327:
594:
47:
106:
2000:
2501:
Because complex differentiation is linear and obeys the product, quotient, and chain rules, the sums, products and compositions of holomorphic functions are holomorphic, and the quotient of two holomorphic functions is holomorphic wherever the denominator is not zero. That is, if functions
2492:
Today, the term "holomorphic function" is sometimes preferred to "analytic function". An important result in complex analysis is that every holomorphic function is complex analytic, a fact that does not follow obviously from the definitions. The term "analytic" is however also in wide use.
4167:
6834:. However, they also come with some fundamental restrictions. Unlike functions of a single complex variable, the possible domains on which there are holomorphic functions that cannot be extended to larger domains are highly limited. Such a set is called a
6825:
Functions of several complex variables are in some basic ways more complicated than functions of a single complex variable. For example, the region of convergence of a power series is not necessarily an open ball; these regions are logarithmically-convex
4779:
4012:
1889:
4982:
3835:
6440:
1109:
5788:
5964:
5676:
5888:
5240:
1607:
464:
is often used interchangeably with "holomorphic function", the word "analytic" is defined in a broader sense to denote any function (real, complex, or of more general type) that can be written as a convergent
4047:
2150:
3173:
5464:
3382:
3037:
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2937:
1779:
706:
6260:
6221:
3526:
3446:
4877:
4814:
6649:
1995:{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}
433:
6030:
641:
5288:
4843:
4688:
4547:
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3897:
2208:
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5312:
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3652:
3407:
859:
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5994:
5830:
5567:
3128:
769:
6875:
5112:
4602:
4515:
1467:
1432:
1287:
1228:
1173:
973:
581:
550:
519:
7092:
Une fraction rationnelle admet comme pôles les racines du dénominateur; c'est une fonction holomorphe dans toute partie du plan qui ne contient aucun de ses pôles.
5345:
6755:
6149:
2719:
2630:
2600:
2657:
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6807:
6779:
6725:
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6673:
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6588:
6564:
6540:
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5500:
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5160:
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5030:
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4278:
4254:
4216:
4037:
3742:
3732:
3704:
3680:
3628:
3221:
3197:
3089:
3061:
2767:
2743:
2570:
2546:
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2411:
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2339:
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2175:
2090:
2029:
1875:
1851:
1827:
1803:
1688:
1660:
1632:
1519:
1495:
1397:
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942:
914:
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793:
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6320:
4910:
5685:
5901:
5579:
986:
4446:
350:
5839:
7581:
402:
383:
7177:
5169:
3888:
1529:
2842:, then the holomorphic functions coincide with those functions of two real variables with continuous first derivatives which solve the
4231:
4162:{\displaystyle f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},}
474:
438:
7492:
7351:
7317:
6990:
343:
208:
2100:
437:. The existence of a complex derivative in a neighbourhood is a very strong condition: It implies that a holomorphic function is
3141:
6959:
5422:
7422:
7299:
3416:
2474:
398:
3333:
2988:
7657:
7474:
7242:
7205:
2847:
6110:
2843:
1880:
175:
3491:
3316:
213:
203:
6315:
The definition of a holomorphic function generalizes to several complex variables in a straightforward way. A function
2316:
7674:
7652:
7200:
6154:
6039:
3605:
1695:
The relationship between real differentiability and complex differentiability is the following: If a complex function
1437:
394:
33:
2391:
have first partial derivatives (but not necessarily continuous), and they satisfy the Cauchy–Riemann equations, then
5378:
7349:
Gray, J.D.; Morris, S.A. (April 1978). "When is a function that satisfies the Cauchy-Riemann equations analytic?".
7483:. Wiley Classics Library. Vol. 3 (Reprint ed.). New York - Chichester - Brisbane - Toronto - Singapore:
6822:
of its domain is analytic if and only if it satisfies the Cauchy–Riemann equations in the sense of distributions.
6913:
6905:
6842:
2950:
2812:
1526:
A function may be complex differentiable at a point but not holomorphic at this point. For example, the function
267:
7099:
Lorsqu'une fonction est holomorphe dans une partie du plan, excepté en certains pôles, nous dirons qu'elle est
7020:
6995:
6304:
3535:
3455:
3230:
2858:
1700:
650:
6233:
6194:
5572:
390:
379:
3503:
3423:
5999:
4611:
3133:
2477:
of the complex plane while a meromorphic function (defined to mean holomorphic except at certain isolated
7448:
7389:
7146:
7035:
2482:
2436:
2428:
1296:
283:
85:
7647:
7195:
6969:
2981:
326:
258:
6625:
6264:
are not holomorphic. Another typical example of a continuous function which is not holomorphic is the
4774:{\displaystyle 0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z}
593:
409:
7484:
7025:
7005:
6835:
6077:
6006:
5539:
5245:
4390:
2457:
2006:
602:
470:
293:
228:
7430:
5257:
4852:
4789:
4007:{\displaystyle f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,}
7456:
7452:
7393:
7262:
6965:
6784:
4823:
4527:
4520:
3709:
3657:
2432:
1122:, except that all quantities are complex. In particular, the limit is taken as the complex number
978:
180:
142:
6085:
5517:
3573:
2783:
7368:
7261:
Ebenfelt, Peter; Hungerbühler, Norbert; Kohn, Joseph J.; Mok, Ngaiming; Straube, Emil J. (2011).
7030:
6973:
6272:
4450:
3495:
3066:
331:
238:
7397:
5793:
5249:
2481:), resembles a rational fraction ("part") of entire functions in a domain of the complex plane.
2184:
2038:
2462:
2448:
2239:
If continuity is not given, the converse is not necessarily true. A simple converse is that if
7628:
7577:
7524:
7488:
7313:
7015:
6815:
6678:
6265:
6114:
6073:
5801:
3841:
2942:
2666:
2067:
460:
447:
253:
165:
137:
6885:
5297:
5066:
4177:
3852:
3637:
3392:
826:
7506:
7360:
7331:
6964:
The concept of a holomorphic function can be extended to the infinite-dimensional spaces of
6827:
6161:
5973:
5809:
5797:
5546:
5509:
4386:
3412:
3320:
3098:
2805:
739:
452:
313:
308:
298:
274:
189:
160:
151:
127:
97:
7591:
7502:
7327:
7081:
dans cette partie du plan. Nous indiquons par cette dénomination qu'elle est semblable aux
6848:
5090:
4580:
4493:
2440:
1445:
1410:
1265:
1206:
1151:
951:
559:
528:
497:
7587:
7555:
7510:
7498:
7335:
7323:
7082:
5321:
4418:
3830:{\displaystyle f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z}
3324:
2478:
2470:
489:
233:
198:
6734:
6124:
2696:
2609:
2579:
17:
4658:
2639:
1177:, and this means that the same value is obtained for any sequence of complex values for
868:
710:
varies depending on the direction from which zero is approached. On the real axis only,
6792:
6764:
6710:
6686:
6681:
shows (using the multivariate Cauchy integral formula) that, for a continuous function
6658:
6601:
6573:
6549:
6525:
6501:
6477:
6449:
6435:{\displaystyle f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}
6226:
6187:
6118:
5485:
5354:
5145:
5121:
5039:
5015:
4991:
4886:
4556:
4469:
4458:
4426:
4398:
4363:
4339:
4315:
4291:
4263:
4239:
4201:
4022:
3717:
3689:
3665:
3613:
3206:
3182:
3074:
3046:
2752:
2728:
2555:
2531:
2507:
2396:
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2348:
2324:
2296:
2268:
2244:
2217:
2160:
2075:
2014:
1860:
1836:
1812:
1788:
1673:
1645:
1617:
1504:
1480:
1382:
1358:
1326:
1237:
1182:
1127:
927:
899:
802:
778:
715:
386:
288:
223:
218:
113:
58:
4977:{\displaystyle \mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0}
4385:
From an algebraic point of view, the set of holomorphic functions on an open set is a
473:. That all holomorphic functions are complex analytic functions, and vice versa, is a
7668:
7309:
7074:
4283:
4224:
1304:
1119:
485:
442:
248:
243:
132:
51:
7184:. European Mathematical Society / Springer. 2015 – via encyclopediaofmath.org.
3498:
is completely determined by its values on the disk's boundary. Furthermore: Suppose
7569:
7426:
7225:
7010:
7000:
6977:
1300:
466:
40:
2315:
is holomorphic. A more satisfying converse, which is much harder to prove, is the
7478:
7303:
6819:
5893:
5505:
2772:
371:
303:
122:
5783:{\displaystyle \sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}}
4382:
in any disk centred at that point and lying within the domain of the function.
7547:
5959:{\displaystyle {\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}}
5477:
2853:
Every holomorphic function can be separated into its real and imaginary parts
1308:
1292:
1115:
6811:
is holomorphic if and only if it is holomorphic in each variable separately.
5671:{\displaystyle \cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}}
4223:
In regions where the first derivative is not zero, holomorphic functions are
1104:{\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}
645:
is not complex \differentiable at zero, because as shown above, the value of
7070:
7632:
1291:. This concept of complex differentiability shares several properties with
46:
32:
For
Zariski's theory of holomorphic functions on an algebraic variety, see
7073:, et a une dérivée, quand la variable se meut dans une certaine partie du
1640:
complex differentiable anywhere else, esp. including in no place close to
105:
6831:
6783:
is a holomorphic function of the remaining coordinate). The much deeper
2291:
first partial derivatives and satisfy the Cauchy–Riemann equations, then
1319:
5883:{\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}}
7372:
4454:
4227:: they preserve angles and the shape (but not size) of small figures.
7364:
2455:) meaning "form" or "appearance" or "type", in contrast to the term
7408:] (in French) (2nd ed.). Gauthier-Villars. pp. 14–15.
6729:
being holomorphic in each variable separately (meaning that if any
5235:{\displaystyle F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z}
554:, but differentiable everywhere within some close neighbourhood of
1602:{\displaystyle \textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}}
592:
45:
7103:
dans cette partie du plan, c'est-à-dire semblable aux fractions
6814:
More generally, a function of several complex variables that is
4393:. Additionally, the set of holomorphic functions in an open set
6976:
can be used to define a notion of a holomorphic function on a
7085:
qui jouissent de ces propriétés dans toute l'étendue du plan.
451:). Holomorphic functions are the central objects of study in
7267:. Science & Business Media. Springer – via Google.
4099:
2145:{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,}
3168:{\displaystyle \textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}
5459:{\displaystyle f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}}
480:
Holomorphic functions are also sometimes referred to as
7417:
7415:
39:"Holomorphism" redirects here. Not to be confused with
6787:
proves that the continuity assumption is unnecessary:
6011:
5929:
5707:
5598:
3377:{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.}
3145:
3032:{\displaystyle \textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0}
2992:
2954:
2816:
2469:) meaning "part". A holomorphic function resembles an
1938:
1533:
6916:
6888:
6851:
6795:
6767:
6737:
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6689:
6661:
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6552:
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6480:
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3426:
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3185:
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3101:
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1839:
1815:
1791:
1703:
1676:
1664:(see the Cauchy–Riemann equations, below). So, it is
1648:
1620:
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653:
605:
562:
531:
500:
412:
61:
7384:
7382:
5968:
and is therefore holomorphic wherever the logarithm
5010:that is holomorphic on the simply connected region
4017:for any simple loop positively winding once around
484:. A holomorphic function whose domain is the whole
6940:
6904:is holomorphic if and only if its antiholomorphic
6894:
6869:
6801:
6773:
6749:
6719:
6695:
6667:
6643:
6610:
6582:
6558:
6534:
6510:
6486:
6458:
6434:
6293:
6254:
6215:
6176:
6143:
6096:
6062:
6024:
5988:
5958:
5882:
5824:
5782:
5670:
5561:
5528:
5494:
5458:
5407:
5363:
5339:
5306:
5282:
5234:
5154:
5130:
5106:
5075:
5048:
5024:
5000:
4976:
4895:
4871:
4837:
4808:
4773:
4672:
4643:
4596:
4565:
4541:
4509:
4478:
4435:
4407:
4372:
4348:
4324:
4300:
4272:
4248:
4210:
4186:
4161:
4031:
4006:
3877:
3829:
3726:
3698:
3674:
3646:
3622:
3594:
3558:
3520:
3478:
3440:
3401:
3376:
3303:
3215:
3191:
3167:
3122:
3083:
3055:
3031:
2970:
2931:
2832:
2794:
2761:
2737:
2713:
2681:
2651:
2624:
2594:
2564:
2540:
2516:
2405:
2381:
2357:
2333:
2305:
2277:
2253:
2226:
2202:
2169:
2144:
2084:
2056:
2023:
1994:
1869:
1845:
1821:
1797:
1773:
1682:
1654:
1626:
1601:
1513:
1489:
1461:
1426:
1391:
1367:
1335:
1281:
1246:
1222:
1191:
1167:
1136:
1103:
967:
936:
908:
880:
853:
811:
787:
763:
724:
700:
635:
575:
544:
513:
427:
67:
4059:
3909:
3450:whose start point is equal to its end point, and
6063:{\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \{0\}}
5292:is independent of the particular choice of path
3494:states that every function holomorphic inside a
1018:
7607:Analytic Functions of Several Complex Variables
7576:(3rd ed.). New York: McGraw–Hill Book Co.
7305:Analytic Functions of Several Complex Variables
7157:in French), in the first edition of their book.
6759:coordinates are fixed, then the restriction of
6113:, any real-valued holomorphic function must be
3177:is the real part of a holomorphic function: If
1831:have first partial derivatives with respect to
50:A rectangular grid (top) and its image under a
7627:(2nd ed.). London, UK: Blackie and Sons.
5408:{\displaystyle \mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z}
3568:is a holomorphic function and the closed disk
29:Complex-differentiable (mathematical) function
5951:
5923:
5775:
5723:
5663:
5611:
4282:in its domain, and it coincides with its own
4258:has derivatives of every order at each point
351:
8:
7461:Théorie des fonctions doublement périodiques
7178:"Analytic functions of one complex variable"
7142:
7109:
6057:
6051:
5877:
5851:
3583:
6941:{\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0}
3887:can be written as a contour integral using
2971:{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}
2833:{\displaystyle \textstyle \mathbb {R} ^{2}}
7480:Applied and Computational Complex Analysis
7247:Applied and Computational Complex Analysis
6072:. (The reciprocal function, and any other
890:. Other directions yield yet other limits.
358:
344:
80:
7308:. Modern Analysis. Englewood Cliffs, NJ:
7294:
7292:
7283:Theory of Functions of a Complex Variable
7145:, p. 11 had previously also adopted
6918:
6917:
6915:
6887:
6850:
6794:
6766:
6736:
6712:
6688:
6660:
6635:
6631:
6630:
6627:
6603:
6575:
6551:
6544:is equal to a convergent power series in
6527:
6503:
6479:
6451:
6423:
6404:
6391:
6369:
6350:
6337:
6322:
6277:
6276:
6274:
6235:
6196:
6163:
6136:
6128:
6126:
6090:
6089:
6087:
6044:
6043:
6041:
6010:
6008:
5975:
5950:
5949:
5928:
5922:
5921:
5905:
5903:
5861:
5860:
5844:
5843:
5841:
5811:
5774:
5773:
5722:
5721:
5706:
5695:
5687:
5662:
5661:
5610:
5609:
5597:
5589:
5581:
5548:
5522:
5521:
5519:
5487:
5445:
5435:
5432:
5424:
5397:
5396:
5382:
5380:
5356:
5323:
5299:
5265:
5259:
5224:
5223:
5214:
5177:
5171:
5147:
5123:
5098:
5092:
5068:
5041:
5017:
4993:
4960:
4949:
4948:
4926:
4925:
4914:
4912:
4905:is infinitely differentiable. Similarly,
4888:
4856:
4854:
4827:
4825:
4793:
4791:
4763:
4747:
4733:
4732:
4716:
4704:
4699:
4690:
4660:
4633:
4632:
4613:
4588:
4582:
4558:
4531:
4529:
4501:
4495:
4471:
4464:From a geometric perspective, a function
4428:
4400:
4365:
4341:
4317:
4293:
4265:
4241:
4203:
4179:
4145:
4144:
4139:
4138:
4120:
4098:
4097:
4088:
4076:
4049:
4024:
3993:
3992:
3983:
3950:
3944:
3922:
3899:
3856:
3854:
3819:
3818:
3789:
3783:
3761:
3744:
3719:
3691:
3667:
3639:
3615:
3575:
3559:{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }
3552:
3551:
3537:
3514:
3513:
3505:
3479:{\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }
3472:
3471:
3457:
3434:
3433:
3425:
3394:
3360:
3359:
3341:
3335:
3282:
3232:
3208:
3184:
3158:
3154:
3153:
3143:
3100:
3076:
3048:
3013:
2997:
2990:
2961:
2957:
2956:
2952:
2910:
2860:
2823:
2819:
2818:
2814:
2788:
2787:
2785:
2754:
2730:
2703:
2698:
2668:
2641:
2611:
2581:
2557:
2533:
2509:
2398:
2374:
2350:
2326:
2298:
2270:
2246:
2219:
2189:
2188:
2186:
2162:
2119:
2118:
2104:
2102:
2077:
2043:
2042:
2040:
2016:
1991:
1971:
1945:
1937:
1916:
1893:
1891:
1862:
1838:
1814:
1790:
1752:
1702:
1675:
1647:
1619:
1587:
1586:
1574:
1564:
1563:
1557:
1549:
1531:
1506:
1482:
1453:
1447:
1418:
1412:
1384:
1360:
1328:
1273:
1267:
1239:
1214:
1208:
1184:
1159:
1153:
1129:
1089:
1068:
1040:
1032:
1021:
1005:
988:
959:
953:
929:
901:
870:
828:
804:
780:
741:
717:
654:
652:
622:
621:
604:
567:
561:
536:
530:
505:
499:
419:
415:
414:
411:
60:
5512:(holomorphic in the whole complex plane
3304:{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}
2932:{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}
2439:'s students, and derives from the Greek
1774:{\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)}
701:{\displaystyle {\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}}
469:in a neighbourhood of each point in its
7542:
7540:
7538:
7251:Three volumes, publ.: 1974, 1977, 1986.
7169:
7048:
4447:locally convex topological vector space
1499:if it is holomorphic at every point of
1114:This is the same definition as for the
797:, while along the imaginary axis only,
273:
266:
188:
150:
112:
96:
7276:
7274:
6255:{\displaystyle \operatorname {Im} (z)}
6216:{\displaystyle \operatorname {Re} (z)}
3323:of every holomorphic function along a
3093:. Conversely, every harmonic function
7435:A Treatise on the Theory of Functions
6830:, the simplest example of which is a
3521:{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }
3441:{\displaystyle U\subset \mathbb {C} }
492:. The phrase "holomorphic at a point
7:
4881:is itself holomorphic and thus that
4644:{\displaystyle f'(z)\,\mathrm {d} z}
4358:coincides with its Taylor series at
3840:where the contour integral is taken
6980:over the field of complex numbers.
6653:if it is analytic at each point in
6496:if there exists a neighbourhood of
523:" means not just differentiable at
7406:Theory of the Elliptical Functions
7069:Lorsqu'une fonction est continue,
6920:
5446:
5436:
5398:
5383:
5225:
4961:
4950:
4927:
4915:
4857:
4828:
4794:
4764:
4748:
4734:
4717:
4700:
4634:
4532:
4234:. That is, a holomorphic function
4140:
3994:
3820:
3361:
3146:
3010:
2994:
2115:
2107:
1982:
1974:
1956:
1948:
1927:
1919:
1904:
1896:
918:of a single complex variable, the
25:
7402:Théorie des fonctions elliptiques
7352:The American Mathematical Monthly
6991:Antiderivative (complex analysis)
4172:for infinitesimal positive loops
2179:is functionally independent from
475:major theorem in complex analysis
7531:. American Mathematical Society.
6954:Extension to functional analysis
6644:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
6568:complex variables; the function
4445:is connected. In fact, it is a
4232:holomorphic function is analytic
3889:Cauchy's differentiation formula
3225:, unique up to a constant, then
977:in its domain is defined as the
894:Given a complex-valued function
428:{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
325:
104:
7463:. Mallet-Bachelier. p. 11.
7055:The original French terms were
6960:infinite-dimensional holomorphy
6025:{\displaystyle {\tfrac {1}{z}}}
4847:, implying that the derivative
2155:which is to say that, roughly,
1944:
1936:
636:{\displaystyle f(z)={\bar {z}}}
7529:Partial Differential Equations
6923:
6864:
6852:
6429:
6384:
6378:
6375:
6330:
6282:
6249:
6243:
6210:
6204:
6137:
6129:
5770:
5758:
5746:
5734:
5658:
5646:
5634:
5622:
5349:is a well-defined function on
5334:
5328:
5283:{\displaystyle F_{\gamma }(z)}
5277:
5271:
5204:
5198:
5189:
5183:
4934:
4919:
4872:{\displaystyle \mathrm {d} f'}
4809:{\displaystyle \mathrm {d} f'}
4741:
4721:
4629:
4623:
4150:
4135:
4129:
4110:
4104:
4080:
4066:
4060:
3980:
3967:
3962:
3956:
3916:
3910:
3872:
3866:
3801:
3795:
3755:
3749:
3548:
3468:
3356:
3350:
3298:
3286:
3273:
3261:
3252:
3237:
3117:
3105:
2926:
2914:
2901:
2889:
2880:
2865:
2848:partial differential equations
2194:
2124:
2048:
1768:
1756:
1743:
1731:
1722:
1707:
1592:
1558:
1550:
1543:
1537:
1074:
1061:
1052:
1046:
1025:
1011:
998:
839:
833:
821:equals the different function
752:
746:
681:
675:
666:
660:
627:
615:
609:
1:
5834:is holomorphic on the domain
4838:{\displaystyle \mathrm {d} z}
4653:for some continuous function
4542:{\displaystyle \mathrm {d} f}
3201:is the harmonic conjugate of
1436:if it is holomorphic on some
441:and locally equal to its own
6097:{\displaystyle \mathbb {C} }
5529:{\displaystyle \mathbb {C} }
4421:if and only if the open set
3595:{\displaystyle D\equiv \{z:}
2795:{\displaystyle \mathbb {C} }
2550:are holomorphic in a domain
1565:
7653:Encyclopedia of Mathematics
7398:"§15 fonctions holomorphes"
7281:Markushevich, A.I. (1965).
7201:Encyclopedia of Mathematics
7182:Encyclopedia of Mathematics
6294:{\displaystyle {\bar {z}}.}
5896:function can be defined as
5250:generalized Stokes' theorem
4073:
3488:is a holomorphic function.
2212:, the complex conjugate of
34:formal holomorphic function
7691:
7143:Briot & Bouquet (1859)
7110:Briot & Bouquet (1875)
7077:, nous dirons qu'elle est
6957:
6303:(The complex conjugate is
4986:implies that any function
3656:be the circle forming the
2485:had instead used the term
2427:was introduced in 1875 by
2203:{\displaystyle {\bar {z}}}
2057:{\displaystyle {\bar {z}}}
1612:complex differentiable at
38:
31:
7574:Real and Complex Analysis
7437:. Macmillan. p. 161.
3492:Cauchy's integral formula
3317:Cauchy's integral theorem
2941:, and each of these is a
439:infinitely differentiable
268:Geometric function theory
214:Cauchy's integral formula
204:Cauchy's integral theorem
18:Complex analytic function
7021:Holomorphic separability
6996:Antiholomorphic function
6705:, this is equivalent to
6111:Cauchy–Riemann equations
6109:As a consequence of the
4818:is also proportional to
2844:Cauchy–Riemann equations
2682:{\displaystyle f\circ g}
1881:Cauchy–Riemann equations
403:complex coordinate space
176:Cauchy–Riemann equations
7623:Blakey, Joseph (1958).
7554:. Springer Verlag GTM.
7230:Complex Analysis, 3 ed.
6895:{\displaystyle \alpha }
5573:trigonometric functions
5307:{\displaystyle \gamma }
5076:{\displaystyle \gamma }
4187:{\displaystyle \gamma }
3878:{\displaystyle {f'}(a)}
3647:{\displaystyle \gamma }
3402:{\displaystyle \gamma }
2447:) meaning "whole", and
2317:Looman–Menchoff theorem
1232:. If the limit exists,
854:{\displaystyle h(z)=-z}
380:complex-valued function
161:Complex-valued function
7625:University Mathematics
7302:; Rossi, Hugo (1965).
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547:
545:{\displaystyle z_{0}}
516:
514:{\displaystyle z_{0}}
430:
284:Augustin-Louis Cauchy
86:Mathematical analysis
70:
49:
7232:(McGraw-Hill, 1979).
7026:Meromorphic function
6968:. For instance, the
6914:
6906:Dolbeault derivative
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6849:
6836:domain of holomorphy
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5540:exponential function
5518:
5486:
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5379:
5355:
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5322:
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734:equals the function
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376:holomorphic function
294:Carl Friedrich Gauss
229:Isolated singularity
171:Holomorphic function
59:
7648:"Analytic function"
7605:Gunning and Rossi.
7513:– via Google.
7338:– via Google.
7196:"Analytic function"
6966:functional analysis
6750:{\displaystyle n-1}
6144:{\displaystyle |z|}
6000:reciprocal function
4551:in a neighbourhood
4521:exterior derivative
4519:if and only if its
2771:; otherwise it is
2714:{\displaystyle f/g}
2625:{\displaystyle f-g}
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2433:Jean-Claude Bouquet
1571:
1566:
397:of each point in a
181:Formal power series
143:Unit complex number
7675:Analytic functions
7300:Gunning, Robert C.
7083:fonctions entières
7031:Quadrature domains
7016:Harmonic morphisms
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5559:
5538:), and so are the
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5492:
5456:
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5304:
5280:
5244:; in light of the
5232:
5152:
5140:lying entirely in
5128:
5104:
5073:
5046:
5022:
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4974:
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4869:
4835:
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4682:. It follows from
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4563:
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4507:
4488:is holomorphic at
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1942:
1879:, and satisfy the
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881:{\displaystyle -1}
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698:
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573:
542:
511:
425:
389:variables that is
259:Laplace's equation
239:Argument principle
79:
65:
7583:978-0-07-054234-1
7006:Cauchy's estimate
6926:
6828:Reinhardt domains
6816:square integrable
6802:{\displaystyle f}
6774:{\displaystyle f}
6720:{\displaystyle f}
6696:{\displaystyle f}
6668:{\displaystyle U}
6611:{\displaystyle U}
6583:{\displaystyle f}
6559:{\displaystyle n}
6535:{\displaystyle f}
6511:{\displaystyle p}
6487:{\displaystyle p}
6459:{\displaystyle n}
6311:Several variables
6285:
6266:complex conjugate
6117:. Therefore, the
6074:rational function
6019:
5937:
5910:
5802:complex logarithm
5715:
5606:
5495:{\displaystyle z}
5454:
5364:{\displaystyle U}
5155:{\displaystyle U}
5131:{\displaystyle z}
5049:{\displaystyle U}
5025:{\displaystyle U}
5001:{\displaystyle f}
4896:{\displaystyle f}
4566:{\displaystyle U}
4479:{\displaystyle f}
4436:{\displaystyle U}
4408:{\displaystyle U}
4373:{\displaystyle a}
4349:{\displaystyle f}
4325:{\displaystyle a}
4301:{\displaystyle a}
4273:{\displaystyle a}
4249:{\displaystyle f}
4211:{\displaystyle a}
4153:
4114:
4072:
4032:{\displaystyle a}
3990:
3938:
3842:counter-clockwise
3816:
3777:
3727:{\displaystyle D}
3699:{\displaystyle a}
3684:. Then for every
3675:{\displaystyle D}
3623:{\displaystyle U}
3319:implies that the
3216:{\displaystyle u}
3192:{\displaystyle v}
3084:{\displaystyle u}
3056:{\displaystyle v}
2943:harmonic function
2762:{\displaystyle U}
2738:{\displaystyle g}
2565:{\displaystyle U}
2541:{\displaystyle g}
2517:{\displaystyle f}
2406:{\displaystyle f}
2382:{\displaystyle v}
2358:{\displaystyle u}
2334:{\displaystyle f}
2306:{\displaystyle f}
2278:{\displaystyle v}
2254:{\displaystyle u}
2227:{\displaystyle z}
2197:
2170:{\displaystyle f}
2131:
2127:
2085:{\displaystyle z}
2068:complex conjugate
2051:
2024:{\displaystyle f}
1989:
1963:
1941:
1934:
1911:
1870:{\displaystyle y}
1846:{\displaystyle x}
1822:{\displaystyle v}
1798:{\displaystyle u}
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1655:{\displaystyle 0}
1627:{\displaystyle 0}
1595:
1514:{\displaystyle A}
1490:{\displaystyle A}
1392:{\displaystyle f}
1368:{\displaystyle U}
1336:{\displaystyle U}
1247:{\displaystyle f}
1192:{\displaystyle z}
1137:{\displaystyle z}
1096:
1017:
937:{\displaystyle f}
909:{\displaystyle f}
863:and the limit is
812:{\displaystyle f}
788:{\displaystyle 1}
773:and the limit is
725:{\displaystyle f}
696:
630:
482:regular functions
461:analytic function
368:
367:
254:Harmonic function
166:Analytic function
152:Complex functions
138:Complex conjugate
68:{\displaystyle f}
16:(Redirected from
7682:
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