739: 674: 661: 641: 610: 609: 587: 586: 561: 550: 549: 521: 520: 501: 500: 473: 472: 453: 452: 433: 432: 404: 399: 398: 379: 378: 359: 358: 332: 331: 273: 260: 210: 179: 178: 142: 141: 138: 130:Salomon Bochner 120:Ricci curvature 88: 87: 65: 54: 48: 45: 37:help improve it 34: 25: 21: 12: 11: 5: 1064: 1062: 1054: 1053: 1043: 1042: 1037: 1036: 1021: 996: 995: 993: 990: 989: 988: 983: 976: 973: 965: 964: 945: 939: 934: 931: 928: 925: 922: 919: 916: 906: 901: 896: 891: 886: 882: 877: 871: 864: 860: 856: 846: 840: 836: 832: 829: 826: 821: 817: 792: 788: 785: 782: 779: 759: 756: 753: 750: 747: 729: 728: 716: 713: 710: 707: 704: 701: 698: 688: 683: 678: 673: 668: 664: 659: 655: 650: 645: 640: 637: 633: 629: 623: 620: 594: 568: 564: 560: 557: 537: 534: 531: 528: 508: 460: 440: 416: 411: 407: 386: 366: 342: 339: 328: 327: 315: 312: 309: 306: 303: 300: 297: 287: 282: 277: 272: 267: 263: 258: 254: 251: 248: 245: 242: 239: 236: 233: 230: 227: 224: 219: 214: 209: 206: 202: 198: 192: 189: 162: 158: 155: 152: 149: 137: 134: 107: 104: 101: 98: 95: 67: 66: 28: 26: 19: 13: 10: 9: 6: 4: 3: 2: 1063: 1052: 1049: 1048: 1046: 1032: 1028: 1024: 1018: 1014: 1010: 1009: 1001: 998: 991: 987: 984: 982: 979: 978: 974: 972: 970: 943: 929: 923: 920: 904: 899: 889: 884: 862: 858: 854: 844: 838: 830: 819: 815: 807: 806: 805: 783: 780: 777: 754: 751: 748: 736: 734: 711: 705: 702: 686: 681: 671: 666: 653: 648: 638: 621: 618: 608: 607: 606: 592: 584: 566: 558: 535: 532: 529: 506: 498: 458: 438: 430: 414: 409: 384: 364: 356: 340: 310: 304: 301: 285: 280: 270: 265: 252: 246: 240: 237: 225: 222: 217: 207: 190: 187: 177: 176: 175: 153: 150: 147: 135: 133: 131: 128: 127:mathematician 125: 121: 102: 99: 96: 86: 82: 78: 74: 63: 60: 52: 42: 38: 32: 29:This article 27: 18: 17: 1007: 1000: 966: 737: 730: 329: 139: 76: 70: 55: 46: 30: 73:mathematics 992:References 927:∇ 918:∇ 881:∇ 859:∫ 828:Δ 816:∫ 787:→ 781:: 709:∇ 700:∇ 663:∇ 636:∇ 628:Δ 583:Laplacian 563:Δ 556:Δ 527:Δ 406:∇ 338:∇ 308:∇ 299:∇ 262:∇ 244:∇ 235:Δ 232:∇ 205:∇ 197:Δ 157:→ 151:: 49:June 2012 1045:Category 548:, where 355:gradient 124:American 1031:2274812 581:is the 495:is the 429:Hessian 427:is the 353:is the 118:to the 35:Please 1029:  1019:  330:where 499:. If 83:on a 1017:ISBN 471:and 949:vol 910:Ric 850:vol 692:Ric 481:Ric 431:of 357:of 291:Ric 140:If 71:In 39:to 1047:: 1027:MR 1025:, 1011:, 735:. 397:, 132:. 75:, 1034:. 963:. 944:d 938:) 933:) 930:u 924:, 921:u 915:( 905:+ 900:2 895:| 890:u 885:2 876:| 870:( 863:M 855:= 845:d 839:2 835:) 831:u 825:( 820:M 791:R 784:M 778:u 758:) 755:g 752:, 749:M 746:( 727:. 715:) 712:u 706:, 703:u 697:( 687:+ 682:2 677:| 672:u 667:2 658:| 654:= 649:2 644:| 639:u 632:| 622:2 619:1 593:g 567:g 559:= 536:0 533:= 530:u 507:u 459:g 439:u 415:u 410:2 385:g 365:u 341:u 326:, 314:) 311:u 305:, 302:u 296:( 286:+ 281:2 276:| 271:u 266:2 257:| 253:+ 250:) 247:u 241:, 238:u 229:( 226:g 223:= 218:2 213:| 208:u 201:| 191:2 188:1 161:R 154:M 148:u 106:) 103:g 100:, 97:M 94:( 62:) 56:( 51:) 47:( 33:.

Index

help improve it
make it understandable to non-experts
Learn how and when to remove this message
mathematics
harmonic functions
Riemannian manifold
Ricci curvature
American
mathematician
Salomon Bochner
gradient
Hessian
Ricci curvature tensor
Laplacian
Bochner vanishing theorem
divergence theorem
Bochner identity
Weitzenböck identity
Hamilton's Ricci flow
Graduate Studies in Mathematics
ISBN
978-0-8218-4231-7
MR
2274812
Category
Differential geometry

Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.

↑