6028:
410:
33:
152:
4870:
1522:. The tangent bundle of the unit circle is trivial because it is a Lie group (under multiplication and its natural differential structure). It is not true however that all spaces with trivial tangent bundles are Lie groups; manifolds which have a trivial tangent bundle are called
2094:
405:{\displaystyle {\begin{aligned}TM&=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{x\right\}\times T_{x}M\\&=\bigcup _{x\in M}\left\{(x,y)\mid y\in T_{x}M\right\}\\&=\left\{(x,y)\mid x\in M,\,y\in T_{x}M\right\}\end{aligned}}}
1952:
2249:
5227:– the first pair of coordinates do not change because it is the section of a bundle and these are just the point in the base space: the last pair of coordinates are the section itself. This expression for the vector field depends only on
5000:
5354:
5160:
5554:
can be characterized using 4 axioms, and if a manifold has a vector field satisfying these axioms, then the manifold is a tangent bundle and the vector field is the canonical vector field on it. See for example, De León et al.
2822:
4735:
36:
Informally, the tangent bundle of a manifold (which in this case is a circle) is obtained by considering all the tangent spaces (top), and joining them together in a smooth and non-overlapping manner (bottom).
2448:
1749:
1963:
5833:
2740:
157:
3860:
1828:
2657:
4612:
1348:
1644:
3994:
1419:
5789:
689:
3905:
3693:
3809:
2891:
1563:
1512:
1477:
4529:
under this product structure. Applying this product structure to the tangent space at each point and globalizing yields the canonical vector field. Informally, although the manifold
4324:
5450:
5225:
4414:
4186:
5872:
3355:
2696:
6011:
section: all tangents to a circle lie in the plane of the circle. In order to make them disjoint it is necessary to align them in a plane perpendicular to the plane of the circle.
5907:
4262:
3735:
1183:
4460:
3425:
4687:
2484:
2362:
2284:
4221:
3943:
2616:
1861:
1098:
4084:
3160:
3060:
4527:
3508:
3117:
5673:
5379:
2920:
1869:
3460:
3287:
1783:
1671:
733:
3561:
1039:
4908:
2171:
4707:
2307:
5697:
5628:
4489:
4727:
4137:
3761:
3186:
1378:
763:
443:
7131:
5038:
4916:
2977:
2947:
2856:
545:
6322:
5405:
5720:
5608:
5476:
5061:
4635:
4366:
4025:
2385:
2330:
2163:
2120:
1442:
1226:
987:
884:
833:
510:
100:
5740:
5648:
5585:
5552:
5532:
5504:
5276:
5265:
5245:
4655:
4567:
4547:
4107:
3648:
3625:
3601:
3581:
3531:
3255:
3232:
3212:
3019:
2760:
2575:
2555:
2535:
2515:
2140:
1691:
1583:
1301:
1277:
1246:
1138:
1118:
1007:
960:
932:
912:
857:
783:
645:
625:
605:
585:
565:
487:
467:
144:
120:
77:
5069:
7126:
6413:
6437:
1518:. Trivial tangent bundles usually occur for manifolds equipped with a 'compatible group structure'; for instance, in the case where the manifold is a
6632:
4865:{\displaystyle T(TM)\approx T(M\times \mathbb {R} ^{n})\cong TM\times T(\mathbb {R} ^{n})\cong TM\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n})}
2765:
6502:
6164:
6141:
6728:
6781:
6309:
7065:
2390:
1699:
6206:
6185:
6111:
2089:{\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(x,v^{i}\partial _{i}\right)=\left(\phi _{\alpha }(x),v^{1},\cdots ,v^{n}\right)}
1068:
One of the main roles of the tangent bundle is to provide a domain and range for the derivative of a smooth function. Namely, if
6830:
6422:
6813:
6131:
6045:
2949:, both of which are trivial. For 2-dimensional manifolds the tangent bundle is 4-dimensional and hence difficult to visualize.
2578:
7174:
6092:
6049:
6064:
7025:
6270:
6190:
5794:
2701:
7010:
6733:
6507:
3814:
1788:
1141:
7055:
6265:
6071:
2621:
4572:
1309:
7060:
7030:
6738:
6694:
6675:
6442:
6386:
5918:
5005:
Splitting the first map via the zero section and the second map by the diagonal yields the canonical vector field.
1603:
6038:
3948:
1383:
6597:
6462:
5760:
659:
6078:
6001:
have no common vector. This is graphically illustrated in the accompanying picture for tangent bundle of circle
3865:
3653:
6982:
6847:
6539:
6381:
3766:
651:
2861:
1533:
1482:
1447:
4267:
7179:
6679:
6649:
6573:
6563:
6519:
6349:
6302:
5410:
5168:
4374:
4142:
2984:
1198:
935:
57:
6447:
6060:
5838:
3295:
2662:
7020:
6639:
6534:
6354:
5877:
3190:
963:
809:
4226:
3698:
1147:
6669:
6664:
4427:
4028:
3369:
53:
4660:
2457:
2335:
2257:
4194:
3910:
2592:
1833:
1071:
7000:
6938:
6786:
6490:
6480:
6452:
6427:
6337:
4264:. Similarly, higher-order tangent bundles provide the domain and range for higher-order derivatives
4037:
3463:
3122:
3030:
1947:{\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }:\pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\to \mathbb {R} ^{2n}}
6260:
5285:
4494:
3477:
3068:
7138:
7111:
6820:
6698:
6683:
6612:
6371:
5938:
5923:
3604:
3467:
2894:
5362:
3630:
The above construction applies equally well to the cotangent bundle – the differential 1-forms on
2903:
2454:
of the associated coordinate transformation and are therefore smooth maps between open subsets of
2244:{\displaystyle {\widetilde {\phi }}_{\alpha }\left(A\cap \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\right)\right)}
7080:
7035:
6932:
6803:
6607:
6432:
6295:
6194:
5564:
5479:
4420:
on the tangent space at each point. This is possible because the tangent space of a vector space
3433:
3260:
2980:
1761:
1649:
1280:
697:
6617:
3540:
1015:
4878:
7015:
6995:
6990:
6897:
6808:
6622:
6602:
6457:
6396:
6202:
6181:
6160:
6137:
5743:
5653:
4995:{\displaystyle (TM\to M)\times (\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}).}
4692:
4334:
2289:
6213:
5682:
5613:
4465:
7153:
6947:
6902:
6825:
6796:
6654:
6587:
6582:
6577:
6567:
6359:
6342:
6241:
6152:
6085:
5928:
5747:
5483:
4712:
4223:
has an induced derivative, for which the tangent bundle is the appropriate domain and range
4112:
3740:
3165:
1597:
1353:
1202:
887:
789:
738:
418:
5011:
2955:
2925:
2834:
518:
7096:
7005:
6835:
6791:
6557:
5349:{\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {R} \times TM\to TM\\(t,v)\longmapsto tv\end{cases}}}
2451:
1527:
891:
5384:
5155:{\displaystyle V=\sum _{i}\left.v^{i}{\frac {\partial }{\partial v^{i}}}\right|_{(x,v)}.}
796:). With this topology, the tangent bundle to a manifold is the prototypical example of a
5702:
5590:
5458:
5043:
4617:
4348:
4007:
2858:(see picture above). The tangent bundle of the circle is also trivial and isomorphic to
2367:
2312:
2145:
2102:
1424:
1208:
969:
866:
815:
492:
82:
6887:
6857:
6755:
6688:
6659:
6529:
6524:
6485:
6173:
5725:
5633:
5570:
5537:
5517:
5489:
5250:
5230:
4640:
4552:
4532:
4092:
3633:
3610:
3586:
3566:
3516:
3240:
3217:
3197:
3004:
2745:
2560:
2540:
2520:
2500:
2125:
1755:
1676:
1568:
1523:
1304:
1286:
1262:
1231:
1123:
1103:
992:
945:
939:
917:
897:
842:
768:
630:
610:
590:
570:
550:
472:
452:
129:
123:
105:
62:
6245:
3537:
of the tangent bundle. That is, a local vector field is defined only on some open set
17:
7168:
7148:
6972:
6967:
6952:
6942:
6892:
6869:
6743:
6703:
6644:
6592:
6391:
2490:
797:
446:
45:
6232:
Gudmundsson, Sigmundur; Kappos, Elias (2002). "On the geometry of tangent bundles".
7075:
7070:
6912:
6879:
6852:
6760:
6401:
5933:
4417:
2997:
2900:
The only tangent bundles that can be readily visualized are those of the real line
2494:
836:
805:
801:
513:
6277:
6918:
6907:
6864:
6765:
6366:
6027:
2995:
A smooth assignment of a tangent vector to each point of a manifold is called a
2828:
1010:
860:
7143:
7101:
6927:
6840:
6472:
6376:
6156:
4330:
3022:
6957:
6922:
6627:
6514:
4031:
can be defined via repeated application of the tangent bundle construction:
3583:
a vector in the associated tangent space. The set of local vector fields on
2817:{\displaystyle T\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}}
1519:
32:
4462:
since the vector space itself is flat, and thus has a natural diagonal map
2952:
A simple example of a nontrivial tangent bundle is that of the unit sphere
7121:
7116:
7106:
6497:
6318:
2489:
The tangent bundle is an example of a more general construction called a
49:
52:, structured in a way that it forms a new manifold itself. Formally, in
6287:
6282:
5676:
6713:
5452:, which is an alternative description of the canonical vector field.
1205:
so as to make it into a manifold in its own right. The dimension of
31:
2099:
We use these maps to define the topology and smooth structure on
4689:
Thus the tangent bundle of the tangent bundle is locally (using
2443:{\displaystyle \pi ^{-1}\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)}
1350:
which restricts to a linear isomorphism from each tangent space
6291:
1744:{\displaystyle \phi _{\alpha }:U_{\alpha }\to \mathbb {R} ^{n}}
6021:
5267:, as only the tangent directions can be naturally identified.
5359:
The derivative of this function with respect to the variable
6212:
León, M. De; Merino, E.; Oubiña, J. A.; Salgado, M. (1994).
5270:
Alternatively, consider the scalar multiplication function:
2979:: this tangent bundle is nontrivial as a consequence of the
5342:
5091:
3188:. In the language of fiber bundles, such a map is called a
1193:
The tangent bundle comes equipped with a natural topology (
6214:"A characterization of tangent and stable tangent bundles"
6134:, vol. 107, Providence: American Mathematical Society
2364:
and therefore serve as charts for the smooth structure on
735:. This projection maps each element of the tangent space
3430:
to get other vector fields. The set of all vector fields
989:
is stably trivial, meaning that for some trivial bundle
5534:
one can characterize the tangent bundle. Essentially,
2309:
These maps are homeomorphisms between open subsets of
1596:-dimensional manifold, then it comes equipped with an
5880:
5841:
5797:
5763:
5728:
5705:
5685:
5656:
5636:
5616:
5593:
5573:
5540:
5520:
5492:
5461:
5413:
5387:
5365:
5279:
5253:
5233:
5171:
5072:
5046:
5014:
4919:
4881:
4738:
4715:
4695:
4663:
4643:
4620:
4575:
4555:
4535:
4497:
4468:
4430:
4377:
4351:
4270:
4229:
4197:
4145:
4115:
4095:
4040:
4010:
3951:
3913:
3868:
3817:
3769:
3743:
3701:
3656:
3636:
3613:
3589:
3569:
3543:
3519:
3480:
3436:
3372:
3298:
3263:
3243:
3220:
3200:
3168:
3125:
3071:
3033:
3007:
2958:
2928:
2906:
2864:
2837:
2768:
2748:
2704:
2665:
2624:
2595:
2563:
2543:
2523:
2503:
2460:
2393:
2370:
2338:
2315:
2292:
2260:
2174:
2148:
2128:
2105:
1966:
1872:
1836:
1791:
1764:
1702:
1679:
1652:
1606:
1571:
1536:
1485:
1450:
1427:
1386:
1356:
1312:
1289:
1265:
1234:
1211:
1150:
1126:
1106:
1074:
1018:
995:
972:
948:
920:
900:
869:
845:
818:
771:
741:
700:
662:
633:
613:
593:
573:
553:
521:
495:
475:
455:
421:
155:
132:
108:
85:
65:
5828:{\displaystyle f^{\vee }:TM\rightarrow \mathbb {R} }
4368:, considered as a manifold itself, one can define a
2735:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
1444:
is not always diffeomorphic to the product manifold
7089:
7048:
6981:
6878:
6774:
6721:
6712:
6548:
6471:
6410:
6330:
6052:. Unsourced material may be challenged and removed.
5959:The disjoint union ensures that for any two points
3650:are precisely the sections of the cotangent bundle
2618:. In this case the tangent bundle is trivial: each
5901:
5866:
5827:
5783:
5734:
5714:
5691:
5667:
5642:
5622:
5602:
5579:
5546:
5526:
5498:
5470:
5444:
5399:
5373:
5348:
5259:
5239:
5219:
5154:
5055:
5032:
4994:
4902:
4864:
4721:
4701:
4681:
4649:
4629:
4606:
4561:
4541:
4521:
4483:
4454:
4408:
4360:
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4256:
4215:
4180:
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3988:
3937:
3899:
3855:{\displaystyle \omega _{x}:T_{x}M\to \mathbb {R} }
3854:
3803:
3755:
3729:
3687:
3642:
3619:
3595:
3575:
3555:
3525:
3502:
3454:
3419:
3349:
3281:
3249:
3226:
3206:
3180:
3154:
3111:
3054:
3013:
2971:
2941:
2914:
2885:
2850:
2816:
2754:
2734:
2690:
2651:
2610:
2569:
2549:
2529:
2509:
2478:
2442:
2379:
2356:
2324:
2301:
2278:
2243:
2157:
2134:
2114:
2088:
1946:
1855:
1823:{\displaystyle T_{x}M\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}
1822:
1777:
1743:
1685:
1665:
1638:
1577:
1557:
1506:
1471:
1436:
1413:
1372:
1342:
1295:
1271:
1240:
1220:
1177:
1132:
1112:
1092:
1033:
1001:
981:
954:
926:
906:
878:
851:
827:
793:
777:
757:
727:
683:
639:
619:
599:
579:
559:
539:
504:
481:
461:
437:
404:
138:
114:
94:
71:
6151:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218.
3289:. Vector fields can be added together pointwise
3214:is therefore a section of the tangent bundle of
2652:{\displaystyle T_{x}\mathbf {\mathbb {R} } ^{n}}
4333:on a manifold, which are bundles consisting of
5722:. In contrast, without further assumptions on
4910:is the projection onto the first coordinates:
4607:{\displaystyle T_{x}M\approx \mathbb {R} ^{n}}
3811:, which map tangent vectors to real numbers:
2581:of the associated coordinate transformations.
1343:{\displaystyle TU\to U\times \mathbb {R} ^{n}}
6303:
3001:. Specifically, a vector field on a manifold
2387:. The transition functions on chart overlaps
1639:{\displaystyle (U_{\alpha },\phi _{\alpha })}
8:
4329:A distinct but related construction are the
3989:{\displaystyle \omega (X)\in C^{\infty }(M)}
2577:whose transition functions are given by the
1414:{\displaystyle \{x\}\times \mathbb {R} ^{n}}
1393:
1387:
5784:{\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }
1526:. Just as manifolds are locally modeled on
684:{\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}
102:which assembles all the tangent vectors in
6718:
6310:
6296:
6288:
6178:Riemannian Geometry and Geometric Analysis
5955:
5953:
4614:, is flat, so the tangent bundle manifold
3900:{\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}
3688:{\displaystyle \omega \in \Gamma (T^{*}M)}
1060:(by results of Bott-Milnor and Kervaire).
6112:Learn how and when to remove this message
5879:
5846:
5840:
5821:
5820:
5802:
5796:
5777:
5776:
5762:
5727:
5704:
5684:
5655:
5635:
5615:
5592:
5572:
5539:
5519:
5491:
5460:
5433:
5412:
5386:
5367:
5366:
5364:
5289:
5288:
5280:
5278:
5252:
5232:
5170:
5131:
5117:
5104:
5098:
5083:
5071:
5045:
5013:
4980:
4976:
4975:
4965:
4961:
4960:
4950:
4946:
4945:
4918:
4880:
4853:
4849:
4848:
4838:
4834:
4833:
4808:
4804:
4803:
4775:
4771:
4770:
4737:
4714:
4694:
4670:
4666:
4665:
4662:
4642:
4619:
4598:
4594:
4593:
4580:
4574:
4554:
4549:is curved, each tangent space at a point
4534:
4496:
4467:
4429:
4397:
4376:
4350:
4307:
4291:
4275:
4269:
4228:
4196:
4158:
4144:
4120:
4114:
4094:
4075:
4045:
4039:
4009:
3971:
3950:
3912:
3885:
3867:
3848:
3847:
3835:
3822:
3816:
3804:{\displaystyle \omega _{x}\in T_{x}^{*}M}
3792:
3787:
3774:
3768:
3742:
3718:
3700:
3673:
3655:
3635:
3612:
3588:
3568:
3542:
3518:
3485:
3479:
3435:
3411:
3386:
3371:
3341:
3328:
3315:
3297:
3262:
3242:
3219:
3199:
3167:
3143:
3130:
3124:
3100:
3070:
3032:
3006:
2963:
2957:
2933:
2927:
2908:
2907:
2905:
2879:
2878:
2869:
2863:
2842:
2836:
2808:
2804:
2803:
2793:
2789:
2788:
2778:
2774:
2773:
2767:
2747:
2726:
2722:
2721:
2711:
2707:
2706:
2703:
2682:
2678:
2677:
2670:
2664:
2643:
2638:
2637:
2636:
2629:
2623:
2602:
2598:
2597:
2594:
2562:
2542:
2522:
2502:
2467:
2463:
2462:
2459:
2429:
2416:
2398:
2392:
2369:
2345:
2341:
2340:
2337:
2314:
2291:
2267:
2263:
2262:
2259:
2226:
2209:
2188:
2177:
2176:
2173:
2147:
2127:
2104:
2075:
2056:
2034:
2011:
2001:
1980:
1969:
1968:
1965:
1935:
1931:
1930:
1916:
1899:
1886:
1875:
1874:
1871:
1847:
1835:
1814:
1810:
1809:
1796:
1790:
1769:
1763:
1735:
1731:
1730:
1720:
1707:
1701:
1678:
1657:
1651:
1627:
1614:
1605:
1570:
1549:
1545:
1544:
1535:
1530:, tangent bundles are locally modeled on
1498:
1494:
1493:
1484:
1463:
1459:
1458:
1449:
1426:
1405:
1401:
1400:
1385:
1361:
1355:
1334:
1330:
1329:
1311:
1288:
1264:
1233:
1210:
1149:
1125:
1105:
1073:
1017:
994:
971:
947:
919:
899:
868:
844:
817:
788:The tangent bundle comes equipped with a
770:
746:
740:
699:
661:
632:
612:
592:
572:
552:
520:
494:
474:
454:
426:
420:
384:
373:
314:
269:
246:
216:
193:
177:
156:
154:
131:
107:
84:
64:
5455:The existence of such a vector field on
4341:Canonical vector field on tangent bundle
2886:{\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }
2497:). Explicitly, the tangent bundle to an
1558:{\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}
1514:, then the tangent bundle is said to be
1507:{\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}
1472:{\displaystyle M\times \mathbb {R} ^{n}}
6221:Annales de l'I.H.P.: Physique Théorique
5949:
4319:{\displaystyle D^{k}f:T^{k}M\to T^{k}N}
5445:{\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}
5220:{\displaystyle (x,v)\mapsto (x,v,0,v)}
5063:, the vector field has the expression
4409:{\displaystyle V:TM\rightarrow T^{2}M}
4181:{\displaystyle T\left(T^{k-1}M\right)}
3862:. Equivalently, a differential 1-form
3360:and multiplied by smooth functions on
1585:is an open subset of Euclidean space.
5867:{\displaystyle f^{\vee }=f\circ \pi }
5746:), there is no similar lift into the
3350:{\displaystyle (V+W)_{x}=V_{x}+W_{x}}
2691:{\displaystyle T_{0}\mathbb {R} ^{n}}
938:if and only if the tangent bundle is
890:, which is the disjoint union of the
7:
6201:, (1978) Benjamin-Cummings, London.
6050:adding citations to reliable sources
5902:{\displaystyle \pi :TM\rightarrow M}
2493:(which is itself a specific kind of
6128:Manifolds and Differential Geometry
4257:{\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}
3730:{\displaystyle \omega :M\to T^{*}M}
1178:{\displaystyle Df:TM\rightarrow TN}
6180:, (2002) Springer-Verlag, Berlin.
5110:
5106:
4455:{\displaystyle TW\cong W\times W,}
3972:
3920:
3875:
3663:
3486:
3437:
3420:{\displaystyle (fV)_{x}=f(x)V_{x}}
3264:
2008:
966:if and only if the tangent bundle
25:
6278:Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
4682:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}
4637:is locally a product of a curved
4027:is itself a smooth manifold, the
3462:then takes on the structure of a
2479:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
2357:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
2279:{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
6149:Introduction to Smooth Manifolds
6026:
4709:for "choice of coordinates" and
4216:{\displaystyle f:M\rightarrow N}
3938:{\displaystyle X\in \Gamma (TM)}
3237:The set of all vector fields on
2611:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2589:The simplest example is that of
1856:{\displaystyle x\in U_{\alpha }}
1093:{\displaystyle f:M\rightarrow N}
44:is the collection of all of the
6132:Graduate Studies in Mathematics
6037:needs additional citations for
4729:for "natural identification"):
4079:{\displaystyle T^{2}M=T(TM).\,}
3155:{\displaystyle V_{x}\in T_{x}M}
3055:{\displaystyle V\colon M\to TM}
2983:. Therefore, the sphere is not
122:. As a set, it is given by the
6350:Differentiable/Smooth manifold
5893:
5817:
5773:
5426:
5330:
5327:
5315:
5302:
5214:
5190:
5187:
5184:
5172:
5144:
5132:
5027:
5015:
4986:
4971:
4941:
4935:
4929:
4920:
4891:
4859:
4829:
4814:
4799:
4781:
4760:
4751:
4742:
4522:{\displaystyle w\mapsto (w,w)}
4516:
4504:
4501:
4472:
4390:
4300:
4245:
4207:
4139:can be defined recursively as
4069:
4060:
3983:
3977:
3961:
3955:
3932:
3923:
3894:
3878:
3844:
3711:
3682:
3666:
3503:{\displaystyle C^{\infty }(M)}
3497:
3491:
3449:
3440:
3404:
3398:
3383:
3373:
3312:
3299:
3276:
3267:
3112:{\displaystyle V(x)=(x,V_{x})}
3106:
3087:
3081:
3075:
3043:
2827:Another simple example is the
2784:
2717:
2046:
2040:
1926:
1805:
1726:
1633:
1607:
1319:
1259:-dimensional vector space. If
1166:
1084:
1053:, but parallelizable only for
1041:is trivial. For example, the
716:
704:
675:
534:
522:
355:
343:
298:
286:
1:
6246:10.1016/S0723-0869(02)80027-5
6008:
5909:is the canonical projection.
3737:that associate to each point
3603:forms a structure known as a
3563:and assigns to each point of
2659:is canonically isomorphic to
1758:. These local coordinates on
1189:Topology and smooth structure
914:. By definition, a manifold
5374:{\displaystyle \mathbb {R} }
4000:Higher-order tangent bundles
2915:{\displaystyle \mathbb {R} }
1785:give rise to an isomorphism
1255:-dimensional manifold is an
942:. By definition, a manifold
27:Tangent spaces of a manifold
7056:Classification of manifolds
6266:Encyclopedia of Mathematics
4029:second-order tangent bundle
3907:maps a smooth vector field
3455:{\displaystyle \Gamma (TM)}
3282:{\displaystyle \Gamma (TM)}
2893:. Geometrically, this is a
1863:. We may then define a map
1778:{\displaystyle U_{\alpha }}
1666:{\displaystyle U_{\alpha }}
1100:is a smooth function, with
728:{\displaystyle \pi (x,v)=x}
7196:
6283:PlanetMath: Tangent Bundle
5919:Pushforward (differential)
5563:There are various ways to
5040:are local coordinates for
3556:{\displaystyle U\subset M}
2762:, giving a diffeomorphism
1421:. As a manifold, however,
1228:is twice the dimension of
1034:{\displaystyle TM\oplus E}
56:, the tangent bundle of a
7132:over commutative algebras
6234:Expositiones Mathematicae
6157:10.1007/978-1-4419-9982-5
4903:{\displaystyle TTM\to TM}
4004:Since the tangent bundle
3607:of real vector spaces on
2537:may be defined as a rank
1479:. When it is of the form
1251:Each tangent space of an
126:of the tangent spaces of
6848:Riemann curvature tensor
6199:Foundations of Mechanics
6126:Lee, Jeffrey M. (2009),
5668:{\displaystyle \gamma '}
4702:{\displaystyle \approx }
4424:is naturally a product,
4345:On every tangent bundle
4109:th order tangent bundle
3513:A local vector field on
2302:{\displaystyle \alpha .}
792:(described in a section
5692:{\displaystyle \gamma }
5623:{\displaystyle \gamma }
4484:{\displaystyle W\to TW}
3470:of smooth functions on
2165:is open if and only if
1199:disjoint union topology
607:is a tangent vector to
512:can be thought of as a
58:differentiable manifold
6640:Manifold with boundary
6355:Differential structure
5903:
5868:
5829:
5785:
5736:
5716:
5693:
5669:
5644:
5624:
5604:
5581:
5548:
5528:
5508:Liouville vector field
5500:
5472:
5446:
5401:
5375:
5350:
5261:
5241:
5221:
5156:
5057:
5034:
4996:
4904:
4866:
4723:
4722:{\displaystyle \cong }
4703:
4683:
4651:
4631:
4608:
4563:
4543:
4523:
4485:
4456:
4410:
4370:canonical vector field
4362:
4320:
4258:
4217:
4182:
4133:
4132:{\displaystyle T^{k}M}
4103:
4080:
4021:
3990:
3939:
3901:
3856:
3805:
3757:
3756:{\displaystyle x\in M}
3731:
3689:
3644:
3621:
3597:
3577:
3557:
3527:
3504:
3456:
3421:
3351:
3283:
3251:
3228:
3208:
3182:
3181:{\displaystyle x\in M}
3156:
3113:
3056:
3015:
2973:
2943:
2916:
2887:
2852:
2818:
2756:
2736:
2692:
2653:
2612:
2571:
2551:
2531:
2517:-dimensional manifold
2511:
2480:
2444:
2381:
2358:
2326:
2303:
2280:
2245:
2159:
2136:
2116:
2090:
1948:
1857:
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