31:
129:
67:
4051:
728:
1550:
1847:
3710:
1024:
30:
2580:
3838:
2878:
2377:
3865:
3420:
4168:
3235:
1676:
568:
4767:
1359:
831:
3064:
1114:
582:
1239:
437:
274:
4582:
1683:
3577:
878:
4903:
2471:
4272:
3717:
2699:
2260:
4419:
2148:
3287:
1965:
4058:
3490:
2050:
4336:
3572:
3091:
122:
2639:
1575:
452:
2938:
4640:
3283:
753:
169:
2674:
4635:
2243:
2000:
4609:
4473:
4446:
2943:
869:
335:
4196:
3519:
2434:
2209:
1908:
303:
2462:
1873:
1339:
1294:
2406:
1262:
3860:
3086:
2900:
2694:
1570:
1029:
4046:{\displaystyle {\partial ^{n}H_{a} \over \partial a^{n}}=(-1)^{n}\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-ax^{2}}}{y-x}}\,dx.}
4807:
2174:
2156:
2076:
2058:
1118:
340:
178:
34:
Plot of the Dawson integral function F(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with
Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
723:{\displaystyle D_{+}(x)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erfi} (x)=-{i{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-x^{2}}\operatorname {erf} (ix)}
4816:
3424:
The integral can be performed as a contour integral around a rectangle in the complex plane. Taking the imaginary part of the result gives
1545:{\displaystyle F(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\,2^{k}}{(2k+1)!!}}\,x^{2k+1}=x-{\frac {2}{3}}x^{3}+{\frac {4}{15}}x^{5}-\cdots ,}
2090:
4478:
1913:
4845:
4777:
3427:
2005:
4201:
3574:
is also related to the Dawson function. We see this with the technique of differentiating inside the integral sign. Let
5011:
5006:
1842:{\displaystyle \left|F(x)-\sum _{k=0}^{N}{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}x^{2k+1}}}\right|\leq {\frac {C_{N}}{x^{2N+3}}}.}
3705:{\displaystyle H_{n}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2n}e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx.}
1019:{\displaystyle F(z)={{\sqrt {\pi }} \over 2}e^{-z^{2}}\operatorname {erfi} (z)={\frac {i{\sqrt {\pi }}}{2}}\left,}
4341:
2575:{\displaystyle {1 \over u}=\int _{0}^{\infty }dk\,\sin ku=\int _{0}^{\infty }dk\,\operatorname {Im} e^{iku}.}
4961:
3833:{\displaystyle H_{a}=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{e^{-ax^{2}} \over y-x}\,dx.}
2873:{\displaystyle \pi H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp\int _{-\infty }^{\infty }dx\,\exp.}
2382:
2372:{\displaystyle H(y)=\pi ^{-1}\operatorname {P.V.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-x^{2}}}{y-x}}\,dx}
4957:
3527:
4277:
2465:
73:
3415:{\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=-2e^{-y^{2}}\operatorname {Im} i\int _{y}^{i\infty +y}du\ e^{u^{2}}.}
2587:
2436:
can be related to the Dawson function as follows. Inside a principal value integral, we can treat
2905:
4991:
3242:
135:
4974:
4812:
4802:
4163:{\displaystyle \left.H_{n}=(-1)^{n}{\frac {\partial ^{n}H_{a}}{\partial a^{n}}}\right|_{a=1}.}
2644:
2254:
837:
446:
4614:
2213:
1970:
4912:
1876:
4826:
4587:
4451:
4424:
842:
308:
4822:
4175:
3495:
2410:
2185:
1884:
279:
2439:
1852:
1314:
1269:
3230:{\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=e^{-y^{2}}\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp.}
2388:
1244:
3845:
3071:
2885:
2679:
1555:
573:
442:
55:
17:
5000:
1671:{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}}+{\frac {1}{4x^{3}}}+{\frac {3}{8x^{5}}}+\cdots .}
872:
563:{\displaystyle D_{+}(x)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}/4}\,\sin(xt)\,dt.}
4983:
51:
4762:{\displaystyle H_{n+1}(y)=y^{2}H_{n}(y)-{\frac {(2n-1)!!}{{\sqrt {\pi }}2^{n}}}y.}
826:{\displaystyle D_{-}(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{x^{2}}\operatorname {erf} (x)}
39:
4916:
3059:{\displaystyle \pi ^{1/2}H(y)=\operatorname {Im} \int _{0}^{\infty }dk\,\exp.}
4930:
4966:
1109:{\displaystyle D_{+}(x)=F(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\operatorname {Im} }
4969:, numeric C library for complex error functions, provides a function
4978:
4841:
4805:; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.),
128:
66:
4941:
4172:
The derivatives are performed first, then the result evaluated at
127:
65:
29:
1234:{\displaystyle D_{-}(x)=iF(-ix)=-{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left}
432:{\displaystyle D_{-}(x)=e^{x^{2}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.\!}
1356:
More specifically, near the origin it has the series expansion
4973:
with approximately 13–14 digits precision. It is based on the
269:{\displaystyle D_{+}(x)=e^{-x^{2}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,dt,}
4064:
2178:
2160:
2080:
2062:
4931:
Algorithm 916: Computing the
Faddeyeva and Voigt Functions
4577:{\displaystyle H_{1}=-\pi ^{-1/2}y+2\pi ^{-1/2}y^{2}F(y).}
4798:
4898:{\displaystyle \textstyle \int _{0}^{h}\exp(x^{2})\,dx}
4849:
4848:
4643:
4617:
4611:
can be calculated using the recurrence relation (for
4590:
4481:
4454:
4427:
4344:
4280:
4204:
4178:
4061:
3868:
3848:
3720:
3580:
3530:
3498:
3430:
3290:
3245:
3094:
3074:
2946:
2908:
2888:
2702:
2682:
2647:
2590:
2474:
2442:
2413:
2391:
2263:
2216:
2188:
2093:
2008:
1973:
1916:
1887:
1855:
1686:
1578:
1558:
1362:
1317:
1272:
1247:
1121:
1032:
881:
845:
756:
585:
455:
441:
The Dawson function is the one-sided
Fourier–Laplace
343:
311:
282:
181:
138:
76:
2468:
or distribution, and use the
Fourier representation
4897:
4761:
4629:
4603:
4576:
4467:
4440:
4413:
4330:
4267:{\displaystyle H_{a}=2\pi ^{-1/2}F(y{\sqrt {a}}).}
4266:
4190:
4162:
4045:
3854:
3832:
3704:
3566:
3513:
3484:
3414:
3277:
3229:
3080:
3058:
2932:
2894:
2872:
2688:
2668:
2633:
2574:
2456:
2428:
2400:
2371:
2237:
2203:
2142:
2044:
1994:
1959:
1902:
1867:
1841:
1670:
1564:
1544:
1333:
1288:
1256:
1233:
1108:
1018:
871:the Dawson function can be extended to the entire
863:
825:
722:
562:
431:
329:
297:
268:
163:
116:
4799:"Error Functions, Dawson's and Fresnel Integrals"
1956:
428:
2182:). (Apart from the trivial inflection point at
4909:Proceedings of the London Mathematical Society
8:
733:where erfi is the imaginary error function,
4414:{\displaystyle H_{n}=P_{1}(y)+P_{2}(y)F(y)}
2143:{\displaystyle F(x)={\frac {x}{2x^{2}-1}},}
1960:{\displaystyle {\frac {dF}{dx}}+2xF=1\,\!}
833:in terms of the real error function, erf.
175:The Dawson function is defined as either:
4887:
4878:
4859:
4854:
4847:
4744:
4733:
4704:
4686:
4676:
4648:
4642:
4616:
4595:
4589:
4553:
4539:
4532:
4509:
4502:
4486:
4480:
4459:
4453:
4432:
4426:
4384:
4362:
4349:
4343:
4279:
4251:
4232:
4225:
4209:
4203:
4177:
4145:
4131:
4116:
4106:
4099:
4093:
4071:
4060:
4033:
4011:
4000:
3987:
3980:
3974:
3966:
3945:
3936:
3926:
3901:
3886:
3876:
3869:
3867:
3847:
3820:
3799:
3788:
3782:
3776:
3768:
3747:
3738:
3725:
3719:
3692:
3670:
3662:
3649:
3642:
3636:
3628:
3607:
3598:
3585:
3579:
3556:
3548:
3535:
3529:
3521:is the Dawson function as defined above.
3497:
3460:
3453:
3429:
3401:
3396:
3368:
3363:
3342:
3334:
3299:
3295:
3289:
3258:
3244:
3215:
3194:
3175:
3163:
3158:
3140:
3132:
3103:
3099:
3093:
3073:
3030:
3024:
3007:
2995:
2990:
2955:
2951:
2945:
2917:
2913:
2907:
2887:
2858:
2846:
2818:
2806:
2798:
2771:
2765:
2748:
2736:
2731:
2701:
2681:
2646:
2641:we use the exponential representation of
2608:
2594:
2589:
2557:
2546:
2534:
2529:
2509:
2497:
2492:
2475:
2473:
2446:
2441:
2412:
2390:
2362:
2341:
2333:
2327:
2321:
2313:
2292:
2283:
2262:
2249:Relation to Hilbert transform of Gaussian
2215:
2187:
2122:
2109:
2092:
2024:
2007:
1972:
1955:
1917:
1915:
1886:
1854:
1819:
1809:
1803:
1777:
1761:
1728:
1722:
1711:
1685:
1650:
1637:
1625:
1612:
1594:
1577:
1557:
1527:
1513:
1504:
1490:
1466:
1461:
1426:
1421:
1415:
1399:
1393:
1382:
1361:
1326:
1318:
1316:
1281:
1273:
1271:
1246:
1197:
1192:
1171:
1126:
1120:
1070:
1037:
1031:
985:
977:
955:
949:
923:
915:
899:
897:
880:
844:
800:
795:
779:
761:
755:
694:
686:
669:
663:
634:
626:
610:
608:
590:
584:
550:
531:
521:
515:
507:
497:
492:
478:
460:
454:
418:
410:
402:
392:
387:
375:
370:
348:
342:
310:
281:
256:
248:
243:
233:
228:
216:
208:
186:
180:
143:
137:
96:
75:
2676:and complete the square with respect to
4808:NIST Handbook of Mathematical Functions
4789:
3068:We complete the square with respect to
4940:(2), 15 (2011). Preprint available at
4929:Mofreh R. Zaghloul and Ahmed N. Ali, "
3485:{\displaystyle H(y)=2\pi ^{-1/2}F(y)}
2045:{\displaystyle F(x)={\frac {1}{2x}},}
7:
2385:, and we restrict ourselves to real
1910:satisfies the differential equation
54:) is the one-sided Fourier–Laplace
4124:
4103:
3975:
3970:
3952:
3946:
3894:
3873:
3777:
3772:
3754:
3748:
3637:
3632:
3614:
3608:
3372:
3164:
2996:
2807:
2802:
2737:
2535:
2498:
2322:
2317:
2299:
2293:
1394:
498:
25:
2002:Consequently, it has extrema for
4198:A change of variable also gives
3567:{\displaystyle x^{2n}e^{-x^{2}}}
1572:it has the asymptotic expansion
4331:{\displaystyle F'(y)=1-2yF(y),}
2902:to the real axis, and it gives
2882:We can shift the integral over
836:In terms of either erfi or the
4884:
4871:
4811:, Cambridge University Press,
4778:List of mathematical functions
4722:
4707:
4698:
4692:
4666:
4660:
4568:
4562:
4475:are polynomials. For example,
4408:
4402:
4396:
4390:
4374:
4368:
4322:
4316:
4295:
4289:
4258:
4245:
4090:
4080:
3923:
3913:
3508:
3502:
3479:
3473:
3440:
3434:
3318:
3312:
3221:
3212:
3188:
3182:
3122:
3116:
3050:
3014:
2974:
2968:
2864:
2855:
2831:
2825:
2791:
2755:
2715:
2709:
2663:
2654:
2625:
2613:
2423:
2417:
2273:
2267:
2257:of the Gaussian is defined as
2226:
2220:
2172:) = ±0.42768661... (
2103:
2097:
2074:) = ±0.54104422... (
2018:
2012:
1983:
1977:
1897:
1891:
1746:
1731:
1701:
1695:
1588:
1582:
1449:
1434:
1412:
1402:
1372:
1366:
1327:
1319:
1282:
1274:
1223:
1211:
1162:
1150:
1138:
1132:
1103:
1100:
1094:
1088:
1064:
1058:
1049:
1043:
1005:
999:
943:
937:
891:
885:
855:
849:
820:
814:
773:
767:
717:
708:
654:
648:
602:
596:
547:
538:
472:
466:
360:
354:
321:
315:
292:
286:
198:
192:
155:
149:
117:{\displaystyle F(x)=D_{+}(x),}
108:
102:
86:
80:
1:
2154: = ±1.50197526... (
2087:Inflection points follow for
2056: = ±0.92413887... (
572:It is closely related to the
2634:{\displaystyle 1/u=1/(y-x),}
4842:"On the Numerical Value of
2933:{\displaystyle \pi ^{1/2}.}
1967:with the initial condition
5028:
58:of the Gaussian function.
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4935:ACM Trans. Math. Soft.
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