3553:
3004:
3101:
2603:
868:
2999:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)&=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}ds\\&={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.\end{aligned}}}
453:
2236:
863:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}
196:
3692:
3426:
2471:
1484:
2577:
hold infinitely often in any neighbourhood of 0. The graphic to the right indicates that this behaviour is not at first numerically obvious: the oscillations are not clearly seen until the series is summed in excess of 100 million terms, and are only readily visible when
2214:
1608:
3544:
2572:
1849:
83:
3242:
962:
1990:
3809:
2347:
3566:
3253:
323:
1168:
1695:
2369:
1052:
1353:
3556:(Left) The von Mangoldt function, approximated by zeta zero waves.(Right) The Fourier transform of the von Mangoldt function gives a spectrum with imaginary parts of Riemann zeta zeros as spikes.
3700:
The
Fourier transform of the von Mangoldt function gives a spectrum with spikes at ordinates equal to the imaginary parts of the Riemann zeta function zeros. This is sometimes called a duality.
2608:
458:
413:
3080:
2098:
1320:
1240:
1499:
3440:
2493:
3883:
1731:
3903:
3135:
2060:
191:{\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=p^{k}{\text{ for some prime }}p{\text{ and integer }}k\geq 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
2026:
1269:
1081:
3832:
3856:
4322:
3143:
883:
1894:
335:
3714:
3687:{\displaystyle \lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\sum _{0<\gamma \leq T}\cos(\alpha \log t)=-{\frac {\Lambda (t)}{2\pi {\sqrt {t}}}}}
2255:
3421:{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0,\ 0<\Re (\rho )<1}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi )-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
4228:
4179:
4145:
4029:
3966:
Number theory in science and communication. With applications in cryptography, physics, digital information, computing, and self-similarity
215:
1089:
2466:{\displaystyle F(y)=O\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)\quad {\text{and}}\quad F(y)=\Omega _{\pm }\left({\frac {1}{\sqrt {y}}}\right)}
3552:
1701:
1619:
4269:
3977:
433:
973:
1479:{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{\log(n)}}\,{\frac {1}{n^{s}}},\qquad {\text{Re}}(s)>1.}
50:
17:
4339:
4314:
4295:
4137:
352:
4309:
3431:(The sum is not absolutely convergent, so we take the zeros in order of the absolute value of their imaginary part.)
874:
4261:
3560:
Therefore, if we use
Riemann notation α = −i(ρ − 1/2) we have that the sum over nontrivial zeta zeros expressed as
3034:
2477:
3100:
2209:{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-s\int _{1}^{\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1}}}\,dx}
3914:
1603:{\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}}}.}
54:
3247:
If we separate out the trivial zeros of the zeta function, which are the negative even integers, we obtain
1490:
1277:
1197:
426:
3539:{\displaystyle \sum _{0<\gamma \leq T}t^{\rho }={\frac {-T}{2\pi }}\Lambda (t)+{\mathcal {O}}(\log T)}
2567:{\displaystyle F(y)<-{\frac {K}{\sqrt {y}}},\quad {\text{ and }}\quad F(z)>{\frac {K}{\sqrt {z}}}}
2074:
1344:
4304:
4030:"Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes"
2078:
1844:{\displaystyle {\frac {F^{\prime }(s)}{F(s)}}=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)\Lambda (n)}{n^{s}}}}
107:
4216:
2089:
42:
4054:
3861:
4260:. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 46. Translated by C.B. Thomas. Cambridge:
2360:
1885:
1874:
3835:
4265:
4224:
4212:
4175:
4141:
3973:
3888:
3111:
2031:
1996:
58:
2002:
1248:
1060:
4275:
4242:
4193:
4129:
4097:
4044:
3983:
2246:
2085:
1340:
4238:
4189:
4155:
4279:
4246:
4234:
4197:
4185:
4151:
4101:
3987:
3969:
3817:
3237:{\displaystyle \psi (x)=x-\sum _{\zeta (\rho )=0}{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log(2\pi ).}
4167:
4136:, American Mathematical Society Colloquium Publications, vol. 57, Providence, RI:
4125:
4082:
3841:
3104:
The first
Riemann zeta zero wave in the sum that approximates the von Mangoldt function
4333:
4115:
E. Landau, Über die
Nullstellen der Zetafunktion, Math. Annalen 71 (1911 ), 548-564.
1613:
These are special cases of a more general relation on
Dirichlet series. If one has
4208:
4078:
957:{\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\log \left({\frac {n}{d}}\right)}
3549:(We use the notation ρ = β + iγ for the non-trivial zeros of the zeta function.)
4204:
3434:
In the opposite direction, in 1911 E. Landau proved that for any fixed t > 1
2242:
1985:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\ .}
34:
3968:. Springer Series in Information Sciences. Vol. 7 (3rd ed.). Berlin:
3858:
denotes a positive integer, generalize the von
Mangoldt function. The function
2594:
2235:
3804:{\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\log ^{k}(n/d),}
4174:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
2342:{\displaystyle F(y)=\sum _{n=2}^{\infty }\left(\Lambda (n)-1\right)e^{-ny}}
30:
Function on an integer n which is log(p) if n equals p^k and zero otherwise
4049:
1999:
who used it to show that the true order of the prime counting function
419:
53:. It is an example of an important arithmetic function that is neither
46:
318:{\displaystyle 0,\log 2,\log 3,\log 2,\log 5,0,\log 7,\log 2,\log 3,}
24:
2062:. Von Mangoldt provided a rigorous proof of an explicit formula for
1163:{\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}
1339:
The von
Mangoldt function plays an important role in the theory of
3551:
3099:
2234:
3108:
There is an explicit formula for the summatory
Mangoldt function
209:
for the first nine positive integers (i.e. natural numbers) are
1690:{\displaystyle F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}
3028:
is the sum over the zeroes of the
Riemann zeta function, and
1047:{\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}
436:, since the terms that are not powers of primes are equal to
3516:
2803:
2110:
1743:
1511:
330:
184:
2476:
In particular this function is oscillatory with diverging
3017:
are numbers characterizing the Riesz mean. One must take
4258:
Introduction to analytic and probabilistic number theory
2077:. This was an important part of the first proof of the
3891:
3864:
3844:
3820:
3717:
3569:
3443:
3256:
3146:
3114:
3037:
2606:
2496:
2372:
2258:
2101:
2034:
2005:
1897:
1734:
1622:
1502:
1356:
1280:
1251:
1200:
1092:
1063:
976:
886:
456:
355:
218:
86:
967:
and using the product rule for the logarithm we get
4323:
How plot
Riemann zeta zero spectrum in Mathematica?
2088:of the Chebyshev function can be found by applying
408:{\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}
3897:
3877:
3850:
3826:
3803:
3686:
3538:
3420:
3236:
3129:
3074:
2998:
2566:
2465:
2341:
2208:
2073:involving a sum over the non-trivial zeros of the
2054:
2020:
1984:
1843:
1689:
1602:
1478:
1314:
1263:
1234:
1162:
1075:
1046:
956:
862:
407:
317:
190:
4223:(6th ed.). Oxford: Oxford University Press.
346:The von Mangoldt function satisfies the identity
3571:
4296:Some remarks on the Riemann zeta distribution
4028:Hardy, G. H. & Littlewood, J. E. (1916).
3075:{\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}
8:
4009:Hardy & Wright (2008) §17.7, Theorem 294
3085:can be shown to be a convergent series for
4048:
3890:
3869:
3863:
3843:
3819:
3787:
3772:
3744:
3722:
3716:
3674:
3651:
3603:
3589:
3574:
3568:
3515:
3514:
3479:
3470:
3448:
3442:
3403:
3374:
3339:
3333:
3282:
3255:
3199:
3193:
3172:
3145:
3113:
3071:
3062:
3052:
3042:
3036:
2980:
2970:
2960:
2891:
2885:
2860:
2838:
2802:
2795:
2733:
2718:
2704:
2682:
2654:
2639:
2615:
2607:
2605:
2597:of the von Mangoldt function is given by
2552:
2531:
2515:
2495:
2447:
2437:
2412:
2395:
2371:
2327:
2289:
2278:
2257:
2199:
2185:
2165:
2159:
2154:
2109:
2102:
2100:
2038:
2033:
2004:
1952:
1922:
1917:
1896:
1833:
1801:
1795:
1784:
1742:
1735:
1733:
1679:
1659:
1653:
1642:
1621:
1589:
1569:
1563:
1552:
1510:
1503:
1501:
1456:
1444:
1435:
1434:
1399:
1393:
1382:
1355:
1300:
1279:
1250:
1220:
1199:
1109:
1097:
1091:
1062:
999:
975:
940:
906:
885:
695:
649:
465:
457:
455:
378:
354:
217:
176:
150:
142:
136:
121:
102:
85:
4221:An Introduction to the Theory of Numbers
3941:
3939:
3926:
4172:Introduction to analytic number theory
3885:is the ordinary von Mangoldt function
3697:peaks at primes and powers of primes.
69:The von Mangoldt function, denoted by
1173:Also, there exist positive constants
7:
1315:{\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}
1235:{\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}
3741:
3096:Approximation by Riemann zeta zeros
3892:
3866:
3719:
3654:
3584:
3499:
3313:
2926:
2912:
2894:
2768:
2754:
2736:
2728:
2714:
2660:
2434:
2300:
2290:
2160:
1964:
1816:
1796:
1702:completely multiplicative function
1654:
1572:
1564:
1402:
1394:
1112:
977:
887:
683:
662:
638:
623:
608:
593:
571:
556:
541:
526:
511:
496:
477:
440:. For example, consider the case
390:
87:
14:
3704:Generalized von Mangoldt function
434:fundamental theorem of arithmetic
2536:
2530:
2417:
2411:
1714:, and the series converges for
1455:
3964:Schroeder, Manfred R. (1997).
3795:
3781:
3765:
3759:
3734:
3728:
3663:
3657:
3642:
3627:
3578:
3533:
3521:
3508:
3502:
3412:
3390:
3368:
3359:
3322:
3316:
3292:
3286:
3266:
3260:
3228:
3219:
3182:
3176:
3156:
3150:
3124:
3118:
2947:
2929:
2921:
2915:
2909:
2897:
2828:
2822:
2814:
2808:
2789:
2771:
2763:
2757:
2751:
2739:
2669:
2663:
2546:
2540:
2506:
2500:
2427:
2421:
2382:
2376:
2309:
2303:
2268:
2262:
2177:
2171:
2135:
2129:
2121:
2115:
2015:
2009:
1973:
1967:
1907:
1901:
1888:of the von Mangoldt function:
1825:
1819:
1813:
1807:
1768:
1762:
1754:
1748:
1671:
1665:
1632:
1626:
1581:
1575:
1536:
1530:
1522:
1516:
1467:
1461:
1428:
1422:
1411:
1405:
1372:
1366:
1290:
1284:
1210:
1204:
1154:
1148:
1121:
1115:
1035:
1029:
1020:
1014:
986:
980:
927:
921:
896:
890:
850:
844:
825:
807:
776:
770:
758:
752:
740:
734:
677:
665:
632:
626:
617:
611:
602:
596:
580:
574:
565:
559:
550:
544:
535:
529:
520:
514:
505:
499:
486:
480:
399:
393:
368:
362:
328:which is related to (sequence
96:
90:
1:
4138:American Mathematical Society
2487:such that both inequalities
3878:{\displaystyle \Lambda _{1}}
4310:Encyclopedia of Mathematics
1325:for all sufficiently large
23:For other uses of "Λ", see
4356:
4262:Cambridge University Press
418:The sum is taken over all
144: for some prime
22:
15:
4256:Tenebaum, Gérald (1995).
1343:, and in particular, the
432:. This is proved by the
18:de Bruijn–Newman constant
4083:"The Riemann hypothesis"
3898:{\displaystyle \Lambda }
3130:{\displaystyle \psi (x)}
2363:, they demonstrate that
2055:{\displaystyle x/\log x}
16:Not to be confused with
4303:S.A. Stepanov (2001) ,
3915:Prime-counting function
2480:: there exists a value
2021:{\displaystyle \pi (x)}
1347:. For example, one has
1264:{\displaystyle x\geq 1}
1076:{\displaystyle x\geq 1}
152: and integer
3899:
3879:
3852:
3828:
3805:
3688:
3557:
3540:
3422:
3238:
3131:
3105:
3076:
3000:
2568:
2467:
2343:
2294:
2239:
2210:
2056:
2022:
1986:
1845:
1800:
1691:
1658:
1604:
1568:
1491:logarithmic derivative
1480:
1398:
1316:
1265:
1236:
1164:
1077:
1048:
958:
864:
409:
319:
192:
4090:Notices Am. Math. Soc
3945:Tenenbaum (1995) p.30
3900:
3880:
3853:
3829:
3806:
3689:
3555:
3541:
3423:
3239:
3132:
3103:
3077:
3001:
2569:
2468:
2344:
2274:
2238:
2211:
2075:Riemann zeta function
2057:
2023:
1995:It was introduced by
1987:
1846:
1780:
1692:
1638:
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