1553:
5654:
911:
4967:
1294:
6684:
2692:
5321:
2438:
5184:
5524:
6265:
6035:
3541:
4118:
4420:
3771:
3643:
3036:
751:
1548:{\displaystyle f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{2k}}\epsilon _{\sigma }f(\Omega (v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,\Omega (v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))}
6471:
4821:
2505:
3966:
5445:
3283:
736:
5797:
3849:
566:
5066:
6360:
5883:
3911:
3449:
3393:
3211:
3160:
6149:
4268:
4519:
2942:
2553:
2815:
1726:
419:
6722:
1239:
2854:
2545:
1889:
2898:
6066:
5705:
2250:
1100:
3071:
1654:
966:
2756:
1989:
1596:
2219:
2132:
1046:
655:
311:
4176:
3994:
1194:
1161:
455:
222:
135:
5192:
3109:
2068:
5649:{\displaystyle \operatorname {ch} (E\oplus F)=\operatorname {ch} (E)+\operatorname {ch} (F),\,\operatorname {ch} (E\otimes F)=\operatorname {ch} (E)\operatorname {ch} (F).}
5827:
491:
350:
267:
244:
194:
172:
4762:
3571:
4645:
2097:
2026:
1926:
1849:
1816:
1755:
1275:
6809:. (The appendix of this book, "Geometry of Characteristic Classes," is a very neat and profound introduction to the development of the ideas of characteristic classes.)
6572:
6157:
1949:
6305:
5512:
5492:
5468:
4809:
4704:
4668:
1787:
1616:
6104:
2166:
996:
4789:
4735:
4549:
4298:
4152:
3337:
3310:
2722:
2242:
613:
6977:
5089:
5919:
6534:
4010:
4315:
3654:
3452:
3461:
906:{\displaystyle H^{k}(BG;\mathbb {C} )=\varinjlim \operatorname {ker} (d\colon \Omega ^{k}(B_{j}G)\to \Omega ^{k+1}(B_{j}G))/\operatorname {im} d.}
4962:{\textstyle \det(I-t{\frac {\Omega }{2\pi i}})=\det(I-t{\frac {\Omega _{1}}{2\pi i}})\wedge \dots \wedge \det(I-t{\frac {\Omega _{m}}{2\pi i}})}
3576:
353:
6368:
91:
6859:
2950:
2446:
3916:
1758:
5340:
3216:
6806:
6795:
663:
6787:
5717:
7038:
6893:
3782:
499:
4977:
7033:
6318:
5836:
3869:
580:. This homomorphism is obtained by taking invariant polynomials in the curvature of any connection on the given bundle. If
6503:
2687:{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )({\overline {v_{1}}},\dots ,{\overline {v_{2k}}})=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),}
1051:
6501:
The argument for the independent of a choice of connection here is taken from: Akhil Mathew, Notes on
Kodaira vanishing
6109:
4204:
3398:
3342:
1996:
1242:
197:
4436:
2907:
3165:
3114:
2761:
1674:
367:
6312:
6280:
3997:
1657:
1205:
59:
2823:
2514:
2433:{\displaystyle f(\Omega )(dR_{g}(v_{1}),\dots ,dR_{g}(v_{2k}))=f(\Omega )(v_{1},\dots ,v_{2k}),\,R_{g}(u)=ug;}
1858:
6885:
2863:
6743:
5076:
6689:
6043:
5666:
1057:
3048:
1625:
919:
2727:
1962:
1574:
6822:
6069:
2171:
79:
5316:{\displaystyle c_{1}(E\otimes E')=c_{1}(E)\operatorname {rank} (E')+\operatorname {rank} (E)c_{1}(E').}
4555:
given above satisfy the axioms of Chern classes. For example, for the
Whitney sum formula, we consider
2105:
1022:
618:
274:
4157:
3975:
3855:
1175:
1109:
436:
203:
116:
95:
3076:
2035:
6851:
6817:
314:
5805:
474:
320:
250:
227:
177:
142:
7012:
6986:
6972:
6920:
6839:
6679:{\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}(s\otimes s')=\nabla ^{E}s\otimes s'+s\otimes \nabla ^{E'}s'}
6311:, with respect to some hermitian metric, is not just a 2-form, but is in fact a (1, 1)-form (see
6260:{\displaystyle \operatorname {det} \left(I-t{x \over 2\pi }\right)=\sum _{k=0}^{n}g_{k}(x)t^{k}.}
4740:
3549:
1766:
577:
75:
67:
4561:
2073:
2002:
1902:
1825:
1792:
1731:
1251:
6802:
6791:
6528:
6076:. Equivalently, it is the image under the Chern–Weil homomorphism of the invariant polynomial
5515:
4423:
1934:
585:
83:
6290:
5497:
5477:
5453:
4794:
4689:
4653:
1772:
1601:
6996:
6910:
6902:
6877:
6831:
6752:
6079:
5906:
2141:
971:
461:
48:
7008:
6953:
6932:
6869:
4767:
4713:
4527:
4276:
4130:
3315:
3288:
2700:
2224:
7004:
6949:
6928:
6865:
5327:
1007:
52:
5179:{\displaystyle \Omega _{E\otimes E'}=\Omega _{E}\otimes I_{E'}+I_{E}\otimes \Omega _{E'}}
6030:{\displaystyle p_{k}(E)=(-1)^{k}c_{2k}(E\otimes \mathbb {C} )\in H^{4k}(M;\mathbb {Z} )}
595:
6855:
4671:
1015:
6741:(1973), "On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups",
7027:
6757:
87:
44:
7016:
7000:
4113:{\displaystyle \det \left(I-t{x \over 2\pi i}\right)=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)t^{k},}
6510:
17:
6813:
6779:
6766:
6557:
6548:
Editorial note: This definition is consistent with the reference except we have
5080:
5072:
4415:{\displaystyle \det \left(I-{x \over 2\pi i}\right)=1+f_{1}(x)+\cdots +f_{n}(x)}
4183:
3766:{\displaystyle \mathbb {C} _{k}^{G}\to H^{2k}(M;\mathbb {C} ),\,f\mapsto \left.}
110:
28:
3536:{\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')={\overline {f}}(\Omega _{0})}
6915:
6881:
6738:
2168:
onto the horizontal subspace. Then Lemma 2 is a consequence of the fact that
6968:
5075:. For the normalization property, one computes the first Chern class of the
106:
63:
6313:
holomorphic vector bundle#Hermitian metrics on a holomorphic vector bundle
3638:{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega _{0}),{\overline {f}}(\Omega _{1})}
1661:
40:
6924:
6843:
6539:. Kobayashi-Nomizu, the main reference, gives a more concrete argument.
6466:{\displaystyle \mathbb {C} _{k}\to H^{k,k}(M;\mathbb {C} ),f\mapsto .}
4682:(so it is the descendent of the curvature form on the frame bundle of
5081:
Chern class#Example: the complex tangent bundle of the
Riemann sphere
6906:
6835:
5071:
where on the right the multiplication is that of a cohomology ring:
3031:{\displaystyle \omega '=t\,p^{*}\omega _{1}+(1-t)\,p^{*}\omega _{0}}
2500:{\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} _{g^{-1}}\Omega }
6864:, vol. 2 (new ed.), Wiley-Interscience (published 2004),
584:
is either compact or semi-simple, then the cohomology ring of the
6991:
6556:
there. Our choice seems more standard and is consistent with our "
3961:{\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )}
5440:{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=\in H^{*}(M,\mathbb {Q} )}
3278:{\displaystyle i_{s}:M\to M\times \mathbb {R} ,\,x\mapsto (x,s)}
2244:
is precisely the vertical subspace.) As for Lemma 1, first note
6315:). Hence, the Chern–Weil homomorphism assumes the form: with
731:{\displaystyle H^{*}(BG;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{G}.}
6940:
4686:). The Chern–Weil homomorphism is the same if one uses this
6773:, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes
5792:{\displaystyle c_{t}(E)=\prod _{j=0}^{n}(1+\lambda _{j}t)}
3648:
The construction thus gives the linear map: (cf. Lemma 1)
3455:. Finally, by naturality and by uniqueness of descending,
74:. That is, the theory forms a bridge between the areas of
6975:(2013). "Chern-Weil forms and abstract homotopy theory".
6820:(1974), "Characteristic forms and geometric invariants",
3844:{\displaystyle \mathbb {C} ^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}
561:{\displaystyle \mathbb {C} ^{G}\to H^{*}(M;\mathbb {C} )}
5061:{\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E_{1})\cdots c_{t}(E_{m})}
360:; that is, the subalgebra consisting of all polynomials
6355:{\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
5878:{\displaystyle \operatorname {ch} (E)=e^{\lambda _{j}}}
3906:{\displaystyle G=\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}
4824:
1208:
6692:
6575:
6371:
6321:
6293:
6160:
6112:
6082:
6046:
5922:
5839:
5808:
5720:
5669:
5527:
5500:
5480:
5456:
5343:
5195:
5092:
4980:
4797:
4770:
4743:
4716:
4692:
4656:
4564:
4530:
4439:
4318:
4279:
4207:
4160:
4133:
4013:
3978:
3919:
3872:
3785:
3657:
3579:
3552:
3464:
3401:
3345:
3318:
3291:
3219:
3168:
3117:
3079:
3051:
2953:
2910:
2866:
2826:
2764:
2730:
2703:
2556:
2517:
2449:
2253:
2227:
2174:
2144:
2108:
2076:
2038:
2005:
1965:
1937:
1905:
1861:
1828:
1795:
1775:
1734:
1677:
1628:
1604:
1577:
1297:
1254:
1178:
1112:
1060:
1025:
974:
922:
754:
666:
621:
598:
502:
477:
439:
370:
323:
277:
253:
230:
206:
180:
145:
119:
94:. This theory was an important step in the theory of
1102:
is a homogeneous polynomial function of degree
4178:, since the left-hand side of the equation is. The
3776:In fact, one can check that the map thus obtained:
3451:belong to the same de Rham cohomology class by the
2820:Next, we show that the de Rham cohomology class of
1818:is a closed form follows from the next two lemmas:
6716:
6678:
6465:
6354:
6299:
6259:
6144:{\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}
6143:
6098:
6060:
6029:
5877:
5821:
5791:
5707:, there is the factorization of the polynomial in
5699:
5648:
5506:
5486:
5462:
5439:
5315:
5178:
5060:
4961:
4803:
4783:
4756:
4729:
4698:
4662:
4639:
4543:
4513:
4414:
4292:
4263:{\displaystyle c_{k}(E)\in H^{2k}(M,\mathbb {Z} )}
4262:
4170:
4146:
4112:
3988:
3960:
3905:
3843:
3765:
3637:
3565:
3535:
3444:{\displaystyle i_{1}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}
3443:
3388:{\displaystyle i_{0}^{*}{\overline {f}}(\Omega ')}
3387:
3331:
3304:
3277:
3205:
3154:
3103:
3065:
3030:
2936:
2892:
2848:
2809:
2750:
2716:
2686:
2539:
2499:
2432:
2236:
2213:
2160:
2126:
2091:
2062:
2020:
1983:
1943:
1920:
1883:
1843:
1810:
1781:
1749:
1720:
1648:
1610:
1590:
1547:
1269:
1233:
1188:
1155:
1094:
1040:
990:
960:
905:
730:
649:
607:
560:
485:
449:
413:
344:
305:
261:
238:
216:
188:
166:
129:
4514:{\displaystyle c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E).}
2937:{\displaystyle p\colon P\times \mathbb {R} \to P}
4916:
4864:
4825:
4590:
4524:Directly from the definition, one can show that
4319:
4014:
3206:{\displaystyle \omega ',\omega _{0},\omega _{1}}
3155:{\displaystyle \Omega ',\Omega _{0},\Omega _{1}}
2810:{\displaystyle d\pi (v_{i})={\overline {v}}_{i}}
1721:{\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}
414:{\displaystyle f(\operatorname {Ad} _{g}x)=f(x)}
6489:
6271:The homomorphism for holomorphic vector bundles
5833:(they are sometimes called Chern roots.) Then
2860:is independent of a choice of connection. Let
6978:Bulletin of the American Mathematical Society
5897:is a smooth real vector bundle on a manifold
4300:under the Chern–Weil homomorphism defined by
8:
5470:is the curvature form of some connection on
224:(exactly the same argument works if we used
6784:Complex Manifolds Without Potential Theory
4430:is the image of this polynomial; that is,
3862:Example: Chern classes and Chern character
1234:{\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}}
6990:
6914:
6756:
6697:
6691:
6657:
6624:
6580:
6574:
6426:
6425:
6404:
6391:
6381:
6380:
6373:
6372:
6370:
6345:
6344:
6332:
6320:
6292:
6248:
6229:
6219:
6208:
6181:
6159:
6134:
6133:
6124:
6115:
6114:
6111:
6087:
6081:
6054:
6053:
6045:
6020:
6019:
6001:
5987:
5986:
5968:
5958:
5927:
5921:
5867:
5862:
5838:
5813:
5807:
5777:
5758:
5747:
5725:
5719:
5690:
5689:
5674:
5668:
5588:
5526:
5499:
5479:
5455:
5430:
5429:
5414:
5385:
5378:
5342:
5290:
5233:
5200:
5194:
5165:
5152:
5134:
5121:
5097:
5091:
5049:
5036:
5020:
5007:
4985:
4979:
4937:
4931:
4885:
4879:
4840:
4823:
4796:
4775:
4769:
4748:
4742:
4721:
4715:
4691:
4655:
4611:
4607:
4569:
4563:
4535:
4529:
4493:
4465:
4438:
4397:
4369:
4333:
4317:
4284:
4278:
4253:
4252:
4234:
4212:
4206:
4162:
4161:
4159:
4138:
4132:
4101:
4082:
4072:
4061:
4031:
4012:
3980:
3979:
3977:
3951:
3950:
3941:
3932:
3931:
3921:
3920:
3918:
3896:
3895:
3883:
3871:
3834:
3833:
3818:
3805:
3795:
3794:
3787:
3786:
3784:
3736:
3724:
3714:
3713:
3695:
3682:
3677:
3667:
3666:
3659:
3658:
3656:
3626:
3609:
3597:
3580:
3578:
3557:
3551:
3524:
3507:
3480:
3474:
3469:
3463:
3453:homotopy invariance of de Rham cohomology
3417:
3411:
3406:
3400:
3361:
3355:
3350:
3344:
3323:
3317:
3296:
3290:
3253:
3246:
3245:
3224:
3218:
3197:
3184:
3167:
3146:
3133:
3116:
3078:
3059:
3058:
3050:
3022:
3012:
3007:
2983:
2973:
2968:
2952:
2924:
2923:
2909:
2884:
2871:
2865:
2827:
2825:
2801:
2791:
2778:
2763:
2737:
2731:
2729:
2708:
2702:
2669:
2650:
2611:
2605:
2585:
2579:
2557:
2555:
2518:
2516:
2480:
2475:
2459:
2454:
2448:
2403:
2398:
2383:
2364:
2327:
2314:
2289:
2276:
2252:
2226:
2173:
2149:
2143:
2107:
2075:
2037:
2004:
1964:
1936:
1904:
1862:
1860:
1827:
1794:
1774:
1733:
1688:
1676:
1637:
1631:
1630:
1627:
1603:
1582:
1576:
1521:
1490:
1453:
1431:
1409:
1394:
1388:
1387:
1379:
1351:
1336:
1317:
1296:
1253:
1225:
1224:
1218:
1213:
1207:
1202:as a symmetric multilinear functional on
1180:
1179:
1177:
1135:
1111:
1086:
1076:
1075:
1068:
1067:
1059:
1024:
979:
973:
949:
932:
921:
886:
871:
852:
833:
820:
788:
778:
777:
759:
753:
745:can still be given in the de Rham sense:
719:
709:
708:
701:
700:
690:
689:
671:
665:
641:
631:
630:
623:
622:
620:
597:
551:
550:
535:
522:
512:
511:
504:
503:
501:
479:
478:
476:
471:, there is an associated homomorphism of
441:
440:
438:
381:
369:
333:
332:
325:
324:
322:
297:
287:
286:
279:
278:
276:
255:
254:
252:
232:
231:
229:
208:
207:
205:
182:
181:
179:
155:
154:
147:
146:
144:
121:
120:
118:
2849:{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}
2540:{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}
1884:{\displaystyle {\overline {f}}(\Omega )}
82:. It was developed in the late 1940s by
6942:Translations of Mathematical Monographs
6482:
4304:(or more precisely the frame bundle of
2893:{\displaystyle \omega _{0},\omega _{1}}
6533:: CS1 maint: archived copy as title (
6526:
6717:{\displaystyle \nabla ^{E\otimes E'}}
6061:{\displaystyle E\otimes \mathbb {C} }
5700:{\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {C} )}
3645:belong to the same cohomology class.
2099:satisfies the hypothesis of Lemma 2.
1095:{\displaystyle f\in \mathbb {C} ^{G}}
7:
6886:"Existence of universal connections"
6861:Foundations of Differential Geometry
5494:is nilpotent, it is a polynomial in
3066:{\displaystyle P\times \mathbb {R} }
1769:class of the form is independent of
1649:{\displaystyle {\mathfrak {S}}_{2k}}
961:{\displaystyle BG=\varinjlim B_{j}G}
6382:
6281:holomorphic (complex-)vector bundle
6119:
6116:
4811:is the block diagonal matrix with Ω
4163:
3981:
3936:
3933:
3922:
3796:
3668:
2751:{\displaystyle {\overline {v_{i}}}}
2511:is invariant. Thus, one can define
1984:{\displaystyle d\varphi =D\varphi }
1658:Lie algebra-valued forms#Operations
1632:
1591:{\displaystyle \epsilon _{\sigma }}
1389:
1226:
1181:
1077:
710:
632:
576:, where on the right cohomology is
513:
442:
334:
288:
209:
156:
122:
6694:
6654:
6621:
6577:
6451:
6294:
5501:
5481:
5457:
5382:
5162:
5118:
5094:
4934:
4882:
4842:
4798:
4745:
4710:is a direct sum of vector bundles
4693:
4657:
4608:
4186:of a smooth complex-vector bundle
3749:
3623:
3594:
3554:
3521:
3494:
3431:
3375:
3143:
3130:
3119:
2840:
2637:
2570:
2531:
2494:
2465:
2351:
2260:
2214:{\displaystyle d\pi (hv)=d\pi (v)}
2083:
2048:
2009:
1912:
1875:
1835:
1802:
1761:, it descends to a unique form on
1741:
1480:
1421:
1304:
1261:
1026:
849:
817:
25:
2900:be arbitrary connection forms on
2127:{\displaystyle \pi \colon P\to M}
4817:'s on the diagonal. Then, since
4422:is an invariant polynomial. The
1041:{\displaystyle \Omega =D\omega }
650:{\displaystyle \mathbb {C} ^{G}}
306:{\displaystyle \mathbb {C} ^{G}}
92:generalized Gauss–Bonnet theorem
7001:10.1090/S0273-0979-2013-01415-0
6894:American Journal of Mathematics
6771:Topics in Differential Geometry
5663:containing the cohomology ring
4171:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
4127:is the square root of -1. Then
3989:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1598:is the sign of the permutation
1189:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1156:{\displaystyle f(ax)=a^{k}f(x)}
615:, is isomorphic to the algebra
450:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
217:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
130:{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
90:, in the wake of proofs of the
6614:
6597:
6457:
6454:
6448:
6442:
6439:
6430:
6416:
6397:
6388:
6377:
6349:
6341:
6241:
6235:
6138:
6130:
6024:
6010:
5991:
5977:
5955:
5945:
5939:
5933:
5852:
5846:
5786:
5764:
5737:
5731:
5694:
5680:
5640:
5634:
5625:
5619:
5607:
5595:
5582:
5576:
5564:
5558:
5546:
5534:
5434:
5420:
5404:
5401:
5371:
5362:
5356:
5350:
5307:
5296:
5283:
5277:
5265:
5254:
5245:
5239:
5223:
5206:
5055:
5042:
5026:
5013:
4997:
4991:
4956:
4919:
4904:
4867:
4858:
4828:
4631:
4587:
4581:
4575:
4505:
4499:
4477:
4471:
4449:
4443:
4409:
4403:
4381:
4375:
4257:
4243:
4224:
4218:
4094:
4088:
3955:
3947:
3900:
3892:
3838:
3824:
3811:
3802:
3791:
3752:
3746:
3728:
3718:
3704:
3688:
3674:
3663:
3632:
3619:
3603:
3590:
3530:
3517:
3501:
3490:
3438:
3427:
3382:
3371:
3272:
3260:
3257:
3236:
3104:{\displaystyle (x,s)\mapsto s}
3095:
3092:
3080:
3004:
2992:
2928:
2843:
2837:
2784:
2771:
2678:
2643:
2640:
2634:
2625:
2576:
2573:
2567:
2534:
2528:
2415:
2409:
2392:
2357:
2354:
2348:
2339:
2336:
2320:
2295:
2282:
2266:
2263:
2257:
2208:
2202:
2190:
2181:
2118:
2086:
2080:
2063:{\displaystyle Df(\Omega )=0.}
2051:
2045:
1915:
1909:
1878:
1872:
1838:
1832:
1805:
1799:
1744:
1738:
1715:
1709:
1700:
1681:
1542:
1539:
1534:
1525:
1509:
1494:
1483:
1468:
1463:
1457:
1441:
1435:
1424:
1418:
1366:
1357:
1345:
1310:
1307:
1301:
1264:
1258:
1150:
1144:
1125:
1116:
1083:
1072:
1014:, and let Ω be the associated
1002:Definition of the homomorphism
883:
880:
864:
845:
842:
826:
807:
782:
765:
716:
705:
694:
677:
638:
627:
555:
541:
528:
519:
508:
408:
402:
393:
374:
339:
329:
294:
283:
161:
151:
1:
4791:so that, in the matrix term,
4154:are invariant polynomials on
1052:exterior covariant derivative
6758:10.1016/0001-8708(73)90012-1
6686:. Now compute the square of
5822:{\displaystyle \lambda _{j}}
3741:
3614:
3585:
3512:
3485:
3422:
3366:
2832:
2796:
2743:
2620:
2591:
2562:
2523:
1867:
1855:descends to a (unique) form
1243:ring of polynomial functions
486:{\displaystyle \mathbb {C} }
345:{\displaystyle \mathbb {C} }
262:{\displaystyle \mathbb {C} }
239:{\displaystyle \mathbb {R} }
189:{\displaystyle \mathbb {C} }
167:{\displaystyle \mathbb {C} }
66:representing classes in the
6490:Kobayashi & Nomizu 1969
5889:Example: Pontrjagin classes
4757:{\displaystyle \Omega _{i}}
3566:{\displaystyle \Omega _{1}}
1895:; i.e., there is a form on
1618:in the symmetric group on 2
35:is a basic construction in
7055:
5659:Now suppose, in some ring
4640:{\displaystyle c_{t}(E)=,}
3968:its Lie algebra. For each
3162:be the curvature forms of
2092:{\displaystyle f(\Omega )}
2021:{\displaystyle D\Omega =0}
1921:{\displaystyle f(\Omega )}
1844:{\displaystyle f(\Omega )}
1811:{\displaystyle f(\Omega )}
1750:{\displaystyle f(\Omega )}
1270:{\displaystyle f(\Omega )}
657:of invariant polynomials:
315:subalgebra of fixed points
4273:is given as the image of
3998:characteristic polynomial
1997:Bianchi's second identity
1728:, then one can show that
3285:be the inclusions. Then
3045:is a smooth function on
2032:is a graded derivation,
1944:{\displaystyle \varphi }
1280:be the (scalar-valued) 2
741:(The cohomology ring of
6744:Advances in Mathematics
6300:{\displaystyle \Omega }
5507:{\displaystyle \Omega }
5487:{\displaystyle \Omega }
5463:{\displaystyle \Omega }
5077:complex projective line
4804:{\displaystyle \Omega }
4699:{\displaystyle \Omega }
4663:{\displaystyle \Omega }
2944:be the projection. Put
1782:{\displaystyle \omega }
1611:{\displaystyle \sigma }
1567:are tangent vectors to
1163:for any complex number
574:Chern–Weil homomorphism
33:Chern–Weil homomorphism
7039:Characteristic classes
6718:
6680:
6569:Proof: By definition,
6467:
6356:
6301:
6283:on a complex manifold
6261:
6224:
6145:
6100:
6099:{\displaystyle g_{2k}}
6062:
6031:
5879:
5823:
5793:
5763:
5701:
5650:
5508:
5488:
5464:
5441:
5317:
5180:
5062:
4963:
4805:
4785:
4764:the curvature form of
4758:
4731:
4700:
4664:
4641:
4545:
4515:
4416:
4294:
4264:
4172:
4148:
4114:
4077:
3996:, we can consider its
3990:
3962:
3907:
3845:
3767:
3639:
3567:
3537:
3445:
3389:
3333:
3306:
3279:
3207:
3156:
3105:
3067:
3032:
2938:
2894:
2850:
2811:
2752:
2718:
2688:
2541:
2501:
2434:
2238:
2215:
2162:
2161:{\displaystyle T_{u}P}
2134:be the projection and
2128:
2093:
2070:Finally, Lemma 1 says
2064:
2022:
1985:
1955:descends to a form on
1945:
1931:Lemma 2: If a form of
1922:
1885:
1845:
1812:
1783:
1751:
1722:
1650:
1612:
1592:
1549:
1271:
1235:
1223:
1190:
1157:
1096:
1042:
992:
991:{\displaystyle B_{j}G}
962:
907:
732:
651:
609:
562:
487:
451:
415:
346:
307:
263:
240:
218:
190:
174:denote the algebra of
168:
131:
96:characteristic classes
7034:Differential geometry
6823:Annals of Mathematics
6724:using Leibniz's rule.
6719:
6681:
6468:
6357:
6302:
6287:. The curvature form
6262:
6204:
6146:
6101:
6063:
6032:
5880:
5824:
5794:
5743:
5702:
5651:
5509:
5489:
5465:
5442:
5318:
5181:
5063:
4964:
4806:
4786:
4784:{\displaystyle E_{i}}
4759:
4732:
4730:{\displaystyle E_{i}}
4701:
4678:of the vector bundle
4665:
4642:
4546:
4544:{\displaystyle c_{j}}
4516:
4417:
4295:
4293:{\displaystyle f_{k}}
4265:
4173:
4149:
4147:{\displaystyle f_{k}}
4115:
4057:
3991:
3963:
3908:
3846:
3768:
3640:
3568:
3538:
3446:
3390:
3334:
3332:{\displaystyle i_{1}}
3307:
3305:{\displaystyle i_{0}}
3280:
3208:
3157:
3106:
3068:
3033:
2939:
2895:
2851:
2812:
2753:
2719:
2717:{\displaystyle v_{i}}
2689:
2542:
2502:
2435:
2239:
2237:{\displaystyle d\pi }
2216:
2163:
2138:be the projection of
2129:
2094:
2065:
2023:
1986:
1946:
1923:
1886:
1846:
1813:
1784:
1752:
1723:
1651:
1613:
1593:
1550:
1272:
1236:
1209:
1191:
1158:
1097:
1043:
993:
963:
908:
733:
652:
610:
563:
488:
452:
416:
347:
308:
264:
241:
219:
191:
169:
132:
105:be a real or complex
80:differential geometry
6852:Kobayashi, Shoshichi
6690:
6573:
6369:
6319:
6291:
6158:
6110:
6080:
6044:
5920:
5837:
5806:
5718:
5667:
5525:
5498:
5478:
5454:
5341:
5193:
5090:
4978:
4822:
4795:
4768:
4741:
4714:
4690:
4654:
4562:
4528:
4437:
4316:
4277:
4205:
4158:
4131:
4011:
3976:
3917:
3870:
3856:algebra homomorphism
3783:
3655:
3577:
3550:
3462:
3399:
3343:
3316:
3289:
3217:
3166:
3115:
3077:
3049:
2951:
2908:
2864:
2824:
2762:
2728:
2701:
2554:
2515:
2447:
2251:
2225:
2172:
2142:
2106:
2102:To see Lemma 2, let
2074:
2036:
2003:
1963:
1935:
1903:
1859:
1826:
1793:
1773:
1732:
1675:
1671:is invariant; i.e.,
1626:
1602:
1575:
1295:
1252:
1206:
1176:
1110:
1058:
1023:
972:
920:
752:
664:
619:
596:
500:
475:
437:
368:
321:
275:
251:
228:
204:
178:
143:
117:
6973:Hopkins, Michael J.
3687:
3479:
3416:
3360:
2464:
1899:that pulls-back to
6916:10338.dmlcz/700905
6814:Chern, Shiing-Shen
6780:Chern, Shiing-Shen
6767:Chern, Shiing-Shen
6714:
6676:
6463:
6352:
6297:
6257:
6141:
6096:
6058:
6027:
5875:
5819:
5789:
5697:
5646:
5504:
5484:
5460:
5437:
5313:
5176:
5058:
4959:
4801:
4781:
4754:
4727:
4696:
4660:
4637:
4541:
4511:
4412:
4290:
4260:
4168:
4144:
4110:
3986:
3958:
3903:
3841:
3763:
3673:
3635:
3563:
3533:
3465:
3441:
3402:
3385:
3346:
3329:
3302:
3275:
3203:
3152:
3101:
3063:
3028:
2934:
2890:
2846:
2807:
2748:
2714:
2684:
2537:
2497:
2450:
2430:
2234:
2211:
2158:
2124:
2089:
2060:
2018:
1981:
1941:
1918:
1881:
1841:
1822:Lemma 1: The form
1808:
1779:
1767:de Rham cohomology
1747:
1718:
1646:
1608:
1588:
1545:
1404:
1267:
1231:
1186:
1153:
1092:
1038:
988:
958:
940:
903:
796:
728:
647:
608:{\displaystyle BG}
605:
578:de Rham cohomology
558:
483:
462:principal G-bundle
447:
411:
342:
303:
259:
236:
214:
186:
164:
127:
76:algebraic topology
68:de Rham cohomology
6878:Narasimhan, M. S.
6826:, Second Series,
6194:
5516:ring homomorphism
4954:
4902:
4856:
4424:total Chern class
4349:
4047:
3744:
3617:
3588:
3546:and the same for
3515:
3488:
3425:
3369:
2835:
2799:
2746:
2724:are any lifts of
2623:
2594:
2565:
2526:
2443:which is because
1870:
1375:
1373:
933:
789:
586:classifying space
84:Shiing-Shen Chern
49:principal bundles
37:Chern–Weil theory
18:Chern–Weil theory
16:(Redirected from
7046:
7020:
6994:
6969:Freed, Daniel S.
6956:
6935:
6918:
6890:
6872:
6846:
6800:
6774:
6761:
6760:
6725:
6723:
6721:
6720:
6715:
6713:
6712:
6711:
6685:
6683:
6682:
6677:
6675:
6667:
6666:
6665:
6643:
6629:
6628:
6613:
6596:
6595:
6594:
6567:
6561:
6546:
6540:
6538:
6532:
6524:
6522:
6521:
6515:
6509:. Archived from
6508:
6499:
6493:
6487:
6472:
6470:
6469:
6464:
6429:
6415:
6414:
6396:
6395:
6386:
6385:
6376:
6361:
6359:
6358:
6353:
6348:
6337:
6336:
6306:
6304:
6303:
6298:
6266:
6264:
6263:
6258:
6253:
6252:
6234:
6233:
6223:
6218:
6200:
6196:
6195:
6193:
6182:
6150:
6148:
6147:
6142:
6137:
6129:
6128:
6123:
6122:
6105:
6103:
6102:
6097:
6095:
6094:
6070:complexification
6067:
6065:
6064:
6059:
6057:
6036:
6034:
6033:
6028:
6023:
6009:
6008:
5990:
5976:
5975:
5963:
5962:
5932:
5931:
5907:Pontrjagin class
5884:
5882:
5881:
5876:
5874:
5873:
5872:
5871:
5828:
5826:
5825:
5820:
5818:
5817:
5798:
5796:
5795:
5790:
5782:
5781:
5762:
5757:
5730:
5729:
5706:
5704:
5703:
5698:
5693:
5679:
5678:
5655:
5653:
5652:
5647:
5514:.) Then ch is a
5513:
5511:
5510:
5505:
5493:
5491:
5490:
5485:
5469:
5467:
5466:
5461:
5446:
5444:
5443:
5438:
5433:
5419:
5418:
5400:
5399:
5389:
5322:
5320:
5319:
5314:
5306:
5295:
5294:
5264:
5238:
5237:
5222:
5205:
5204:
5186:, we also have:
5185:
5183:
5182:
5177:
5175:
5174:
5173:
5157:
5156:
5144:
5143:
5142:
5126:
5125:
5113:
5112:
5111:
5067:
5065:
5064:
5059:
5054:
5053:
5041:
5040:
5025:
5024:
5012:
5011:
4990:
4989:
4970:
4968:
4966:
4965:
4960:
4955:
4953:
4942:
4941:
4932:
4903:
4901:
4890:
4889:
4880:
4857:
4855:
4841:
4810:
4808:
4807:
4802:
4790:
4788:
4787:
4782:
4780:
4779:
4763:
4761:
4760:
4755:
4753:
4752:
4736:
4734:
4733:
4728:
4726:
4725:
4705:
4703:
4702:
4697:
4672:curvature 2-form
4669:
4667:
4666:
4661:
4646:
4644:
4643:
4638:
4630:
4626:
4625:
4615:
4574:
4573:
4550:
4548:
4547:
4542:
4540:
4539:
4520:
4518:
4517:
4512:
4498:
4497:
4470:
4469:
4421:
4419:
4418:
4413:
4402:
4401:
4374:
4373:
4355:
4351:
4350:
4348:
4334:
4299:
4297:
4296:
4291:
4289:
4288:
4269:
4267:
4266:
4261:
4256:
4242:
4241:
4217:
4216:
4177:
4175:
4174:
4169:
4167:
4166:
4153:
4151:
4150:
4145:
4143:
4142:
4119:
4117:
4116:
4111:
4106:
4105:
4087:
4086:
4076:
4071:
4053:
4049:
4048:
4046:
4032:
3995:
3993:
3992:
3987:
3985:
3984:
3967:
3965:
3964:
3959:
3954:
3946:
3945:
3940:
3939:
3926:
3925:
3912:
3910:
3909:
3904:
3899:
3888:
3887:
3850:
3848:
3847:
3842:
3837:
3823:
3822:
3810:
3809:
3800:
3799:
3790:
3772:
3770:
3769:
3764:
3759:
3755:
3745:
3737:
3717:
3703:
3702:
3686:
3681:
3672:
3671:
3662:
3644:
3642:
3641:
3636:
3631:
3630:
3618:
3610:
3602:
3601:
3589:
3581:
3572:
3570:
3569:
3564:
3562:
3561:
3542:
3540:
3539:
3534:
3529:
3528:
3516:
3508:
3500:
3489:
3481:
3478:
3473:
3450:
3448:
3447:
3442:
3437:
3426:
3418:
3415:
3410:
3394:
3392:
3391:
3386:
3381:
3370:
3362:
3359:
3354:
3338:
3336:
3335:
3330:
3328:
3327:
3312:is homotopic to
3311:
3309:
3308:
3303:
3301:
3300:
3284:
3282:
3281:
3276:
3249:
3229:
3228:
3212:
3210:
3209:
3204:
3202:
3201:
3189:
3188:
3176:
3161:
3159:
3158:
3153:
3151:
3150:
3138:
3137:
3125:
3110:
3108:
3107:
3102:
3072:
3070:
3069:
3064:
3062:
3037:
3035:
3034:
3029:
3027:
3026:
3017:
3016:
2988:
2987:
2978:
2977:
2961:
2943:
2941:
2940:
2935:
2927:
2899:
2897:
2896:
2891:
2889:
2888:
2876:
2875:
2855:
2853:
2852:
2847:
2836:
2828:
2816:
2814:
2813:
2808:
2806:
2805:
2800:
2792:
2783:
2782:
2757:
2755:
2754:
2749:
2747:
2742:
2741:
2732:
2723:
2721:
2720:
2715:
2713:
2712:
2693:
2691:
2690:
2685:
2677:
2676:
2655:
2654:
2624:
2619:
2618:
2606:
2595:
2590:
2589:
2580:
2566:
2558:
2547:by the formula:
2546:
2544:
2543:
2538:
2527:
2519:
2506:
2504:
2503:
2498:
2490:
2489:
2488:
2487:
2463:
2458:
2439:
2437:
2436:
2431:
2408:
2407:
2391:
2390:
2369:
2368:
2335:
2334:
2319:
2318:
2294:
2293:
2281:
2280:
2243:
2241:
2240:
2235:
2220:
2218:
2217:
2212:
2167:
2165:
2164:
2159:
2154:
2153:
2133:
2131:
2130:
2125:
2098:
2096:
2095:
2090:
2069:
2067:
2066:
2061:
2027:
2025:
2024:
2019:
1990:
1988:
1987:
1982:
1950:
1948:
1947:
1942:
1927:
1925:
1924:
1919:
1890:
1888:
1887:
1882:
1871:
1863:
1850:
1848:
1847:
1842:
1817:
1815:
1814:
1809:
1788:
1786:
1785:
1780:
1756:
1754:
1753:
1748:
1727:
1725:
1724:
1719:
1693:
1692:
1655:
1653:
1652:
1647:
1645:
1644:
1636:
1635:
1617:
1615:
1614:
1609:
1597:
1595:
1594:
1589:
1587:
1586:
1554:
1552:
1551:
1546:
1538:
1537:
1513:
1512:
1467:
1466:
1445:
1444:
1414:
1413:
1403:
1402:
1401:
1393:
1392:
1374:
1372:
1352:
1344:
1343:
1322:
1321:
1276:
1274:
1273:
1268:
1240:
1238:
1237:
1232:
1230:
1229:
1222:
1217:
1197:
1195:
1193:
1192:
1187:
1185:
1184:
1162:
1160:
1159:
1154:
1140:
1139:
1101:
1099:
1098:
1093:
1091:
1090:
1081:
1080:
1071:
1049:
1047:
1045:
1044:
1039:
998:are manifolds.)
997:
995:
994:
989:
984:
983:
967:
965:
964:
959:
954:
953:
941:
912:
910:
909:
904:
890:
876:
875:
863:
862:
838:
837:
825:
824:
797:
781:
764:
763:
737:
735:
734:
729:
724:
723:
714:
713:
704:
693:
676:
675:
656:
654:
653:
648:
646:
645:
636:
635:
626:
614:
612:
611:
606:
567:
565:
564:
559:
554:
540:
539:
527:
526:
517:
516:
507:
492:
490:
489:
484:
482:
456:
454:
453:
448:
446:
445:
420:
418:
417:
412:
386:
385:
351:
349:
348:
343:
338:
337:
328:
312:
310:
309:
304:
302:
301:
292:
291:
282:
270:
268:
266:
265:
260:
258:
245:
243:
242:
237:
235:
223:
221:
220:
215:
213:
212:
195:
193:
192:
187:
185:
173:
171:
170:
165:
160:
159:
150:
138:
136:
134:
133:
128:
126:
125:
21:
7054:
7053:
7049:
7048:
7047:
7045:
7044:
7043:
7024:
7023:
6967:
6964:
6962:Further reading
6939:
6907:10.2307/2372896
6888:
6876:
6856:Nomizu, Katsumi
6850:
6836:10.2307/1971013
6812:
6798:
6788:Springer-Verlag
6778:
6765:
6737:
6734:
6729:
6728:
6704:
6693:
6688:
6687:
6668:
6658:
6653:
6636:
6620:
6606:
6587:
6576:
6571:
6570:
6568:
6564:
6547:
6543:
6525:
6519:
6517:
6513:
6506:
6504:"Archived copy"
6502:
6500:
6496:
6488:
6484:
6479:
6400:
6387:
6367:
6366:
6328:
6317:
6316:
6289:
6288:
6273:
6244:
6225:
6186:
6171:
6167:
6156:
6155:
6113:
6108:
6107:
6083:
6078:
6077:
6042:
6041:
6040:where we wrote
5997:
5964:
5954:
5923:
5918:
5917:
5891:
5863:
5858:
5835:
5834:
5809:
5804:
5803:
5773:
5721:
5716:
5715:
5670:
5665:
5664:
5523:
5522:
5496:
5495:
5476:
5475:
5452:
5451:
5410:
5374:
5339:
5338:
5328:Chern character
5299:
5286:
5257:
5229:
5215:
5196:
5191:
5190:
5166:
5161:
5148:
5135:
5130:
5117:
5104:
5093:
5088:
5087:
5045:
5032:
5016:
5003:
4981:
4976:
4975:
4943:
4933:
4891:
4881:
4845:
4820:
4819:
4818:
4816:
4793:
4792:
4771:
4766:
4765:
4744:
4739:
4738:
4717:
4712:
4711:
4706:. Now, suppose
4688:
4687:
4652:
4651:
4650:where we wrote
4597:
4593:
4565:
4560:
4559:
4531:
4526:
4525:
4489:
4461:
4435:
4434:
4393:
4365:
4338:
4326:
4322:
4314:
4313:
4280:
4275:
4274:
4230:
4208:
4203:
4202:
4156:
4155:
4134:
4129:
4128:
4097:
4078:
4036:
4021:
4017:
4009:
4008:
3974:
3973:
3930:
3915:
3914:
3879:
3868:
3867:
3864:
3814:
3801:
3781:
3780:
3735:
3731:
3691:
3653:
3652:
3622:
3593:
3575:
3574:
3553:
3548:
3547:
3520:
3493:
3460:
3459:
3430:
3397:
3396:
3374:
3341:
3340:
3319:
3314:
3313:
3292:
3287:
3286:
3220:
3215:
3214:
3193:
3180:
3169:
3164:
3163:
3142:
3129:
3118:
3113:
3112:
3075:
3074:
3047:
3046:
3018:
3008:
2979:
2969:
2954:
2949:
2948:
2906:
2905:
2880:
2867:
2862:
2861:
2822:
2821:
2790:
2774:
2760:
2759:
2733:
2726:
2725:
2704:
2699:
2698:
2665:
2646:
2607:
2581:
2552:
2551:
2513:
2512:
2476:
2471:
2445:
2444:
2399:
2379:
2360:
2323:
2310:
2285:
2272:
2249:
2248:
2223:
2222:
2221:(the kernel of
2170:
2169:
2145:
2140:
2139:
2104:
2103:
2072:
2071:
2034:
2033:
2001:
2000:
1961:
1960:
1933:
1932:
1901:
1900:
1857:
1856:
1824:
1823:
1791:
1790:
1771:
1770:
1730:
1729:
1684:
1673:
1672:
1629:
1624:
1623:
1600:
1599:
1578:
1573:
1572:
1566:
1517:
1486:
1449:
1427:
1405:
1386:
1356:
1332:
1313:
1293:
1292:
1250:
1249:
1204:
1203:
1174:
1173:
1172:
1131:
1108:
1107:
1082:
1056:
1055:
1021:
1020:
1019:
1008:connection form
1004:
975:
970:
969:
945:
918:
917:
867:
848:
829:
816:
755:
750:
749:
715:
667:
662:
661:
637:
617:
616:
594:
593:
531:
518:
498:
497:
473:
472:
435:
434:
377:
366:
365:
319:
318:
293:
273:
272:
249:
248:
247:
226:
225:
202:
201:
176:
175:
141:
140:
115:
114:
113:
53:smooth manifold
23:
22:
15:
12:
11:
5:
7052:
7050:
7042:
7041:
7036:
7026:
7025:
7022:
7021:
6985:(3): 431–468.
6963:
6960:
6959:
6958:
6937:
6901:(3): 563–572,
6874:
6848:
6810:
6796:
6776:
6763:
6751:(3): 289–303,
6733:
6730:
6727:
6726:
6710:
6707:
6703:
6700:
6696:
6674:
6671:
6664:
6661:
6656:
6652:
6649:
6646:
6642:
6639:
6635:
6632:
6627:
6623:
6619:
6616:
6612:
6609:
6605:
6602:
6599:
6593:
6590:
6586:
6583:
6579:
6562:
6541:
6494:
6481:
6480:
6478:
6475:
6474:
6473:
6462:
6459:
6456:
6453:
6450:
6447:
6444:
6441:
6438:
6435:
6432:
6428:
6424:
6421:
6418:
6413:
6410:
6407:
6403:
6399:
6394:
6390:
6384:
6379:
6375:
6351:
6347:
6343:
6340:
6335:
6331:
6327:
6324:
6296:
6272:
6269:
6268:
6267:
6256:
6251:
6247:
6243:
6240:
6237:
6232:
6228:
6222:
6217:
6214:
6211:
6207:
6203:
6199:
6192:
6189:
6185:
6180:
6177:
6174:
6170:
6166:
6163:
6140:
6136:
6132:
6127:
6121:
6118:
6093:
6090:
6086:
6056:
6052:
6049:
6038:
6037:
6026:
6022:
6018:
6015:
6012:
6007:
6004:
6000:
5996:
5993:
5989:
5985:
5982:
5979:
5974:
5971:
5967:
5961:
5957:
5953:
5950:
5947:
5944:
5941:
5938:
5935:
5930:
5926:
5890:
5887:
5870:
5866:
5861:
5857:
5854:
5851:
5848:
5845:
5842:
5816:
5812:
5800:
5799:
5788:
5785:
5780:
5776:
5772:
5769:
5766:
5761:
5756:
5753:
5750:
5746:
5742:
5739:
5736:
5733:
5728:
5724:
5696:
5692:
5688:
5685:
5682:
5677:
5673:
5657:
5656:
5645:
5642:
5639:
5636:
5633:
5630:
5627:
5624:
5621:
5618:
5615:
5612:
5609:
5606:
5603:
5600:
5597:
5594:
5591:
5587:
5584:
5581:
5578:
5575:
5572:
5569:
5566:
5563:
5560:
5557:
5554:
5551:
5548:
5545:
5542:
5539:
5536:
5533:
5530:
5503:
5483:
5459:
5448:
5447:
5436:
5432:
5428:
5425:
5422:
5417:
5413:
5409:
5406:
5403:
5398:
5395:
5392:
5388:
5384:
5381:
5377:
5373:
5370:
5367:
5364:
5361:
5358:
5355:
5352:
5349:
5346:
5324:
5323:
5312:
5309:
5305:
5302:
5298:
5293:
5289:
5285:
5282:
5279:
5276:
5273:
5270:
5267:
5263:
5260:
5256:
5253:
5250:
5247:
5244:
5241:
5236:
5232:
5228:
5225:
5221:
5218:
5214:
5211:
5208:
5203:
5199:
5172:
5169:
5164:
5160:
5155:
5151:
5147:
5141:
5138:
5133:
5129:
5124:
5120:
5116:
5110:
5107:
5103:
5100:
5096:
5069:
5068:
5057:
5052:
5048:
5044:
5039:
5035:
5031:
5028:
5023:
5019:
5015:
5010:
5006:
5002:
4999:
4996:
4993:
4988:
4984:
4958:
4952:
4949:
4946:
4940:
4936:
4930:
4927:
4924:
4921:
4918:
4915:
4912:
4909:
4906:
4900:
4897:
4894:
4888:
4884:
4878:
4875:
4872:
4869:
4866:
4863:
4860:
4854:
4851:
4848:
4844:
4839:
4836:
4833:
4830:
4827:
4812:
4800:
4778:
4774:
4751:
4747:
4724:
4720:
4695:
4659:
4648:
4647:
4636:
4633:
4629:
4624:
4621:
4618:
4614:
4610:
4606:
4603:
4600:
4596:
4592:
4589:
4586:
4583:
4580:
4577:
4572:
4568:
4538:
4534:
4522:
4521:
4510:
4507:
4504:
4501:
4496:
4492:
4488:
4485:
4482:
4479:
4476:
4473:
4468:
4464:
4460:
4457:
4454:
4451:
4448:
4445:
4442:
4411:
4408:
4405:
4400:
4396:
4392:
4389:
4386:
4383:
4380:
4377:
4372:
4368:
4364:
4361:
4358:
4354:
4347:
4344:
4341:
4337:
4332:
4329:
4325:
4321:
4287:
4283:
4271:
4270:
4259:
4255:
4251:
4248:
4245:
4240:
4237:
4233:
4229:
4226:
4223:
4220:
4215:
4211:
4194:on a manifold
4165:
4141:
4137:
4121:
4120:
4109:
4104:
4100:
4096:
4093:
4090:
4085:
4081:
4075:
4070:
4067:
4064:
4060:
4056:
4052:
4045:
4042:
4039:
4035:
4030:
4027:
4024:
4020:
4016:
3983:
3957:
3953:
3949:
3944:
3938:
3935:
3929:
3924:
3902:
3898:
3894:
3891:
3886:
3882:
3878:
3875:
3863:
3860:
3852:
3851:
3840:
3836:
3832:
3829:
3826:
3821:
3817:
3813:
3808:
3804:
3798:
3793:
3789:
3774:
3773:
3762:
3758:
3754:
3751:
3748:
3743:
3740:
3734:
3730:
3727:
3723:
3720:
3716:
3712:
3709:
3706:
3701:
3698:
3694:
3690:
3685:
3680:
3676:
3670:
3665:
3661:
3634:
3629:
3625:
3621:
3616:
3613:
3608:
3605:
3600:
3596:
3592:
3587:
3584:
3560:
3556:
3544:
3543:
3532:
3527:
3523:
3519:
3514:
3511:
3506:
3503:
3499:
3496:
3492:
3487:
3484:
3477:
3472:
3468:
3440:
3436:
3433:
3429:
3424:
3421:
3414:
3409:
3405:
3384:
3380:
3377:
3373:
3368:
3365:
3358:
3353:
3349:
3326:
3322:
3299:
3295:
3274:
3271:
3268:
3265:
3262:
3259:
3256:
3252:
3248:
3244:
3241:
3238:
3235:
3232:
3227:
3223:
3200:
3196:
3192:
3187:
3183:
3179:
3175:
3172:
3149:
3145:
3141:
3136:
3132:
3128:
3124:
3121:
3100:
3097:
3094:
3091:
3088:
3085:
3082:
3061:
3057:
3054:
3039:
3038:
3025:
3021:
3015:
3011:
3006:
3003:
3000:
2997:
2994:
2991:
2986:
2982:
2976:
2972:
2967:
2964:
2960:
2957:
2933:
2930:
2926:
2922:
2919:
2916:
2913:
2887:
2883:
2879:
2874:
2870:
2845:
2842:
2839:
2834:
2831:
2804:
2798:
2795:
2789:
2786:
2781:
2777:
2773:
2770:
2767:
2745:
2740:
2736:
2711:
2707:
2695:
2694:
2683:
2680:
2675:
2672:
2668:
2664:
2661:
2658:
2653:
2649:
2645:
2642:
2639:
2636:
2633:
2630:
2627:
2622:
2617:
2614:
2610:
2604:
2601:
2598:
2593:
2588:
2584:
2578:
2575:
2572:
2569:
2564:
2561:
2536:
2533:
2530:
2525:
2522:
2496:
2493:
2486:
2483:
2479:
2474:
2470:
2467:
2462:
2457:
2453:
2441:
2440:
2429:
2426:
2423:
2420:
2417:
2414:
2411:
2406:
2402:
2397:
2394:
2389:
2386:
2382:
2378:
2375:
2372:
2367:
2363:
2359:
2356:
2353:
2350:
2347:
2344:
2341:
2338:
2333:
2330:
2326:
2322:
2317:
2313:
2309:
2306:
2303:
2300:
2297:
2292:
2288:
2284:
2279:
2275:
2271:
2268:
2265:
2262:
2259:
2256:
2233:
2230:
2210:
2207:
2204:
2201:
2198:
2195:
2192:
2189:
2186:
2183:
2180:
2177:
2157:
2152:
2148:
2123:
2120:
2117:
2114:
2111:
2088:
2085:
2082:
2079:
2059:
2056:
2053:
2050:
2047:
2044:
2041:
2017:
2014:
2011:
2008:
1993:
1992:
1980:
1977:
1974:
1971:
1968:
1940:
1929:
1917:
1914:
1911:
1908:
1880:
1877:
1874:
1869:
1866:
1840:
1837:
1834:
1831:
1807:
1804:
1801:
1798:
1789:. First, that
1778:
1746:
1743:
1740:
1737:
1717:
1714:
1711:
1708:
1705:
1702:
1699:
1696:
1691:
1687:
1683:
1680:
1667:If, moreover,
1643:
1640:
1634:
1607:
1585:
1581:
1562:
1556:
1555:
1544:
1541:
1536:
1533:
1530:
1527:
1524:
1520:
1516:
1511:
1508:
1505:
1502:
1499:
1496:
1493:
1489:
1485:
1482:
1479:
1476:
1473:
1470:
1465:
1462:
1459:
1456:
1452:
1448:
1443:
1440:
1437:
1434:
1430:
1426:
1423:
1420:
1417:
1412:
1408:
1400:
1397:
1391:
1385:
1382:
1378:
1371:
1368:
1365:
1362:
1359:
1355:
1350:
1347:
1342:
1339:
1335:
1331:
1328:
1325:
1320:
1316:
1312:
1309:
1306:
1303:
1300:
1278:
1277:
1266:
1263:
1260:
1257:
1228:
1221:
1216:
1212:
1198:then, viewing
1183:
1152:
1149:
1146:
1143:
1138:
1134:
1130:
1127:
1124:
1121:
1118:
1115:
1089:
1085:
1079:
1074:
1070:
1066:
1063:
1037:
1034:
1031:
1028:
1016:curvature form
1003:
1000:
987:
982:
978:
957:
952:
948:
944:
939:
936:
931:
928:
925:
914:
913:
902:
899:
896:
893:
889:
885:
882:
879:
874:
870:
866:
861:
858:
855:
851:
847:
844:
841:
836:
832:
828:
823:
819:
815:
812:
809:
806:
803:
800:
795:
792:
787:
784:
780:
776:
773:
770:
767:
762:
758:
739:
738:
727:
722:
718:
712:
707:
703:
699:
696:
692:
688:
685:
682:
679:
674:
670:
644:
640:
634:
629:
625:
604:
601:
570:
569:
557:
553:
549:
546:
543:
538:
534:
530:
525:
521:
515:
510:
506:
481:
444:
410:
407:
404:
401:
398:
395:
392:
389:
384:
380:
376:
373:
354:adjoint action
341:
336:
331:
327:
300:
296:
290:
285:
281:
257:
234:
211:
184:
163:
158:
153:
149:
124:
45:vector bundles
43:invariants of
39:that computes
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
7051:
7040:
7037:
7035:
7032:
7031:
7029:
7018:
7014:
7010:
7006:
7002:
6998:
6993:
6988:
6984:
6980:
6979:
6974:
6970:
6966:
6965:
6961:
6955:
6951:
6947:
6943:
6938:
6934:
6930:
6926:
6922:
6917:
6912:
6908:
6904:
6900:
6896:
6895:
6887:
6883:
6879:
6875:
6871:
6867:
6863:
6862:
6857:
6853:
6849:
6845:
6841:
6837:
6833:
6829:
6825:
6824:
6819:
6818:Simons, James
6815:
6811:
6808:
6807:3-540-90422-0
6804:
6799:
6797:0-387-90422-0
6793:
6789:
6785:
6781:
6777:
6772:
6768:
6764:
6759:
6754:
6750:
6746:
6745:
6740:
6736:
6735:
6731:
6708:
6705:
6701:
6698:
6672:
6669:
6662:
6659:
6650:
6647:
6644:
6640:
6637:
6633:
6630:
6625:
6617:
6610:
6607:
6603:
6600:
6591:
6588:
6584:
6581:
6566:
6563:
6559:
6555:
6551:
6545:
6542:
6536:
6530:
6516:on 2014-12-17
6512:
6505:
6498:
6495:
6491:
6486:
6483:
6476:
6460:
6445:
6436:
6433:
6422:
6419:
6411:
6408:
6405:
6401:
6392:
6365:
6364:
6363:
6338:
6333:
6329:
6325:
6322:
6314:
6310:
6286:
6282:
6278:
6270:
6254:
6249:
6245:
6238:
6230:
6226:
6220:
6215:
6212:
6209:
6205:
6201:
6197:
6190:
6187:
6183:
6178:
6175:
6172:
6168:
6164:
6161:
6154:
6153:
6152:
6125:
6091:
6088:
6084:
6075:
6071:
6050:
6047:
6016:
6013:
6005:
6002:
5998:
5994:
5983:
5980:
5972:
5969:
5965:
5959:
5951:
5948:
5942:
5936:
5928:
5924:
5916:
5915:
5914:
5913:is given as:
5912:
5908:
5904:
5900:
5896:
5888:
5886:
5868:
5864:
5859:
5855:
5849:
5843:
5840:
5832:
5814:
5810:
5783:
5778:
5774:
5770:
5767:
5759:
5754:
5751:
5748:
5744:
5740:
5734:
5726:
5722:
5714:
5713:
5712:
5710:
5686:
5683:
5675:
5671:
5662:
5643:
5637:
5631:
5628:
5622:
5616:
5613:
5610:
5604:
5601:
5598:
5592:
5589:
5585:
5579:
5573:
5570:
5567:
5561:
5555:
5552:
5549:
5543:
5540:
5537:
5531:
5528:
5521:
5520:
5519:
5517:
5473:
5426:
5423:
5415:
5411:
5407:
5396:
5393:
5390:
5386:
5379:
5375:
5368:
5365:
5359:
5353:
5347:
5344:
5337:
5336:
5335:
5333:
5329:
5326:Finally, the
5310:
5303:
5300:
5291:
5287:
5280:
5274:
5271:
5268:
5261:
5258:
5251:
5248:
5242:
5234:
5230:
5226:
5219:
5216:
5212:
5209:
5201:
5197:
5189:
5188:
5187:
5170:
5167:
5158:
5153:
5149:
5145:
5139:
5136:
5131:
5127:
5122:
5114:
5108:
5105:
5101:
5098:
5084:
5082:
5078:
5074:
5050:
5046:
5037:
5033:
5029:
5021:
5017:
5008:
5004:
5000:
4994:
4986:
4982:
4974:
4973:
4972:
4950:
4947:
4944:
4938:
4928:
4925:
4922:
4913:
4910:
4907:
4898:
4895:
4892:
4886:
4876:
4873:
4870:
4861:
4852:
4849:
4846:
4837:
4834:
4831:
4815:
4776:
4772:
4749:
4722:
4718:
4709:
4685:
4681:
4677:
4673:
4634:
4627:
4622:
4619:
4616:
4612:
4604:
4601:
4598:
4594:
4584:
4578:
4570:
4566:
4558:
4557:
4556:
4554:
4536:
4532:
4508:
4502:
4494:
4490:
4486:
4483:
4480:
4474:
4466:
4462:
4458:
4455:
4452:
4446:
4440:
4433:
4432:
4431:
4429:
4425:
4406:
4398:
4394:
4390:
4387:
4384:
4378:
4370:
4366:
4362:
4359:
4356:
4352:
4345:
4342:
4339:
4335:
4330:
4327:
4323:
4311:
4307:
4303:
4285:
4281:
4249:
4246:
4238:
4235:
4231:
4227:
4221:
4213:
4209:
4201:
4200:
4199:
4197:
4193:
4189:
4185:
4181:
4139:
4135:
4126:
4107:
4102:
4098:
4091:
4083:
4079:
4073:
4068:
4065:
4062:
4058:
4054:
4050:
4043:
4040:
4037:
4033:
4028:
4025:
4022:
4018:
4007:
4006:
4005:
4003:
3999:
3971:
3942:
3927:
3889:
3884:
3880:
3876:
3873:
3861:
3859:
3857:
3830:
3827:
3819:
3815:
3806:
3779:
3778:
3777:
3760:
3756:
3738:
3732:
3725:
3721:
3710:
3707:
3699:
3696:
3692:
3683:
3678:
3651:
3650:
3649:
3646:
3627:
3611:
3606:
3598:
3582:
3558:
3525:
3509:
3504:
3497:
3482:
3475:
3470:
3466:
3458:
3457:
3456:
3454:
3434:
3419:
3412:
3407:
3403:
3378:
3363:
3356:
3351:
3347:
3324:
3320:
3297:
3293:
3269:
3266:
3263:
3254:
3250:
3242:
3239:
3233:
3230:
3225:
3221:
3198:
3194:
3190:
3185:
3181:
3177:
3173:
3170:
3147:
3139:
3134:
3126:
3122:
3098:
3089:
3086:
3083:
3055:
3052:
3044:
3023:
3019:
3013:
3009:
3001:
2998:
2995:
2989:
2984:
2980:
2974:
2970:
2965:
2962:
2958:
2955:
2947:
2946:
2945:
2931:
2920:
2917:
2914:
2911:
2903:
2885:
2881:
2877:
2872:
2868:
2859:
2829:
2818:
2802:
2793:
2787:
2779:
2775:
2768:
2765:
2738:
2734:
2709:
2705:
2681:
2673:
2670:
2666:
2662:
2659:
2656:
2651:
2647:
2631:
2628:
2615:
2612:
2608:
2602:
2599:
2596:
2586:
2582:
2559:
2550:
2549:
2548:
2520:
2510:
2491:
2484:
2481:
2477:
2472:
2468:
2460:
2455:
2451:
2427:
2424:
2421:
2418:
2412:
2404:
2400:
2395:
2387:
2384:
2380:
2376:
2373:
2370:
2365:
2361:
2345:
2342:
2331:
2328:
2324:
2315:
2311:
2307:
2304:
2301:
2298:
2290:
2286:
2277:
2273:
2269:
2254:
2247:
2246:
2245:
2231:
2228:
2205:
2199:
2196:
2193:
2187:
2184:
2178:
2175:
2155:
2150:
2146:
2137:
2121:
2115:
2112:
2109:
2100:
2077:
2057:
2054:
2042:
2039:
2031:
2015:
2012:
2006:
1998:
1978:
1975:
1972:
1969:
1966:
1958:
1954:
1938:
1930:
1906:
1898:
1894:
1864:
1854:
1829:
1821:
1820:
1819:
1796:
1776:
1768:
1765:and that the
1764:
1760:
1735:
1712:
1706:
1703:
1697:
1694:
1689:
1685:
1678:
1670:
1665:
1663:
1659:
1641:
1638:
1621:
1605:
1583:
1579:
1570:
1565:
1561:
1531:
1528:
1522:
1518:
1514:
1506:
1503:
1500:
1497:
1491:
1487:
1477:
1474:
1471:
1460:
1454:
1450:
1446:
1438:
1432:
1428:
1415:
1410:
1406:
1398:
1395:
1383:
1380:
1376:
1369:
1363:
1360:
1353:
1348:
1340:
1337:
1333:
1329:
1326:
1323:
1318:
1314:
1298:
1291:
1290:
1289:
1287:
1283:
1255:
1248:
1247:
1246:
1244:
1219:
1214:
1210:
1201:
1170:
1166:
1147:
1141:
1136:
1132:
1128:
1122:
1119:
1113:
1105:
1087:
1064:
1061:
1053:
1035:
1032:
1029:
1017:
1013:
1009:
1001:
999:
985:
980:
976:
955:
950:
946:
942:
937:
934:
929:
926:
923:
900:
897:
894:
891:
887:
877:
872:
868:
859:
856:
853:
839:
834:
830:
821:
813:
810:
804:
801:
798:
793:
790:
785:
774:
771:
768:
760:
756:
748:
747:
746:
744:
725:
720:
697:
686:
683:
680:
672:
668:
660:
659:
658:
642:
602:
599:
591:
587:
583:
579:
575:
547:
544:
536:
532:
523:
496:
495:
494:
470:
466:
463:
458:
432:
428:
424:
405:
399:
396:
390:
387:
382:
378:
371:
363:
359:
355:
316:
298:
199:
112:
108:
104:
99:
97:
93:
89:
85:
81:
77:
73:
69:
65:
61:
57:
54:
50:
46:
42:
38:
34:
30:
19:
6982:
6976:
6945:
6941:
6898:
6892:
6860:
6830:(1): 48–69,
6827:
6821:
6783:
6770:
6748:
6742:
6565:
6553:
6549:
6544:
6518:. Retrieved
6511:the original
6497:
6485:
6308:
6284:
6276:
6274:
6073:
6039:
5910:
5902:
5898:
5894:
5892:
5830:
5801:
5708:
5660:
5658:
5471:
5449:
5334:is given by
5331:
5325:
5085:
5070:
4813:
4707:
4683:
4679:
4675:
4649:
4552:
4523:
4427:
4309:
4305:
4301:
4272:
4195:
4191:
4187:
4179:
4124:
4122:
4001:
3969:
3865:
3853:
3775:
3647:
3545:
3042:
3040:
2901:
2857:
2819:
2696:
2508:
2442:
2135:
2101:
2029:
1994:
1956:
1952:
1896:
1892:
1852:
1762:
1668:
1666:
1619:
1568:
1563:
1559:
1557:
1285:
1281:
1279:
1199:
1168:
1164:
1103:
1011:
1005:
915:
742:
740:
589:
581:
573:
571:
468:
464:
459:
430:
426:
422:
361:
357:
102:
100:
71:
58:in terms of
55:
36:
32:
26:
6882:Ramanan, S.
6739:Bott, Raoul
6558:Chern class
6552:, which is
5901:, then the
5073:cup product
4184:Chern class
2028:and, since
1759:closed form
1660:as well as
1006:Choose any
572:called the
493:-algebras,
364:such that
246:instead of
198:polynomials
111:Lie algebra
60:connections
41:topological
29:mathematics
7028:Categories
6981:. (N.S.).
6732:References
6560:" article.
6520:2014-12-11
6492:, Ch. XII.
6151:given by:
4312:= 1, then
592:-bundles,
421:, for all
352:under the
88:André Weil
6992:1301.5959
6702:⊗
6695:∇
6655:∇
6651:⊗
6634:⊗
6622:∇
6604:⊗
6585:⊗
6578:∇
6452:Ω
6440:↦
6398:→
6339:
6295:Ω
6206:∑
6191:π
6176:−
6165:
6051:⊗
5995:∈
5984:⊗
5949:−
5865:λ
5844:
5811:λ
5775:λ
5745:∏
5676:∗
5632:
5617:
5602:⊗
5593:
5574:
5556:
5541:⊕
5532:
5502:Ω
5482:Ω
5458:Ω
5416:∗
5408:∈
5394:π
5383:Ω
5380:−
5369:
5348:
5275:
5252:
5213:⊗
5163:Ω
5159:⊗
5128:⊗
5119:Ω
5102:⊗
5095:Ω
5030:⋯
4971:we have:
4948:π
4935:Ω
4926:−
4914:∧
4911:⋯
4908:∧
4896:π
4883:Ω
4874:−
4850:π
4843:Ω
4835:−
4799:Ω
4746:Ω
4694:Ω
4658:Ω
4620:π
4609:Ω
4602:−
4484:⋯
4388:⋯
4343:π
4331:−
4228:∈
4059:∑
4041:π
4026:−
3890:
3820:∗
3812:→
3750:Ω
3742:¯
3729:↦
3689:→
3624:Ω
3615:¯
3595:Ω
3586:¯
3573:. Hence,
3555:Ω
3522:Ω
3513:¯
3495:Ω
3486:¯
3476:∗
3432:Ω
3423:¯
3413:∗
3376:Ω
3367:¯
3357:∗
3258:↦
3243:×
3237:→
3195:ω
3182:ω
3171:ω
3144:Ω
3131:Ω
3120:Ω
3096:↦
3073:given by
3056:×
3020:ω
3014:∗
2999:−
2981:ω
2975:∗
2956:ω
2929:→
2921:×
2915::
2882:ω
2869:ω
2841:Ω
2833:¯
2797:¯
2769:π
2744:¯
2660:…
2638:Ω
2621:¯
2600:…
2592:¯
2571:Ω
2563:¯
2532:Ω
2524:¯
2495:Ω
2492:
2482:−
2466:Ω
2461:∗
2374:…
2352:Ω
2302:…
2261:Ω
2232:π
2200:π
2179:π
2119:→
2113::
2110:π
2084:Ω
2049:Ω
2010:Ω
1979:φ
1970:φ
1939:φ
1913:Ω
1876:Ω
1868:¯
1836:Ω
1803:Ω
1777:ω
1742:Ω
1695:
1606:σ
1584:σ
1580:ϵ
1523:σ
1504:−
1492:σ
1481:Ω
1475:…
1455:σ
1433:σ
1422:Ω
1411:σ
1407:ϵ
1384:∈
1381:σ
1377:∑
1327:…
1305:Ω
1288:given by
1284:-form on
1262:Ω
1241:(see the
1211:∏
1065:∈
1054:of ω. If
1036:ω
1027:Ω
943:
938:→
895:
850:Ω
846:→
818:Ω
814::
805:
799:
794:→
698:≅
673:∗
537:∗
529:→
388:
107:Lie group
70:rings of
64:curvature
7017:51755613
6884:(1961),
6858:(1969),
6782:(1995),
6769:(1951),
6709:′
6673:′
6663:′
6641:′
6611:′
6592:′
6529:cite web
6068:for the
5304:′
5262:′
5220:′
5171:′
5140:′
5109:′
4670:for the
4190:of rank
3498:′
3435:′
3379:′
3339:. Thus,
3174:′
3123:′
2959:′
2904:and let
1995:Indeed,
1662:Pfaffian
1622:numbers
1106:; i.e.,
1018:; i.e.,
460:Given a
196:-valued
139:and let
7009:3049871
6954:1851352
6933:0133772
6925:2372896
6870:0152974
6844:1971013
5829:are in
5474:(since
4737:'s and
1959:, then
1245:), let
313:be the
7015:
7007:
6952:
6931:
6923:
6868:
6842:
6805:
6794:
5802:where
5450:where
5086:Since
5079:; see
4308:). If
4123:where
3854:is an
3213:. Let
3111:. Let
3041:where
2697:where
1558:where
31:, the
7013:S2CID
6987:arXiv
6921:JSTOR
6889:(PDF)
6840:JSTOR
6514:(PDF)
6507:(PDF)
6477:Notes
6279:be a
1999:says
1757:is a
1656:(see
1010:ω in
916:when
109:with
51:on a
6803:ISBN
6792:ISBN
6535:link
6275:Let
5905:-th
5272:rank
5249:rank
4551:and
4182:-th
3913:and
3866:Let
3395:and
2507:and
1167:and
1050:the
968:and
588:for
429:and
271:Let
101:Let
86:and
78:and
62:and
47:and
6997:doi
6946:201
6911:hdl
6903:doi
6832:doi
6753:doi
6307:of
6162:det
6106:on
6072:of
5909:of
5893:If
5330:of
4917:det
4865:det
4826:det
4674:on
4591:det
4426:of
4320:det
4015:det
4000:in
3972:in
2856:on
1951:on
1891:on
1851:on
1664:).
1171:in
935:lim
802:ker
791:lim
467:on
433:in
425:in
356:of
317:in
200:on
27:In
7030::
7011:.
7005:MR
7003:.
6995:.
6983:50
6971:;
6950:MR
6948:,
6944:,
6929:MR
6927:,
6919:,
6909:,
6899:83
6897:,
6891:,
6880:;
6866:MR
6854:;
6838:,
6828:99
6816:;
6801:,
6790:,
6786:,
6749:11
6747:,
6531:}}
6527:{{
6362:,
6330:GL
5885:.
5841:ch
5711::
5629:ch
5614:ch
5590:ch
5571:ch
5553:ch
5529:ch
5518::
5366:tr
5345:ch
5083:.
4198::
4004::
3881:GL
3858:.
2817:.
2758::
2473:Ad
2058:0.
1686:Ad
1571:,
892:im
743:BG
457:,
379:Ad
269:).
98:.
7019:.
6999::
6989::
6957:.
6936:.
6913::
6905::
6873:.
6847:.
6834::
6775:.
6762:.
6755::
6706:E
6699:E
6670:s
6660:E
6648:s
6645:+
6638:s
6631:s
6626:E
6618:=
6615:)
6608:s
6601:s
6598:(
6589:E
6582:E
6554:t
6550:t
6537:)
6523:.
6461:.
6458:]
6455:)
6449:(
6446:f
6443:[
6437:f
6434:,
6431:)
6427:C
6423:;
6420:M
6417:(
6412:k
6409:,
6406:k
6402:H
6393:k
6389:]
6383:g
6378:[
6374:C
6350:)
6346:C
6342:(
6334:n
6326:=
6323:G
6309:E
6285:M
6277:E
6255:.
6250:k
6246:t
6242:)
6239:x
6236:(
6231:k
6227:g
6221:n
6216:0
6213:=
6210:k
6202:=
6198:)
6188:2
6184:x
6179:t
6173:I
6169:(
6139:)
6135:R
6131:(
6126:n
6120:l
6117:g
6092:k
6089:2
6085:g
6074:E
6055:C
6048:E
6025:)
6021:Z
6017:;
6014:M
6011:(
6006:k
6003:4
5999:H
5992:)
5988:C
5981:E
5978:(
5973:k
5970:2
5966:c
5960:k
5956:)
5952:1
5946:(
5943:=
5940:)
5937:E
5934:(
5929:k
5925:p
5911:E
5903:k
5899:M
5895:E
5869:j
5860:e
5856:=
5853:)
5850:E
5847:(
5831:R
5815:j
5787:)
5784:t
5779:j
5771:+
5768:1
5765:(
5760:n
5755:0
5752:=
5749:j
5741:=
5738:)
5735:E
5732:(
5727:t
5723:c
5709:t
5695:)
5691:C
5687:,
5684:M
5681:(
5672:H
5661:R
5644:.
5641:)
5638:F
5635:(
5626:)
5623:E
5620:(
5611:=
5608:)
5605:F
5599:E
5596:(
5586:,
5583:)
5580:F
5577:(
5568:+
5565:)
5562:E
5559:(
5550:=
5547:)
5544:F
5538:E
5535:(
5472:E
5435:)
5431:Q
5427:,
5424:M
5421:(
5412:H
5405:]
5402:)
5397:i
5391:2
5387:/
5376:e
5372:(
5363:[
5360:=
5357:)
5354:E
5351:(
5332:E
5311:.
5308:)
5301:E
5297:(
5292:1
5288:c
5284:)
5281:E
5278:(
5269:+
5266:)
5259:E
5255:(
5246:)
5243:E
5240:(
5235:1
5231:c
5227:=
5224:)
5217:E
5210:E
5207:(
5202:1
5198:c
5168:E
5154:E
5150:I
5146:+
5137:E
5132:I
5123:E
5115:=
5106:E
5099:E
5056:)
5051:m
5047:E
5043:(
5038:t
5034:c
5027:)
5022:1
5018:E
5014:(
5009:t
5005:c
5001:=
4998:)
4995:E
4992:(
4987:t
4983:c
4969:,
4957:)
4951:i
4945:2
4939:m
4929:t
4923:I
4920:(
4905:)
4899:i
4893:2
4887:1
4877:t
4871:I
4868:(
4862:=
4859:)
4853:i
4847:2
4838:t
4832:I
4829:(
4814:I
4777:i
4773:E
4750:i
4723:i
4719:E
4708:E
4684:E
4680:E
4676:M
4635:,
4632:]
4628:)
4623:i
4617:2
4613:/
4605:t
4599:I
4595:(
4588:[
4585:=
4582:)
4579:E
4576:(
4571:t
4567:c
4553:c
4537:j
4533:c
4509:.
4506:)
4503:E
4500:(
4495:n
4491:c
4487:+
4481:+
4478:)
4475:E
4472:(
4467:1
4463:c
4459:+
4456:1
4453:=
4450:)
4447:E
4444:(
4441:c
4428:E
4410:)
4407:x
4404:(
4399:n
4395:f
4391:+
4385:+
4382:)
4379:x
4376:(
4371:1
4367:f
4363:+
4360:1
4357:=
4353:)
4346:i
4340:2
4336:x
4328:I
4324:(
4310:t
4306:E
4302:E
4286:k
4282:f
4258:)
4254:Z
4250:,
4247:M
4244:(
4239:k
4236:2
4232:H
4225:)
4222:E
4219:(
4214:k
4210:c
4196:M
4192:n
4188:E
4180:k
4164:g
4140:k
4136:f
4125:i
4108:,
4103:k
4099:t
4095:)
4092:x
4089:(
4084:k
4080:f
4074:n
4069:0
4066:=
4063:k
4055:=
4051:)
4044:i
4038:2
4034:x
4029:t
4023:I
4019:(
4002:t
3982:g
3970:x
3956:)
3952:C
3948:(
3943:n
3937:l
3934:g
3928:=
3923:g
3901:)
3897:C
3893:(
3885:n
3877:=
3874:G
3839:)
3835:C
3831:;
3828:M
3825:(
3816:H
3807:G
3803:]
3797:g
3792:[
3788:C
3761:.
3757:]
3753:)
3747:(
3739:f
3733:[
3726:f
3722:,
3719:)
3715:C
3711:;
3708:M
3705:(
3700:k
3697:2
3693:H
3684:G
3679:k
3675:]
3669:g
3664:[
3660:C
3633:)
3628:1
3620:(
3612:f
3607:,
3604:)
3599:0
3591:(
3583:f
3559:1
3531:)
3526:0
3518:(
3510:f
3505:=
3502:)
3491:(
3483:f
3471:0
3467:i
3439:)
3428:(
3420:f
3408:1
3404:i
3383:)
3372:(
3364:f
3352:0
3348:i
3325:1
3321:i
3298:0
3294:i
3273:)
3270:s
3267:,
3264:x
3261:(
3255:x
3251:,
3247:R
3240:M
3234:M
3231::
3226:s
3222:i
3199:1
3191:,
3186:0
3178:,
3148:1
3140:,
3135:0
3127:,
3099:s
3093:)
3090:s
3087:,
3084:x
3081:(
3060:R
3053:P
3043:t
3024:0
3010:p
3005:)
3002:t
2996:1
2993:(
2990:+
2985:1
2971:p
2966:t
2963:=
2932:P
2925:R
2918:P
2912:p
2902:P
2886:1
2878:,
2873:0
2858:M
2844:)
2838:(
2830:f
2803:i
2794:v
2788:=
2785:)
2780:i
2776:v
2772:(
2766:d
2739:i
2735:v
2710:i
2706:v
2682:,
2679:)
2674:k
2671:2
2667:v
2663:,
2657:,
2652:1
2648:v
2644:(
2641:)
2635:(
2632:f
2629:=
2626:)
2616:k
2613:2
2609:v
2603:,
2597:,
2587:1
2583:v
2577:(
2574:)
2568:(
2560:f
2535:)
2529:(
2521:f
2509:f
2485:1
2478:g
2469:=
2456:g
2452:R
2428:;
2425:g
2422:u
2419:=
2416:)
2413:u
2410:(
2405:g
2401:R
2396:,
2393:)
2388:k
2385:2
2381:v
2377:,
2371:,
2366:1
2362:v
2358:(
2355:)
2349:(
2346:f
2343:=
2340:)
2337:)
2332:k
2329:2
2325:v
2321:(
2316:g
2312:R
2308:d
2305:,
2299:,
2296:)
2291:1
2287:v
2283:(
2278:g
2274:R
2270:d
2267:(
2264:)
2258:(
2255:f
2229:d
2209:)
2206:v
2203:(
2197:d
2194:=
2191:)
2188:v
2185:h
2182:(
2176:d
2156:P
2151:u
2147:T
2136:h
2122:M
2116:P
2087:)
2081:(
2078:f
2055:=
2052:)
2046:(
2043:f
2040:D
2030:D
2016:0
2013:=
2007:D
1991:.
1976:D
1973:=
1967:d
1957:M
1953:P
1928:.
1916:)
1910:(
1907:f
1897:M
1893:M
1879:)
1873:(
1865:f
1853:P
1839:)
1833:(
1830:f
1806:)
1800:(
1797:f
1763:M
1745:)
1739:(
1736:f
1716:)
1713:x
1710:(
1707:f
1704:=
1701:)
1698:x
1690:g
1682:(
1679:f
1669:f
1642:k
1639:2
1633:S
1620:k
1569:P
1564:i
1560:v
1543:)
1540:)
1535:)
1532:k
1529:2
1526:(
1519:v
1515:,
1510:)
1507:1
1501:k
1498:2
1495:(
1488:v
1484:(
1478:,
1472:,
1469:)
1464:)
1461:2
1458:(
1451:v
1447:,
1442:)
1439:1
1436:(
1429:v
1425:(
1419:(
1416:f
1399:k
1396:2
1390:S
1370:!
1367:)
1364:k
1361:2
1358:(
1354:1
1349:=
1346:)
1341:k
1338:2
1334:v
1330:,
1324:,
1319:1
1315:v
1311:(
1308:)
1302:(
1299:f
1286:P
1282:k
1265:)
1259:(
1256:f
1227:g
1220:k
1215:1
1200:f
1196:,
1182:g
1169:x
1165:a
1151:)
1148:x
1145:(
1142:f
1137:k
1133:a
1129:=
1126:)
1123:x
1120:a
1117:(
1114:f
1104:k
1088:G
1084:]
1078:g
1073:[
1069:C
1062:f
1048:,
1033:D
1030:=
1012:P
986:G
981:j
977:B
956:G
951:j
947:B
930:=
927:G
924:B
901:.
898:d
888:/
884:)
881:)
878:G
873:j
869:B
865:(
860:1
857:+
854:k
843:)
840:G
835:j
831:B
827:(
822:k
811:d
808:(
786:=
783:)
779:C
775:;
772:G
769:B
766:(
761:k
757:H
726:.
721:G
717:]
711:g
706:[
702:C
695:)
691:C
687:;
684:G
681:B
678:(
669:H
643:G
639:]
633:g
628:[
624:C
603:G
600:B
590:G
582:G
568:,
556:)
552:C
548:;
545:M
542:(
533:H
524:G
520:]
514:g
509:[
505:C
480:C
469:M
465:P
443:g
431:x
427:G
423:g
409:)
406:x
403:(
400:f
397:=
394:)
391:x
383:g
375:(
372:f
362:f
358:G
340:]
335:g
330:[
326:C
299:G
295:]
289:g
284:[
280:C
256:C
233:R
210:g
183:C
162:]
157:g
152:[
148:C
137:,
123:g
103:G
72:M
56:M
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.