3160:
2590:
3155:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (p_{k})&\geq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2.050735}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 10^{11},\\\vartheta (p_{k})&\leq k\left(\log k+\log \log k-1+{\frac {\log \log k-2}{\log k}}\right)&&{\text{for }}k\geq 198,\\|\vartheta (x)-x|&\leq 0.006788\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq 10\,544\,111,\\|\psi (x)-x|&\leq 0.006409\,{\frac {x}{\log x}}&&{\text{for }}x\geq e^{22},\\0.9999{\sqrt {x}}&<\psi (x)-\vartheta (x)<1.00007{\sqrt {x}}+1.78{\sqrt{x}}&&{\text{for }}x\geq 121.\end{aligned}}}
2516:
5542:
4019:
2201:
150:
58:
5061:
101:
3349:
3752:
528:
2511:{\displaystyle {\begin{aligned}0\leq \psi (x)-\vartheta (x)&\leq \sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}x^{1/n}\log(x^{1/n})\\&\leq (\log _{2}x){\sqrt {x}}\log {\sqrt {x}}\\&={\frac {\log x}{\log 2}}{\frac {\sqrt {x}}{2}}\log x\\&={\frac {{\sqrt {x}}\,(\log x)^{2}}{2\log 2}}.\end{aligned}}}
4810:
3688:
5206:
1298:
1681:
3175:
3466:
1787:
4184:
4014:{\displaystyle \psi _{0}(x)={\frac {1}{2}}\!\left(\sum _{n\leq x}\Lambda (n)+\sum _{n<x}\Lambda (n)\right)={\begin{cases}\psi (x)-{\tfrac {1}{2}}\Lambda (x)&x=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\\psi (x)&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}
4664:
5441:
2083:
1176:
363:
5531:
2595:
4525:
4799:
5056:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)\int _{n}^{x}{\frac {dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {1}{\log x}}\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\int _{2}^{x}{\frac {\psi (t)\,dt}{t\log ^{2}t}}+{\frac {\psi (x)}{\log x}}.}
1962:
2190:
963:
1387:
5297:
3532:
4429:
5084:
5656:
698:
5718:
1187:
3397:
3180:
2206:
293:
1040:
1563:
4353:
4292:
3344:{\displaystyle {\begin{aligned}|\vartheta (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\\|\psi (x)-x|&=O{\Big (}x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }{\Big )}\end{aligned}}}
1523:
1485:
807:
3392:
1864:
1696:
4067:
2115:
1827:
186:
137:
839:
4556:
88:
5358:
1970:
1555:
752:
316:
523:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{k\in \mathbb {N} }\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\left\lfloor \log _{p}x\right\rfloor \log p,}
2539:
721:
1093:
5452:
5757:
3483:
1406:
1079:
4447:
5758:"An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization"
5809:
5981:
5926:
G .H. Hardy and J. E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the
Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes",
4724:
1879:
2123:
844:
1317:
3683:{\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-{\tfrac {1}{2}}\log(1-x^{-2}).}
5955:
5231:
5201:{\displaystyle \Pi (x)=\pi (x)+{\tfrac {1}{2}}\pi \left({\sqrt {x}}\,\right)+{\tfrac {1}{3}}\pi \left({\sqrt{x}}\,\right)+\cdots }
4372:
3500:
5585:
3504:
1293:{\displaystyle \vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}=0\quad {\text{for}}\quad n>\log _{2}x={\frac {\log x}{\log 2}}.}
607:
6075:
5664:
241:
1676:{\displaystyle 0\leq {\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\leq {\frac {(\log x)^{2}}{2{\sqrt {x}}\log 2}}.}
985:
4307:
4246:
5739:
1490:
1687:
601:
is used when one has several functions to be minimized and one wants to "scalarize" them to a single function:
5071:
4214:
561:
3866:
1452:
4217:
of the zeta function at 1. It being a pole rather than a zero accounts for the opposite sign of the term.
3523:
3461:{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (x)&<1.000028x\\\psi (x)&<1.03883x\end{aligned}}}
1782:{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\!\left({\frac {\psi (x)}{x}}-{\frac {\vartheta (x)}{x}}\right)\!=0.}
1304:
538:
757:
4179:{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-2k}}{-2k}}={\tfrac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right).}
5872:", Rapport de recherche no. 1998-06, Université de Limoges. An abbreviated version appeared as "The
1832:
584:
2091:
1867:
5836:
5312:
5308:
4659:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log \left(x\#\right).}
3743:
3519:
3166:
553:
5436:{\displaystyle \sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}=O\!\left({\sqrt {x}}\,\log ^{2}x\right).}
1795:
156:
107:
2078:{\displaystyle 0\leq \psi (x)-\vartheta (x)=\sum _{2\leq n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n}).}
812:
6014:
5977:
5951:
5946:
5805:
5801:
4029:
968:
319:
64:
27:
5995:
5941:
5768:
4438:
3746:(the prime powers) it takes the value halfway between the values to the left and the right:
1534:
5991:
730:
301:
5999:
5987:
1171:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n=1}^{\infty }\vartheta {\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}.}
6017:
4718:
The
Chebyshev function can be related to the prime-counting function as follows. Define
5969:
4691:
4359:
4234:
4226:
2524:
706:
979:
The second
Chebyshev function can be seen to be related to the first by writing it as
6069:
5832:
4025:
4698:) and together with the prime number theorem establishes the asymptotic behavior of
6032:
5526:{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O\!\left({\sqrt {x}}\,\log x\right).}
724:
557:
323:
18:
This article uses technical mathematical notation for logarithms. All instances of
6059:
5225:, so for the sake of approximation, this last relation can be recast in the form
4434:
351:
199:
5772:
5541:
2549:
The following bounds are known for the
Chebyshev functions: (in these formulas
6051:
6037:
6046:
6022:
5976:, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag,
5316:
4536:
4032:, the last term in the explicit formula can be understood as a summation of
5740:"Multiobjective Optimization Concepts, Algorithms and Performance Measures"
4520:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\log \log \log x\right).}
727:, even in the nonconvex parts. Often the functions to be minimized are not
149:
57:
5911:
Erhard
Schmidt, "Über die Anzahl der Primzahlen unter gegebener Grenze",
1446:
1050:
100:
4794:{\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}
1957:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq \log _{2}x}\vartheta (x^{1/n})}
2185:{\displaystyle \vartheta (x)\leq \sum _{p\leq x}\log x\leq x\log x}
5840:
5540:
1181:
This last sum has only a finite number of non-vanishing terms, as
560:, because it is typically simpler to work with them than with the
148:
99:
56:
958:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}|f_{i}(x)-z_{i}^{*}|.}
1382:{\displaystyle \operatorname {lcm} (1,2,\dots ,n)=e^{\psi (n)}.}
5292:{\displaystyle \pi (x)=\Pi (x)+O\left({\sqrt {x}}\,\right).}
5756:
Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R. (2018).
4424:{\displaystyle \psi (x)-x\neq o\left({\sqrt {x}}\,\right).}
4007:
3487:
1410:
1083:
5835:, "Estimates of some functions over primes without R.H.".
5810:"Approximate formulas for some functions of prime numbers"
3729:
runs over the nontrivial zeros of the zeta function, and
579:
below.) Both
Chebyshev functions are asymptotic to
5767:. Delft University of Technology. Page 6 equation (2).
5651:{\displaystyle \psi _{1}(x)=\int _{0}^{x}\psi (t)\,dt.}
5545:
The difference of the smoothed
Chebyshev function and
5155:
5119:
4127:
3998:
3885:
3635:
1870:
then so does the other, and the two limits are equal.
1303:
The second
Chebyshev function is the logarithm of the
350:
is defined similarly, with the sum extending over all
5667:
5588:
5455:
5361:
5234:
5087:
4813:
4727:
4559:
4535:
The first
Chebyshev function is the logarithm of the
4450:
4375:
4310:
4249:
4070:
3755:
3535:
3395:
3178:
2593:
2527:
2204:
2126:
2094:
1973:
1882:
1835:
1798:
1699:
1566:
1537:
1493:
1455:
1320:
1190:
1096:
988:
847:
815:
760:
733:
709:
693:{\displaystyle f_{Tchb}(x,w)=\max _{i}w_{i}f_{i}(x).}
610:
541:. The Chebyshev functions, especially the second one
366:
304:
244:
159:
110:
67:
5713:{\displaystyle \psi _{1}(x)\sim {\frac {x^{2}}{2}}.}
703:
By minimizing this function for different values of
26:
without a subscript base should be interpreted as a
3481:An explanation of the constant 1.03883 is given at
288:{\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p}
5904:, Vol. 68, No. 225 (1999), pp. 411–415.
5712:
5650:
5525:
5435:
5291:
5200:
5055:
4793:
4658:
4519:
4423:
4347:
4286:
4178:
4013:
3682:
3460:
3343:
3154:
2533:
2510:
2184:
2109:
2077:
1956:
1858:
1821:
1781:
1675:
1549:
1517:
1479:
1381:
1292:
1170:
1034:
957:
833:
801:
746:
715:
692:
522:
310:
287:
180:
131:
82:
5492:
5395:
4229:states that, for some explicit positive constant
3788:
3332:
3302:
3253:
3223:
1772:
1716:
1701:
886:
649:
1035:{\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}
4054:over the trivial zeros of the zeta function,
1218:
1196:
1160:
1138:
8:
5745:. The University of Manchester. p. 34.
4348:{\displaystyle \psi (x)-x>K{\sqrt {x}}.}
4287:{\displaystyle \psi (x)-x<-K{\sqrt {x}}}
967:All three functions are named in honour of
1518:{\displaystyle {\frac {\vartheta (x)}{x}}}
5696:
5690:
5672:
5666:
5638:
5620:
5615:
5593:
5587:
5505:
5498:
5454:
5413:
5408:
5401:
5378:
5372:
5366:
5360:
5280:
5273:
5233:
5186:
5179:
5174:
5154:
5145:
5138:
5118:
5086:
5021:
5003:
4987:
4972:
4966:
4961:
4930:
4908:
4890:
4872:
4866:
4861:
4833:
4812:
4759:
4747:
4726:
4613:
4579:
4558:
4487:
4480:
4449:
4412:
4405:
4374:
4335:
4309:
4277:
4248:
4159:
4126:
4098:
4092:
4086:
4075:
4069:
3997:
3884:
3861:
3829:
3798:
3778:
3760:
3754:
3665:
3634:
3594:
3580:
3574:
3568:
3540:
3534:
3396:
3394:
3331:
3330:
3312:
3311:
3301:
3300:
3285:
3262:
3252:
3251:
3233:
3232:
3222:
3221:
3206:
3183:
3179:
3177:
3134:
3124:
3119:
3106:
3059:
3043:
3028:
3007:
3006:
2991:
2968:
2957:
2953:
2939:
2918:
2917:
2902:
2879:
2858:
2812:
2752:
2729:
2714:
2668:
2608:
2594:
2592:
2541:to obtain the inequality in the theorem.
2526:
2478:
2461:
2454:
2451:
2420:
2394:
2377:
2364:
2349:
2319:
2315:
2292:
2288:
2270:
2253:
2205:
2203:
2146:
2125:
2093:
2059:
2055:
2031:
2014:
1972:
1941:
1937:
1913:
1902:
1881:
1848:
1834:
1811:
1797:
1746:
1722:
1704:
1698:
1651:
1640:
1621:
1597:
1573:
1565:
1536:
1494:
1492:
1456:
1454:
1361:
1319:
1261:
1246:
1230:
1217:
1216:
1205:
1195:
1194:
1189:
1159:
1158:
1147:
1137:
1136:
1127:
1116:
1095:
1087:. A more direct relationship is given by
1008:
987:
947:
941:
936:
914:
905:
899:
889:
852:
846:
825:
820:
814:
794:
788:
783:
770:
761:
759:
738:
732:
708:
672:
662:
652:
615:
609:
599:weighted Tchebycheff scalarizing function
491:
470:
439:
409:
404:
394:
393:
386:
365:
303:
264:
243:
158:
109:
66:
210:) or one of two related functions. The
5727:
4714:Relation to the prime-counting function
5974:Introduction to analytic number theory
5788:Introduction to Analytic Number Theory
576:
1480:{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{x}}}
7:
5733:
5731:
4297:and infinitely many natural numbers
5849:Pierre Dusart, "Sharper bounds for
5250:
5088:
4942:
4845:
4814:
4762:
4728:
4645:
4087:
3896:
3841:
3810:
1711:
1128:
451:
322:, with the sum extending over all
206:is either a scalarising function (
14:
802:{\displaystyle |f_{i}-z_{i}^{*}|}
5765:Expert Systems with Applications
4441:prove the stronger result, that
3501:Hans Carl Friedrich von Mangoldt
583:, a statement equivalent to the
5919:(1903), pp. 195–204.
5078:, is made through the equation
4669:This proves that the primorial
2117:we have the trivial inequality
1859:{\displaystyle \vartheta (x)/x}
1307:of the integers from 1 to
1235:
1229:
723:, one obtains every point on a
329:that are less than or equal to
5934:(1916) pp. 119–196.
5684:
5678:
5635:
5629:
5605:
5599:
5483:
5477:
5465:
5459:
5259:
5253:
5244:
5238:
5112:
5106:
5097:
5091:
5033:
5027:
4984:
4978:
4951:
4945:
4854:
4848:
4823:
4817:
4771:
4765:
4737:
4731:
4569:
4563:
4460:
4454:
4385:
4379:
4320:
4314:
4259:
4253:
3992:
3986:
3905:
3899:
3878:
3872:
3850:
3844:
3819:
3813:
3772:
3766:
3674:
3652:
3625:
3619:
3611:
3605:
3552:
3546:
3438:
3432:
3409:
3403:
3286:
3276:
3270:
3263:
3207:
3197:
3191:
3184:
3097:
3091:
3082:
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1802:
1792:In other words, if one of the
1758:
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163:
120:
114:
77:
71:
1:
6033:"Mangoldt summatory function"
5738:Joshua Knowles (2 May 2014).
4366:, one may write the above as
3518:as a sum over the nontrivial
2110:{\displaystyle \vartheta (x)}
5947:Multiplicative Number Theory
4233:, there are infinitely many
4213:, corresponds to the simple
3364:Upper bounds exist for both
5790:. Springer. pp. 75–76.
5446:By the above, this implies
5352:, and it can be shown that
5311:states that all nontrivial
4676:is asymptotically equal to
4189:Similarly, the first term,
2088:But from the definition of
30:, also commonly written as
6092:
6060:Riemann's Explicit Formula
5950:. Springer. p. 104.
5902:Mathematics of Computation
5773:10.1016/j.eswa.2017.09.051
5315:of the zeta function have
1822:{\displaystyle \psi (x)/x}
1449:relates the two quotients
595:Chebyshev utility function
181:{\displaystyle \psi (x)-x}
132:{\displaystyle \psi (x)-x}
5878:th prime is greater than
1400:for the integer variable
834:{\displaystyle z_{i}^{*}}
338:second Chebyshev function
6062:, with images and movies
5786:Apostol, Tom M. (2010).
3693:(The numerical value of
212:first Chebyshev function
83:{\displaystyle \psi (x)}
5072:prime-counting function
3165:Furthermore, under the
562:prime-counting function
61:The Chebyshev function
5714:
5652:
5572:
5527:
5437:
5303:The Riemann hypothesis
5293:
5202:
5057:
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4660:
4531:Relation to primorials
4521:
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3684:
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3345:
3156:
2545:Asymptotics and bounds
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1551:
1550:{\displaystyle x>0}
1519:
1481:
1418:Relationships between
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1172:
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803:
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312:
289:
195:
182:
146:
133:
97:
84:
6047:"Chebyshev functions"
6018:"Chebyshev functions"
5958:. Google Book Search.
5913:Mathematische Annalen
5715:
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5528:
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3742:, except that at its
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3524:Riemann zeta function
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1305:least common multiple
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539:von Mangoldt function
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311:{\displaystyle \log }
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60:
6076:Arithmetic functions
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5066:The transition from
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608:
591:Tchebycheff function
585:prime number theorem
552:, are often used in
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208:Tchebycheff function
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354:not exceeding
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2521:Lastly, divide by
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4340:
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4135:
4121:
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1213:
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969:Pafnuty Chebyshev
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809:for some scalars
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577:the exact formula
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