1710:
1538:
545:
22:
4256:
431:
426:
421:
405:
400:
395:
390:
374:
369:
364:
359:
354:
338:
333:
328:
323:
307:
302:
297:
241:
236:
220:
215:
210:
194:
189:
143:
457:
452:
447:
442:
436:
416:
410:
385:
379:
349:
343:
318:
312:
292:
286:
281:
276:
271:
262:
257:
252:
246:
231:
225:
205:
199:
184:
178:
173:
168:
159:
154:
148:
138:
132:
127:
118:
1424:
1645:
are the same numbers, but they represent different shapes. Viewed from the opposite perspective, centered hexagonal numbers are differences of two consecutive cubes, so that the centered hexagonal numbers are the
701:
1527:
783:
1189:
907:
1095:
1731:
have primary mirrors comprising a centered hexagonal number of segments (neglecting the central segment removed to allow passage of light) to simplify the control system. Some examples:
1258:
2358:
1019:
847:
951:
1266:
1993:
1579:
481:
2351:
1922:
3158:
2344:
3153:
3168:
3148:
548:
Dissection of hexagonal number into six triangles with a remainder of one. The triangles can be re-assembled pairwise to give three
577:
3861:
3441:
1848:
1435:
712:
3163:
1986:
1564:
one can notice that the hexagonal numbers' rightmost (least significant) digits follow the pattern 1â7â9â7â1 (repeating with
3947:
1103:
3263:
3613:
2932:
2725:
2171:
3648:
3618:
3293:
3283:
855:
3789:
3203:
2937:
2917:
2176:
2156:
3479:
3643:
1709:
4285:
3738:
3361:
3118:
2927:
2909:
2803:
2793:
2783:
2166:
2148:
2047:
2037:
2027:
1784:
1537:
1030:
3623:
4280:
3866:
3411:
3032:
2818:
2813:
2808:
2775:
2271:
2062:
2057:
2052:
2019:
1979:
54:
1201:
2851:
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1763:
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3512:
3487:
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3386:
2998:
2980:
2900:
2237:
2214:
2139:
4237:
3507:
3381:
3012:
2788:
2568:
2495:
2251:
2032:
1826:
3492:
3346:
3273:
2428:
2306:
4201:
3841:
4134:
4028:
3992:
3733:
3456:
3436:
3253:
2922:
2710:
2682:
2161:
1728:
962:
3856:
3720:
3715:
3683:
3446:
3421:
3416:
3391:
3321:
3317:
3248:
3138:
2970:
2766:
2735:
2204:
2010:
1541:
1025:
954:
68:. The following figures illustrate this arrangement for the first four centered hexagonal numbers:
4255:
4259:
4013:
4008:
3922:
3896:
3794:
3773:
3545:
3426:
3376:
3298:
3268:
3208:
2975:
2955:
2886:
2599:
2232:
2209:
2125:
3143:
4153:
4098:
3952:
3927:
3901:
3678:
3356:
3351:
3278:
3258:
3243:
2965:
2947:
2866:
2856:
2841:
2619:
2604:
2199:
2186:
2105:
2095:
2085:
1918:
1569:
1565:
801:
65:
4189:
3982:
3568:
3540:
3530:
3522:
3406:
3371:
3366:
3333:
3027:
2990:
2881:
2876:
2871:
2861:
2833:
2720:
2672:
2667:
2624:
2563:
2266:
2224:
2120:
2115:
2110:
2100:
2077:
1956:
1725:
1714:
1638:
817:
468:
21:
4165:
4054:
3987:
3913:
3836:
3810:
3628:
3341:
3198:
3133:
3103:
3093:
3088:
2754:
2662:
2609:
2453:
2393:
2002:
1647:
1419:{\displaystyle (1-x)F(x)=x+{\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{2}}}}
927:
57:
4170:
4038:
4023:
3887:
3851:
3826:
3702:
3673:
3658:
3535:
3431:
3401:
3128:
3083:
2960:
2558:
2553:
2548:
2520:
2505:
2418:
2403:
2381:
2368:
2194:
1631:
1553:
4274:
4093:
4077:
4018:
3972:
3668:
3653:
3563:
3288:
2846:
2715:
2677:
2634:
2515:
2500:
2490:
2448:
2438:
2413:
2316:
2090:
1961:
1698:
1195:
916:
is centered hexagonal: it will be if and only if the above expression is an integer.
549:
42:
4129:
4118:
4033:
3871:
3846:
3763:
3663:
3633:
3608:
3592:
3497:
3464:
3213:
3187:
3098:
3037:
2614:
2510:
2443:
2423:
2398:
2321:
2276:
1651:
1642:
532:
528:
524:
520:
516:
512:
1884:
Hindin, H. J. (1983). "Stars, hexes, triangular numbers and
Pythagorean triples".
1912:
1650:
of the cubes. (This can be seen geometrically from the diagram.) In particular,
1618:... This follows from the fact that every centered hexagonal number modulo 6 (=10
4088:
3963:
3768:
3232:
3123:
3078:
3073:
2823:
2730:
2629:
2458:
2433:
2408:
2311:
2067:
1966:
1655:
508:
504:
500:
496:
38:
4225:
4206:
3502:
3113:
1908:
471:, which are figurate numbers in which the associated hexagons share a vertex.
430:
425:
420:
404:
399:
394:
389:
373:
368:
363:
358:
353:
337:
332:
327:
322:
306:
301:
296:
240:
235:
219:
214:
209:
193:
188:
142:
2336:
456:
451:
446:
441:
435:
415:
409:
384:
378:
348:
342:
317:
311:
291:
285:
280:
275:
270:
261:
256:
251:
245:
230:
224:
204:
198:
183:
177:
172:
167:
158:
153:
147:
137:
131:
126:
117:
3831:
3758:
3750:
3555:
3469:
2587:
2291:
1717:
64:
with a dot in the center and all other dots surrounding the center dot in a
3932:
1938:
3937:
3596:
1561:
61:
1583:
1971:
1556:– colour denotes cube layer and line style denotes hex number
1708:
1536:
543:
474:
The sequence of hexagonal numbers starts out as follows (sequence
26:
20:
1713:
Ignoring central holes, the number of mirror segments in several
4223:
4187:
4151:
4115:
4075:
3700:
3589:
3315:
3230:
3185:
3062:
2752:
2699:
2651:
2585:
2537:
2475:
2379:
2340:
1975:
696:{\displaystyle H(n)=n^{3}-(n-1)^{3}=3n(n-1)+1=3n^{2}-3n+1.\,}
1574:
476:
1522:{\displaystyle F(x)={\frac {x+4x^{2}+x^{3}}{(1-x)^{3}}}.}
492:
488:
16:
Number that represents a hexagon with a dot in the center
778:{\displaystyle H(n)=1+6\left({\frac {n(n-1)}{2}}\right)}
1943:. United States: N. p., 1979. Web. doi:10.2172/6194407.
467:
Centered hexagonal numbers should not be confused with
1673:
th centered hexagonal number is a number of the form
1438:
1269:
1204:
1106:
1033:
965:
930:
858:
820:
715:
580:
571:
th centered hexagonal number is given by the formula
1552:
semitransparent balls in a cube and viewing along a
1184:{\displaystyle F(x)=x+xF(x)+\sum _{n\geq 2}6nx^{n}.}
4047:
4001:
3961:
3912:
3886:
3819:
3803:
3782:
3749:
3714:
3554:
3521:
3478:
3455:
3332:
3020:
3011:
2989:
2946:
2908:
2899:
2832:
2774:
2765:
2299:
2289:
2259:
2250:
2223:
2185:
2147:
2138:
2076:
2018:
2009:
1521:
1418:
1252:
1183:
1089:
1013:
945:
901:
841:
777:
695:
1582:) which repeat 0-1-3-1-0 when taken modulo 5. In
902:{\displaystyle n={\frac {3+{\sqrt {12H-3}}}{6}}.}
912:This can be used as a test for whether a number
1940:Figure control for a segmented telescope mirror
814:corresponding to the centered hexagonal number
2352:
1987:
1090:{\displaystyle F(x)=\sum _{n\geq 0}H(x)x^{n}}
788:shows that the centered hexagonal number for
8:
25:Centered hexagonal numbers appearing in the
4220:
4184:
4148:
4112:
4072:
3746:
3711:
3697:
3586:
3329:
3312:
3227:
3182:
3059:
3017:
2905:
2771:
2762:
2749:
2696:
2653:Possessing a specific set of other numbers
2648:
2582:
2534:
2472:
2376:
2359:
2345:
2337:
2296:
2256:
2144:
2015:
1994:
1980:
1972:
1253:{\displaystyle {\frac {6x}{(1-x)^{2}}}-6x}
1507:
1483:
1470:
1454:
1437:
1407:
1383:
1370:
1354:
1333:
1306:
1268:
1232:
1205:
1203:
1172:
1150:
1105:
1081:
1053:
1032:
964:
929:
874:
865:
857:
819:
744:
714:
692:
671:
625:
600:
579:
1733:
1876:
1903:
1901:
1899:
7:
1917:. World Scientific. pp. 47â55.
1097:. The generating function satisfies
849:can be calculated using the formula
1697:th centered hexagonal number is a
1586:the rightmost digit is always 1: 1
1570:last digit of the triangle numbers
920:Recurrence and generating function
14:
4254:
3862:Perfect digit-to-digit invariant
1849:Southern African Large Telescope
455:
450:
445:
440:
434:
429:
424:
419:
414:
408:
403:
398:
393:
388:
383:
377:
372:
367:
362:
357:
352:
347:
341:
336:
331:
326:
321:
316:
310:
305:
300:
295:
290:
284:
279:
274:
269:
260:
255:
250:
244:
239:
234:
229:
223:
218:
213:
208:
203:
197:
192:
187:
182:
176:
171:
166:
157:
152:
146:
141:
136:
130:
125:
116:
1685:, while the difference between
1654:centered hexagonal numbers are
1024:From this we can calculate the
1014:{\displaystyle H(n+1)=H(n)+6n.}
924:The centered hexagonal numbers
807:In the opposite direction, the
535:, 469, 547, 631, 721, 817, 919.
1720:are centered hexagonal numbers
1637:. That is, centered hexagonal
1629:centered hexagonal numbers is
1504:
1491:
1448:
1442:
1404:
1391:
1330:
1317:
1294:
1288:
1282:
1270:
1229:
1216:
1140:
1134:
1116:
1110:
1074:
1068:
1043:
1037:
996:
990:
981:
969:
940:
934:
836:
830:
762:
750:
725:
719:
652:
640:
622:
609:
590:
584:
1:
2701:Expressible via specific sums
2172:Centered dodecahedral numbers
2177:Centered icosahedral numbers
2157:Centered tetrahedral numbers
1937:Mast, T S, and Nelson, J E.
3790:Multiplicative digital root
2167:Centered octahedral numbers
2048:Centered heptagonal numbers
2038:Centered pentagonal numbers
2028:Centered triangular numbers
792:is 1 more than 6 times the
4302:
2272:Squared triangular numbers
2063:Centered decagonal numbers
2058:Centered nonagonal numbers
2053:Centered octagonal numbers
2043:Centered hexagonal numbers
1847:
1825:
1804:
1785:James Webb Space Telescope
1783:
1762:
1568:5). This follows from the
706:Expressing the formula as
469:cornered hexagonal numbers
4250:
4233:
4219:
4197:
4183:
4161:
4147:
4125:
4111:
4084:
4071:
3867:Perfect digital invariant
3710:
3696:
3604:
3585:
3442:Superior highly composite
3328:
3311:
3239:
3226:
3194:
3181:
3069:
3058:
2761:
2748:
2706:
2695:
2658:
2647:
2595:
2581:
2544:
2533:
2486:
2471:
2389:
2375:
1548:hex numbers by arranging
47:centered hexagonal number
3480:Euler's totient function
3264:EulerâJacobi pseudoprime
2539:Other polynomial numbers
2238:Square pyramidal numbers
2215:Stella octangula numbers
1806:Gran Telescopio Canarias
1764:Giant Magellan Telescope
1544:of the sum of the first
3294:SomerâLucas pseudoprime
3284:LucasâCarmichael number
3119:Lazy caterer's sequence
2033:Centered square numbers
1661:The difference between
1194:The latter term is the
3169:WedderburnâEtherington
2569:Lucky numbers of Euler
1721:
1557:
1523:
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