190:
36:
3656:
872:
2175:
1730:
3945:
3354:
3105:
3678:
can be estimated by averaging the product of samples measured from one process and samples measured from the other (and its time shifts). The samples included in the average can be an arbitrary subset of all the samples in the signal (e.g., samples within a finite time window or a
4195:
2866:
3511:
536:
2636:
1230:
1900:
1462:
3503:
3762:
3130:
2881:
4309:
2474:
2345:
1046:
964:
467:
4028:
2733:
1881:
1814:
4417:
528:
1140:
1102:
3651:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}
3433:
3398:
2253:
2218:
365:
330:
393:
2725:
165:
1282:
1256:
2676:
2514:
2385:
1072:
1421:
1386:
867:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu _{X}(t_{1})\mu _{Y}(t_{2}).\,}
1451:
4020:
3991:
2525:
3754:
3725:
1145:
2170:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left}
1725:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2}){\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \operatorname {cov} (X_{t_{1}},Y_{t_{2}})=\operatorname {E} \left}
158:
3940:{\displaystyle (f\star g)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f}}g=\sum _{k\in \mathbb {Z} }{\overline {f}}g}
3442:
3349:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t+\tau },Y_{t})=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu _{X}\mu _{Y}}
3100:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {cov} (X_{t},Y_{t-\tau })=\operatorname {E} =\operatorname {E} -\mu _{X}\mu _{Y}}
4216:
4514:
4471:
Kun Il Park, Fundamentals of
Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications, Springer, 2018, 978-3-319-68074-3
2394:
2265:
969:
887:
151:
409:
273:
207:
4190:{\displaystyle (f\star g)(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int {\overline {f(t)}}g(x+t)\,dt=\int {\overline {f(t-x)}}g(t)\,dt}
2861:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(\tau )=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1})\triangleq \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})}
254:
226:
211:
4519:
2256:
1819:
1752:
233:
1303:, commonly used to find features in an unknown signal by comparing it to a known one. It is a function of the relative
1300:
4324:
472:
4524:
27:
240:
200:
1107:
137:
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1331:
132:
67:
3403:
3368:
2223:
2188:
399:
335:
300:
52:
3680:
3672:
378:
2684:
4315:
3683:
of one of the signals). For a large number of samples, the average converges to the true covariance.
295:
3962:
1315:
1265:
1239:
2641:
2479:
2350:
1342:
1296:
4499:
1051:
4449:
3951:
3668:
1891:
1391:
1356:
1292:
1288:
1259:
878:
247:
179:
127:
92:
62:
3675:
1426:
2631:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {K} _{XY}(t_{2}-t_{1},0)}
4489:
4434:
3996:
3967:
2727:(the time lag, or the amount of time by which the signal has been shifted), we may define
122:
87:
4314:
and the (deterministic) cross-covariance of two discrete-time signals is related to the
4429:
3955:
3730:
3701:
1887:
396:
97:
4484:
4508:
4494:
3695:
1319:
1236:
is used in order to distinguish this concept from the covariance of a random vector
2872:
The cross-covariance function of two jointly WSS processes is therefore given by:
4206:
The (deterministic) cross-covariance of two continuous signals is related to the
1423:
denote stochastic processes. Then the cross-covariance function of the processes
1225:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}(j,k)=\operatorname {cov} (X_{j},Y_{k}).\,}
4444:
4439:
4207:
1310:
287:
189:
375:
of one process with the other at pairs of time points. With the usual notation
372:
291:
35:
20:
1341:
The definition of cross-covariance of random vectors may be generalized to
3498:{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})}
4304:{\displaystyle (f\star g)(t)=({\overline {f(-\tau )}}*g(\tau ))(t)}
2469:{\displaystyle \mu _{Y}(t_{1})=\mu _{Y}(t_{2})\triangleq \mu _{Y}}
2340:{\displaystyle \mu _{X}(t_{1})=\mu _{X}(t_{2})\triangleq \mu _{X}}
1041:{\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{q})^{\rm {T}}}
959:{\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{p})^{\rm {T}}}
1304:
403:
462:{\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {\operatorname {E} } }
183:
102:
4500:
http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf
4490:
http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
877:
Cross-covariance is related to the more commonly used
4327:
4219:
4031:
3999:
3970:
3765:
3733:
3704:
3514:
3445:
3406:
3371:
3133:
2884:
2736:
2687:
2644:
2528:
2482:
2397:
2353:
2268:
2226:
2191:
1903:
1822:
1755:
1465:
1429:
1394:
1359:
1268:
1242:
1148:
1110:
1080:
1054:
972:
890:
539:
475:
412:
381:
338:
303:
3690:
between two signals. This consists of summing over
1890:
stochastic processes, the second factor needs to be
4022:the (deterministic) cross-covariance is defined as
1876:{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} \left}
1809:{\displaystyle \mu _{X}(t)=\operatorname {E} \left}
214:. Unsourced material may be challenged and removed.
4495:http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
4411:
4303:
4189:
4014:
3985:
3939:
3748:
3719:
3650:
3497:
3427:
3392:
3348:
3099:
2860:
2719:
2670:
2630:
2508:
2468:
2379:
2339:
2247:
2212:
2169:
1875:
1808:
1724:
1445:
1415:
1380:
1276:
1250:
1224:
1134:
1096:
1066:
1040:
958:
866:
522:
461:
387:
359:
324:
4412:{\displaystyle (f\star g)=({\overline {f}}*g)}
523:{\displaystyle \mu _{Y}(t)=\operatorname {E} }
1307:between the signals, is sometimes called the
159:
8:
1410:
1395:
1375:
1360:
4467:
4465:
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3560:
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15:
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3891:
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3831:
3824:
3802:
3801:
3796:
3794:
3793:
3764:
3732:
3703:
3667:The cross-covariance is also relevant in
3663:Cross-covariance of deterministic signals
3642:
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3606:
3593:
3576:
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3486:
3473:
3456:
3451:
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3444:
3415:
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3340:
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3132:
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2014:
2009:
1994:
1989:
1958:
1957:
1952:
1950:
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1902:
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1821:
1760:
1754:
1703:
1690:
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1576:
1571:
1556:
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1519:
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1511:
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1209:
1196:
1153:
1147:
1135:{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)}
1109:
1085:
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1031:
1030:
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973:
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948:
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889:
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851:
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789:
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576:
563:
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511:
480:
474:
450:
435:
417:
411:
380:
347:
337:
312:
302:
274:Learn how and when to remove this message
1337:Cross-covariance of stochastic processes
530:, then the cross-covariance is given by
4461:
3671:where the cross-covariance between two
1291:, the cross-covariance is often called
1097:{\displaystyle \operatorname {K} _{XY}}
26:
3686:Cross-covariance may also refer to a
7:
3428:{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
3393:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
2875:
2248:{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
2213:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
2181:Definition for jointly WSS processes
1456:
360:{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}
325:{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}
212:adding citations to reliable sources
3756:the cross-covariance is defined as
4075:
4072:
4069:
3950:where the line indicates that the
3809:
3806:
3803:
3622:
3567:
3447:
3285:
3206:
3135:
3036:
2957:
2886:
2814:
2766:
2738:
2578:
2530:
2028:
1965:
1962:
1959:
1905:
1845:
1778:
1590:
1527:
1524:
1521:
1467:
1326:Cross-covariance of random vectors
1150:
1082:
1048:, the cross-covariance would be a
1032:
950:
884:In the case of two random vectors
759:
640:
541:
498:
436:
388:{\displaystyle \operatorname {E} }
382:
14:
3505:is zero for all times. Formally:
2720:{\displaystyle \tau =t_{2}-t_{1}}
1262:between the scalar components of
4485:Cross Correlation from Mathworld
3688:"deterministic" cross-covariance
3577:
3572:
3457:
3452:
1270:
1258:, which is understood to be the
1244:
974:
892:
188:
34:
3694:time indices. For example, for
3621:
3565:
3559:
2259:, then the following are true:
199:needs additional citations for
4406:
4400:
4397:
4394:
4388:
4373:
4364:
4355:
4349:
4343:
4340:
4328:
4298:
4292:
4289:
4286:
4280:
4265:
4256:
4247:
4241:
4235:
4232:
4220:
4177:
4171:
4159:
4147:
4125:
4113:
4101:
4095:
4053:
4047:
4044:
4032:
4009:
4003:
3980:
3974:
3954:is taken when the signals are
3934:
3928:
3916:
3904:
3874:
3862:
3850:
3844:
3787:
3781:
3778:
3766:
3743:
3737:
3714:
3708:
3612:
3586:
3561:
3492:
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3320:
3291:
3279:
3276:
3250:
3247:
3215:
3212:
3200:
3168:
3156:
3150:
3071:
3042:
3030:
3027:
2995:
2992:
2966:
2963:
2951:
2919:
2907:
2901:
2855:
2829:
2807:
2781:
2759:
2753:
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2571:
2545:
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2321:
2308:
2292:
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2149:
2136:
2120:
2107:
2089:
2076:
2060:
2047:
2022:
1982:
1946:
1920:
1865:
1859:
1839:
1833:
1798:
1792:
1772:
1766:
1709:
1696:
1680:
1667:
1651:
1638:
1622:
1609:
1584:
1544:
1508:
1482:
1407:
1401:
1372:
1366:
1215:
1189:
1177:
1165:
1129:
1117:
1027:
981:
945:
899:
881:of the processes in question.
857:
844:
831:
818:
802:
765:
753:
750:
747:
734:
701:
698:
695:
682:
649:
646:
634:
594:
582:
556:
517:
504:
492:
486:
456:
443:
429:
423:
1:
2257:jointly wide-sense stationary
371:is a function that gives the
4377:
4269:
4163:
4105:
3920:
3854:
2157:
1277:{\displaystyle \mathbf {X} }
1251:{\displaystyle \mathbf {X} }
402:, if the processes have the
2671:{\displaystyle t_{1},t_{2}}
2509:{\displaystyle t_{1},t_{2}}
2380:{\displaystyle t_{1},t_{2}}
4541:
4515:Covariance and correlation
1329:
1314:, and has applications in
177:
128:Cross-correlation function
93:Cross-correlation function
28:Correlation and covariance
3365:Two stochastic processes
1067:{\displaystyle p\times q}
138:Cross-covariance function
116:For deterministic signals
103:Cross-covariance function
1416:{\displaystyle \{Y(t)\}}
1381:{\displaystyle \{X(t)\}}
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88:Autocorrelation function
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