2195:
259:
748:
1921:
1340:
1023:
1181:
137:
148:
627:
447:
1793:
526:
1810:: it allows us to extend the relative canonical sheaf over the boundary which parametrizes nodal curves. The Hodge bundle is then defined as the direct image of a relative dualizing sheaf.
1719:
1626:
615:
1569:
354:
1375:
1517:
1833:
869:
1655:
1482:
834:
385:
63:
2236:
1237:
895:
800:
1414:
553:
301:
1438:
1229:
1205:
1117:
1097:
1073:
1047:
935:
915:
1378:
2229:
2141:
2106:
2047:
943:
1122:
1076:
71:
2260:
254:{\displaystyle \operatorname {Hom} _{X}(F,\omega _{X})\simeq \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*},\,\varphi \mapsto t_{X}\circ \varphi }
743:{\displaystyle \operatorname {H} ^{i}(X,F)\simeq \operatorname {H} ^{n-i}(X,\operatorname {{\mathcal {H}}om} (F,\omega _{X}))^{*}}
2222:
394:
1732:
471:
2133:
2255:
2098:
1668:
563:
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1582:
588:
1533:
1807:
575:
313:
1348:
1916:{\displaystyle {\mathcal {Ext}}_{\mathbf {P} ^{n}}^{r}({\mathcal {O}}_{X},\omega _{\mathbf {P} ^{n}})}
1490:
1335:{\displaystyle \omega _{f}|_{U}\simeq \wedge ^{r}i^{*}\Omega _{\pi }^{1}\otimes \wedge ^{k}N_{U/Z}}
839:
388:
1631:
2202:
1460:
812:
363:
41:
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2206:
1384:
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1940:
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465:
357:
1423:
1214:
1190:
1102:
1082:
1058:
1032:
920:
900:
36:
356:, if it is exists, is unique up to a natural isomorphism. In fact, in the language of
2249:
1417:
2066:
1803:
1799:. The construction can be easily generalized to nodal curves with multiple nodes.
2194:
1079:
between schemes of finite type over a field, then (by definition) each point of
1818:
As mentioned above, the dualizing sheaf exists for all projective schemes. For
2039:
1721:
be the subsheaf consisting of rational 1-forms with the sum of residues at
559:. More generally, the dualizing sheaf exists for any projective scheme.
1018:{\displaystyle (f|_{U})^{!}F=\omega _{f}\otimes _{{\mathcal {O}}_{Y}}F}
1176:{\displaystyle f|_{U}:U{\overset {i}{\to }}Z{\overset {\pi }{\to }}Y}
2180:
2034:. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 268.
132:{\displaystyle t_{X}:\operatorname {H} ^{n}(X,\omega _{X})\to k}
1923:. In other words, one uses the dualizing sheaf on the ambient
1877:
1846:
1843:
1840:
999:
693:
491:
762:, then the above duality holds for any locally free sheaf.
2013:
1973:
1971:
442:{\displaystyle F\mapsto \operatorname {H} ^{n}(X,F)^{*}}
2210:
770:
Given a proper finitely presented morphism of schemes
2167:"FOUNDATIONS OF ALGEBRAIC GEOMETRY CLASSES 53 AND 54"
2030:
Arbarello, E.; Cornalba, M.; Griffiths, P.A. (2011).
1836:
1788:{\displaystyle \pi _{*}\Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}
1735:
1671:
1634:
1585:
1536:
1493:
1463:
1426:
1387:
1351:
1240:
1217:
1193:
1125:
1105:
1085:
1061:
1035:
946:
923:
903:
877:
842:
815:
776:
630:
591:
534:
521:{\displaystyle \omega _{X}={\mathcal {O}}_{X}(K_{X})}
474:
397:
366:
316:
282:
151:
74:
44:
142:
that induces a natural isomorphism of vector spaces
2174:
Math 216: Foundations of algebraic geometry 2005-06
464:, the dualizing sheaf exists and it is in fact the
2097:, Cambridge Tracts in Mathematics, vol. 134,
1915:
1787:
1713:
1649:
1620:
1563:
1511:
1476:
1432:
1408:
1369:
1334:
1223:
1199:
1175:
1111:
1091:
1067:
1041:
1017:
929:
909:
889:
863:
828:
794:
742:
609:
547:
520:
441:
379:
348:
295:
253:
131:
57:
2181:Relative dualizing sheaf (reference, behavior)
1795:defines a dualizing sheaf for the nodal curve
2230:
2067:"Relative duality for quasi-coherent sheaves"
1714:{\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)_{0}}
8:
871:as the sheaf such that for each open subset
2136:, vol. 52, New York: Springer-Verlag,
2237:
2223:
2095:Birational geometry of algebraic varieties
1989:
1977:
1902:
1897:
1895:
1882:
1876:
1875:
1865:
1858:
1853:
1851:
1839:
1838:
1835:
1779:
1751:
1750:
1740:
1734:
1705:
1677:
1676:
1670:
1636:
1635:
1633:
1621:{\displaystyle \Omega _{\tilde {C}}(x+y)}
1591:
1590:
1584:
1544:
1543:
1535:
1503:
1498:
1492:
1468:
1462:
1425:
1396:
1392:
1386:
1361:
1356:
1350:
1322:
1318:
1308:
1295:
1290:
1280:
1270:
1257:
1252:
1245:
1239:
1216:
1192:
1160:
1147:
1135:
1130:
1124:
1104:
1084:
1060:
1034:
1004:
998:
997:
995:
985:
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959:
954:
945:
922:
902:
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691:
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539:
533:
509:
496:
490:
489:
479:
473:
449:from the category of coherent sheaves on
433:
408:
396:
371:
365:
337:
324:
315:
287:
281:
239:
228:
219:
194:
178:
156:
150:
114:
92:
79:
73:
49:
43:
2014:Arbarello, Cornalba & Griffiths 2011
1802:This is used in the construction of the
610:{\displaystyle \operatorname {Supp} (F)}
2093:Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998),
2001:
1967:
803:
1830:, its dualizing sheaf can be given as
1564:{\displaystyle \pi :{\tilde {C}}\to C}
1379:sheaf of relative Kähler differentials
1814:Dualizing sheaf of projective schemes
1729:equal to zero. Then the direct image
1049:and commutes with open restrictions.
7:
2191:
2189:
1927:to construct the dualizing sheaf on
1628:be the sheaf of rational 1-forms on
1530:, we may consider the normalization
1077:local complete intersection morphism
937:, there is a canonical isomorphism
349:{\displaystyle (\omega _{X},t_{X})}
2209:. You can help Knowledge (XXG) by
1747:
1673:
1587:
1495:
1370:{\displaystyle \Omega _{\pi }^{1}}
1353:
1287:
701:
698:
663:
632:
562:There is the following variant of
405:
191:
89:
65:together with a linear functional
14:
621:, there is a natural isomorphism
2193:
1898:
1854:
1449:Dualizing sheaf of a nodal curve
460:For a normal projective variety
1512:{\displaystyle \Omega _{C}^{1}}
272:(the superscript * refers to a
16:Concept from algebraic geometry
2016:, Ch. X., near the end of § 2.
1910:
1871:
1776:
1763:
1756:
1702:
1689:
1682:
1657:with possible simple poles at
1641:
1615:
1603:
1596:
1555:
1549:
1253:
1162:
1149:
1131:
966:
955:
947:
786:
731:
727:
708:
681:
656:
644:
604:
598:
515:
502:
430:
417:
401:
343:
317:
232:
216:
203:
184:
165:
123:
120:
101:
1:
2134:Graduate Texts in Mathematics
864:{\displaystyle \omega _{X/Y}}
2032:Geometry of Algebraic Curves
1650:{\displaystyle {\tilde {C}}}
2065:Kleiman, Steven L. (1980).
1477:{\displaystyle \omega _{C}}
897:and a quasi-coherent sheaf
829:{\displaystyle \omega _{f}}
380:{\displaystyle \omega _{X}}
58:{\displaystyle \omega _{X}}
19:In algebraic geometry, the
2277:
2188:
2099:Cambridge University Press
890:{\displaystyle U\subset Y}
566:: for a projective scheme
391:the contravariant functor
2040:10.1007/978-3-540-69392-5
1099:has an open neighborhood
276:). The linear functional
2261:Algebraic geometry stubs
808:relative dualizing sheaf
795:{\displaystyle f:X\to Y}
766:Relative dualizing sheaf
264:for each coherent sheaf
1409:{\displaystyle N_{U/Z}}
1029:which is functorial in
564:Serre's duality theorem
2205:–related article is a
2074:Compositio Mathematica
1990:Kollár & Mori 1998
1917:
1822:a closed subscheme of
1808:moduli space of curves
1789:
1715:
1651:
1622:
1565:
1513:
1478:
1457:, its dualizing sheaf
1434:
1410:
1371:
1336:
1225:
1211:of relative dimension
1201:
1177:
1113:
1093:
1069:
1043:
1019:
931:
911:
891:
865:
830:
796:
744:
611:
549:
522:
443:
381:
350:
297:
255:
133:
59:
1918:
1790:
1716:
1652:
1623:
1566:
1514:
1479:
1435:
1411:
1372:
1337:
1226:
1202:
1178:
1114:
1094:
1070:
1044:
1020:
932:
912:
892:
866:
831:
797:
760:Cohen–Macaulay scheme
745:
617:is of pure dimension
612:
550:
548:{\displaystyle K_{X}}
523:
444:
382:
351:
298:
296:{\displaystyle t_{X}}
256:
134:
60:
1834:
1806:on the compactified
1733:
1669:
1632:
1583:
1534:
1491:
1484:can be given by the
1461:
1424:
1385:
1349:
1238:
1215:
1191:
1123:
1119:and a factorization
1103:
1083:
1059:
1033:
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901:
875:
840:
813:
774:
628:
589:
576:Cohen–Macaulay sheaf
532:
472:
395:
364:
314:
280:
149:
72:
42:
1870:
1508:
1453:For a smooth curve
1366:
1300:
453:to the category of
389:object representing
23:on a proper scheme
2256:Algebraic geometry
2203:algebraic geometry
2129:Algebraic Geometry
1913:
1837:
1785:
1711:
1647:
1618:
1561:
1522:For a nodal curve
1509:
1494:
1474:
1430:
1406:
1367:
1352:
1332:
1286:
1221:
1197:
1173:
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1089:
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1039:
1015:
927:
907:
887:
861:
826:
792:
754:In particular, if
740:
607:
570:of pure dimension
545:
518:
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377:
346:
293:
251:
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55:
2218:
2217:
2143:978-0-387-90244-9
2124:Hartshorne, Robin
2108:978-0-521-63277-5
2049:978-3-540-42688-2
1759:
1685:
1644:
1599:
1552:
1433:{\displaystyle i}
1224:{\displaystyle r}
1200:{\displaystyle k}
1185:regular embedding
1168:
1155:
1112:{\displaystyle U}
1092:{\displaystyle X}
1068:{\displaystyle f}
1042:{\displaystyle F}
930:{\displaystyle U}
910:{\displaystyle F}
557:canonical divisor
274:dual vector space
2268:
2239:
2232:
2225:
2197:
2190:
2177:
2171:
2154:
2119:
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2071:
2061:
2017:
2011:
2005:
1999:
1993:
1987:
1981:
1975:
1956:Dualizing module
1941:coherent duality
1922:
1920:
1919:
1914:
1909:
1908:
1907:
1906:
1901:
1887:
1886:
1881:
1880:
1869:
1864:
1863:
1862:
1857:
1850:
1849:
1794:
1792:
1791:
1786:
1784:
1783:
1762:
1761:
1760:
1752:
1745:
1744:
1720:
1718:
1717:
1712:
1710:
1709:
1688:
1687:
1686:
1678:
1656:
1654:
1653:
1648:
1646:
1645:
1637:
1627:
1625:
1624:
1619:
1602:
1601:
1600:
1592:
1579:identified. Let
1571:with two points
1570:
1568:
1567:
1562:
1554:
1553:
1545:
1518:
1516:
1515:
1510:
1507:
1502:
1483:
1481:
1480:
1475:
1473:
1472:
1439:
1437:
1436:
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1415:
1413:
1412:
1407:
1405:
1404:
1400:
1376:
1374:
1373:
1368:
1365:
1360:
1341:
1339:
1338:
1333:
1331:
1330:
1326:
1313:
1312:
1299:
1294:
1285:
1284:
1275:
1274:
1262:
1261:
1256:
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1249:
1230:
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1227:
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1115:
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1096:
1095:
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1072:
1071:
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1046:
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934:
933:
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914:
913:
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