2005:
1810:
1378:
536:
871:
2000:{\displaystyle {\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+{\tfrac {1}{13}}+{\tfrac {1}{17}}+{\tfrac {1}{19}}+{\tfrac {1}{29}}+{\tfrac {1}{31}}+{\tfrac {1}{41}}+{\tfrac {1}{43}}+{\tfrac {1}{59}}+{\tfrac {1}{61}}+\cdots }
1208:
717:
1216:
433:
1674:
1565:
937:
773:
1014:
1114:
629:
1089:
768:
388:
321:
294:
187:
1779:
568:
1735:
1715:
1585:
1504:
1484:
1460:
1440:
1420:
1400:
1109:
1054:
1034:
977:
957:
737:
592:
428:
408:
361:
341:
267:
247:
227:
207:
160:
140:
116:
96:
634:
72:
2104:
2082:
2056:
2037:
1740:
There are infinitely many pairs of integers differing by 2, where each of the member of the pair is the product of at most 9 primes;
52:
1590:
1373:{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)\cdot \left({1+O\left((\log z)^{-b\log b}\right)}\right)+O\left(z^{b\log \log z}\right)}
1752:
1509:
1694:
2051:. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge). Vol. 43. Springer-Verlag. pp. 71–101.
740:
2124:
2032:. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 66. Cambridge University Press. pp. 80–112.
531:{\displaystyle S(A,P,z)={\biggl \vert }A\setminus \bigcup _{p\in P \atop p\leq z}A_{p}{\biggr \vert },}
890:
44:
2092:
984:
2100:
2078:
2052:
2033:
1748:
1684:
1743:
Every even number is the sum of two numbers each of which is the product of at most 9 primes.
597:
2066:
2016:
40:
1062:
746:
366:
299:
272:
165:
2020:
1758:
543:
2074:
1720:
1700:
1570:
1489:
1469:
1463:
1445:
1425:
1405:
1385:
1094:
1039:
1019:
962:
942:
722:
577:
413:
393:
346:
326:
252:
232:
212:
192:
145:
125:
101:
81:
17:
2118:
28:
866:{\displaystyle W(z)=\prod _{p\in P \atop p\leq z}\left(1-{\frac {w(p)}{p}}\right).}
119:
64:
881:
2007:
où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie".
1203:{\displaystyle \sum _{p\in P \atop p\leq z}{\frac {w(p)}{p}}<D\log \log z+E.}
571:
594:, which in this case is just its number of elements. Suppose in addition that
430:
be an arbitrary positive real number. The object of the sieve is to estimate:
1791:
1688:
48:
1794:(1915). "Ăśber das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare".
712:{\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {w(d)}{d}}|A|+R_{d},}
39:) is a technique for estimating the size of "sifted sets" of
884:, Theorem 6.1.2. With the notation as above, suppose that
43:
which satisfy a set of conditions which are expressed by
2030:
An introduction to sieve methods and their applications
2097:
Applications of sieve methods to the theory of numbers
1980:
1965:
1950:
1935:
1920:
1905:
1890:
1875:
1860:
1845:
1830:
1815:
1813:
1761:
1723:
1703:
1593:
1573:
1512:
1492:
1472:
1448:
1428:
1408:
1388:
1219:
1117:
1097:
1065:
1042:
1022:
987:
965:
945:
893:
776:
749:
725:
637:
600:
580:
546:
436:
416:
396:
369:
349:
329:
302:
275:
255:
235:
215:
195:
168:
148:
128:
104:
84:
229:. This notation can be extended to other integers
1999:
1773:
1729:
1709:
1668:
1579:
1559:
1498:
1478:
1454:
1434:
1414:
1394:
1372:
1202:
1103:
1083:
1048:
1028:
1008:
971:
951:
931:
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731:
711:
623:
586:
562:
530:
422:
402:
382:
355:
335:
315:
288:
261:
241:
221:
201:
181:
154:
134:
110:
90:
520:
466:
71:; that is, it derives from a careful use of the
1669:{\displaystyle S(A,P,z)=X\cdot W(z)(1+o(1)).}
1560:{\displaystyle \log z<c\log x/\log \log x}
8:
2028:Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty (2005).
98:be a finite set of positive integers. Let
1979:
1964:
1949:
1934:
1919:
1904:
1889:
1874:
1859:
1844:
1829:
1814:
1812:
1760:
1722:
1702:
1592:
1572:
1537:
1511:
1491:
1471:
1447:
1427:
1407:
1387:
1345:
1303:
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1149:
1122:
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1096:
1064:
1041:
1021:
986:
964:
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909:
903:
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892:
834:
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754:
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724:
700:
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636:
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601:
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301:
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274:
254:
234:
214:
194:
173:
167:
147:
127:
103:
83:
1747:The last two results were superseded by
1697:: every even number is a sum of at most
1091:such that, for any positive real number
249:that are products of distinct primes in
1796:Archiv for Mathematik og Naturvidenskab
474:
51:in 1915 and later generalized to the
7:
1687:: the sum of the reciprocals of the
2009:Bulletin des Sciences Mathématiques
296:to be the intersection of the sets
1123:
797:
482:
25:
53:fundamental lemma of sieve theory
1442:is any positive integer and the
932:{\displaystyle |R_{d}|\leq w(d)}
2099:. Cambridge University Press.
1660:
1657:
1651:
1639:
1636:
1630:
1615:
1597:
1486:denote the maximum element in
1300:
1287:
1262:
1256:
1241:
1223:
1161:
1155:
997:
991:
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920:
910:
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786:
780:
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671:
665:
617:
602:
556:
548:
458:
440:
189:denote the set of elements of
1:
1807:Viggo Brun (1919). "La série
770:is some error function. Let
73:inclusion–exclusion principle
2141:
1753:Goldbach's weak conjecture
875:
1466:. In particular, letting
1009:{\displaystyle w(p)<C}
880:This formulation is from
2069:; H.E. Richert (1974).
2049:Sieves in number theory
2047:George Greaves (2001).
741:multiplicative function
624:{\displaystyle |A_{d}|}
269:. In this case, define
47:. It was developed by
2001:
1775:
1737:can be taken to be 6);
1731:
1711:
1695:Schnirelmann's theorem
1670:
1581:
1561:
1500:
1480:
1456:
1436:
1416:
1396:
1374:
1204:
1105:
1085:
1059:There exist constants
1050:
1030:
1010:
973:
959:composed of primes in
953:
933:
867:
764:
733:
713:
625:
588:
564:
532:
424:
404:
384:
357:
337:
323:for the prime factors
317:
290:
263:
243:
223:
209:that are divisible by
203:
183:
156:
136:
112:
92:
18:Brun's pure sieve
2002:
1776:
1732:
1712:
1671:
1582:
1567:for a suitably small
1562:
1501:
1481:
1457:
1437:
1417:
1397:
1375:
1205:
1106:
1086:
1084:{\displaystyle C,D,E}
1051:
1031:
1011:
974:
954:
934:
868:
765:
763:{\displaystyle R_{d}}
734:
714:
626:
589:
565:
533:
425:
405:
385:
383:{\displaystyle A_{1}}
358:
338:
318:
316:{\displaystyle A_{p}}
291:
289:{\displaystyle A_{d}}
264:
244:
224:
204:
184:
182:{\displaystyle A_{p}}
157:
137:
113:
93:
67:the Brun sieve is of
2015:: 100–104, 124–128.
1811:
1759:
1751:, and the second by
1721:
1701:
1591:
1571:
1510:
1490:
1470:
1446:
1426:
1406:
1386:
1217:
1115:
1095:
1063:
1040:
1020:
985:
963:
943:
891:
882:Cojocaru & Murty
774:
747:
723:
635:
631:may be estimated by
598:
578:
544:
434:
414:
394:
367:
347:
327:
300:
273:
253:
233:
213:
193:
166:
146:
126:
102:
82:
1774:{\displaystyle C=3}
1402:is the cardinal of
939:for any squarefree
563:{\displaystyle |X|}
540:where the notation
122:. For each prime
2093:Christopher Hooley
1997:
1989:
1974:
1959:
1944:
1929:
1914:
1899:
1884:
1869:
1854:
1839:
1824:
1771:
1727:
1707:
1666:
1577:
1557:
1496:
1476:
1452:
1432:
1412:
1392:
1370:
1200:
1148:
1101:
1081:
1046:
1026:
1006:
969:
949:
929:
863:
822:
760:
729:
709:
621:
584:
560:
528:
507:
420:
400:
380:
363:. Finally, define
353:
333:
313:
286:
259:
239:
219:
199:
179:
152:
132:
108:
88:
69:combinatorial type
1988:
1973:
1958:
1943:
1928:
1913:
1898:
1883:
1868:
1853:
1838:
1823:
1730:{\displaystyle C}
1710:{\displaystyle C}
1580:{\displaystyle c}
1499:{\displaystyle A}
1479:{\displaystyle x}
1455:{\displaystyle O}
1435:{\displaystyle b}
1415:{\displaystyle A}
1395:{\displaystyle X}
1168:
1146:
1118:
1104:{\displaystyle z}
1049:{\displaystyle P}
1029:{\displaystyle p}
972:{\displaystyle P}
952:{\displaystyle d}
876:Brun's pure sieve
853:
820:
792:
732:{\displaystyle w}
678:
587:{\displaystyle X}
505:
477:
423:{\displaystyle z}
403:{\displaystyle A}
356:{\displaystyle d}
336:{\displaystyle p}
262:{\displaystyle P}
242:{\displaystyle d}
222:{\displaystyle p}
202:{\displaystyle A}
155:{\displaystyle P}
135:{\displaystyle p}
111:{\displaystyle P}
91:{\displaystyle A}
41:positive integers
37:Brun's pure sieve
16:(Redirected from
2132:
2110:
2088:
2067:Heini Halberstam
2062:
2043:
2024:
2006:
2004:
2003:
1998:
1990:
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1975:
1966:
1960:
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1900:
1891:
1885:
1876:
1870:
1861:
1855:
1846:
1840:
1831:
1825:
1816:
1803:
1780:
1778:
1777:
1772:
1736:
1734:
1733:
1728:
1716:
1714:
1713:
1708:
1675:
1673:
1672:
1667:
1586:
1584:
1583:
1578:
1566:
1564:
1563:
1558:
1541:
1505:
1503:
1502:
1497:
1485:
1483:
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1477:
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1459:
1458:
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1441:
1439:
1438:
1433:
1421:
1419:
1418:
1413:
1401:
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1398:
1393:
1379:
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1376:
1371:
1369:
1365:
1364:
1330:
1326:
1325:
1321:
1320:
1319:
1209:
1207:
1206:
1201:
1169:
1164:
1150:
1147:
1145:
1134:
1110:
1108:
1107:
1102:
1090:
1088:
1087:
1082:
1055:
1053:
1052:
1047:
1035:
1033:
1032:
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1015:
1013:
1012:
1007:
978:
976:
975:
970:
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955:
950:
938:
936:
935:
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907:
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870:
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864:
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855:
854:
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819:
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759:
758:
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736:
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716:
715:
710:
705:
704:
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684:
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655:
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650:
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620:
615:
614:
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590:
585:
569:
567:
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561:
559:
551:
537:
535:
534:
529:
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523:
517:
516:
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504:
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407:
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389:
387:
386:
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378:
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334:
322:
320:
319:
314:
312:
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