3171:
2601:
3166:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}
2527:
5553:
4030:
2212:
161:
69:
5072:
112:
3360:
3763:
539:
2522:{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}
4821:
3699:
5217:
1309:
1692:
3186:
3477:
1798:
4195:
4025:{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
4675:
5452:
2094:
1187:
374:
5542:
2606:
4536:
4810:
5067:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
1973:
2201:
974:
1398:
5308:
3543:
4440:
5095:
5667:
709:
5729:
1198:
3408:
3191:
2217:
304:
1051:
1574:
4364:
4303:
3355:{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}
1534:
1496:
818:
3403:
1875:
1707:
4078:
2126:
1838:
197:
148:
850:
4567:
99:
5369:
1981:
1566:
763:
327:
534:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}
2550:
732:
1104:
5463:
5768:
3494:
1417:
1090:
4458:
5769:"An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization"
5820:
5992:
5937:
G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the
Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes",
4735:
1890:
2134:
855:
1328:
3694:{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
5966:
5242:
5212:{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt{x}}\,\right)+\cdots }
4383:
3511:
5596:
3515:
1304:{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}
618:
6086:
5675:
252:
1687:{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}
996:
4318:
4257:
5750:
1501:
1698:
612:
is used when one has several functions to be minimized and one wants to "scalarize" them to a single function:
5082:
4225:
572:
3877:
1463:
4228:
of the zeta function at 1. It being a pole rather than a zero accounts for the opposite sign of the term.
3534:
3472:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}
1793:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}
1315:
549:
768:
4190:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
5883:", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The
1843:
595:
2102:
1878:
5847:
5323:
5319:
4670:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
3754:
3530:
3177:
564:
5447:{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}
1806:
167:
118:
2089:{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}
823:
6025:
5988:
5962:
5957:
5816:
5812:
4040:
979:
330:
75:
38:
6006:
5952:
5779:
4449:
3757:(the prime powers) it takes the value halfway between the values to the left and the right:
1545:
6002:
741:
312:
6010:
5998:
1182:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
17:
6028:
4729:
The
Chebyshev function can be related to the prime-counting function as follows. Define
5980:
4702:
4370:
4245:
4237:
2535:
717:
990:
The second
Chebyshev function can be seen to be related to the first by writing it as
6080:
5843:
4036:
4709:) and together with the prime number theorem establishes the asymptotic behavior of
6043:
5537:{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}
735:
568:
334:
29:
This article uses technical mathematical notation for logarithms. All instances of
6070:
5236:, so for the sake of approximation, this last relation can be recast in the form
4445:
362:
210:
5783:
5552:
2560:
The following bounds are known for the
Chebyshev functions: (in these formulas
6062:
6048:
6057:
6033:
5987:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
5327:
4547:
4043:, the last term in the explicit formula can be understood as a summation of
5751:"Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures"
4531:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
738:, even in the nonconvex parts. Often the functions to be minimized are not
160:
68:
5922:
Erhard
Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",
1457:
1061:
111:
4805:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
1968:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}
2196:{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}
5851:
5551:
1192:
This last sum has only a finite number of non-vanishing terms, as
571:, because it is typically simpler to work with them than with the
159:
110:
67:
969:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}
1393:{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
5303:{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}
5767:
Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. (2018).
4435:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}
4018:
3498:
1421:
1094:
5846:, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
5821:"Approximate formulas for some functions of prime numbers"
3740:
runs over the nontrivial zeros of the zeta function, and
590:
below.) Both
Chebyshev functions are asymptotic to
5778:. Delft University of Technology. Page 6 equation (2).
5662:{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
5556:
The difference of the smoothed
Chebyshev function and
5166:
5130:
4138:
4009:
3896:
3646:
1881:
then so does the other, and the two limits are equal.
1314:
The second
Chebyshev function is the logarithm of the
361:
is defined similarly, with the sum extending over all
5678:
5599:
5466:
5372:
5245:
5098:
4824:
4738:
4570:
4546:
The first
Chebyshev function is the logarithm of the
4461:
4386:
4321:
4260:
4081:
3766:
3546:
3406:
3189:
2604:
2538:
2215:
2137:
2105:
1984:
1893:
1846:
1809:
1710:
1577:
1548:
1504:
1466:
1331:
1201:
1107:
999:
858:
826:
771:
744:
720:
704:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}
621:
552:. The Chebyshev functions, especially the second one
377:
315:
255:
170:
121:
78:
5724:{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
714:
By minimizing this function for different values of
37:
without a subscript base should be interpreted as a
3492:An explanation of the constant 1.03883 is given at
299:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}
5915:, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
5723:
5661:
5536:
5446:
5302:
5211:
5066:
4804:
4669:
4530:
4434:
4358:
4297:
4189:
4024:
3693:
3471:
3354:
3165:
2544:
2521:
2195:
2120:
2088:
1967:
1869:
1832:
1792:
1686:
1560:
1528:
1490:
1392:
1303:
1181:
1045:
968:
844:
812:
757:
726:
703:
533:
321:
298:
191:
142:
93:
5503:
5406:
4240:states that, for some explicit positive constant
3799:
3343:
3313:
3264:
3234:
1783:
1727:
1712:
897:
660:
1046:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
4065:over the trivial zeros of the zeta function,
1229:
1207:
1171:
1149:
8:
5756:. The University of Manchester. p. 34.
4359:{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
4298:{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
978:All three functions are named in honour of
1529:{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
5707:
5701:
5683:
5677:
5649:
5631:
5626:
5604:
5598:
5516:
5509:
5465:
5424:
5419:
5412:
5389:
5383:
5377:
5371:
5291:
5284:
5244:
5197:
5190:
5185:
5165:
5156:
5149:
5129:
5097:
5032:
5014:
4998:
4983:
4977:
4972:
4941:
4919:
4901:
4883:
4877:
4872:
4844:
4823:
4770:
4758:
4737:
4624:
4590:
4569:
4498:
4491:
4460:
4423:
4416:
4385:
4346:
4320:
4288:
4259:
4170:
4137:
4109:
4103:
4097:
4086:
4080:
4008:
3895:
3872:
3840:
3809:
3789:
3771:
3765:
3676:
3645:
3605:
3591:
3585:
3579:
3551:
3545:
3407:
3405:
3342:
3341:
3323:
3322:
3312:
3311:
3296:
3273:
3263:
3262:
3244:
3243:
3233:
3232:
3217:
3194:
3190:
3188:
3145:
3135:
3130:
3117:
3070:
3054:
3039:
3018:
3017:
3002:
2979:
2968:
2964:
2950:
2929:
2928:
2913:
2890:
2869:
2823:
2763:
2740:
2725:
2679:
2619:
2605:
2603:
2552:to obtain the inequality in the theorem.
2537:
2489:
2472:
2465:
2462:
2431:
2405:
2388:
2375:
2360:
2330:
2326:
2303:
2299:
2281:
2264:
2216:
2214:
2157:
2136:
2104:
2070:
2066:
2042:
2025:
1983:
1952:
1948:
1924:
1913:
1892:
1859:
1845:
1822:
1808:
1757:
1733:
1715:
1709:
1662:
1651:
1632:
1608:
1584:
1576:
1547:
1505:
1503:
1467:
1465:
1372:
1330:
1272:
1257:
1241:
1228:
1227:
1216:
1206:
1205:
1200:
1170:
1169:
1158:
1148:
1147:
1138:
1127:
1106:
1098:. A more direct relationship is given by
1019:
998:
958:
952:
947:
925:
916:
910:
900:
863:
857:
836:
831:
825:
805:
799:
794:
781:
772:
770:
749:
743:
719:
683:
673:
663:
626:
620:
610:weighted Tchebycheff scalarizing function
502:
481:
450:
420:
415:
405:
404:
397:
376:
314:
275:
254:
169:
120:
77:
221:) or one of two related functions. The
5738:
4725:Relation to the prime-counting function
5985:Introduction to analytic number theory
5799:Introduction to Analytic Number Theory
587:
1491:{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}
7:
5744:
5742:
4308:and infinitely many natural numbers
5860:Pierre Dusart, "Sharper bounds for
5261:
5099:
4953:
4856:
4825:
4773:
4739:
4656:
4098:
3907:
3852:
3821:
1722:
1139:
462:
333:, with the sum extending over all
217:is either a scalarising function (
25:
813:{\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}
5776:Expert Systems with Applications
4452:prove the stronger result, that
3512:Hans Carl Friedrich von Mangoldt
594:, a statement equivalent to the
5930:(1903), pp. 195–204.
5089:, is made through the equation
4680:This proves that the primorial
2128:we have the trivial inequality
1870:{\displaystyle \vartheta (x)/x}
1318:of the integers from 1 to
1246:
1240:
734:, one obtains every point on a
340:that are less than or equal to
5945:(1916) pp. 119–196.
5695:
5689:
5646:
5640:
5616:
5610:
5494:
5488:
5476:
5470:
5270:
5264:
5255:
5249:
5123:
5117:
5108:
5102:
5044:
5038:
4995:
4989:
4962:
4956:
4865:
4859:
4834:
4828:
4782:
4776:
4748:
4742:
4580:
4574:
4471:
4465:
4396:
4390:
4331:
4325:
4270:
4264:
4003:
3997:
3916:
3910:
3889:
3883:
3861:
3855:
3830:
3824:
3783:
3777:
3685:
3663:
3636:
3630:
3622:
3616:
3563:
3557:
3449:
3443:
3420:
3414:
3297:
3287:
3281:
3274:
3218:
3208:
3202:
3195:
3108:
3102:
3093:
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1803:In other words, if one of the
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88:
82:
1:
6044:"Mangoldt summatory function"
5749:Joshua Knowles (2 May 2014).
4377:, one may write the above as
3529:as a sum over the nontrivial
2121:{\displaystyle \vartheta (x)}
5958:Multiplicative Number Theory
4244:, there are infinitely many
4224:, corresponds to the simple
3375:Upper bounds exist for both
5801:. Springer. pp. 75–76.
5457:By the above, this implies
5363:, and it can be shown that
5322:states that all nontrivial
4687:is asymptotically equal to
4200:Similarly, the first term,
2099:But from the definition of
41:, also commonly written as
6103:
6071:Riemann's Explicit Formula
5961:. Springer. p. 104.
5913:Mathematics of Computation
5784:10.1016/j.eswa.2017.09.051
5326:of the zeta function have
1833:{\displaystyle \psi (x)/x}
1460:relates the two quotients
606:Chebyshev utility function
192:{\displaystyle \psi (x)-x}
143:{\displaystyle \psi (x)-x}
5889:th prime is greater than
1411:for the integer variable
845:{\displaystyle z_{i}^{*}}
349:second Chebyshev function
18:Chebyshev's function
6073:, with images and movies
5797:Apostol, Tom M. (2010).
3704:(The numerical value of
223:first Chebyshev function
94:{\displaystyle \psi (x)}
5083:prime-counting function
3176:Furthermore, under the
573:prime-counting function
72:The Chebyshev function
5725:
5663:
5583:
5538:
5448:
5314:The Riemann hypothesis
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5213:
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4542:Relation to primorials
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2556:Asymptotics and bounds
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1561:{\displaystyle x>0}
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1429:Relationships between
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193:
157:
144:
108:
95:
6058:"Chebyshev functions"
6029:"Chebyshev functions"
5969:. Google Book Search.
5924:Mathematische Annalen
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3753:, except that at its
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6087:Arithmetic functions
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602:Tchebycheff function
596:prime number theorem
563:, are often used in
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