323:
1030:
572:
383:
641:
433:
281:
678:
473:
234:
510:
318:
194:
123:
1071:
157:
40:
Minimum solutions (lengths shown are length of leg) are shown in the table below. Solutions to the equivalent problem of maximizing the minimum distance between
822:
872:
1064:
1095:
1057:
522:
1009:
941:
815:
335:
936:
926:
880:
868:
916:
808:
600:
48:
778:
LĂłpez, C. O.; Beasley, J. E. (2011). "A heuristic for the circle packing problem with a variety of containers".
395:
931:
246:
1090:
34:
890:
921:
720:
Xu, Y. (1996). "On the minimum distance determined by n (≤ 7) points in an isoscele right triangle".
653:
445:
206:
983:
845:
485:
322:
293:
169:
98:
69:
135:
737:
988:
885:
1041:
831:
787:
760:
729:
44:
23:
700:
967:
946:
908:
895:
860:
1084:
1004:
951:
741:
850:
72:
found 18 improvements on previously known optima, the smallest of which was for
30:
791:
757:
Optimal
Packings of 8, 9, and 10 Equal Circles in an Isosceles Right Triangle
1029:
1037:
701:"The best known packings of equal circles in an isosceles right triangle"
733:
764:
800:
804:
759:(Thesis). Japan Advanced Institute of Science and Technology.
567:{\displaystyle 5+3{\sqrt {2}}+{\dfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}}
1045:
378:{\displaystyle 4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {2+4{\sqrt {2}}}}}
656:
603:
546:
525:
488:
448:
398:
338:
296:
249:
209:
172:
138:
101:
997:
976:
960:
907:
859:
838:
672:
635:
566:
504:
467:
427:
377:
312:
275:
228:
188:
151:
117:
47:in an isosceles right triangle, were known to be
1065:
816:
8:
20:Circle packing in a right isosceles triangle
636:{\displaystyle 2+3{\sqrt {2}}+2{\sqrt {6}}}
1072:
1058:
823:
809:
801:
428:{\displaystyle 2+3{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}}
663:
655:
626:
613:
602:
557:
545:
535:
524:
495:
487:
458:
447:
418:
408:
397:
366:
355:
345:
337:
303:
295:
276:{\displaystyle 4+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}
266:
256:
248:
219:
208:
179:
171:
142:
137:
108:
100:
780:European Journal of Operational Research
81:
691:
7:
1026:
1024:
722:Acta Mathematicae Applicatae Sinica
1044:. You can help Knowledge (XXG) by
14:
1028:
321:
26:where the objective is to pack
16:Two-dimensional packing problem
952:Sphere-packing (Hamming) bound
673:{\displaystyle 10+{\sqrt {2}}}
468:{\displaystyle 2+5{\sqrt {2}}}
229:{\displaystyle 2+3{\sqrt {2}}}
1:
699:Specht, Eckard (2011-03-11).
505:{\displaystyle 8+{\sqrt {2}}}
313:{\displaystyle 6+{\sqrt {2}}}
189:{\displaystyle 4+{\sqrt {2}}}
118:{\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}
152:{\displaystyle 2{\sqrt {2}}}
755:Harayama, Tomohiro (2000).
33:into the smallest possible
1112:
1023:
792:10.1016/j.ejor.2011.04.024
1096:Elementary geometry stubs
877:isosceles right triangle
58:and were extended up to
35:isosceles right triangle
1040:-related article is a
891:Circle packing theorem
674:
637:
568:
506:
469:
429:
379:
314:
277:
230:
190:
153:
119:
675:
638:
569:
507:
470:
430:
380:
315:
278:
231:
191:
154:
120:
873:equilateral triangle
654:
601:
523:
486:
446:
396:
336:
294:
247:
207:
170:
136:
99:
1038:elementary geometry
1010:Slothouber–Graatsma
70:heuristic algorithm
734:10.1007/BF02007736
670:
633:
564:
555:
502:
465:
425:
375:
310:
273:
226:
186:
149:
115:
85:Number of circles
1053:
1052:
1018:
1017:
977:Other 3-D packing
961:Other 2-D packing
886:Apollonian gasket
684:
683:
668:
631:
618:
562:
554:
540:
500:
463:
423:
413:
373:
371:
350:
308:
271:
261:
224:
184:
147:
113:
1103:
1074:
1067:
1060:
1032:
1025:
899:
839:Abstract packing
832:Packing problems
825:
818:
811:
802:
796:
795:
775:
769:
768:
752:
746:
745:
717:
711:
710:
708:
707:
696:
679:
677:
676:
671:
669:
664:
642:
640:
639:
634:
632:
627:
619:
614:
573:
571:
570:
565:
563:
558:
556:
547:
541:
536:
511:
509:
508:
503:
501:
496:
474:
472:
471:
466:
464:
459:
434:
432:
431:
426:
424:
419:
414:
409:
384:
382:
381:
376:
374:
372:
367:
356:
351:
346:
325:
319:
317:
316:
311:
309:
304:
282:
280:
279:
274:
272:
267:
262:
257:
235:
233:
232:
227:
225:
220:
195:
193:
192:
187:
185:
180:
158:
156:
155:
150:
148:
143:
124:
122:
121:
116:
114:
109:
82:
78:
64:
57:
43:
29:
1111:
1110:
1106:
1105:
1104:
1102:
1101:
1100:
1081:
1080:
1079:
1078:
1021:
1019:
1014:
993:
972:
956:
903:
897:
896:Tammes problem
855:
834:
829:
799:
777:
776:
772:
754:
753:
749:
719:
718:
714:
705:
703:
698:
697:
693:
689:
652:
651:
599:
598:
521:
520:
484:
483:
444:
443:
394:
393:
334:
333:
292:
291:
245:
244:
205:
204:
168:
167:
134:
133:
97:
96:
73:
59:
52:
41:
27:
24:packing problem
17:
12:
11:
5:
1109:
1107:
1099:
1098:
1093:
1091:Circle packing
1083:
1082:
1077:
1076:
1069:
1062:
1054:
1051:
1050:
1033:
1016:
1015:
1013:
1012:
1007:
1001:
999:
995:
994:
992:
991:
986:
980:
978:
974:
973:
971:
970:
968:Square packing
964:
962:
958:
957:
955:
954:
949:
947:Kissing number
944:
939:
934:
929:
924:
919:
913:
911:
909:Sphere packing
905:
904:
902:
901:
893:
888:
883:
865:
863:
861:Circle packing
857:
856:
854:
853:
848:
842:
840:
836:
835:
830:
828:
827:
820:
813:
805:
798:
797:
770:
747:
728:(2): 169–175.
712:
690:
688:
685:
682:
681:
667:
662:
659:
649:
645:
644:
630:
625:
622:
617:
612:
609:
606:
596:
592:
591:
588:
584:
583:
580:
576:
575:
561:
553:
550:
544:
539:
534:
531:
528:
518:
514:
513:
499:
494:
491:
481:
477:
476:
462:
457:
454:
451:
441:
437:
436:
422:
417:
412:
407:
404:
401:
391:
387:
386:
370:
365:
362:
359:
354:
349:
344:
341:
331:
327:
326:
307:
302:
299:
289:
285:
284:
270:
265:
260:
255:
252:
242:
238:
237:
223:
218:
215:
212:
202:
198:
197:
183:
178:
175:
165:
161:
160:
146:
141:
131:
127:
126:
112:
107:
104:
94:
90:
89:
86:
15:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
1108:
1097:
1094:
1092:
1089:
1088:
1086:
1075:
1070:
1068:
1063:
1061:
1056:
1055:
1049:
1047:
1043:
1039:
1034:
1031:
1027:
1022:
1011:
1008:
1006:
1003:
1002:
1000:
996:
990:
987:
985:
982:
981:
979:
975:
969:
966:
965:
963:
959:
953:
950:
948:
945:
943:
942:Close-packing
940:
938:
937:In a cylinder
935:
933:
930:
928:
925:
923:
920:
918:
915:
914:
912:
910:
906:
900:
894:
892:
889:
887:
884:
882:
878:
874:
870:
867:
866:
864:
862:
858:
852:
849:
847:
844:
843:
841:
837:
833:
826:
821:
819:
814:
812:
807:
806:
803:
793:
789:
785:
781:
774:
771:
766:
762:
758:
751:
748:
743:
739:
735:
731:
727:
723:
716:
713:
702:
695:
692:
686:
665:
660:
657:
650:
647:
646:
628:
623:
620:
615:
610:
607:
604:
597:
594:
593:
589:
586:
585:
581:
578:
577:
559:
551:
548:
542:
537:
532:
529:
526:
519:
516:
515:
497:
492:
489:
482:
479:
478:
460:
455:
452:
449:
442:
439:
438:
420:
415:
410:
405:
402:
399:
392:
389:
388:
368:
363:
360:
357:
352:
347:
342:
339:
332:
329:
328:
324:
305:
300:
297:
290:
287:
286:
268:
263:
258:
253:
250:
243:
240:
239:
221:
216:
213:
210:
203:
200:
199:
181:
176:
173:
166:
163:
162:
144:
139:
132:
129:
128:
110:
105:
102:
95:
92:
91:
87:
84:
83:
80:
76:
71:
66:
62:
55:
50:
46:
38:
36:
32:
25:
21:
1046:expanding it
1035:
1020:
879: /
876:
875: /
871: /
783:
779:
773:
756:
750:
725:
721:
715:
704:. Retrieved
694:
680:= 11.414...
643:= 11.141...
574:= 10.059...
74:
67:
60:
53:
39:
31:unit circles
19:
18:
984:Tetrahedron
927:In a sphere
898:(on sphere)
869:In a circle
512:= 9.414...
475:= 9.071...
435:= 8.692...
385:= 8.181...
320:= 7.414...
283:= 7.146...
236:= 6.242...
196:= 5.414...
159:= 4.828...
125:= 3.414...
1085:Categories
917:Apollonian
786:(3): 512.
765:10119/1422
706:2011-05-01
687:References
590:10.798...
582:10.422...
68:In 2011 a
989:Ellipsoid
932:In a cube
742:189916723
998:Puzzles
88:Length
49:optimal
1005:Conway
922:Finite
881:square
740:
56:< 8
45:points
1036:This
738:S2CID
22:is a
1042:stub
77:= 13
63:= 10
51:for
851:Set
846:Bin
788:doi
784:214
761:hdl
730:doi
648:15
595:14
587:13
579:12
517:11
480:10
1087::
782:.
736:.
726:12
724:.
658:10
440:9
390:8
330:7
288:6
241:5
201:4
164:3
130:2
93:1
79:.
65:.
37:.
1073:e
1066:t
1059:v
1048:.
824:e
817:t
810:v
794:.
790::
767:.
763::
744:.
732::
709:.
666:2
661:+
629:6
624:2
621:+
616:2
611:3
608:+
605:2
560:6
552:3
549:1
543:+
538:2
533:3
530:+
527:5
498:2
493:+
490:8
461:2
456:5
453:+
450:2
421:6
416:+
411:2
406:3
403:+
400:2
369:2
364:4
361:+
358:2
353:+
348:2
343:+
340:4
306:2
301:+
298:6
269:3
264:+
259:2
254:+
251:4
222:2
217:3
214:+
211:2
182:2
177:+
174:4
145:2
140:2
111:2
106:+
103:2
75:n
61:n
54:n
42:n
28:n
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.
