1078:
3124:, which involves the factorisation of field elements. If we represent the prime-power order field in the usual way – that is, as polynomials over the prime order base field, reduced modulo an irreducible polynomial of appropriate degree – then this is simply polynomial factorisation, as provided by the Cantor–Zassenhaus algorithm.
809:
1252:
2573:
698:
3266:
1506:
477:
1073:{\displaystyle {\begin{aligned}g(x)&{}\equiv g_{1}(x){\pmod {p_{1}(x)}},\\g(x)&{}\equiv g_{2}(x){\pmod {p_{2}(x)}},\\&{}\ \ \vdots \\g(x)&{}\equiv g_{s}(x){\pmod {p_{s}(x)}},\end{aligned}}}
2146:
2043:
1940:
1086:
814:
592:
2640:
2408:
3267:
https://web.archive.org/web/20200301213349/http://blog.fkraiem.org/2013/12/01/polynomial-factorisation-over-finite-fields-part-3-final-splitting-cantor-zassenhaus-in-odd-characteristic/
219:
1745:
1811:
1676:
2804:
2860:
3064:
2291:
2212:
1405:
140:
2955:
2344:
146:
factors are all of equal degree (algorithms exist for efficiently factoring arbitrary polynomials into a product of polynomials satisfying these conditions, for instance,
2906:
2742:
2247:
1358:
761:
2991:
2380:
1610:
1545:
1288:
801:
2700:
3154:
2667:
2400:
1315:
726:
3020:
2183:
1843:
1574:
506:
404:
364:
335:
306:
277:
248:
107:
3090:
3291:
605:
2214:
is of odd-characteristic (the process can be generalised to characteristic 2 fields in a fairly straightforward way. Select a random polynomial
1413:
412:
3096:
are non-empty and by computing the above GCDs we may obtain non-trivial factors. Since the ring of polynomials over a field is a
1254:. It is important to note the following at this point, as it shall be of critical importance later in the algorithm: Since the
2051:
1948:
1851:
1247:{\displaystyle \phi (g(x)+\langle f(x)\rangle )=(g_{1}(x)+\langle p_{1}(x)\rangle ,\ldots ,g_{s}(x)+\langle p_{s}(x)\rangle )}
3137:
250:, so that the Cantor–Zassenhaus algorithm can be used to factor arbitrary polynomials). It gives as output a polynomial
511:
2581:
2568:{\displaystyle \phi (b(x)^{m})=(b_{1}^{m}(x)+\langle p_{1}(x)\rangle ,\ldots ,b_{s}^{m}(x)+\langle p_{s}(x)\rangle ).}
2185:
above using the isomorphism discussed in the
Background section. It proceeds as follows, in the case where the field
371:
337:. The algorithm may then be applied recursively to these and subsequent divisors, until we find the decomposition of
1290:
are each irreducible, each of the factor rings in this direct sum is in fact a field. These fields each have degree
3183:
3281:
20:
3149:
1684:
57:
1753:
1618:
3117:
61:
42:
149:
3286:
2747:
143:
78:
3227:
Elia, Michele; Schipani, Davide (2015), "Improvements on the Cantor–Zassenhaus factorization algorithm",
2813:
3025:
2252:
2188:
1366:
116:
2911:
3116:
over finite fields of prime-power order. Computing discrete logarithms is an important problem in
3101:
2296:
3236:
3202:
3113:
367:
2869:
2705:
2217:
1328:
731:
2960:
2349:
1579:
1514:
1257:
770:
2672:
3246:
3192:
3097:
23:
3214:
2645:
2385:
1293:
711:
56:
It is arguably the dominant algorithm for solving the problem, having replaced the earlier
3210:
3178:
3174:
2996:
2159:
1819:
1550:
482:
380:
340:
311:
282:
253:
224:
83:
50:
46:
3069:
3121:
599:
3197:
693:{\displaystyle S=\prod _{i=1}^{s}{\frac {\mathbb {F} _{q}}{\langle p_{i}(x)\rangle }}}
3275:
35:
1325:
The core result underlying the Cantor–Zassenhaus algorithm is the following: If
407:
3181:(April 1981), "A new algorithm for factoring polynomials over finite fields",
31:
3112:
One important application of the Cantor–Zassenhaus algorithm is in computing
3250:
2669:, as noted earlier. The multiplicative subgroup of this field has order
2156:
The Cantor–Zassenhaus algorithm computes polynomials of the same type as
3206:
3133:
3120:. For a field of prime-power order, the fastest known method is the
1612:
as before, and if any two of the following three sets is non-empty:
1501:{\displaystyle a_{i}(x)\in \{0,-1,1\}{\text{ for }}i=1,2,\ldots ,s,}
3235:(3), Institute of Mathematics, Czech Academy of Sciences: 271–290,
3241:
472:{\displaystyle R={\frac {\mathbb {F} _{q}}{\langle f(x)\rangle }}}
2402:
is an isomorphism, we have (using our now-established notation):
41:
The algorithm consists mainly of exponentiation and polynomial
366:
into powers of irreducible polynomials (recalling that the
2141:{\displaystyle \gcd(f(x),a(x)-1)=\prod _{i\in C}p_{i}(x).}
2038:{\displaystyle \gcd(f(x),a(x)+1)=\prod _{i\in B}p_{i}(x),}
1935:{\displaystyle \gcd(f(x),a(x))=\prod _{i\in A}p_{i}(x),}
3132:
The Cantor–Zassenhaus algorithm is implemented in the
1816:
then there exist the following non-trivial factors of
16:
Algorithm for factoring polynomials over finite fields
3072:
3028:
2999:
2963:
2914:
2872:
2816:
2750:
2708:
2675:
2648:
2584:
2411:
2388:
2352:
2299:
2255:
2220:
2191:
2162:
2054:
1951:
1854:
1822:
1756:
1687:
1621:
1582:
1553:
1517:
1416:
1369:
1331:
1296:
1260:
1089:
812:
773:
734:
714:
608:
514:
485:
415:
383:
343:
314:
285:
256:
227:
152:
119:
86:
221:
is a squarefree polynomial with the same factors as
3084:
3058:
3014:
2985:
2949:
2900:
2854:
2798:
2736:
2694:
2661:
2634:
2567:
2394:
2374:
2338:
2285:
2241:
2206:
2177:
2140:
2037:
1934:
1837:
1805:
1739:
1670:
1604:
1568:
1539:
1500:
1399:
1352:
1309:
1282:
1246:
1072:
795:
755:
720:
692:
587:{\displaystyle p_{1}(x),p_{2}(x),\ldots ,p_{s}(x)}
586:
500:
471:
398:
358:
329:
300:
271:
242:
213:
134:
101:
2635:{\displaystyle b_{i}(x)+\langle p_{i}(x)\rangle }
77:The Cantor–Zassenhaus algorithm takes as input a
2055:
1952:
1855:
170:
3155:Factorization of polynomials over finite fields
279:with coefficients in the same field such that
109:(i.e. one with no repeated factors) of degree
598:, then this factor ring is isomorphic to the
60:of 1967. It is currently implemented in many
8:
2629:
2607:
2556:
2534:
2495:
2473:
1797:
1763:
1731:
1694:
1662:
1628:
1460:
1439:
1238:
1216:
1182:
1160:
1126:
1111:
767:-tuple of its reductions modulo each of the
684:
662:
463:
448:
3128:Implementation in computer algebra systems
3240:
3196:
3071:
3027:
2998:
2977:
2962:
2935:
2919:
2913:
2877:
2871:
2837:
2821:
2815:
2776:
2771:
2755:
2749:
2713:
2707:
2680:
2674:
2653:
2647:
2614:
2589:
2583:
2541:
2516:
2511:
2480:
2455:
2450:
2431:
2410:
2387:
2366:
2351:
2328:
2313:
2298:
2254:
2219:
2198:
2194:
2193:
2190:
2161:
2120:
2104:
2053:
2017:
2001:
1950:
1914:
1898:
1853:
1821:
1776:
1755:
1707:
1686:
1641:
1620:
1587:
1581:
1552:
1522:
1516:
1463:
1421:
1415:
1368:
1330:
1301:
1295:
1265:
1259:
1223:
1198:
1167:
1142:
1088:
1044:
1031:
1016:
1007:
976:
949:
936:
921:
912:
870:
857:
842:
833:
813:
811:
778:
772:
733:
713:
669:
645:
641:
640:
636:
630:
619:
607:
569:
541:
519:
513:
484:
431:
427:
426:
422:
414:
382:
342:
313:
284:
255:
226:
165:
151:
126:
122:
121:
118:
85:
1740:{\displaystyle B=\{i\mid a_{i}(x)=-1\},}
3166:
1806:{\displaystyle C=\{i\mid a_{i}(x)=1\},}
1671:{\displaystyle A=\{i\mid a_{i}(x)=0\},}
3100:, we may compute these GCDs using the
214:{\displaystyle f(x)/\gcd(f(x),f'(x))}
7:
2993:is a polynomial of the same type as
2799:{\displaystyle b_{i}(x)^{q^{d}-1}=1}
113:with coefficients in a finite field
3292:Polynomial factorization algorithms
1039:
944:
865:
370:of polynomials over any field is a
2855:{\displaystyle b_{i}(x)^{m}=\pm 1}
2642:is an element of a field of order
14:
3198:10.1090/S0025-5718-1981-0606517-5
45:computations. It was invented by
3059:{\displaystyle b(x)\neq 0,\pm 1}
2286:{\displaystyle b(x)\neq 0,\pm 1}
2207:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
1400:{\displaystyle a(x)\neq 0,\pm 1}
135:{\displaystyle \mathbb {F} _{q}}
3136:computer algebra system as the
1032:
937:
858:
3038:
3032:
3009:
3003:
2974:
2967:
2950:{\displaystyle b_{i}(x)^{m}=0}
2932:
2925:
2889:
2883:
2834:
2827:
2768:
2761:
2725:
2719:
2626:
2620:
2601:
2595:
2559:
2553:
2547:
2528:
2522:
2492:
2486:
2467:
2461:
2443:
2437:
2428:
2421:
2415:
2363:
2356:
2325:
2306:
2265:
2259:
2230:
2224:
2172:
2166:
2132:
2126:
2094:
2085:
2079:
2070:
2064:
2058:
2029:
2023:
1991:
1982:
1976:
1967:
1961:
1955:
1926:
1920:
1888:
1885:
1879:
1870:
1864:
1858:
1832:
1826:
1788:
1782:
1719:
1713:
1653:
1647:
1599:
1593:
1563:
1557:
1534:
1528:
1433:
1427:
1379:
1373:
1341:
1335:
1277:
1271:
1241:
1235:
1229:
1210:
1204:
1179:
1173:
1154:
1148:
1135:
1129:
1123:
1117:
1105:
1099:
1093:
1059:
1056:
1050:
1033:
1028:
1022:
1000:
994:
964:
961:
955:
938:
933:
927:
905:
899:
885:
882:
876:
859:
854:
848:
826:
820:
790:
784:
744:
738:
681:
675:
657:
651:
581:
575:
553:
547:
531:
525:
495:
489:
460:
454:
443:
437:
393:
387:
353:
347:
324:
318:
295:
289:
266:
260:
237:
231:
208:
205:
199:
185:
179:
173:
162:
156:
96:
90:
1:
2339:{\displaystyle m=(q^{d}-1)/2}
38:(also called Galois fields).
1360:is a polynomial satisfying:
3066:, at least two of the sets
372:unique factorisation domain
28:Cantor–Zassenhaus algorithm
3308:
3184:Mathematics of Computation
2901:{\displaystyle b_{i}(x)=0}
2737:{\displaystyle b_{i}(x)=0}
30:is a method for factoring
2242:{\displaystyle b(x)\in R}
1353:{\displaystyle a(x)\in R}
756:{\displaystyle g(x)\in R}
406:are contained within the
3150:Polynomial factorization
2986:{\displaystyle b(x)^{m}}
2375:{\displaystyle b(x)^{m}}
1605:{\displaystyle p_{i}(x)}
1540:{\displaystyle a_{i}(x)}
1283:{\displaystyle p_{i}(x)}
796:{\displaystyle p_{i}(x)}
700:. The isomorphism from
508:has irreducible factors
377:All possible factors of
62:computer algebra systems
3251:10.21136/mb.2015.144395
3118:public key cryptography
3022:above. Further, since
2695:{\displaystyle q^{d}-1}
3086:
3060:
3016:
2987:
2951:
2902:
2856:
2800:
2738:
2696:
2663:
2636:
2569:
2396:
2376:
2340:
2287:
2243:
2208:
2179:
2142:
2039:
1936:
1839:
1807:
1741:
1672:
1606:
1570:
1541:
1502:
1401:
1354:
1311:
1284:
1248:
1074:
797:
757:
722:
694:
635:
588:
502:
479:. If we suppose that
473:
400:
360:
331:
302:
273:
244:
215:
144:irreducible polynomial
136:
103:
79:square-free polynomial
3122:index calculus method
3087:
3061:
3017:
2988:
2952:
2903:
2857:
2801:
2739:
2697:
2664:
2662:{\displaystyle q^{d}}
2637:
2570:
2397:
2395:{\displaystyle \phi }
2377:
2341:
2288:
2244:
2209:
2180:
2143:
2040:
1937:
1840:
1808:
1742:
1673:
1607:
1571:
1542:
1503:
1402:
1355:
1312:
1310:{\displaystyle q^{d}}
1285:
1249:
1075:
798:
758:
723:
721:{\displaystyle \phi }
695:
615:
589:
503:
474:
401:
361:
332:
303:
274:
245:
216:
137:
104:
58:Berlekamp's algorithm
3229:Mathematica Bohemica
3070:
3026:
3015:{\displaystyle a(x)}
2997:
2961:
2912:
2870:
2814:
2748:
2706:
2673:
2646:
2582:
2409:
2386:
2350:
2297:
2253:
2218:
2189:
2178:{\displaystyle a(x)}
2160:
2052:
1949:
1852:
1838:{\displaystyle f(x)}
1820:
1754:
1685:
1619:
1580:
1569:{\displaystyle a(x)}
1551:
1547:is the reduction of
1515:
1414:
1367:
1329:
1294:
1258:
1087:
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