1259:
1028:
2360:
2171:
2576:
1978:
2890:
951:
3029:
1254:{\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}
1785:
1798:
Cesàro summable. In fact, for the series of any sequence which diverges to (positive or negative) infinity, the Cesàro method also leads to the series of a sequence that diverges likewise, and hence such a series is not Cesàro summable.
2190:
442:
2053:
2433:
743:
256:
1567:
2779:
498:
1860:
1033:
825:
1855:
1325:
2795:
1621:
1417:
1016:
808:
581:
156:
820:
2935:
643:
1677:
1473:
2412:
2390:
314:
1705:
2355:{\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}.}
364:
3343:
3304:
3252:
3225:
3200:
2166:{\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}
2571:{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}
3281:
658:
168:
1488:
3155:
3095:
3242:
2731:
450:
3322:
1973:{\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}
3361:
3160:
88:
3317:
3085:
2885:{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}
1270:
3100:
3120:
3290:
3165:
73:
3312:
946:{\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}
3024:{\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}
1575:
1371:
970:
762:
535:
110:
3090:
589:
1629:
87:
can be misleading, as some statements and proofs regarding Cesàro summation can be said to implicate the
1425:
38:
3125:
3333:
2606:
54:
3145:
3140:
3130:
1780:{\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}
2395:
2373:
1814:
In 1890, Ernesto Cesàro stated a broader family of summation methods which have since been called
297:
3170:
753:
92:
3339:
3300:
3277:
3248:
3221:
3196:
3135:
2915:
500:
If this series is convergent, then it is Cesàro summable and its Cesàro sum is the usual sum.
77:
3110:
58:
3115:
3105:
322:
3366:
3329:
3080:
2703:
3355:
2184:-times iterated application of the initial summation method and can be restated as
266:
17:
3150:
2907:
sum of the integral. Analogously to the case of the sum of a series, if
2726:
437:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}
159:
31:
447:
The value of the resulting limit is called the Cesàro sum of the series
1837:
The higher-order methods can be described as follows: given a series
65:
tends to infinity, of the sequence of arithmetic means of the first
1682:
Since the sequence of partial sums grows without bound, the series
956:
This sequence of partial sums does not converge, so the series
61:
in the usual sense. The Cesàro sum is defined as the limit, as
738:{\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }
251:{\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}
1983:(where the upper indices do not denote exponents) and define
27:
Modified summation method applicable to some divergent series
1562:{\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }
2899:, §1.15). The value of this limit, should it exist, is the
2929:
convergence is equivalent to the existence of the limit
30:
For the song "Cesaro
Summability" by the band Tool, see
3274:
Borel's
Methods of Summability: Theory and Applications
3034:
which is the limit of means of the partial integrals.
2774:{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}
2735:
2427:
be implicitly given by the coefficients of the series
493:{\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}
454:
2938:
2798:
2734:
2488:
2436:
2398:
2376:
2193:
2056:
1858:
1708:
1632:
1578:
1491:
1428:
1374:
1273:
1031:
973:
823:
765:
661:
592:
538:
453:
367:
300:
171:
113:
3070:, and the value of the resulting limit is the same.
3023:
2884:
2773:
2570:
2406:
2384:
2354:
2165:
1972:
1779:
1671:
1615:
1561:
1467:
1411:
1319:
1253:
1010:
945:
802:
737:
637:
575:
492:
436:
308:
250:
150:
1018:be the sequence of arithmetic means of the first
3297:(2nd ed.), New York, NY: Chelsea Publishing
2940:
2800:
2251:
2114:
1275:
369:
3295:Introduction to the theory of Fourier integrals
1790:This sequence diverges to infinity as well, so
3037:As is the case with series, if an integral is
1320:{\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}
3195:. Providence: American Mathematical Society.
2332:
2311:
2304:
2291:
2177:
8:
3338:(2nd ed.), Cambridge University Press,
2180:, pp.16-17). This description represents an
1330:and therefore, the Cesàro sum of the series
2896:
2677:, and the sums agree; furthermore we have
3014:
3007:
2989:
2984:
2974:
2969:
2955:
2943:
2937:
2875:
2857:
2842:
2824:
2819:
2803:
2797:
2763:
2745:
2740:
2733:
2550:
2525:
2515:
2505:
2494:
2489:
2486:
2477:
2467:
2462:
2452:
2441:
2435:
2400:
2399:
2397:
2378:
2377:
2375:
2343:
2331:
2310:
2303:
2290:
2287:
2281:
2270:
2254:
2241:
2231:
2220:
2211:
2197:
2192:
2155:
2150:
2140:
2135:
2129:
2117:
2104:
2094:
2083:
2074:
2060:
2055:
1954:
1949:
1939:
1928:
1911:
1906:
1892:
1872:
1867:
1859:
1857:
1753:
1740:
1727:
1714:
1707:
1631:
1607:
1596:
1586:
1577:
1523:
1513:
1502:
1490:
1427:
1403:
1392:
1382:
1373:
1306:
1294:
1278:
1272:
1223:
1210:
1197:
1184:
1171:
1158:
1145:
1132:
1111:
1094:
1078:
1067:
1053:
1040:
1032:
1030:
1002:
991:
981:
972:
887:
870:
860:
849:
832:
824:
822:
794:
783:
773:
764:
693:
683:
672:
660:
591:
567:
556:
546:
537:
480:
470:
459:
452:
419:
409:
398:
384:
372:
366:
302:
301:
299:
242:
232:
221:
208:
189:
176:
170:
142:
131:
121:
112:
91:. For example, it is commonly applied to
1834:is Cesàro summation as described above.
3183:
1830:method is just ordinary summation, and
1616:{\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}
1412:{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}
1011:{\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}
810:denote the sequence of partial sums of
803:{\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}
576:{\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty }}
151:{\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}
3272:Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994),
3247:. John Wiley & Sons. p. 439.
7:
3218:An Introduction to Harmonic Analysis
1686:diverges to infinity. The sequence
638:{\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}
3244:A First Course in Stochastic Models
2914:, the result is convergence of the
1672:{\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}
2950:
2810:
2746:
2506:
2453:
2315:
2295:
2261:
2232:
2198:
2124:
2095:
2061:
1608:
1572:Then the sequence of partial sums
1514:
1468:{\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}
1404:
1285:
1003:
795:
684:
568:
471:
379:
143:
25:
2714:Cesàro summability of an integral
1699:of means of partial sums of G is
76:is named for the Italian analyst
3220:. New York: Dover Publications.
3096:Abelian and tauberian theorems
3004:
2998:
2947:
2872:
2866:
2807:
2760:
2754:
2547:
2534:
2258:
2208:
2194:
2121:
2071:
2057:
1663:
1633:
1593:
1579:
1459:
1429:
1389:
1375:
1282:
1117:
1104:
988:
974:
933:
903:
893:
880:
780:
766:
629:
593:
553:
539:
376:
128:
114:
1:
95:with the conclusion that the
3216:Katznelson, Yitzhak (1976).
2407:{\displaystyle \mathbb {Z} }
2385:{\displaystyle \mathbb {R} }
309:{\displaystyle \mathbb {R} }
69:partial sums of the series.
3318:Encyclopedia of Mathematics
3276:, Oxford University Press,
3045:summable for some value of
3383:
3313:"Cesàro summation methods"
3156:Silverman–Toeplitz theorem
3101:Almost convergent sequence
2593:as above. In particular,
1822:for non-negative integers
59:not necessarily convergent
29:
2365:Even more generally, for
2178:Shawyer & Watson 1994
74:matrix summability method
53:) assigns values to some
3086:Abel's summation formula
2659:sum, then it also has a
1849:, define the quantities
1346:As another example, let
960:is divergent. However,
3311:Volkov, I. I. (2001) ,
3299:. Reprinted 1986 with
321:tends to infinity, the
99:of that series is 1/2.
89:Eilenberg–Mazur swindle
72:This special case of a
3241:Henk C. Tijms (2003).
3166:Cauchy's limit theorem
3025:
2895:exists and is finite (
2886:
2775:
2572:
2510:
2457:
2408:
2386:
2356:
2286:
2236:
2167:
2099:
1974:
1944:
1781:
1673:
1617:
1563:
1518:
1482:now denote the series
1469:
1413:
1321:
1255:
1089:
1012:
967:Cesàro summable. Let
947:
865:
804:
739:
688:
639:
577:
494:
475:
438:
414:
310:
252:
237:
152:
3191:Hardy, G. H. (1992).
3121:Euler–Boole summation
3026:
2887:
2776:
2636:is defined as above.
2607:binomial coefficients
2573:
2490:
2437:
2409:
2387:
2357:
2266:
2216:
2168:
2079:
1975:
1924:
1782:
1674:
1618:
1564:
1498:
1470:
1414:
1322:
1256:
1063:
1013:
948:
845:
805:
740:
668:
640:
578:
495:
455:
439:
394:
311:
253:
217:
153:
39:mathematical analysis
3335:Trigonometric Series
3161:Stolz–Cesàro theorem
2936:
2796:
2732:
2434:
2396:
2374:
2191:
2054:
1856:
1706:
1630:
1576:
1489:
1426:
1372:
1271:
1029:
971:
821:
763:
659:
590:
536:
451:
365:
298:
169:
111:
3362:Summability methods
3146:Ramanujan summation
2994:
2979:
2829:
2750:
2472:
2160:
2145:
2009:1 + 0 + 0 + 0 + ...
1965:
1916:
1880:
1612:
1408:
1007:
799:
572:
147:
45:(also known as the
3171:Summation by parts
3091:Abel–Plana formula
3052:, then it is also
3021:
2980:
2965:
2954:
2882:
2815:
2814:
2771:
2770:
2736:
2568:
2532:
2458:
2404:
2382:
2352:
2265:
2163:
2146:
2131:
2128:
2047:and has the value
1970:
1968:
1945:
1902:
1863:
1777:
1669:
1613:
1592:
1559:
1465:
1409:
1388:
1317:
1289:
1251:
1249:
1008:
987:
943:
941:
800:
779:
735:
652:denote the series
635:
573:
552:
490:
489:
434:
383:
306:
289:, with Cesàro sum
248:
148:
127:
3345:978-0-521-35885-9
3305:978-0-8284-0324-5
3291:Titchmarsh, E. C.
3254:978-0-471-49880-3
3227:978-0-486-63331-2
3202:978-0-8218-2649-2
3136:Lambert summation
3060:summable for all
2963:
2939:
2916:improper integral
2850:
2799:
2563:
2337:
2330:
2302:
2250:
2214:
2161:
2113:
2077:
1761:
1748:
1735:
1722:
1274:
1231:
1218:
1205:
1192:
1179:
1166:
1153:
1140:
1061:
392:
368:
16:(Redirected from
3374:
3348:
3325:
3298:
3286:
3259:
3258:
3238:
3232:
3231:
3213:
3207:
3206:
3193:Divergent Series
3188:
3141:Perron's formula
3131:Hölder summation
3111:Divergent series
3069:
3059:
3051:
3044:
3030:
3028:
3027:
3022:
2993:
2988:
2978:
2973:
2964:
2956:
2953:
2928:
2924:
2913:
2906:
2891:
2889:
2888:
2883:
2862:
2861:
2856:
2852:
2851:
2843:
2828:
2823:
2813:
2788:
2780:
2778:
2777:
2772:
2749:
2744:
2724:
2707:
2701:
2694:
2676:
2666:
2658:
2650:
2635:
2623:
2615:
2604:
2603:
2602:
2592:
2591:
2590:
2577:
2575:
2574:
2569:
2564:
2562:
2561:
2560:
2531:
2530:
2529:
2520:
2519:
2509:
2504:
2487:
2482:
2481:
2471:
2466:
2456:
2451:
2426:
2425:
2424:
2414:
2413:
2411:
2410:
2405:
2403:
2391:
2389:
2388:
2383:
2381:
2361:
2359:
2358:
2353:
2348:
2347:
2338:
2336:
2335:
2326:
2314:
2308:
2307:
2294:
2288:
2285:
2280:
2264:
2246:
2245:
2235:
2230:
2215:
2212:
2201:
2183:
2172:
2170:
2169:
2164:
2162:
2159:
2154:
2144:
2139:
2130:
2127:
2109:
2108:
2098:
2093:
2078:
2075:
2064:
2046:
2030:
2018:
2010:
2006:
2005:
2004:
1994:
1993:
1992:
1979:
1977:
1976:
1971:
1969:
1964:
1953:
1943:
1938:
1915:
1910:
1897:
1896:
1879:
1871:
1848:
1833:
1829:
1825:
1821:
1809:
1793:
1786:
1784:
1783:
1778:
1773:
1769:
1762:
1754:
1749:
1741:
1736:
1728:
1723:
1715:
1698:
1685:
1678:
1676:
1675:
1670:
1622:
1620:
1619:
1614:
1611:
1606:
1591:
1590:
1568:
1566:
1565:
1560:
1528:
1527:
1517:
1512:
1481:
1474:
1472:
1471:
1466:
1419:is the sequence
1418:
1416:
1415:
1410:
1407:
1402:
1387:
1386:
1367:
1360:
1337:
1333:
1326:
1324:
1323:
1318:
1310:
1299:
1298:
1288:
1260:
1258:
1257:
1252:
1250:
1243:
1239:
1232:
1224:
1219:
1211:
1206:
1198:
1193:
1185:
1180:
1172:
1167:
1159:
1154:
1146:
1141:
1133:
1116:
1115:
1099:
1098:
1088:
1077:
1062:
1054:
1045:
1044:
1021:
1017:
1015:
1014:
1009:
1006:
1001:
986:
985:
963:
959:
952:
950:
949:
944:
942:
892:
891:
875:
874:
864:
859:
837:
836:
813:
809:
807:
806:
801:
798:
793:
778:
777:
751:
744:
742:
741:
736:
698:
697:
687:
682:
651:
644:
642:
641:
636:
583:is the sequence
582:
580:
579:
574:
571:
566:
551:
550:
531:
524:
499:
497:
496:
491:
485:
484:
474:
469:
443:
441:
440:
435:
424:
423:
413:
408:
393:
385:
382:
357:
353:
320:
316:
315:
313:
312:
307:
305:
284:
264:
257:
255:
254:
249:
247:
246:
236:
231:
213:
212:
194:
193:
181:
180:
157:
155:
154:
149:
146:
141:
126:
125:
43:Cesàro summation
21:
18:Cesaro summation
3382:
3381:
3377:
3376:
3375:
3373:
3372:
3371:
3352:
3351:
3346:
3330:Zygmund, Antoni
3328:
3310:
3289:
3284:
3271:
3268:
3263:
3262:
3255:
3240:
3239:
3235:
3228:
3215:
3214:
3210:
3203:
3190:
3189:
3185:
3180:
3175:
3126:Fejér's theorem
3116:Euler summation
3106:Borel summation
3076:
3061:
3053:
3046:
3038:
2934:
2933:
2926:
2919:
2918:. In the case
2908:
2900:
2897:Titchmarsh 1948
2835:
2831:
2830:
2794:
2793:
2782:
2730:
2729:
2719:
2716:
2705:
2696:
2683:
2678:
2668:
2660:
2652:
2649:
2640:
2634:
2625:
2617:
2610:
2601:
2598:
2597:
2596:
2594:
2589:
2586:
2585:
2584:
2582:
2546:
2533:
2521:
2511:
2473:
2432:
2431:
2423:
2420:
2419:
2418:
2416:
2394:
2393:
2372:
2371:
2366:
2339:
2316:
2309:
2289:
2237:
2189:
2188:
2181:
2100:
2052:
2051:
2045:
2032:
2029:
2020:
2012:
2008:
2007:for the series
2003:
2000:
1999:
1998:
1996:
1991:
1988:
1987:
1986:
1984:
1967:
1966:
1917:
1899:
1898:
1888:
1881:
1854:
1853:
1847:
1838:
1831:
1827:
1823:
1815:
1812:
1803:
1791:
1713:
1709:
1704:
1703:
1696:
1687:
1683:
1628:
1627:
1582:
1574:
1573:
1519:
1487:
1486:
1479:
1424:
1423:
1378:
1370:
1369:
1362:
1355:
1347:
1344:
1335:
1331:
1290:
1269:
1268:
1248:
1247:
1131:
1127:
1120:
1107:
1101:
1100:
1090:
1046:
1036:
1027:
1026:
1019:
977:
969:
968:
961:
957:
940:
939:
896:
883:
877:
876:
866:
838:
828:
819:
818:
811:
769:
761:
760:
754:Grandi's series
749:
689:
657:
656:
649:
588:
587:
542:
534:
533:
526:
522:
514:
511:
506:
476:
449:
448:
415:
363:
362:
355:
352:
343:
336:
330:
323:arithmetic mean
318:
296:
295:
290:
287:Cesàro summable
282:
273:
262:
238:
204:
185:
172:
167:
166:
117:
109:
108:
105:
93:Grandi's series
35:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
3380:
3378:
3370:
3369:
3364:
3354:
3353:
3350:
3349:
3344:
3326:
3308:
3287:
3282:
3267:
3264:
3261:
3260:
3253:
3233:
3226:
3208:
3201:
3182:
3181:
3179:
3176:
3174:
3173:
3168:
3163:
3158:
3153:
3148:
3143:
3138:
3133:
3128:
3123:
3118:
3113:
3108:
3103:
3098:
3093:
3088:
3083:
3081:Abel summation
3077:
3075:
3072:
3032:
3031:
3020:
3017:
3013:
3010:
3006:
3003:
3000:
2997:
2992:
2987:
2983:
2977:
2972:
2968:
2962:
2959:
2952:
2949:
2946:
2942:
2893:
2892:
2881:
2878:
2874:
2871:
2868:
2865:
2860:
2855:
2849:
2846:
2841:
2838:
2834:
2827:
2822:
2818:
2812:
2809:
2806:
2802:
2769:
2766:
2762:
2759:
2756:
2753:
2748:
2743:
2739:
2715:
2712:
2681:
2667:sum for every
2645:
2630:
2599:
2587:
2579:
2578:
2567:
2559:
2556:
2553:
2549:
2545:
2542:
2539:
2536:
2528:
2524:
2518:
2514:
2508:
2503:
2500:
2497:
2493:
2485:
2480:
2476:
2470:
2465:
2461:
2455:
2450:
2447:
2444:
2440:
2421:
2402:
2380:
2363:
2362:
2351:
2346:
2342:
2334:
2329:
2325:
2322:
2319:
2313:
2306:
2301:
2298:
2293:
2284:
2279:
2276:
2273:
2269:
2263:
2260:
2257:
2253:
2249:
2244:
2240:
2234:
2229:
2226:
2223:
2219:
2210:
2207:
2204:
2200:
2196:
2176:if it exists (
2174:
2173:
2158:
2153:
2149:
2143:
2138:
2134:
2126:
2123:
2120:
2116:
2112:
2107:
2103:
2097:
2092:
2089:
2086:
2082:
2073:
2070:
2067:
2063:
2059:
2041:
2031:is denoted by
2025:
2001:
1989:
1981:
1980:
1963:
1960:
1957:
1952:
1948:
1942:
1937:
1934:
1931:
1927:
1923:
1920:
1918:
1914:
1909:
1905:
1901:
1900:
1895:
1891:
1887:
1884:
1882:
1878:
1875:
1870:
1866:
1862:
1861:
1843:
1811:
1801:
1797:
1788:
1787:
1776:
1772:
1768:
1765:
1760:
1757:
1752:
1747:
1744:
1739:
1734:
1731:
1726:
1721:
1718:
1712:
1692:
1680:
1679:
1668:
1665:
1662:
1659:
1656:
1653:
1650:
1647:
1644:
1641:
1638:
1635:
1610:
1605:
1602:
1599:
1595:
1589:
1585:
1581:
1570:
1569:
1558:
1555:
1552:
1549:
1546:
1543:
1540:
1537:
1534:
1531:
1526:
1522:
1516:
1511:
1508:
1505:
1501:
1497:
1494:
1476:
1475:
1464:
1461:
1458:
1455:
1452:
1449:
1446:
1443:
1440:
1437:
1434:
1431:
1406:
1401:
1398:
1395:
1391:
1385:
1381:
1377:
1351:
1343:
1342:Second example
1340:
1328:
1327:
1316:
1313:
1309:
1305:
1302:
1297:
1293:
1287:
1284:
1281:
1277:
1262:
1261:
1246:
1242:
1238:
1235:
1230:
1227:
1222:
1217:
1214:
1209:
1204:
1201:
1196:
1191:
1188:
1183:
1178:
1175:
1170:
1165:
1162:
1157:
1152:
1149:
1144:
1139:
1136:
1130:
1126:
1123:
1121:
1119:
1114:
1110:
1106:
1103:
1102:
1097:
1093:
1087:
1084:
1081:
1076:
1073:
1070:
1066:
1060:
1057:
1052:
1049:
1047:
1043:
1039:
1035:
1034:
1022:partial sums:
1005:
1000:
997:
994:
990:
984:
980:
976:
966:
954:
953:
938:
935:
932:
929:
926:
923:
920:
917:
914:
911:
908:
905:
902:
899:
897:
895:
890:
886:
882:
879:
878:
873:
869:
863:
858:
855:
852:
848:
844:
841:
839:
835:
831:
827:
826:
797:
792:
789:
786:
782:
776:
772:
768:
746:
745:
734:
731:
728:
725:
722:
719:
716:
713:
710:
707:
704:
701:
696:
692:
686:
681:
678:
675:
671:
667:
664:
646:
645:
634:
631:
628:
625:
622:
619:
616:
613:
610:
607:
604:
601:
598:
595:
570:
565:
562:
559:
555:
549:
545:
541:
518:
510:
507:
505:
502:
488:
483:
479:
473:
468:
465:
462:
458:
445:
444:
433:
430:
427:
422:
418:
412:
407:
404:
401:
397:
391:
388:
381:
378:
375:
371:
348:
341:
334:
304:
278:
259:
258:
245:
241:
235:
230:
227:
224:
220:
216:
211:
207:
203:
200:
197:
192:
188:
184:
179:
175:
145:
140:
137:
134:
130:
124:
120:
116:
104:
101:
78:Ernesto Cesàro
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
3379:
3368:
3365:
3363:
3360:
3359:
3357:
3347:
3341:
3337:
3336:
3331:
3327:
3324:
3320:
3319:
3314:
3309:
3306:
3302:
3296:
3292:
3288:
3285:
3283:0-19-853585-6
3279:
3275:
3270:
3269:
3265:
3256:
3250:
3246:
3245:
3237:
3234:
3229:
3223:
3219:
3212:
3209:
3204:
3198:
3194:
3187:
3184:
3177:
3172:
3169:
3167:
3164:
3162:
3159:
3157:
3154:
3152:
3149:
3147:
3144:
3142:
3139:
3137:
3134:
3132:
3129:
3127:
3124:
3122:
3119:
3117:
3114:
3112:
3109:
3107:
3104:
3102:
3099:
3097:
3094:
3092:
3089:
3087:
3084:
3082:
3079:
3078:
3073:
3071:
3068:
3064:
3057:
3049:
3042:
3035:
3018:
3015:
3011:
3008:
3001:
2995:
2990:
2985:
2981:
2975:
2970:
2966:
2960:
2957:
2944:
2932:
2931:
2930:
2922:
2917:
2911:
2904:
2898:
2879:
2876:
2869:
2863:
2858:
2853:
2847:
2844:
2839:
2836:
2832:
2825:
2820:
2816:
2804:
2792:
2791:
2790:
2786:
2767:
2764:
2757:
2751:
2741:
2737:
2728:
2722:
2713:
2711:
2709:
2699:
2692:
2688:
2684:
2675:
2671:
2664:
2656:
2648:
2644:
2637:
2633:
2629:
2621:
2614:
2608:
2565:
2557:
2554:
2551:
2543:
2540:
2537:
2526:
2522:
2516:
2512:
2501:
2498:
2495:
2491:
2483:
2478:
2474:
2468:
2463:
2459:
2448:
2445:
2442:
2438:
2430:
2429:
2428:
2369:
2349:
2344:
2340:
2327:
2323:
2320:
2317:
2299:
2296:
2282:
2277:
2274:
2271:
2267:
2255:
2247:
2242:
2238:
2227:
2224:
2221:
2217:
2205:
2202:
2187:
2186:
2185:
2179:
2156:
2151:
2147:
2141:
2136:
2132:
2118:
2110:
2105:
2101:
2090:
2087:
2084:
2080:
2068:
2065:
2050:
2049:
2048:
2044:
2040:
2036:
2028:
2024:
2016:
1961:
1958:
1955:
1950:
1946:
1940:
1935:
1932:
1929:
1925:
1921:
1919:
1912:
1907:
1903:
1893:
1889:
1885:
1883:
1876:
1873:
1868:
1864:
1852:
1851:
1850:
1846:
1842:
1835:
1819:
1807:
1802:
1800:
1795:
1774:
1770:
1766:
1763:
1758:
1755:
1750:
1745:
1742:
1737:
1732:
1729:
1724:
1719:
1716:
1710:
1702:
1701:
1700:
1695:
1691:
1666:
1660:
1657:
1654:
1651:
1648:
1645:
1642:
1639:
1636:
1626:
1625:
1624:
1603:
1600:
1597:
1587:
1583:
1556:
1553:
1550:
1547:
1544:
1541:
1538:
1535:
1532:
1529:
1524:
1520:
1509:
1506:
1503:
1499:
1495:
1492:
1485:
1484:
1483:
1462:
1456:
1453:
1450:
1447:
1444:
1441:
1438:
1435:
1432:
1422:
1421:
1420:
1399:
1396:
1393:
1383:
1379:
1365:
1359:
1354:
1350:
1341:
1339:
1314:
1311:
1307:
1303:
1300:
1295:
1291:
1279:
1267:
1266:
1265:
1244:
1240:
1236:
1233:
1228:
1225:
1220:
1215:
1212:
1207:
1202:
1199:
1194:
1189:
1186:
1181:
1176:
1173:
1168:
1163:
1160:
1155:
1150:
1147:
1142:
1137:
1134:
1128:
1124:
1122:
1112:
1108:
1095:
1091:
1085:
1082:
1079:
1074:
1071:
1068:
1064:
1058:
1055:
1050:
1048:
1041:
1037:
1025:
1024:
1023:
998:
995:
992:
982:
978:
964:
936:
930:
927:
924:
921:
918:
915:
912:
909:
906:
900:
898:
888:
884:
871:
867:
861:
856:
853:
850:
846:
842:
840:
833:
829:
817:
816:
815:
790:
787:
784:
774:
770:
757:
755:
732:
729:
726:
723:
720:
717:
714:
711:
708:
705:
702:
699:
694:
690:
679:
676:
673:
669:
665:
662:
655:
654:
653:
632:
626:
623:
620:
617:
614:
611:
608:
605:
602:
599:
596:
586:
585:
584:
563:
560:
557:
547:
543:
529:
521:
517:
509:First example
508:
503:
501:
486:
481:
477:
466:
463:
460:
456:
431:
428:
425:
420:
416:
410:
405:
402:
399:
395:
389:
386:
373:
361:
360:
359:
351:
347:
340:
333:
329:partial sums
328:
325:of its first
324:
293:
288:
281:
277:
272:The sequence
270:
268:
243:
239:
233:
228:
225:
222:
218:
214:
209:
205:
201:
198:
195:
190:
186:
182:
177:
173:
165:
164:
163:
161:
138:
135:
132:
122:
118:
102:
100:
98:
94:
90:
86:
81:
80:(1859–1906).
79:
75:
70:
68:
64:
60:
56:
55:infinite sums
52:
48:
44:
40:
33:
19:
3334:
3316:
3294:
3273:
3266:Bibliography
3243:
3236:
3217:
3211:
3192:
3186:
3066:
3062:
3055:
3047:
3040:
3036:
3033:
2920:
2909:
2902:
2894:
2789:summable if
2784:
2720:
2717:
2697:
2690:
2686:
2679:
2673:
2669:
2662:
2654:
2646:
2642:
2638:
2631:
2627:
2619:
2612:
2580:
2367:
2364:
2175:
2042:
2038:
2034:
2026:
2022:
2014:
1982:
1844:
1840:
1836:
1817:
1813:
1805:
1789:
1693:
1689:
1681:
1571:
1477:
1363:
1357:
1352:
1348:
1345:
1329:
1263:
955:
758:
752:is known as
747:
647:
527:
519:
515:
512:
446:
349:
345:
338:
331:
326:
291:
286:
279:
275:
271:
260:
106:
96:
84:
82:
71:
66:
62:
51:Cesàro limit
50:
46:
42:
36:
2616:. Then the
2011:. Then the
1368:. That is,
748:The series
532:. That is,
267:partial sum
47:Cesàro mean
3356:Categories
3178:References
3151:Riesz mean
285:is called
162:, and let
103:Definition
3332:(1988) ,
3323:EMS Press
2982:∫
2976:λ
2967:∫
2961:λ
2951:∞
2948:→
2945:λ
2859:α
2848:λ
2840:−
2826:λ
2817:∫
2811:∞
2808:→
2805:λ
2747:∞
2738:∫
2609:of power
2558:α
2541:−
2507:∞
2492:∑
2469:α
2454:∞
2439:∑
2324:α
2268:∑
2262:∞
2259:→
2233:∞
2218:∑
2206:α
2157:α
2142:α
2125:∞
2122:→
2096:∞
2081:∑
2069:α
1959:−
1956:α
1926:∑
1913:α
1874:−
1810:summation
1767:…
1661:…
1609:∞
1557:⋯
1515:∞
1500:∑
1457:…
1405:∞
1286:∞
1283:→
1237:…
1083:−
1065:∑
1004:∞
931:…
847:∑
796:∞
733:⋯
730:−
718:−
706:−
685:∞
670:∑
627:…
618:−
603:−
569:∞
472:∞
457:∑
396:∑
380:∞
377:→
354:tends to
317:, if, as
219:∑
199:⋯
144:∞
85:summation
83:The term
57:that are
3293:(1948),
3074:See also
2727:integral
2708:notation
2605:are the
504:Examples
160:sequence
2704:little-
2700:> −1
2624:sum of
2019:sum of
344:, ...,
261:be its
3342:
3303:
3280:
3251:
3224:
3199:
2927:(C, 1)
2725:. The
2651:has a
2415:, let
1995:to be
1832:(C, 1)
1828:(C, 0)
1826:. The
523:= (−1)
3367:Means
3065:>
2702:(see
2672:>
2611:−1 −
1264:Then
158:be a
32:Ænima
3340:ISBN
3301:ISBN
3278:ISBN
3249:ISBN
3222:ISBN
3197:ISBN
3054:(C,
3039:(C,
2901:(C,
2783:(C,
2718:Let
2661:(C,
2653:(C,
2618:(C,
2581:and
2033:(C,
2013:(C,
1816:(C,
1804:(C,
1478:Let
1361:for
759:Let
648:Let
525:for
513:Let
107:Let
3050:≥ 0
2941:lim
2923:= 1
2912:= 0
2801:lim
2781:is
2723:≥ 0
2710:).
2695:if
2639:If
2252:lim
2115:lim
2037:)-Σ
1796:not
1794:is
1623:is
1366:≥ 1
1336:1/2
1334:is
1276:lim
530:≥ 0
370:lim
265:th
97:sum
49:or
37:In
3358::
3321:,
3315:,
2925:,
2685:=
2392:\
2370:∈
1756:20
1743:10
1655:10
1356:=
1338:.
965:is
814::
756:.
358::
337:,
294:∈
269:.
41:,
3307:.
3257:.
3230:.
3205:.
3067:α
3063:β
3058:)
3056:β
3048:α
3043:)
3041:α
3019:x
3016:d
3012:y
3009:d
3005:)
3002:y
2999:(
2996:f
2991:x
2986:0
2971:0
2958:1
2921:α
2910:α
2905:)
2903:α
2880:x
2877:d
2873:)
2870:x
2867:(
2864:f
2854:)
2845:x
2837:1
2833:(
2821:0
2787:)
2785:α
2768:x
2765:d
2761:)
2758:x
2755:(
2752:f
2742:0
2721:α
2706:o
2698:α
2693:)
2691:n
2689:(
2687:o
2682:n
2680:a
2674:α
2670:β
2665:)
2663:β
2657:)
2655:α
2647:n
2643:a
2641:Σ
2632:n
2628:a
2626:Σ
2622:)
2620:α
2613:α
2600:n
2595:E
2588:n
2583:E
2566:,
2555:+
2552:1
2548:)
2544:x
2538:1
2535:(
2527:n
2523:x
2517:n
2513:a
2502:0
2499:=
2496:n
2484:=
2479:n
2475:x
2464:n
2460:A
2449:0
2446:=
2443:n
2422:n
2417:A
2401:Z
2379:R
2368:α
2350:.
2345:j
2341:a
2333:)
2328:j
2321:+
2318:n
2312:(
2305:)
2300:j
2297:n
2292:(
2283:n
2278:0
2275:=
2272:j
2256:n
2248:=
2243:j
2239:a
2228:0
2225:=
2222:j
2213:-
2209:)
2203:,
2199:C
2195:(
2182:α
2152:n
2148:E
2137:n
2133:A
2119:n
2111:=
2106:j
2102:a
2091:0
2088:=
2085:j
2076:-
2072:)
2066:,
2062:C
2058:(
2043:n
2039:a
2035:α
2027:n
2023:a
2021:Σ
2017:)
2015:α
2002:n
1997:A
1990:n
1985:E
1962:1
1951:k
1947:A
1941:n
1936:0
1933:=
1930:k
1922:=
1908:n
1904:A
1894:n
1890:a
1886:=
1877:1
1869:n
1865:A
1845:n
1841:a
1839:Σ
1824:α
1820:)
1818:α
1808:)
1806:α
1792:G
1775:.
1771:)
1764:,
1759:4
1751:,
1746:3
1738:,
1733:2
1730:4
1725:,
1720:1
1717:1
1711:(
1697:)
1694:n
1690:t
1688:(
1684:G
1667:.
1664:)
1658:,
1652:,
1649:6
1646:,
1643:3
1640:,
1637:1
1634:(
1604:1
1601:=
1598:k
1594:)
1588:k
1584:s
1580:(
1554:+
1551:4
1548:+
1545:3
1542:+
1539:2
1536:+
1533:1
1530:=
1525:n
1521:a
1510:1
1507:=
1504:n
1496:=
1493:G
1480:G
1463:.
1460:)
1454:,
1451:4
1448:,
1445:3
1442:,
1439:2
1436:,
1433:1
1430:(
1400:1
1397:=
1394:n
1390:)
1384:n
1380:a
1376:(
1364:n
1358:n
1353:n
1349:a
1332:G
1315:,
1312:2
1308:/
1304:1
1301:=
1296:n
1292:t
1280:n
1245:.
1241:)
1234:,
1229:8
1226:4
1221:,
1216:7
1213:4
1208:,
1203:6
1200:3
1195:,
1190:5
1187:3
1182:,
1177:4
1174:2
1169:,
1164:3
1161:2
1156:,
1151:2
1148:1
1143:,
1138:1
1135:1
1129:(
1125:=
1118:)
1113:n
1109:t
1105:(
1096:k
1092:s
1086:1
1080:n
1075:0
1072:=
1069:k
1059:n
1056:1
1051:=
1042:n
1038:t
1020:n
999:1
996:=
993:n
989:)
983:n
979:t
975:(
962:G
958:G
937:.
934:)
928:,
925:0
922:,
919:1
916:,
913:0
910:,
907:1
904:(
901:=
894:)
889:k
885:s
881:(
872:n
868:a
862:k
857:0
854:=
851:n
843:=
834:k
830:s
812:G
791:0
788:=
785:k
781:)
775:k
771:s
767:(
750:G
727:1
724:+
721:1
715:1
712:+
709:1
703:1
700:=
695:n
691:a
680:0
677:=
674:n
666:=
663:G
650:G
633:.
630:)
624:,
621:1
615:,
612:1
609:,
606:1
600:,
597:1
594:(
564:0
561:=
558:n
554:)
548:n
544:a
540:(
528:n
520:n
516:a
487:.
482:n
478:a
467:1
464:=
461:n
432:.
429:A
426:=
421:k
417:s
411:n
406:1
403:=
400:k
390:n
387:1
374:n
356:A
350:n
346:s
342:2
339:s
335:1
332:s
327:n
319:n
303:R
292:A
283:)
280:n
276:a
274:(
263:k
244:n
240:a
234:k
229:1
226:=
223:n
215:=
210:k
206:a
202:+
196:+
191:1
187:a
183:=
178:k
174:s
139:1
136:=
133:n
129:)
123:n
119:a
115:(
67:n
63:n
34:.
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.