1672:
1211:
4066:
3445:
1667:{\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}
3276:
3218:
3293:
3428:
4128:
4116:
4104:
4092:
4123:
4111:
4099:
4087:
601:
4135:
3201:
645:
4140:
3407:
3392:
4073:
3375:
3235:
658:
3250:
671:
43:
612:
634:
623:
4052:
149:
926:
961:
2935:
2573:
4059:
2649:
1878:
3120:
3675:
999:
The definition of the cupola does not require the base (or the side opposite the base, which can be called the top) to be a regular polygon, but it is convenient to consider the case where the cupola has its maximal symmetry,
3490:
is odd. At these limits, the cupolae collapse into plane figures. Beyond these limits, the triangles and squares can no longer span the distance between the two base polygons (it can still be made with non-equilateral
1883:
2946:
2654:
3519:
by withdrawing this degenerate face and letting the triangles and squares connect to each other here (through single edges) rather than to the late bottom base (through its double edges). In particular, the
3961:
2951:
4002:
2644:
2930:{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\=\ &r_{t}{\sqrt {\left+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\=\ &r_{t}{\sqrt {2\left}}\end{aligned}}}
1873:
1767:
4039:
2568:{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left^{2}+\left^{2}}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {\left+\left}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {2\left}}\\=\ &r_{b}{\sqrt {2\left}}\end{aligned}}}
1820:
4752:
3596:
1167:
1204:
1127:
1090:
3913:
948:
might be considered a "cupola" of degree 2 (the cupola of a line segment and a square). However, cupolae of higher-degree polygons may be constructed with
4745:
3332:
3155:
4545:
4738:
60:
3919:
516:
251:
126:
4582:
4552:
4539:
4509:
4496:
4466:
4453:
4423:
4410:
4380:
916:
896:
883:
863:
850:
830:
817:
797:
784:
764:
751:
731:
718:
698:
283:
4051:
4572:
4562:
4529:
4519:
4486:
4476:
4443:
4433:
4400:
4390:
906:
873:
840:
807:
774:
741:
708:
107:
4690:
64:
4577:
4567:
4557:
4534:
4524:
4514:
4491:
4481:
4471:
4448:
4438:
4428:
4405:
4395:
4385:
3115:{\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left}}}\\r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left}}}\end{aligned}}}
911:
901:
878:
868:
845:
835:
812:
802:
779:
769:
746:
736:
713:
703:
79:
4065:
5159:
3728:
In the images above, the star cupolae have been given a consistent colour scheme to aid identifying their faces: the base
3967:
1063:
is odd, each mirror plane bisects one side and one angle of the top polygon.) The vertices of the base can be designated
1055:-axis and bisect the sides of the base. They also either bisect the sides or the angles of the top polygon, or both. (If
2580:
86:
4951:
4892:
3325:
3282:
3224:
3546:, then the triangles and squares do not cover the entire (single) base, and a small membrane is placed in this base
4981:
4941:
3434:
3299:
3148:
856:
1827:
4976:
4971:
1694:
934:
889:
823:
93:
1216:
4008:
3831:
5164:
5082:
5077:
4956:
4862:
4058:
1059:
is even, half of the mirror planes bisect the sides of the top polygon and half bisect the angles, while if
75:
53:
31:
4946:
4887:
4877:
4822:
4345:
3318:
1776:
790:
399:
4966:
4882:
4837:
3207:
3141:
3124:
These values are to be inserted into the expressions for the coordinates of the vertices given earlier.
509:
439:
662:
675:
649:
4926:
4852:
4800:
4416:
3801:
3398:
940:
The above-mentioned three polyhedra are the only non-trivial convex cupolae with regular faces: The "
363:
5092:
4961:
4936:
4921:
4857:
4805:
4502:
4316:
4287:
3521:
3381:
3241:
757:
395:
5154:
5107:
5072:
4931:
4826:
4775:
4607:
4459:
4340:
4282:
4253:
3813:
3492:
3256:
970:
355:
3838:
554:
413:
231:
3752:-gon is yellow, the squares are blue, and the triangles are green. The cupoloids have the base
3444:
4897:
4872:
4816:
4708:
4373:
3823:
3275:
3217:
1136:
638:
616:
383:
375:
367:
216:
175:
1176:
1099:
100:
5026:
4652:
4627:
4335:
4330:
4306:
4301:
4277:
4248:
4243:
3427:
3292:
945:
605:
502:
406:
371:
4127:
4115:
4103:
4091:
1068:
4122:
4110:
4098:
4086:
949:
428:
351:
322:
309:
201:
159:
4725:
4679:
4847:
4770:
4311:
3898:
3797:
3722:
1028:-gon which has two different side lengths alternating and the same angles as a regular
600:
257:
4139:
3200:
644:
5148:
5052:
4908:
4842:
4682:
Dr. Richard
Klitzing, Symmetry: Culture and Science, Vol. 11, Nos. 1-4, 139-181, 2000
4597:
4258:
3670:{\displaystyle h={\sqrt {1-{\frac {1}{4\sin ^{2}\left({\frac {\pi d}{n}}\right)}}}}.}
3532:
986:
724:
627:
472:
391:
387:
379:
17:
4134:
3406:
3391:
409:
where one of the polygons has been collapsed in half by merging alternate vertices.
4602:
4325:
4072:
3891:
3818:
3374:
3234:
992:
691:
3796:(here four-dimensional figures), analogous to the cupolas. Each one's bases are a
3249:
1035:-gon. It is convenient to fix the coordinate system so that the base lies in the
4785:
4238:
657:
633:
611:
148:
42:
670:
5117:
5005:
4795:
4762:
4296:
461:
343:
326:
5112:
5102:
5047:
5031:
4867:
4716:
4711:
3793:
359:
167:
1208:
With these conventions, the coordinates of the vertices can be written as:
622:
4998:
335:
5122:
5097:
941:
930:
483:
347:
181:
960:
925:
3566:-cupoloids pictured above have membranes (not filled in), while the
467:
Its dual contains a shape that is sort of a weld between half of an
4730:
3764:-gon red, the squares yellow, and the triangles blue, as the base
959:
924:
3535:, while the cupoloids are all non-orientable. For a cupoloid, if
27:
Solid made by joining an n- and 2n-gon with triangles and squares
4790:
4272:
4267:
4734:
3956:{\textstyle {\sqrt {\frac {3+{\sqrt {2}}}{2}}}\approx 1.485634}
36:
2939:
These are to be equal, and if this common edge is denoted by
1771:
etc. are rectangles, this puts a constraint on the values of
3725:: the triangular prism, where the triangles are upright).
1131:
while the vertices of the top polygon can be designated
4011:
3970:
3922:
3089:
3003:
2905:
2847:
2808:
2784:
2728:
2683:
2524:
2431:
2380:
2268:
2223:
2133:
2088:
1988:
1917:
3901:
3599:
2949:
2652:
2583:
1881:
1830:
1779:
1697:
1214:
1179:
1139:
1102:
1071:
3997:{\textstyle {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\approx 1.847759}
3311:
3131:
493:
5065:
5040:
5015:
4990:
4906:
4814:
4769:
1051:-fold axis, and the mirror planes pass through the
318:
308:
282:
250:
230:
215:
200:
158:
141:
67:. Unsourced material may be challenged and removed.
4033:
3996:
3955:
3907:
3669:
3114:
2929:
2639:{\displaystyle {\bigl |}V_{2n+1}V_{2n+2}{\bigr |}}
2638:
2567:
1867:
1814:
1761:
1666:
1198:
1161:
1121:
1084:
1655:
1573:
1538:
1418:
1389:
1245:
1039:-plane, with the top in a plane parallel to the
4675:
4673:
3558:-gon that simply covers empty space. Hence the
390:, and can be formed by taking sections of the
4746:
3593:-cupola or cupoloid is given by the formula:
3326:
3149:
2631:
2586:
1860:
1833:
510:
8:
1868:{\displaystyle {\bigl |}V_{1}V_{2}{\bigr |}}
1762:{\displaystyle V_{1}V_{2}V_{2n+2}V_{2n+1},}
370:, while the base and its opposite face are
5019:
4753:
4739:
4731:
4034:{\textstyle 3+{\sqrt {5}}\approx 5.236068}
3333:
3319:
3156:
3142:
517:
503:
147:
4018:
4010:
3979:
3971:
3969:
3933:
3923:
3921:
3900:
3640:
3627:
3614:
3606:
3598:
3088:
3062:
3049:
3002:
2971:
2958:
2950:
2948:
2904:
2882:
2876:
2846:
2837:
2807:
2783:
2774:
2763:
2757:
2727:
2718:
2705:
2682:
2668:
2662:
2653:
2651:
2630:
2629:
2614:
2595:
2585:
2584:
2582:
2523:
2496:
2490:
2430:
2379:
2352:
2346:
2311:
2267:
2222:
2208:
2179:
2132:
2087:
2073:
2062:
2056:
2032:
1987:
1961:
1916:
1897:
1891:
1882:
1880:
1859:
1858:
1852:
1842:
1832:
1831:
1829:
1797:
1784:
1778:
1741:
1722:
1712:
1702:
1696:
1654:
1653:
1630:
1618:
1594:
1582:
1572:
1571:
1551:
1537:
1536:
1499:
1482:
1444:
1427:
1417:
1416:
1402:
1388:
1387:
1338:
1321:
1271:
1254:
1244:
1243:
1223:
1215:
1213:
1184:
1178:
1144:
1138:
1107:
1101:
1076:
1070:
1014:-gon, while the base is either a regular
127:Learn how and when to remove this message
3806:
354:as the other, by an alternating band of
4619:
3511:becomes degenerate; then we can form a
500:
138:
4546:runcinated hexagonal tiling honeycomb
1010:. In that case, the top is a regular
7:
4694:Convex Polyhedra with Regular Faces.
3462:Star cupolae exist for any top base
1815:{\displaystyle r_{b},r_{t},\alpha .}
350:, one (the base) with twice as many
65:adding citations to reliable sources
944:cupola" is a plane figure, and the
3792:are a family of convex nonuniform
3574:-cupoloids pictured above do not.
952:triangular and rectangular faces.
412:A cupola can be given an extended
25:
4361:1 rhombitrihexagonal tiling
3135:
4696:Can. J. Math. 18, 169–200, 1966.
4580:
4575:
4570:
4565:
4560:
4555:
4550:
4537:
4532:
4527:
4522:
4517:
4512:
4507:
4494:
4489:
4484:
4479:
4474:
4469:
4464:
4451:
4446:
4441:
4436:
4431:
4426:
4421:
4408:
4403:
4398:
4393:
4388:
4383:
4378:
4138:
4133:
4126:
4121:
4114:
4109:
4102:
4097:
4090:
4085:
4071:
4064:
4057:
4050:
3443:
3426:
3405:
3390:
3373:
3291:
3274:
3248:
3233:
3216:
3199:
914:
909:
904:
899:
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866:
861:
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805:
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772:
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762:
749:
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739:
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729:
716:
711:
706:
701:
696:
669:
656:
643:
632:
621:
610:
599:
41:
3495:and non-square rectangles). If
52:needs additional citations for
1359:
1347:
1292:
1280:
964:A tetracontagonal cupola has:
460:Cupolae are a subclass of the
1:
5133:Degenerate polyhedra are in
4364:
4349:
4320:
4291:
4262:
4233:
4223:
4213:
4205:
4197:
4189:
4165:
4145:
4080:
4045:
3889:
3868:
3836:
3452:Crossed heptagrammic cuploid
438:joined by a parallel of its
386:cupolae all count among the
4952:pentagonal icositetrahedron
4893:truncated icosidodecahedron
4359:∞ triangular pyramids
3284:Crossed heptagrammic cupola
3226:Crossed pentagrammic cupola
956:Coordinates of the vertices
5181:
4982:pentagonal hexecontahedron
4942:deltoidal icositetrahedron
3436:Crossed pentagonal cuploid
3383:Crossed triangular cuploid
3301:Crossed octagrammic cupola
857:Rhombitriheptagonal tiling
405:A cupola can be seen as a
314:Semibisected trapezohedron
29:
5131:
5022:
4977:disdyakis triacontahedron
4972:deltoidal hexecontahedron
4544:
4501:
4458:
4415:
4372:
4357:∞ triangular prisms
4181:
4178:
4175:
4172:
4169:
4161:
4158:
4155:
4152:
4149:
4132:
4120:
4108:
4096:
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4070:
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4056:
4049:
4042:
4005:
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3499:is even, the bottom base
935:rhombitrihexagonal tiling
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4355:∞ hexagonal prisms
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3314:Family of star-cuploids
1199:{\displaystyle V_{3n}.}
1122:{\displaystyle V_{2n},}
366:and the rectangles are
362:. If the triangles are
32:Cupola (disambiguation)
5078:truncated trapezohedra
4947:disdyakis dodecahedron
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4878:truncated dodecahedron
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985: A top regular
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61:improve this article
30:For other uses, see
4962:triakis icosahedron
4937:tetrakis hexahedron
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4657:www.orchidpalms.com
4632:www.orchidpalms.com
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