643:
2291:
1274:
630:
313:
1880:
1659:
1218:
705:
1467:
1976:
1412:
1014:
900:
494:
448:
1733:
1126:
1079:
402:
538:
2168:
2071:
2187:
243:
215:
1341:
2122:
1600:
1500:
571:
1544:
829:
933:
2325:
2356:
1365:
1182:
1154:
961:
853:
793:
757:
179:
155:
120:
1931:
2003:
90:
B-branes in string theory. This concept was made precise by
Bridgeland, who phrased these stability conditions categorically, and initiated their study mathematically.
2392:
333:
87:
1570:
2498:
84:
1806:
1786:
1753:
1294:
725:
359:
1223:
576:
2448:
Uehara, Hokuto (2015-11-18). "Autoequivalences of derived categories of elliptic surfaces with non-zero
Kodaira dimension". pp. 10–12.
251:
1814:
1605:
98:
The definitions in this section are presented as in the original paper of
Bridgeland, for arbitrary triangulated categories. Let
2410:
Douglas, M.R., Fiol, B. and Römelsberger, C., 2005. Stability and BPS branes. Journal of High Energy
Physics, 2005(09), p. 006.
1187:
657:
1417:
1936:
1370:
974:
858:
453:
407:
2529:
1664:
1304:
It is shown by
Bridgeland that the data of a Bridgeland stability condition is equivalent to specifying a bounded
1084:
1019:
367:
2286:{\displaystyle {\text{Stab}}(X)/{\text{Aut}}(X)\cong {\text{GL}}^{+}(2,\mathbb {R} )/{\text{SL}}(2,\mathbb {Z} )}
499:
2130:
2008:
220:
187:
48:
642:
1310:
2524:
2076:
1157:
1575:
1475:
546:
1513:
798:
36:
905:
2299:
2330:
732:
2181:
There is an analysis by
Bridgeland for the case of Elliptic curves. He finds there is an equivalence
1346:
1163:
1135:
942:
834:
774:
738:
160:
136:
101:
39:. The case of original interest and particular importance is when this triangulated category is the
1888:
1981:
2449:
2428:
936:
63:
24:
2519:
2361:
318:
1549:
44:
40:
2476:
69:
1791:
1771:
1738:
1279:
710:
32:
338:
2513:
52:
2472:
2427:
Bridgeland, Tom (2006-02-08). "Stability conditions on triangulated categories".
2505:
Interactions between autoequivalences, stability conditions, and moduli problems
1305:
182:
20:
731:
The last property should be viewed as axiomatically imposing the existence of
2504:
1469:
of this t-structure which satisfies the Harder–Narasimhan property above.
1269:{\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)}
625:{\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}}
56:
35:, is an algebro-geometric stability condition defined on elements of a
1768:
Recall the Harder–Narasimhan filtration for a smooth projective curve
641:
2433:
1296:, this set actually has the structure of a complex manifold itself.
2454:
308:{\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )={\mathcal {P}}(\varphi +1)}
62:
Such stability conditions were introduced in a rudimentary form by
1875:{\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \cdots \subset E_{n}=E}
1276:
is the derived category of coherent sheaves on a complex manifold
1654:{\displaystyle \varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)}
1978:. We can extend this filtration to a bounded complex of sheaves
1587:
1528:
1487:
1433:
1423:
1388:
1352:
1316:
1240:
1229:
1202:
1169:
1141:
992:
948:
917:
876:
840:
813:
780:
744:
676:
558:
465:
419:
285:
257:
193:
166:
142:
107:
2005:
by considering the filtration on the cohomology sheaves
1160:, so that the collection of all stability conditions on
2358:
is the set of autoequivalences of the derived category
2479:
2364:
2333:
2302:
2190:
2133:
2079:
2011:
1984:
1939:
1891:
1817:
1794:
1774:
1741:
1667:
1608:
1578:
1552:
1516:
1478:
1420:
1373:
1349:
1313:
1282:
1226:
1213:{\displaystyle \operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})}
1190:
1166:
1138:
1087:
1022:
977:
945:
908:
861:
837:
801:
777:
741:
713:
700:{\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})}
660:
579:
549:
502:
456:
410:
370:
341:
321:
254:
223:
190:
163:
139:
104:
72:
1462:{\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])}
1971:{\displaystyle \mu _{i}={\text{deg}}/{\text{rank}}}
1407:{\displaystyle Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C} }
1009:{\displaystyle 0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )}
895:{\displaystyle Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C} }
2492:
2386:
2350:
2319:
2285:
2162:
2116:
2065:
1997:
1970:
1925:
1874:
1800:
1780:
1747:
1727:
1653:
1594:
1564:
1538:
1494:
1461:
1406:
1359:
1335:
1288:
1268:
1212:
1176:
1148:
1120:
1073:
1008:
955:
927:
894:
847:
823:
787:
751:
719:
699:
624:
565:
532:
488:
442:
396:
361:is the shift functor on the triangulated category,
353:
327:
307:
237:
209:
173:
149:
114:
78:
489:{\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})}
443:{\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})}
16:Stability conditions for triangulated cateogires
1728:{\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))}
573:there exists a finite sequence of real numbers
51:, and this situation has fundamental links to
8:
2422:
2420:
2418:
2416:
1121:{\displaystyle m(E)\in \mathbb {R} _{>0}}
1074:{\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )}
397:{\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}}
1300:Technical remarks about stability condition
533:{\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)=0}
2163:{\displaystyle \phi :K(X)\to \mathbb {R} }
1510:) with respect to the stability condition
1220:. In good circumstances, for example when
2484:
2478:
2453:
2432:
2369:
2363:
2334:
2332:
2303:
2301:
2276:
2275:
2261:
2256:
2249:
2248:
2233:
2228:
2210:
2205:
2191:
2189:
2156:
2155:
2132:
2102:
2089:
2084:
2078:
2066:{\displaystyle E^{i}=H^{i}(E^{\bullet })}
2042:
2029:
2016:
2010:
1989:
1983:
1963:
1958:
1953:
1944:
1938:
1911:
1902:
1896:
1890:
1860:
1841:
1828:
1816:
1793:
1773:
1740:
1666:
1638:
1627:
1607:
1586:
1585:
1577:
1551:
1527:
1526:
1515:
1486:
1485:
1477:
1432:
1431:
1422:
1421:
1419:
1400:
1399:
1387:
1386:
1372:
1351:
1350:
1348:
1315:
1314:
1312:
1281:
1245:
1239:
1238:
1228:
1227:
1225:
1201:
1200:
1189:
1168:
1167:
1165:
1140:
1139:
1137:
1109:
1105:
1104:
1086:
1021:
991:
990:
976:
947:
946:
944:
916:
915:
907:
888:
887:
875:
874:
860:
839:
838:
836:
812:
811:
800:
779:
778:
776:
743:
742:
740:
712:
688:
675:
674:
665:
659:
616:
597:
584:
578:
557:
556:
548:
501:
477:
464:
463:
455:
431:
418:
417:
409:
388:
375:
369:
340:
320:
284:
283:
256:
255:
253:
231:
230:
222:
192:
191:
189:
165:
164:
162:
141:
140:
138:
106:
105:
103:
71:
1132:It is convention to assume the category
238:{\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }
210:{\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )}
2403:
2327:is the set of stability conditions and
1081:for some strictly positive real number
1764:From the Harder–Narasimhan filtration
1336:{\displaystyle {\mathcal {P}}(>0)}
7:
2117:{\displaystyle E_{j}^{i}=\mu _{i}+j}
1595:{\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}
1495:{\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}
566:{\displaystyle E\in {\mathcal {D}}}
1539:{\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}
824:{\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}
126:Slicing of triangulated categories
73:
14:
928:{\displaystyle K({\mathcal {D}})}
181:is a collection of full additive
2320:{\displaystyle {\text{Stab}}(X)}
2351:{\displaystyle {\text{Aut}}(X)}
1788:implies for any coherent sheaf
2381:
2375:
2345:
2339:
2314:
2308:
2280:
2266:
2253:
2239:
2221:
2215:
2202:
2196:
2152:
2149:
2143:
2060:
2051:
2048:
2035:
1722:
1719:
1713:
1701:
1692:
1686:
1677:
1671:
1648:
1642:
1635:
1624:
1618:
1612:
1556:
1533:
1517:
1456:
1453:
1441:
1438:
1396:
1393:
1383:
1360:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1330:
1321:
1263:
1257:
1207:
1197:
1177:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1149:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
1097:
1091:
1068:
1056:
1047:
1041:
1032:
1026:
1003:
997:
956:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
922:
912:
884:
881:
871:
848:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
818:
802:
788:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
769:Bridgeland stability condition
752:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
694:
681:
521:
509:
483:
470:
437:
424:
348:
342:
302:
290:
277:
271:
268:
262:
204:
198:
174:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
150:{\displaystyle {\mathcal {P}}}
115:{\displaystyle {\mathcal {D}}}
29:Bridgeland stability condition
1:
1926:{\displaystyle E_{j}/E_{j-1}}
733:Harder–Narasimhan filtrations
632:and a collection of triangles
86:-stability and used to study
1998:{\displaystyle E^{\bullet }}
735:on elements of the category
122:be a triangulated category.
771:on a triangulated category
2546:
2073:and defining the slope of
855:and a group homomorphism
2473:Stability conditions on
2387:{\displaystyle D^{b}(X)}
2173:for the central charge.
1546:if for every surjection
831:consisting of a slicing
328:{\displaystyle \varphi }
2494:
2388:
2352:
2321:
2294:
2287:
2171:
2164:
2118:
2067:
1999:
1972:
1927:
1885:such that the factors
1883:
1876:
1802:
1782:
1749:
1729:
1655:
1596:
1566:
1565:{\displaystyle E\to F}
1540:
1496:
1463:
1408:
1361:
1337:
1290:
1270:
1214:
1178:
1150:
1122:
1075:
1010:
957:
929:
896:
849:
825:
789:
753:
721:
701:
646:
626:
567:
534:
490:
444:
398:
355:
329:
309:
239:
211:
175:
151:
116:
80:
2495:
2493:{\displaystyle A_{n}}
2389:
2353:
2322:
2288:
2183:
2165:
2126:
2119:
2068:
2000:
1973:
1928:
1877:
1810:
1808:there is a filtration
1803:
1783:
1750:
1730:
1656:
1597:
1567:
1541:
1497:
1464:
1409:
1367:and a central charge
1362:
1338:
1291:
1271:
1215:
1179:
1151:
1123:
1076:
1011:
958:
930:
897:
850:
826:
790:
754:
722:
702:
645:
627:
568:
535:
491:
445:
399:
356:
330:
310:
240:
212:
176:
152:
117:
81:
37:triangulated category
2477:
2362:
2331:
2300:
2188:
2131:
2077:
2009:
1982:
1937:
1889:
1815:
1792:
1772:
1739:
1665:
1606:
1576:
1550:
1514:
1476:
1418:
1371:
1347:
1311:
1280:
1224:
1188:
1164:
1136:
1085:
1020:
975:
943:
906:
859:
835:
799:
775:
763:Stability conditions
739:
711:
658:
577:
547:
500:
454:
408:
368:
339:
319:
252:
221:
188:
161:
137:
102:
79:{\displaystyle \Pi }
70:
2124:, giving a function
2094:
49:Calabi–Yau manifold
2530:Algebraic geometry
2490:
2384:
2348:
2317:
2283:
2160:
2114:
2080:
2063:
1995:
1968:
1923:
1872:
1798:
1778:
1745:
1735:and similarly for
1725:
1651:
1592:
1562:
1536:
1492:
1459:
1404:
1357:
1333:
1286:
1266:
1210:
1174:
1146:
1118:
1071:
1006:
953:
937:Grothendieck group
925:
892:
845:
821:
785:
749:
717:
697:
647:
622:
563:
530:
486:
440:
394:
351:
325:
305:
235:
207:
171:
147:
112:
76:
25:algebraic geometry
2337:
2306:
2264:
2231:
2213:
2194:
1966:
1956:
1801:{\displaystyle E}
1781:{\displaystyle X}
1748:{\displaystyle F}
1630:
1289:{\displaystyle X}
1158:essentially small
720:{\displaystyle i}
543:for every object
55:and the study of
23:, and especially
2537:
2499:
2497:
2496:
2491:
2489:
2488:
2460:
2459:
2457:
2445:
2439:
2438:
2436:
2424:
2411:
2408:
2393:
2391:
2390:
2385:
2374:
2373:
2357:
2355:
2354:
2349:
2338:
2335:
2326:
2324:
2323:
2318:
2307:
2304:
2292:
2290:
2289:
2284:
2279:
2265:
2262:
2260:
2252:
2238:
2237:
2232:
2229:
2214:
2211:
2209:
2195:
2192:
2169:
2167:
2166:
2161:
2159:
2123:
2121:
2120:
2115:
2107:
2106:
2093:
2088:
2072:
2070:
2069:
2064:
2047:
2046:
2034:
2033:
2021:
2020:
2004:
2002:
2001:
1996:
1994:
1993:
1977:
1975:
1974:
1969:
1967:
1964:
1962:
1957:
1954:
1949:
1948:
1932:
1930:
1929:
1924:
1922:
1921:
1906:
1901:
1900:
1881:
1879:
1878:
1873:
1865:
1864:
1846:
1845:
1833:
1832:
1807:
1805:
1804:
1799:
1787:
1785:
1784:
1779:
1754:
1752:
1751:
1746:
1734:
1732:
1731:
1726:
1660:
1658:
1657:
1652:
1631:
1628:
1601:
1599:
1598:
1593:
1591:
1590:
1571:
1569:
1568:
1563:
1545:
1543:
1542:
1537:
1532:
1531:
1501:
1499:
1498:
1493:
1491:
1490:
1468:
1466:
1465:
1460:
1437:
1436:
1427:
1426:
1413:
1411:
1410:
1405:
1403:
1392:
1391:
1366:
1364:
1363:
1358:
1356:
1355:
1343:on the category
1342:
1340:
1339:
1334:
1320:
1319:
1295:
1293:
1292:
1287:
1275:
1273:
1272:
1267:
1250:
1249:
1244:
1243:
1233:
1232:
1219:
1217:
1216:
1211:
1206:
1205:
1183:
1181:
1180:
1175:
1173:
1172:
1155:
1153:
1152:
1147:
1145:
1144:
1127:
1125:
1124:
1119:
1117:
1116:
1108:
1080:
1078:
1077:
1072:
1015:
1013:
1012:
1007:
996:
995:
962:
960:
959:
954:
952:
951:
934:
932:
931:
926:
921:
920:
901:
899:
898:
893:
891:
880:
879:
854:
852:
851:
846:
844:
843:
830:
828:
827:
822:
817:
816:
794:
792:
791:
786:
784:
783:
758:
756:
755:
750:
748:
747:
726:
724:
723:
718:
706:
704:
703:
698:
693:
692:
680:
679:
670:
669:
631:
629:
628:
623:
621:
620:
602:
601:
589:
588:
572:
570:
569:
564:
562:
561:
539:
537:
536:
531:
495:
493:
492:
487:
482:
481:
469:
468:
449:
447:
446:
441:
436:
435:
423:
422:
403:
401:
400:
395:
393:
392:
380:
379:
360:
358:
357:
354:{\displaystyle }
352:
334:
332:
331:
326:
314:
312:
311:
306:
289:
288:
261:
260:
244:
242:
241:
236:
234:
216:
214:
213:
208:
197:
196:
180:
178:
177:
172:
170:
169:
156:
154:
153:
148:
146:
145:
121:
119:
118:
113:
111:
110:
85:
83:
82:
77:
45:coherent sheaves
41:derived category
2545:
2544:
2540:
2539:
2538:
2536:
2535:
2534:
2510:
2509:
2480:
2475:
2474:
2469:
2464:
2463:
2447:
2446:
2442:
2426:
2425:
2414:
2409:
2405:
2400:
2365:
2360:
2359:
2329:
2328:
2298:
2297:
2227:
2186:
2185:
2179:
2177:Elliptic curves
2129:
2128:
2098:
2075:
2074:
2038:
2025:
2012:
2007:
2006:
1985:
1980:
1979:
1940:
1935:
1934:
1907:
1892:
1887:
1886:
1856:
1837:
1824:
1813:
1812:
1790:
1789:
1770:
1769:
1766:
1761:
1737:
1736:
1663:
1662:
1604:
1603:
1574:
1573:
1548:
1547:
1512:
1511:
1474:
1473:
1416:
1415:
1369:
1368:
1345:
1344:
1309:
1308:
1302:
1278:
1277:
1237:
1222:
1221:
1186:
1185:
1162:
1161:
1134:
1133:
1103:
1083:
1082:
1018:
1017:
973:
972:
941:
940:
904:
903:
857:
856:
833:
832:
797:
796:
773:
772:
765:
737:
736:
709:
708:
684:
661:
656:
655:
612:
593:
580:
575:
574:
545:
544:
498:
497:
473:
452:
451:
427:
406:
405:
384:
371:
366:
365:
337:
336:
317:
316:
250:
249:
219:
218:
186:
185:
159:
158:
135:
134:
128:
100:
99:
96:
68:
67:
64:Michael Douglas
17:
12:
11:
5:
2543:
2541:
2533:
2532:
2527:
2522:
2512:
2511:
2508:
2507:
2502:
2487:
2483:
2468:
2465:
2462:
2461:
2440:
2412:
2402:
2401:
2399:
2396:
2383:
2380:
2377:
2372:
2368:
2347:
2344:
2341:
2316:
2313:
2310:
2282:
2278:
2274:
2271:
2268:
2259:
2255:
2251:
2247:
2244:
2241:
2236:
2226:
2223:
2220:
2217:
2208:
2204:
2201:
2198:
2178:
2175:
2158:
2154:
2151:
2148:
2145:
2142:
2139:
2136:
2113:
2110:
2105:
2101:
2097:
2092:
2087:
2083:
2062:
2059:
2056:
2053:
2050:
2045:
2041:
2037:
2032:
2028:
2024:
2019:
2015:
1992:
1988:
1961:
1952:
1947:
1943:
1920:
1917:
1914:
1910:
1905:
1899:
1895:
1871:
1868:
1863:
1859:
1855:
1852:
1849:
1844:
1840:
1836:
1831:
1827:
1823:
1820:
1797:
1777:
1765:
1762:
1760:
1757:
1744:
1724:
1721:
1718:
1715:
1712:
1709:
1706:
1703:
1700:
1697:
1694:
1691:
1688:
1685:
1682:
1679:
1676:
1673:
1670:
1650:
1647:
1644:
1641:
1637:
1634:
1626:
1623:
1620:
1617:
1614:
1611:
1589:
1584:
1581:
1561:
1558:
1555:
1535:
1530:
1525:
1522:
1519:
1489:
1484:
1481:
1458:
1455:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1435:
1430:
1425:
1402:
1398:
1395:
1390:
1385:
1382:
1379:
1376:
1354:
1332:
1329:
1326:
1323:
1318:
1301:
1298:
1285:
1265:
1262:
1259:
1256:
1253:
1248:
1242:
1236:
1231:
1209:
1204:
1199:
1196:
1193:
1171:
1143:
1130:
1129:
1115:
1112:
1107:
1102:
1099:
1096:
1093:
1090:
1070:
1067:
1064:
1061:
1058:
1055:
1052:
1049:
1046:
1043:
1040:
1037:
1034:
1031:
1028:
1025:
1005:
1002:
999:
994:
989:
986:
983:
980:
965:central charge
950:
924:
919:
914:
911:
890:
886:
883:
878:
873:
870:
867:
864:
842:
820:
815:
810:
807:
804:
782:
764:
761:
746:
729:
728:
716:
696:
691:
687:
683:
678:
673:
668:
664:
652:
651:
650:
649:
648:
634:
633:
619:
615:
611:
608:
605:
600:
596:
592:
587:
583:
560:
555:
552:
541:
529:
526:
523:
520:
517:
514:
511:
508:
505:
485:
480:
476:
472:
467:
462:
459:
439:
434:
430:
426:
421:
416:
413:
391:
387:
383:
378:
374:
362:
350:
347:
344:
324:
304:
301:
298:
295:
292:
287:
282:
279:
276:
273:
270:
267:
264:
259:
233:
229:
226:
206:
203:
200:
195:
168:
144:
127:
124:
109:
95:
92:
75:
33:Tom Bridgeland
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
2542:
2531:
2528:
2526:
2525:String theory
2523:
2521:
2518:
2517:
2515:
2506:
2503:
2501:
2500:singularities
2485:
2481:
2471:
2470:
2466:
2456:
2451:
2444:
2441:
2435:
2430:
2423:
2421:
2419:
2417:
2413:
2407:
2404:
2397:
2395:
2378:
2370:
2366:
2342:
2311:
2293:
2272:
2269:
2257:
2245:
2242:
2234:
2224:
2218:
2206:
2199:
2182:
2176:
2174:
2170:
2146:
2140:
2137:
2134:
2125:
2111:
2108:
2103:
2099:
2095:
2090:
2085:
2081:
2057:
2054:
2043:
2039:
2030:
2026:
2022:
2017:
2013:
1990:
1986:
1959:
1950:
1945:
1941:
1918:
1915:
1912:
1908:
1903:
1897:
1893:
1882:
1869:
1866:
1861:
1857:
1853:
1850:
1847:
1842:
1838:
1834:
1829:
1825:
1821:
1818:
1809:
1795:
1775:
1763:
1758:
1756:
1742:
1716:
1710:
1707:
1704:
1698:
1695:
1689:
1683:
1680:
1674:
1668:
1645:
1639:
1632:
1621:
1615:
1609:
1582:
1579:
1559:
1553:
1523:
1520:
1509:
1505:
1482:
1479:
1470:
1450:
1447:
1444:
1428:
1414:on the heart
1380:
1377:
1374:
1327:
1324:
1307:
1299:
1297:
1283:
1260:
1254:
1251:
1246:
1234:
1194:
1191:
1159:
1113:
1110:
1100:
1094:
1088:
1065:
1062:
1059:
1053:
1050:
1044:
1038:
1035:
1029:
1023:
1000:
987:
984:
981:
978:
970:
969:
968:
967:, satisfying
966:
938:
909:
868:
865:
862:
808:
805:
770:
762:
760:
734:
714:
689:
685:
671:
666:
662:
653:
644:
640:
639:
638:
637:
636:
635:
617:
613:
609:
606:
603:
598:
594:
590:
585:
581:
553:
550:
542:
527:
524:
518:
515:
512:
506:
503:
478:
474:
460:
457:
432:
428:
414:
411:
389:
385:
381:
376:
372:
363:
345:
322:
299:
296:
293:
280:
274:
265:
248:
247:
246:
227:
224:
201:
184:
183:subcategories
133:
125:
123:
93:
91:
89:
65:
60:
58:
54:
53:string theory
50:
46:
42:
38:
34:
31:, defined by
30:
26:
22:
2443:
2434:math/0212237
2406:
2295:
2184:
2180:
2172:
2127:
1884:
1811:
1767:
1507:
1503:
1471:
1303:
1184:forms a set
1131:
964:
768:
766:
730:
131:
129:
97:
61:
28:
18:
1933:have slope
1504:semi-stable
1472:An element
1306:t-structure
963:, called a
21:mathematics
2514:Categories
2455:1501.06657
2398:References
1602:, we have
795:is a pair
245:such that
94:Definition
2225:≅
2153:→
2135:ϕ
2100:μ
2044:∙
1991:∙
1942:μ
1916:−
1854:⊂
1851:⋯
1848:⊂
1835:⊂
1711:φ
1708:π
1699:
1640:φ
1622:≤
1610:φ
1583:∈
1557:→
1483:∈
1397:→
1255:
1195:
1101:∈
1066:φ
1063:π
1054:
1001:φ
988:∈
982:≠
885:→
686:φ
672:∈
614:φ
607:⋯
595:φ
582:φ
554:∈
507:
475:φ
461:∈
429:φ
415:∈
386:φ
373:φ
323:φ
294:φ
266:φ
228:∈
225:φ
217:for each
202:φ
74:Π
2520:Geometry
1759:Examples
902:, where
707:for all
335:, where
315:for all
57:D-branes
1506:(resp.
935:is the
496:, then
132:slicing
66:called
2467:Papers
2296:where
1661:where
1508:stable
2450:arXiv
2429:arXiv
1629:resp.
1016:then
654:with
540:, and
47:on a
2305:Stab
2193:Stab
1965:rank
1633:<
1572:for
1325:>
1192:Stab
1111:>
610:>
604:>
591:>
450:and
404:and
382:>
27:, a
2336:Aut
2212:Aut
1955:deg
1696:exp
1502:is
1252:Coh
1156:is
1051:exp
971:if
939:of
504:Hom
364:if
157:of
88:BPS
43:of
19:In
2516::
2415:^
2394:.
2263:SL
2230:GL
1755:.
767:A
759:.
130:A
59:.
2486:n
2482:A
2458:.
2452::
2437:.
2431::
2382:)
2379:X
2376:(
2371:b
2367:D
2346:)
2343:X
2340:(
2315:)
2312:X
2309:(
2281:)
2277:Z
2273:,
2270:2
2267:(
2258:/
2254:)
2250:R
2246:,
2243:2
2240:(
2235:+
2222:)
2219:X
2216:(
2207:/
2203:)
2200:X
2197:(
2157:R
2150:)
2147:X
2144:(
2141:K
2138::
2112:j
2109:+
2104:i
2096:=
2091:i
2086:j
2082:E
2061:]
2058:i
2055:+
2052:[
2049:)
2040:E
2036:(
2031:i
2027:H
2023:=
2018:i
2014:E
1987:E
1960:/
1951:=
1946:i
1919:1
1913:j
1909:E
1904:/
1898:j
1894:E
1870:E
1867:=
1862:n
1858:E
1843:1
1839:E
1830:0
1826:E
1822:=
1819:0
1796:E
1776:X
1743:F
1723:)
1720:)
1717:E
1714:(
1705:i
1702:(
1693:)
1690:E
1687:(
1684:m
1681:=
1678:)
1675:E
1672:(
1669:Z
1649:)
1646:F
1643:(
1636:)
1625:(
1619:)
1616:E
1613:(
1588:A
1580:F
1560:F
1554:E
1534:)
1529:P
1524:,
1521:Z
1518:(
1488:A
1480:E
1457:)
1454:]
1451:1
1448:,
1445:0
1442:(
1439:(
1434:P
1429:=
1424:A
1401:C
1394:)
1389:A
1384:(
1381:K
1378::
1375:Z
1353:D
1331:)
1328:0
1322:(
1317:P
1284:X
1264:)
1261:X
1258:(
1247:b
1241:D
1235:=
1230:D
1208:)
1203:D
1198:(
1170:D
1142:D
1128:.
1114:0
1106:R
1098:)
1095:E
1092:(
1089:m
1069:)
1060:i
1057:(
1048:)
1045:E
1042:(
1039:m
1036:=
1033:)
1030:E
1027:(
1024:Z
1004:)
998:(
993:P
985:E
979:0
949:D
923:)
918:D
913:(
910:K
889:C
882:)
877:D
872:(
869:K
866::
863:Z
841:P
819:)
814:P
809:,
806:Z
803:(
781:D
745:D
727:.
715:i
695:)
690:i
682:(
677:P
667:i
663:A
618:n
599:2
586:1
559:D
551:E
528:0
525:=
522:)
519:B
516:,
513:A
510:(
484:)
479:2
471:(
466:P
458:B
438:)
433:1
425:(
420:P
412:A
390:2
377:1
349:]
346:1
343:[
303:)
300:1
297:+
291:(
286:P
281:=
278:]
275:1
272:[
269:)
263:(
258:P
232:R
205:)
199:(
194:P
167:D
143:P
108:D
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
