7201:
6910:
5959:
7196:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}};&L_{y}&=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}};&L_{z}&=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
5656:
3502:
7455:
This is what is meant when we say that the eigenvalues of the
Casimir operator is used to classify the irreducible representations of a Lie algebra (and of an associated Lie group): two irreducible representations of a Lie Algebra are equivalent if and only if their Casimir element have the same
5785:
1944:, the corresponding Casimir element is uniquely defined up to a constant. For a general semisimple Lie algebra, the space of invariant bilinear forms has one basis vector for each simple component, and hence the same is true for the space of corresponding Casimir operators.
2396:
5402:
5212:
1802:
7380:
5022:
3241:
3695:
108:
The most commonly-used
Casimir invariant is the quadratic invariant. It is the simplest to define, and so is given first. However, one may also have Casimir invariants of higher order, which correspond to homogeneous symmetric polynomials of higher order.
4493:
2962:
5413:
6220:
3949:
2805:
1198:
4297:
3252:
6087:
311:
5954:{\displaystyle {\begin{aligned}e&={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}},&f&={\begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}},&h&={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
2649:. It is also possible to prove the nonvanishing of the eigenvalue in a more abstract way—without using an explicit formula for the eigenvalue—using Cartan's criterion; see Sections 4.3 and 6.2 in the book of Humphreys.
922:
6719:
1392:
2182:
of the Lie algebra, any
Casimir element is thus proportional to the identity. The eigenvalues of all Casimir elements can be used to classify the representations of the Lie algebra (and hence, also of its
6588:
4146:
2643:
2309:
5218:
5028:
4040:
1655:
2558:
7235:
4858:
6420:
2596:
1098:
6915:
5975:
5790:
5717:
686:
3780:
2980:
4850:
3536:
6097:
6333:
4303:
2821:
1925:
1647:
1243:
7490:
6876:
6459:
6266:
522:
437:
766:
616:
7424:
4675:
1301:
5651:{\displaystyle 3d_{ab}{}^{e}d_{cde}-f_{ac}{}^{e}f_{bde}-f_{ad}{}^{e}f_{bce}\ {\underset {l=2}{=}}\ \delta _{ac}\delta _{bd}+\delta _{ad}\delta _{bc}-\delta _{ab}\delta _{cd}}
2117:
2073:
2021:
1997:
988:
953:
805:
729:
549:
468:
379:
347:
223:
195:
139:
7545:
4786:
2520:
2474:
1842:
2448:
2301:
2232:
6840:
2494:
2252:
7450:
6902:
4741:
4708:
4624:
3813:
2272:
576:
3721:
3531:
1611:
7510:
6805:
6774:
6746:
6526:
6506:
6486:
4591:
2419:
1428:
1270:
990:
are represented by first order differential operators on M. In this situation, the
Casimir invariant of ρ is the G-invariant second order differential operator on
3821:
1578:
7224:
6608:
5777:
5757:
5737:
4561:
4541:
4521:
2680:
2675:
2141:
2093:
2045:
1973:
1499:
1106:
159:
7999:
3497:{\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}=\Omega _{j_{1}j_{2}\cdots j_{2m-2}i_{m}}^{(2m-1)}f_{i_{1}}^{j_{1}j_{2}}\cdots f_{i_{m-1}}^{j_{2m-2}j_{2m-3}}}
4152:
5970:
2646:
1057:
gives a detailed, precise definition of
Casimir operators, and an exposition of some of their properties. All Casimir operators correspond to symmetric
228:
1066:
198:
927:
A specific form of this construction plays an important role in differential geometry and global analysis. Suppose that a connected Lie group
7620:
833:
6616:
1309:
7918:
7975:
7948:
7898:
6531:
4046:
2601:
2391:{\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle =\langle \lambda +\rho ,\lambda +\rho \rangle -\langle \rho ,\rho \rangle ,}
5397:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=3}{=}}\ {\frac {2}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}
5207:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}d_{(i_{1}i_{2}i_{3}}\delta _{i_{4}i_{5})}}
1797:{\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}
7583:
7578:
3960:
2174:
By definition any member of the center of the universal enveloping algebra commutes with all other elements in the algebra. By
7375:{\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}
5017:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}\ {\underset {l=2}{=}}\ {\frac {1}{3}}\delta _{(i_{1}i_{2}}\delta _{i_{3}i_{4})}}
7226:
are needed for agreement with the physics convention (used here) that the generators should be skew-self-adjoint operators.
2525:
2120:
7763:
Azcarraga, de; Macfarlane, A. J.; Mountain, A. J.; Bueno, J. C. Perez (1997-06-03). "Invariant tensors for simple groups".
6276:. It is simple of rank 1, and so it has a single independent Casimir. The Killing form for the rotation group is just the
6341:
4563:
given tensors. There is a systematic method for deriving complete sets of identities between symmetric invariant tensors.
2563:
1071:
5677:
2048:
1513:
1054:
1038:
624:
583:
51:
3236:{\displaystyle \Omega _{i_{1}i_{2}\cdots i_{2m-1}}^{(2m-1)}=f_{i_{1}}^{j_{m-1}}k_{j_{1}\cdots j_{m-1}i_{2m-1}}^{(m)}}
2202:
form an exception to this pattern; although deeper theories hint that these are two facets of the same phenomenon..
7573:
5407:
Structure constants also obey identities that are not directly related to symmetric invariant tensors, for example
2974:
It is also possible to construct symmetric invariant tensors from the antisymmetric invariant tensors of the type
2199:
2179:
777:
86:
3732:
3690:{\displaystyle t_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}\left(t^{(n)}\right)^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}i_{m+1}\cdots i_{n}}=0}
59:
4791:
4543:
algebraically independent symmetric invariant tensors. Therefore, any such tensor can be expressed in terms of
4488:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}i_{5}}^{(5)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d^{j}{}_{i_{3}}{}^{k}d_{i_{4}i_{5})k}}
2807:. Constructing and relating Casimir elements is equivalent to doing the same for symmetric invariant tensors.
7943:. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 9 (Second printing, revised ed.). New York: Springer-Verlag.
2957:{\displaystyle k_{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}^{(m)}={\text{Tr}}\left(X_{(i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m})}\right)}
1519:
Moreover, a
Casimir element must belong to the center of the universal enveloping algebra, i.e. it must obey
6283:
7984:
6749:
2160:
2156:
1851:
1616:
1212:
1058:
443:
382:
7459:
6845:
6428:
6235:
476:
391:
8004:
738:
588:
7663:
7388:
4629:
1279:
7886:
7716:
7697:
Mountain, Arthur J. (1998). "Invariant tensors and
Casimir operators for simple compact Lie groups".
6753:
2815:
Symmetric invariant tensors may be constructed as symmetrized traces in the defining representation
2168:
2098:
2054:
2002:
1978:
969:
934:
786:
710:
530:
449:
360:
328:
204:
176:
120:
74:
63:
47:
7515:
4746:
2499:
2453:
1810:
2024:
1845:
97:
7612:
5719:
consists of two-by-two complex matrices with zero trace. There are three standard basis elements,
7837:
7817:
7790:
7772:
7740:
7706:
4743:
gives rise to nontrivial relations within these other families. For example, the
Sudbery tensors
3727:
2424:
2277:
2208:
1431:
1273:
1031:
691:
Although the definition relies on a choice of basis for the Lie algebra, it is easy to show that
82:
6810:
6590:. The invariance of the Casimir operator implies that it is a multiple of the identity operator
6215:{\displaystyle \Omega =ef+fe+{\frac {1}{2}}h^{2}={\frac {1}{2}}h^{2}+h+2fe={\frac {3}{2}}I_{2}.}
7971:
7944:
7914:
7894:
7732:
7616:
6725:
2479:
2237:
2195:
1062:
1002:
7429:
6881:
4713:
4680:
4596:
3785:
2257:
561:
7959:
7827:
7810:"Useful relations among the generators in the defining and adjoint representations of SU(N)"
7782:
7724:
7604:
3700:
3510:
2175:
1586:
955:
732:
7495:
6790:
6759:
6731:
6511:
6491:
6464:
4569:
3944:{\displaystyle X_{i}X_{j}={\frac {2}{\ell +1}}\delta _{ij}+f_{ij}^{k}X_{k}+d_{ij}^{k}X_{k}}
2404:
1406:
1248:
7967:
7229:
The quadratic
Casimir invariant can then easily be computed by hand, with the result that
6277:
6273:
2800:{\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{i_{1}i_{2}\cdots i_{m}}X_{i_{1}}X_{i_{2}}\cdots X_{i_{m}}}
1193:{\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}X_{i}\otimes X_{j}\otimes \cdots \otimes X_{k}}
1042:
93:
7605:
7890:
7720:
1525:
1037:
More general
Casimir invariants may also be defined, commonly occurring in the study of
7552:
7548:
7209:
6593:
5762:
5742:
5722:
4546:
4526:
4506:
2660:
2191:
2126:
2078:
2030:
1958:
1436:
144:
17:
7786:
7993:
7937:
7832:
7809:
170:
7841:
7794:
7744:
4292:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}i_{4}}^{(4)}=d_{(i_{1}i_{2}}{}^{j}d_{i_{3}i_{4})j}}
6082:{\displaystyle {\begin{aligned}&=h,&&=-2f,&&=2e.\end{aligned}}}
2968:
2152:
1941:
354:
6280:, and so the Casimir invariant is simply the sum of the squares of the generators
1940:
Since for a simple Lie algebra every invariant bilinear form is a multiple of the
7908:
7880:
7960:
2159:
the dimension of the center of the universal enveloping algebra is equal to its
1509:
162:
78:
55:
31:
707:
implies that the Casimir element commutes with all elements of the Lie algebra
7736:
7564:, and one can again check the formula for the Casimir by direct computation.
772:
Quadratic Casimir invariant of a linear representation and of a smooth action
306:{\displaystyle B(\operatorname {ad} _{X}Y,Z)+B(Y,\operatorname {ad} _{X}Z)=0}
2190:
Physical mass and spin are examples of these eigenvalues, as are many other
2184:
2164:
6842:-dimensional. Thus, for example, the three-dimensional representation for
7913:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 222 (2nd ed.), Springer,
7910:
Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction
7547:. Similarly, the two dimensional representation has a basis given by the
3533:. Such invariant tensors are orthogonal to one another in the sense that
7777:
7711:
6610:. This constant can be computed explicitly, giving the following result
7985:
https://mathoverflow.net/questions/74689/motivating-the-casimir-element
6781:
917:{\displaystyle \rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).}
7607:
The shaggy steed of physics: mathematical beauty in the physical world
7822:
7728:
2171:; but there is no unique analogue of the Laplacian, for rank > 1.
6714:{\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)I.}
6777:
6269:
2677:
corresponds to a symmetric invariant tensor of the same order via
1387:{\displaystyle c_{(m)}=\kappa ^{ij\cdots k}t_{i}t_{j}\cdots t_{k}}
4677:. Reexpressing these tensors in terms of other families such as
2421:
is the weight defined by half the sum of the positive roots. If
73:
element of the center of the universal enveloping algebra. The
7664:
Universal enveloping algebras and some applications in physics
6583:{\textstyle 0,\,{\frac {1}{2}},\,1,\,{\frac {3}{2}},\,\ldots }
3782:, let us introduce the fully symmetric tensor of order three
1649:, this condition is equivalent to the tensor being invariant:
4141:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}i_{3}}^{(3)}=d_{i_{1}i_{2}i_{3}}}
2638:{\displaystyle \langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle >0}
1009:
acts transitively by isometries, and the stabilizer subgroup
6335:
of the algebra. That is, the Casimir invariant is given by
1999:, the choice of a nondegenerate invariant bilinear form on
2645:. This observation plays an important role in the proof of
7885:, Graduate Texts in Mathematics, vol. 267, Springer,
2234:
be the finite dimensional highest weight module of weight
1512:
and is discussed in much greater detail in the article on
4035:{\displaystyle d_{i_{1}i_{2}}^{(2)}=\delta _{i_{1}i_{2}}}
2143:(with respect to the corresponding bi-invariant metric).
69:
More generally, Casimir elements can be used to refer to
966:
on the space of smooth functions on M. Then elements of
1303:
This corresponds to a symmetric homogeneous polynomial
7939:
Introduction to Lie Algebras and Representation Theory
7314:
7125:
7034:
6943:
6534:
5910:
5859:
5808:
2553:{\displaystyle \langle \lambda ,\lambda \rangle >0}
62:, which is a Casimir element of the three-dimensional
7668:
Lecture, Modave Summer School in Mathematical Physics
7518:
7498:
7462:
7432:
7391:
7238:
7212:
6913:
6884:
6848:
6813:
6793:
6762:
6734:
6619:
6596:
6514:
6494:
6467:
6431:
6344:
6286:
6238:
6100:
5973:
5788:
5765:
5745:
5725:
5680:
5416:
5221:
5031:
4861:
4794:
4749:
4716:
4683:
4632:
4599:
4572:
4549:
4529:
4509:
4306:
4155:
4049:
3963:
3824:
3788:
3735:
3703:
3539:
3513:
3255:
2983:
2824:
2683:
2663:
2604:
2566:
2528:
2502:
2482:
2456:
2427:
2407:
2312:
2280:
2260:
2240:
2211:
2129:
2101:
2081:
2057:
2033:
2005:
1981:
1961:
1854:
1813:
1658:
1619:
1589:
1528:
1439:
1409:
1312:
1282:
1251:
1215:
1109:
1074:
972:
937:
836:
789:
741:
713:
627:
591:
564:
533:
479:
452:
394:
363:
331:
231:
207:
179:
147:
123:
6415:{\displaystyle L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}
2591:{\displaystyle \langle \lambda ,\rho \rangle \geq 0}
1093:{\displaystyle \operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}.}
1018:
of a point acts irreducibly on the tangent space of
3954:Then the Sudbery symmetric invariant tensors are
2476:), then this constant is nonzero. After all, since
7936:
7539:
7504:
7484:
7444:
7418:
7374:
7218:
7195:
6896:
6870:
6834:
6799:
6768:
6740:
6713:
6602:
6582:
6520:
6500:
6480:
6453:
6414:
6327:
6260:
6214:
6081:
5953:
5771:
5751:
5731:
5712:{\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )}
5711:
5650:
5396:
5206:
5016:
4844:
4780:
4735:
4702:
4669:
4618:
4585:
4555:
4535:
4515:
4487:
4291:
4140:
4034:
3943:
3807:
3774:
3715:
3689:
3525:
3496:
3235:
2956:
2799:
2669:
2653:Symmetric invariant tensors of simple Lie algebras
2637:
2590:
2552:
2514:
2488:
2468:
2442:
2413:
2390:
2295:
2266:
2246:
2226:
2135:
2111:
2087:
2075:with the left invariant differential operators on
2067:
2039:
2015:
1991:
1967:
1919:
1836:
1796:
1641:
1605:
1572:
1493:
1422:
1386:
1295:
1264:
1237:
1192:
1092:
982:
947:
916:
799:
760:
723:
695:is independent of this choice. On the other hand,
681:{\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.}
680:
610:
570:
543:
516:
462:
431:
373:
341:
305:
217:
189:
153:
133:
962:. Consider the corresponding representation ρ of
2163:. The Casimir operator gives the concept of the
1613:In terms of the corresponding symmetric tensor
27:Distinguished element of a Lie algebra's center
2095:, the Casimir element of the bilinear form on
4499:Relations between symmetric invariant tensors
1508:The reason for the symmetry follows from the
8:
3815:such that, in the defining representation,
3775:{\displaystyle A_{l}={\mathfrak {sl}}_{l+1}}
2967:where indices are raised and lowered by the
2626:
2605:
2579:
2567:
2541:
2529:
2382:
2370:
2364:
2340:
2334:
2313:
494:
480:
409:
395:
96:, who identified them in his description of
6425:Consider the irreducible representation of
6272:, the rotation group for three-dimensional
2811:Construction of symmetric invariant tensors
1936:Uniqueness of the quadratic Casimir element
7492:are completely determined by the value of
2971:, and symmetrized under all permutations.
2147:Casimir elements and representation theory
1901:
1900:
1828:
1827:
1763:
1762:
1715:
1714:
1673:
1672:
7831:
7821:
7776:
7710:
7517:
7497:
7464:
7463:
7461:
7431:
7390:
7309:
7297:
7292:
7279:
7274:
7261:
7256:
7243:
7237:
7211:
7120:
7104:
7029:
7013:
6938:
6922:
6914:
6912:
6883:
6850:
6849:
6847:
6812:
6792:
6761:
6733:
6678:
6673:
6660:
6655:
6642:
6637:
6624:
6618:
6595:
6576:
6563:
6562:
6555:
6542:
6541:
6533:
6513:
6493:
6472:
6466:
6433:
6432:
6430:
6403:
6398:
6385:
6380:
6367:
6362:
6349:
6343:
6319:
6314:
6305:
6300:
6291:
6285:
6240:
6239:
6237:
6203:
6189:
6162:
6148:
6139:
6125:
6099:
6092:One can show that the Casimir element is
5974:
5972:
5905:
5854:
5803:
5789:
5787:
5764:
5744:
5724:
5702:
5701:
5692:
5683:
5682:
5679:
5639:
5626:
5610:
5597:
5581:
5568:
5543:
5528:
5518:
5516:
5506:
5487:
5477:
5475:
5465:
5446:
5436:
5434:
5424:
5415:
5383:
5373:
5368:
5356:
5346:
5336:
5328:
5314:
5293:
5278:
5271:
5261:
5251:
5241:
5231:
5226:
5220:
5193:
5183:
5178:
5166:
5156:
5146:
5138:
5124:
5103:
5088:
5081:
5071:
5061:
5051:
5041:
5036:
5030:
5003:
4993:
4988:
4976:
4966:
4958:
4944:
4923:
4908:
4901:
4891:
4881:
4871:
4866:
4860:
4845:{\displaystyle d^{(2)},\cdots ,d^{(l+1)}}
4824:
4799:
4793:
4754:
4748:
4721:
4715:
4688:
4682:
4637:
4631:
4604:
4598:
4577:
4571:
4548:
4528:
4508:
4471:
4461:
4456:
4446:
4444:
4435:
4430:
4428:
4421:
4411:
4409:
4400:
4390:
4382:
4363:
4356:
4346:
4336:
4326:
4316:
4311:
4305:
4275:
4265:
4260:
4250:
4248:
4239:
4229:
4221:
4202:
4195:
4185:
4175:
4165:
4160:
4154:
4130:
4120:
4110:
4105:
4086:
4079:
4069:
4059:
4054:
4048:
4024:
4014:
4009:
3990:
3983:
3973:
3968:
3962:
3935:
3925:
3917:
3904:
3894:
3886:
3870:
3848:
3839:
3829:
3823:
3793:
3787:
3760:
3751:
3750:
3740:
3734:
3702:
3673:
3654:
3644:
3631:
3621:
3616:
3600:
3579:
3572:
3559:
3549:
3544:
3538:
3512:
3477:
3458:
3453:
3440:
3435:
3420:
3410:
3405:
3398:
3393:
3368:
3361:
3342:
3329:
3319:
3314:
3295:
3288:
3275:
3265:
3260:
3254:
3221:
3205:
3189:
3176:
3171:
3153:
3148:
3129:
3110:
3105:
3090:
3085:
3078:
3065:
3060:
3032:
3016:
3003:
2993:
2988:
2982:
2938:
2933:
2918:
2913:
2901:
2893:
2879:
2864:
2857:
2844:
2834:
2829:
2823:
2789:
2784:
2769:
2764:
2752:
2747:
2735:
2722:
2712:
2707:
2688:
2682:
2662:
2603:
2565:
2527:
2501:
2481:
2455:
2426:
2406:
2311:
2279:
2259:
2239:
2210:
2128:
2103:
2102:
2100:
2080:
2059:
2058:
2056:
2032:
2007:
2006:
2004:
1983:
1982:
1980:
1960:
1911:
1899:
1891:
1875:
1862:
1853:
1826:
1818:
1812:
1773:
1761:
1753:
1725:
1713:
1705:
1683:
1671:
1663:
1657:
1624:
1618:
1594:
1588:
1555:
1536:
1527:
1482:
1463:
1450:
1438:
1414:
1408:
1378:
1365:
1355:
1336:
1317:
1311:
1284:
1283:
1281:
1256:
1250:
1220:
1214:
1184:
1165:
1152:
1133:
1114:
1108:
1080:
1079:
1073:
997:Specializing further, if it happens that
974:
973:
971:
939:
938:
936:
902:
883:
867:
856:
835:
791:
790:
788:
749:
748:
740:
715:
714:
712:
669:
659:
649:
638:
626:
599:
598:
590:
563:
535:
534:
532:
508:
497:
487:
478:
454:
453:
451:
423:
412:
402:
393:
365:
364:
362:
333:
332:
330:
282:
242:
230:
209:
208:
206:
181:
180:
178:
146:
125:
124:
122:
7758:
7756:
7754:
7456:eigenvalue. In this case, the irreps of
2023:corresponds to a choice of bi-invariant
1975:is a compact Lie group with Lie algebra
58:. A prototypical example is the squared
7692:
7690:
7688:
7595:
6752:. For finite-dimensional matrix-valued
2647:Weyl's theorem on complete reducibility
2047:. Then under the identification of the
6328:{\displaystyle L_{x},\,L_{y},\,L_{z}}
2254:. Then the quadratic Casimir element
1209:is the order of the symmetric tensor
811:, possibly infinite-dimensional, the
7:
7866:
7854:
7679:
7635:
6776:always takes on integer values (for
1920:{\displaystyle =f_{ij}^{\;\;k}X_{k}}
1642:{\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}
1238:{\displaystyle \kappa ^{ij\cdots k}}
735:of the universal enveloping algebra
46:) is a distinguished element of the
8000:Representation theory of Lie groups
7512:, or equivalently, by the value of
7485:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
7468:
7465:
6871:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
6854:
6851:
6461:in which the largest eigenvalue of
6454:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
6437:
6434:
6261:{\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}
6244:
6241:
5687:
5684:
3755:
3752:
2104:
2060:
2008:
1984:
1285:
1081:
975:
940:
792:
750:
716:
600:
536:
517:{\displaystyle \{X^{i}\}_{i=1}^{n}}
455:
432:{\displaystyle \{X_{i}\}_{i=1}^{n}}
366:
334:
210:
182:
126:
92:The Casimir element is named after
6101:
4593:, the symmetric invariant tensors
3311:
2985:
2261:
843:
761:{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
628:
611:{\displaystyle U({\mathfrak {g}})}
565:
25:
7882:Quantum Theory for Mathematicians
6904:, and is given by the generators
4503:For a simple Lie algebra of rank
699:does depend on the bilinear form
77:of these elements is known to be
7833:10.21468/SciPostPhysLectNotes.21
7419:{\displaystyle \ell (\ell +1)=2}
4670:{\displaystyle t^{(m>l+1)}=0}
3246:The symmetric invariant tensor
1296:{\displaystyle {\mathfrak {g}}.}
1049:Casimir elements of higher order
1026:, then the Casimir invariant of
7966:. Dover Publications. pp.
7808:Haber, Howard E. (2019-12-31).
7699:Journal of Mathematical Physics
6807:, the matrix representation is
6508:, where the possible values of
4566:In the case of the Lie algebra
2112:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2068:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2016:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1992:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
983:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
948:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
800:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
724:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
544:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
463:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
374:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
342:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
218:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
190:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
134:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
7540:{\displaystyle \ell (\ell +1)}
7534:
7522:
7479:
7473:
7407:
7395:
6865:
6859:
6829:
6814:
6780:) or half-integer values (for
6702:
6690:
6448:
6442:
6255:
6249:
6056:
6044:
6020:
6008:
5990:
5978:
5706:
5698:
5389:
5329:
5285:
5279:
5199:
5139:
5095:
5089:
5009:
4959:
4915:
4909:
4852:, with relations of the type
4837:
4825:
4806:
4800:
4781:{\displaystyle d^{(m>l+1)}}
4773:
4755:
4728:
4722:
4695:
4689:
4656:
4638:
4611:
4605:
4477:
4383:
4370:
4364:
4281:
4222:
4209:
4203:
4093:
4087:
3997:
3991:
3607:
3601:
3586:
3580:
3384:
3369:
3302:
3296:
3228:
3222:
3144:
3071:
3048:
3033:
2944:
2894:
2871:
2865:
2695:
2689:
2515:{\displaystyle \lambda \neq 0}
2469:{\displaystyle \lambda \neq 0}
2437:
2431:
2290:
2284:
2221:
2215:
1881:
1855:
1837:{\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}}
1561:
1543:
1537:
1529:
1488:
1443:
1324:
1318:
1121:
1115:
994:defined by the above formula.
908:
895:
889:
876:
846:
840:
755:
745:
605:
595:
349:. (The most typical choice of
294:
269:
260:
235:
1:
7814:SciPost Physics Lecture Notes
7787:10.1016/S0550-3213(97)00609-3
7652:. Springer Berlin Heidelberg.
7650:Group theory and spectroscopy
4788:may be expressed in terms of
1948:Relation to the Laplacian on
1514:universal enveloping algebras
1055:universal enveloping algebras
1039:pseudo-differential operators
958:on a differentiable manifold
7935:Humphreys, James E. (1978).
2049:universal enveloping algebra
1030:is a scalar multiple of the
823:(Ω), the linear operator on
584:universal enveloping algebra
197:that is invariant under the
52:universal enveloping algebra
7584:Clebsch–Gordan coefficients
7579:Pauli–Lubanski pseudovector
2657:A Casimir element of order
2443:{\displaystyle L(\lambda )}
2296:{\displaystyle L(\lambda )}
2227:{\displaystyle L(\lambda )}
2200:topological quantum numbers
8021:
7574:Harish-Chandra isomorphism
6835:{\displaystyle (2\ell +1)}
2180:irreducible representation
87:Harish-Chandra isomorphism
7958:Jacobson, Nathan (1979).
6782:fermionic representations
113:Quadratic Casimir element
60:angular momentum operator
2489:{\displaystyle \lambda }
2247:{\displaystyle \lambda }
1848:of the Lie algebra i.e.
1403:indeterminate variables
1034:coming from the metric.
731:, and hence lies in the
225:on itself, meaning that
7907:Hall, Brian C. (2015),
7879:Hall, Brian C. (2013),
7445:{\displaystyle \ell =1}
6897:{\displaystyle \ell =1}
6778:bosonic representations
6756:of the rotation group,
4736:{\displaystyle k^{(m)}}
4703:{\displaystyle d^{(m)}}
4619:{\displaystyle t^{(m)}}
3808:{\displaystyle d_{ijk}}
2450:is nontrivial (i.e. if
2267:{\displaystyle \Omega }
1583:for all basis elements
1059:homogeneous polynomials
571:{\displaystyle \Omega }
18:Casimir goes to Casimir
7648:Racah, Giulio (1965).
7603:Oliver, David (2004).
7551:, which correspond to
7541:
7506:
7486:
7446:
7420:
7376:
7220:
7197:
6898:
6872:
6836:
6801:
6770:
6750:total angular momentum
6748:is referred to as the
6742:
6715:
6604:
6584:
6522:
6502:
6482:
6455:
6416:
6329:
6268:is the Lie algebra of
6262:
6216:
6083:
5955:
5773:
5753:
5733:
5713:
5652:
5398:
5208:
5018:
4846:
4782:
4737:
4704:
4671:
4620:
4587:
4557:
4537:
4517:
4489:
4293:
4142:
4036:
3945:
3809:
3776:
3717:
3716:{\displaystyle n>m}
3691:
3527:
3526:{\displaystyle m>2}
3498:
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