7565:
4788:
4767:
6706:
7560:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\left(\inf _{x\in \left}f(x)+\epsilon \right)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\ \ \ \\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\sum _{i=0}^{N-1}\epsilon (x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\\&=&\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+\epsilon (b-a).\end{aligned}}}
2674:
2323:
5350:
36:
8020:
4025:
4328:
2342:
8308:
3132:
2903:
271:
2033:
156:, meaning that a function is Darboux-integrable if and only if it is Riemann-integrable, and the values of the two integrals, if they exist, are equal. The definition of the Darboux integral has the advantage of being easier to apply in computations or proofs than that of the Riemann integral. Consequently, introductory textbooks on
1478:
7625:
5336:
4963:
3707:
6253:
From the previous fact, Riemann integrals are at least as strong as
Darboux integrals: if the Darboux integral exists, then the upper and lower Darboux sums corresponding to a sufficiently fine partition will be close to the value of the integral, so any Riemann sum over the same partition will also
4036:
2669:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\leq {\underline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{a}^{b}}}g(x)\,dx&\geq {\overline {\int _{a}^{b}}}(f(x)+g(x))\,dx\end{aligned}}}
8031:
2918:
2689:
2318:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\underline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\underline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx&={\overline {\int _{a}^{c}}}f(x)\,dx+{\overline {\int _{c}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
6254:
be close to the value of the integral. There is (see below) a tagged partition that comes arbitrarily close to the value of the upper
Darboux integral or lower Darboux integral, and consequently, if the Riemann integral exists, then the Darboux integral must exist as well.
257:
which over- and underestimate, respectively, the "area under the curve." In particular, for a given partition of the interval of integration, the upper and lower sums add together the areas of rectangular slices whose heights are the supremum and infimum, respectively, of
3261:
4751:
8545:
1330:
8015:{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})&\leq &\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}\inf _{x\in \left}f(x)(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})+{\frac {1}{n}}\\&=&L_{f,P^{(n)}}+{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}
800:
5040:
4869:
2010:
4020:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k-1})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k-1}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left\end{aligned}}}
8400:
1902:
4323:{\displaystyle {\begin{aligned}U_{f,P_{n}}&=\sum _{k=1}^{n}f(x_{k})(x_{k}-x_{k-1})\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}\cdot {\frac {1}{n}}\\&={\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}k\\&={\frac {1}{n^{2}}}\left\end{aligned}}}
6145:
8303:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}=\sum _{i=0}^{N^{(n)}-1}f(t_{i})(x_{i+1}^{(n)}-x_{i}^{(n)})\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}
1319:
1221:
1699:
6698:
1115:
958:
3127:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
2898:{\displaystyle {\begin{aligned}{\underline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\\{\overline {\int _{a}^{b}}}cf(x)\,dx&=c{\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\end{aligned}}}
2923:
2694:
2347:
2038:
4577:
415:
4413:
1607:
8324:
8036:
7630:
6711:
5045:
4874:
4041:
3712:
3148:
1335:
629:
3143:
4502:
5594:
5870:
4608:
6248:
5781:
5715:
1710:
For any given partition, the upper
Darboux sum is always greater than or equal to the lower Darboux sum. Furthermore, the lower Darboux sum is bounded below by the rectangle of width (
5655:
6038:
5980:
581:
6351:
6307:
3559:, the infimum on any particular subinterval is given by its starting point. Likewise the supremum on any particular subinterval is given by its end point. The starting point of the
1473:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}L_{f}\equiv {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\\&{}U_{f}\equiv {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,\mathrm {d} x,\end{aligned}}}
6553:
8411:
5451:
5405:
7617:
4861:
520:
160:
and real analysis often develop
Riemann integration using the Darboux integral, rather than the true Riemann integral. Moreover, the definition is readily extended to defining
4442:
5919:
5525:
6451:
6422:
4992:
9206:
5331:{\displaystyle {\begin{aligned}L_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\inf _{x\in }f=0\\U_{f,P}&=\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-x_{k-1})\sup _{x\in }f=1\end{aligned}}}
4958:{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}0&{\text{if }}x{\text{ is rational}}\\1&{\text{if }}x{\text{ is irrational}}\end{cases}}\end{aligned}}}
3644:
624:
3525:
3328:
8575:
4469:
3699:
3604:
3487:
338:
3672:
3440:
1913:
8319:
6172:
5032:
5012:
4600:
3577:
3460:
3412:
1005:
985:
848:
828:
243:
205:
6383:
3557:
3392:
3360:
1739:
616:
470:
311:
6046:
9101:
9006:
1240:
1142:
1629:
8633:
9084:
8986:
6558:
8836:
8916:
8796:
1013:
856:
9079:
161:
9001:
8666:
1324:
In some literature, an integral symbol with an underline and overline represent the lower and upper
Darboux integrals respectively:
119:
53:
8981:
8996:
100:
8931:
8891:
8699:
4510:
346:
72:
57:
4339:
8991:
8775:
3256:{\displaystyle {\begin{aligned}&{}F:\to \mathbb {R} \\&{}F(x)={\underline {\int _{a}^{x}}}f(t)\,dt,\end{aligned}}}
1530:
9170:
79:
9155:
8954:
8770:
9124:
9091:
5530:
In other words, to make a refinement, cut the subintervals into smaller pieces and do not remove any existing cuts.
4746:{\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)\,dx=\lim _{n\to \infty }U_{f,P_{n}}=\lim _{n\to \infty }L_{f,P_{n}}={\frac {1}{2}}}
4474:
8959:
8602:
5806:
4787:
4766:
86:
6192:
8969:
279:
5599:
5536:
249:
exists if and only if the upper and lower integrals are equal. The upper and lower integrals are in turn the
5985:
5927:
528:
68:
8829:
8540:{\displaystyle R_{f}\leq \lim _{n\to \infty }L_{f,P^{(n)}}\leq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}\leq R_{f},}
6315:
6271:
46:
5726:
6456:
5663:
208:
149:
5410:
5364:
9129:
9031:
9011:
7573:
4820:
479:
4421:
5881:
8976:
8866:
8597:
5478:
3274:
250:
6430:
6388:
4901:
9111:
9026:
9021:
8911:
8691:
2337:
is also a bounded function, then the upper and lower integrals satisfy the following inequalities:
4975:
9134:
9071:
8964:
8936:
8901:
8822:
8765:
8592:
4815:
795:{\displaystyle {\begin{aligned}M_{i}=\sup _{x\in }f(x),\\m_{i}=\inf _{x\in }f(x).\end{aligned}}}
8756:
9183:
9160:
9096:
9066:
9058:
9036:
9016:
8906:
8792:
8742:
8695:
8662:
8629:
5924:
Riemann sums always lie between the corresponding lower and upper
Darboux sums. Formally, if
93:
3609:
9178:
9041:
8926:
8881:
8876:
8871:
8861:
8683:
8650:
6151:
5014:
takes on the value of 0 and 1 on every subinterval of any partition. Thus for any partition
3495:
3298:
2005:{\displaystyle {\underline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx\leq {\overline {\int _{a}^{b}}}f(x)\,dx}
181:
153:
8658:
8553:
4447:
3677:
3582:
3465:
316:
9165:
9048:
8921:
8395:{\displaystyle {\begin{aligned}R_{f}\geq \lim _{n\to \infty }U_{f,P^{(n)}}.\end{aligned}}}
5800:
are two partitions of the same interval (one need not be a refinement of the other), then
9119:
8684:
3649:
3417:
1897:{\displaystyle (b-a)\inf _{x\in }f(x)\leq L_{f,P}\leq U_{f,P}\leq (b-a)\sup _{x\in }f(x)}
6157:
5017:
4997:
4585:
3562:
3445:
3397:
990:
970:
833:
813:
213:
190:
165:
6356:
3530:
3365:
3333:
589:
423:
284:
9200:
9150:
8785:
6140:{\displaystyle x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}}
133:
8737:
8896:
4969:
1722:) taken over . Likewise, the upper sum is bounded above by the rectangle of width (
5353:
When passing to a refinement, the lower sum increases and the upper sum decreases.
5349:
8651:
8623:
274:
Lower (green) and upper (green plus lavender) Darboux sums for four subintervals
184:
35:
2329:
The lower and upper
Darboux integrals are not necessarily linear. Suppose that
8805:
5341:
from which we can see that the lower and upper
Darboux integrals are unequal.
1120:
The lower and upper
Darboux sums are often called the lower and upper sums.
262:
in each subinterval of the partition. These ideas are made precise below:
17:
1314:{\displaystyle L_{f}=\sup\{L_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}\}.}
1216:{\displaystyle U_{f}=\inf\{U_{f,P}\colon P{\text{ is a partition of }}\}.}
8845:
157:
145:
1694:{\displaystyle U_{f,P_{\epsilon }}-L_{f,P_{\epsilon }}<\varepsilon .}
5462:
1612:
An equivalent and sometimes useful criterion for the integrability of
6693:{\displaystyle \inf _{x\in \left}f(x)\geq f(t_{i}^{(n)})-\epsilon .}
4602:
is
Darboux integrable. To find the value of the integral note that
270:
5348:
269:
1110:{\displaystyle L_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})m_{i}.\,\!}
953:{\displaystyle U_{f,P}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})M_{i}.\,\!}
8818:
29:
5345:
Refinement of a partition and relation to Riemann integration
8814:
1616:
is to show that for every Īµ > 0 there exists a partition
4947:
1483:
and like Darboux sums they are sometimes simply called the
8550:
which means that the Darboux integral exists and equals
4572:{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}<\varepsilon }
410:{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b.}
6258:
4408:{\displaystyle U_{f,P_{n}}-L_{f,P_{n}}={\frac {1}{n}}}
8556:
8414:
8322:
8034:
7628:
7576:
6709:
6561:
6459:
6433:
6391:
6359:
6318:
6274:
6195:
6160:
6049:
5988:
5930:
5884:
5809:
5729:
5666:
5602:
5539:
5481:
5413:
5367:
5043:
5020:
5000:
4978:
4872:
4823:
4611:
4588:
4513:
4477:
4450:
4424:
4342:
4039:
3710:
3680:
3652:
3612:
3585:
3565:
3533:
3498:
3468:
3448:
3420:
3400:
3368:
3336:
3301:
3146:
2921:
2692:
2345:
2036:
1916:
1742:
1632:
1533:
1333:
1243:
1145:
1016:
993:
973:
859:
836:
816:
627:
592:
531:
482:
426:
349:
319:
287:
216:
193:
164:. Darboux integrals are named after their inventor,
1602:{\displaystyle \int _{a}^{b}{f(t)\,dt}=U_{f}=L_{f}.}
9143:
9110:
9057:
8945:
8852:
6268:For this proof, we shall use superscripts to index
4968:Since the rational and irrational numbers are both
60:. Unsourced material may be challenged and removed.
8784:
8686:Principles of Mathematical Analysis (3rd. edition)
8569:
8539:
8394:
8302:
8014:
7611:
7559:
6692:
6547:
6445:
6416:
6377:
6345:
6301:
6242:
6166:
6139:
6032:
5974:
5913:
5864:
5775:
5709:
5649:
5588:
5519:
5445:
5399:
5330:
5026:
5006:
4986:
4957:
4855:
4745:
4594:
4571:
4496:
4463:
4436:
4407:
4322:
4019:
3693:
3666:
3638:
3598:
3571:
3551:
3519:
3481:
3454:
3434:
3406:
3386:
3354:
3322:
3255:
3126:
2897:
2668:
2317:
2004:
1896:
1693:
1601:
1472:
1313:
1215:
1109:
999:
979:
952:
842:
822:
794:
610:
575:
514:
464:
409:
332:
305:
237:
199:
3362:and determine its value. To do this we partition
1106:
949:
176:The definition of the Darboux integral considers
8657:. Houston, TX: Publish Or Perish, Inc. pp.
8477:
8429:
8341:
8313:Similarly, (with a different sequences of tags)
8249:
8220:
8172:
7799:
7387:
7102:
6885:
6563:
5268:
5128:
4692:
4650:
1855:
1759:
1257:
1159:
726:
646:
4497:{\displaystyle n>{\frac {1}{\varepsilon }}}
1908:The lower and upper Darboux integrals satisfy
8830:
8806:"Equivalence of Darboux and Riemann integral"
4030:similarly, the upper Darboux sum is given by
8:
6405:
6392:
5865:{\displaystyle L_{f,P_{1}}\leq U_{f,P_{2}},}
3674:. Thus the lower Darboux sum on a partition
1305:
1260:
1207:
1162:
3281:is defined using an upper Darboux integral.
8837:
8823:
8815:
8628:. Dellen Publishing Company. p. 396.
8622:David J. Foulis; Mustafa A. Munem (1989).
6243:{\displaystyle L_{f,P}\leq R\leq U_{f,P}.}
3414:equally sized subintervals each of length
3295:Suppose we want to show that the function
8561:
8555:
8528:
8507:
8496:
8480:
8459:
8448:
8432:
8419:
8413:
8371:
8360:
8344:
8331:
8323:
8321:
8279:
8268:
8252:
8235:
8223:
8202:
8191:
8175:
8153:
8148:
8129:
8118:
8102:
8072:
8067:
8056:
8043:
8035:
8033:
7998:
7981:
7970:
7944:
7926:
7921:
7902:
7891:
7853:
7842:
7823:
7818:
7802:
7778:
7773:
7762:
7734:
7729:
7710:
7699:
7683:
7653:
7648:
7637:
7629:
7627:
7586:
7575:
7514:
7509:
7490:
7479:
7441:
7430:
7411:
7406:
7390:
7366:
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7350:
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7295:
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7262:
7251:
7229:
7224:
7205:
7194:
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120:Learn how and when to remove this message
9102:Common integrals in quantum field theory
5650:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n}),}
5589:{\displaystyle P'=(y_{0},\ldots ,y_{m})}
9207:Definitions of mathematical integration
9012:Differentiation under the integral sign
8614:
6033:{\displaystyle T=(t_{1},\ldots ,t_{n})}
5975:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
576:{\displaystyle P=(x_{0},\ldots ,x_{n})}
27:Integral constructed using Darboux sums
6427:By the definition of infimum, for any
6346:{\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}
6302:{\displaystyle \left\{P^{(n)}\right\}}
3330:is Darboux-integrable on the interval
152:. Darboux integrals are equivalent to
144:and is one possible definition of the
5776:{\displaystyle L_{f,P}\leq L_{f,P'}.}
7:
6548:{\displaystyle t_{i}^{(n)}\in \left}
6424:, whose tags are to be determined.
5710:{\displaystyle U_{f,P}\geq U_{f,P'}}
1508:, then we call the common value the
58:adding citations to reliable sources
5446:{\displaystyle y_{0},\ldots ,y_{m}}
5400:{\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}
4793:Darboux lower sums of the function
4772:Darboux upper sums of the function
178:upper and lower (Darboux) integrals
8690:. New York: McGraw-Hill. pp.
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25:
8791:(4 ed.), Publish or Perish,
6040:together make a tagged partition
4437:{\displaystyle \varepsilon >0}
5914:{\displaystyle L_{f}\leq U_{f}.}
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8760:at Encyclopaedia of Mathematics
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3277:. An identical result holds if
522:be a bounded function, and let
313:is a finite sequence of values
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288:
255:upper and lower (Darboux) sums
229:
217:
1:
6309:and variables related to it.
6154:), and if the Riemann sum of
6150:(as in the definition of the
4444:, we have that any partition
3291:A Darboux-integrable function
1287: is a partition of
1189: is a partition of
162:RiemannāStieltjes integration
6262:Details of finding the tags
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8917:LebesgueāStieltjes integral
8771:Encyclopedia of Mathematics
3442:. We denote a partition of
9223:
8932:RiemannāStieltjes integral
8892:HenstockāKurzweil integral
8603:Minimum bounding rectangle
3527:is strictly increasing on
9171:Proof that 22/7 exceeds Ļ
1485:lower and upper integrals
8783:Spivak, Michael (2008),
8723:Spivak 2008, chapter 13.
8625:After Calculus: Analysis
4810:A nonintegrable function
280:partition of an interval
9156:EulerāMaclaurin formula
8653:Calculus (3rd. edition)
6453:, we can always find a
3639:{\displaystyle (k-1)/n}
9125:RussoāVallois integral
9092:BoseāEinstein integral
9007:Parametric derivatives
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