1575:
200:
2289:
2587:
1125:
1401:
1805:
2702:
53:
853:
952:
2999:
1909:
2126:
2453:
550:
3287:
2114:
635:
2830:
2037:
1973:
693:
1393:
994:
1570:{\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}
3506:
1237:
395:
2922:
435:
3077:
2448:
1165:
1629:
43:
Derrick's paper, which was considered an obstacle to interpreting soliton-like solutions as particles, contained the following physical argument about non-existence of stable
1664:
2354:
2323:
195:{\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}
3128:
3026:
2860:
1199:
986:
495:
465:
305:
272:
3308:
2731:
1264:
3636:
3445:
2394:
570:
3180:
2595:
1327:
2064:
232:
3154:
3098:
2881:
1656:
1292:
3337:
3315:
3130:
is expected to be unstable. A related result, showing non-minimization of the energy of localized stationary states (with the argument also written for
701:
3194:
of localized stationary solutions to the nonlinear wave equation (in any spatial dimension) is proved by P. Karageorgis and W. A. Strauss in 2007.
861:
2927:
28:
1833:
2284:{\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|v|^{2}+{\frac {1}{2}}|\nabla u|^{2}+{\frac {1}{2}}f(u)\right)\,dx,}
2582:{\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}}|\nabla \theta |^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}
3642:
N. G. Vakhitov and A. A. Kolokolov (1973). "Stationary solutions of the wave equation in the medium with nonlinearity saturation".
500:
3215:
2069:
3204:
Elementary particles might correspond to stable, localized solutions which are periodic in time, rather than time-independent.
575:
3617:Вахитов, Н. Г. and Колоколов, А. А. (1973). "Стационарные решения волнового уравнения в среде с насыщением нелинейности".
2739:
1978:
1917:
1635:
1120:{\displaystyle \left.{\frac {d^{2}E_{\lambda }}{d\lambda ^{2}}}\right|_{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}
3690:
640:
1332:
3564:
P. Karageorgis and W. A. Strauss (2007). "Instability of steady states for nonlinear wave and heat equations".
2734:
3332:
1811:
3464:
24:
3402:
Berestycki, H. and Lions, P.-L. (1983). "Nonlinear scalar field equations, I. Existence of a ground state".
1207:
313:
2357:
403:
3031:
2402:
1133:
3630:
3439:
1800:{\displaystyle (n-2)\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla u(x)|^{2}\,dx=n\int _{\mathbb {R} ^{n}}G(u(x))\,dx,}
1586:
3651:
3583:
3538:
3411:
3374:
2886:
2328:
2297:
3207:
3103:
3004:
2835:
1174:
957:
470:
440:
280:
3667:
3599:
3573:
3427:
1912:
3292:
2697:{\displaystyle 0=\partial _{t}\theta (x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{2}}E'(\theta ),}
1242:
3695:
3327:
3311:
2363:
2117:
555:
3159:
237:
3659:
3655:
3591:
3546:
3419:
3382:
3191:
1297:
3202:
Derrick describes some possible ways out of this difficulty, including the conjecture that
2042:
2710:
208:
3133:
3082:
2865:
3587:
3542:
3415:
3378:
3342:
1819:
1641:
1277:
3684:
3671:
3550:
3431:
3603:
848:{\displaystyle E_{\lambda }=\int \left\,d^{3}x=I_{1}/\lambda +I_{2}/\lambda ^{3}.}
32:
3595:
3529:
R. H. Hobart (1963). "On the instability of a class of unitary field models".
947:{\displaystyle dE_{\lambda }/d\lambda \vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0.\,}
3460:
2994:{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta (\lambda x))<0}
3363:"Comments on nonlinear wave equations as models for elementary particles"
3663:
3423:
3210:
44:
20:
3387:
3362:
19:
is an argument by physicist G. H. Derrick which shows that stationary
3578:
1904:{\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}
3079:
is not a point of the local minimum of the energy functional
1167:
for a variation corresponding to a uniform stretching of the
1000:
545:{\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}
3282:{\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}
2109:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n},\,t\in \mathbb {R} }
400:
A necessary condition for the solution to be stable is
205:
now known under the name of
Derrick's Theorem. (Above,
3467:
3295:
3218:
3162:
3136:
3106:
3085:
3034:
3007:
2930:
2889:
2868:
2838:
2742:
2713:
2598:
2456:
2405:
2366:
2331:
2300:
2129:
2072:
2045:
1981:
1920:
1836:
1667:
1644:
1589:
1404:
1335:
1300:
1280:
1245:
1210:
1177:
1136:
997:
960:
864:
704:
643:
630:{\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}
578:
558:
503:
473:
443:
406:
316:
283:
240:
211:
56:
3156:, although the derivation being valid in dimensions
3500:
3302:
3281:
3174:
3148:
3122:
3092:
3071:
3020:
2993:
2916:
2875:
2854:
2825:{\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\,d^{n}x}
2824:
2725:
2696:
2581:
2442:
2388:
2348:
2317:
2283:
2108:
2058:
2031:
1967:
1903:
1799:
1650:
1623:
1569:
1387:
1321:
1286:
1258:
1231:
1193:
1159:
1119:
980:
946:
847:
687:
629:
564:
544:
489:
459:
429:
389:
299:
266:
226:
194:
2032:{\displaystyle \partial _{t}v=-\delta _{u}H(u,v)}
1968:{\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}
3619:Известия высших учебных заведений. Радиофизика
3198:Stability of localized time-periodic solutions
8:
3635:: CS1 maint: multiple names: authors list (
3444:: CS1 maint: multiple names: authors list (
3338:Vakhitov–Kolokolov stability criterion
3316:Vakhitov–Kolokolov stability criterion
2781:
2771:
890:
277:The energy of the time-independent solution
688:{\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}
31:in spatial dimensions three and higher are
1388:{\displaystyle G(s)=\int _{0}^{s}g(t)\,dt}
3577:
3466:
3386:
3299:
3294:
3278:
3263:
3244:
3217:
3161:
3135:
3119:
3105:
3089:
3084:
3068:
3033:
3017:
3006:
2952:
2951:
2937:
2931:
2929:
2913:
2888:
2872:
2867:
2851:
2837:
2813:
2808:
2784:
2760:
2756:
2755:
2753:
2741:
2733:denoting a variational derivative of the
2722:
2712:
2664:
2637:
2609:
2597:
2570:
2565:
2538:
2529:
2524:
2512:
2502:
2489:
2485:
2484:
2482:
2455:
2439:
2404:
2385:
2365:
2345:
2336:
2330:
2314:
2305:
2299:
2271:
2244:
2235:
2230:
2218:
2208:
2199:
2194:
2185:
2175:
2162:
2158:
2157:
2155:
2128:
2102:
2101:
2094:
2085:
2081:
2080:
2071:
2052:
2044:
2005:
1986:
1980:
1941:
1925:
1919:
1874:
1862:
1846:
1841:
1835:
1787:
1758:
1754:
1753:
1751:
1734:
1728:
1723:
1702:
1694:
1690:
1689:
1687:
1666:
1643:
1597:
1588:
1560:
1559:
1540:
1536:
1535:
1525:
1484:
1480:
1479:
1469:
1443:
1439:
1438:
1428:
1416:
1415:
1403:
1378:
1360:
1355:
1334:
1299:
1279:
1255:
1244:
1223:
1219:
1218:
1209:
1190:
1176:
1156:
1141:
1135:
1110:
1104:
1085:
1069:
1047:
1034:
1019:
1009:
1002:
996:
977:
965:
959:
943:
931:
915:
893:
878:
872:
863:
836:
827:
821:
806:
800:
784:
779:
765:
746:
736:
709:
703:
676:
648:
642:
618:
608:
583:
577:
557:
541:
508:
502:
486:
472:
456:
442:
426:
411:
405:
375:
370:
344:
315:
296:
282:
239:
210:
183:
179:
178:
163:
162:
110:
98:
80:
73:
61:
55:
3182:) was obtained by R. H. Hobart in 1963.
3501:{\displaystyle \Delta u+\lambda f(u)=0}
3461:"On the eigenfunctions of the equation
3353:
3628:
3437:
3100:. Therefore, physically, the solution
1826:Interpretation in the Hamiltonian form
1232:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
390:{\displaystyle E=\int \left\,d^{3}x.}
29:nonlinear Klein–Gordon equation
7:
572:is an arbitrary constant, and write
430:{\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}
3192:linear (or exponential) instability
3072:{\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}
2443:{\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}
1160:{\displaystyle \delta ^{2}E<0\,}
3468:
3206:Indeed, it was later shown that a
2774:
2634:
2606:
2517:
2223:
1983:
1922:
1859:
1838:
1707:
1624:{\displaystyle -\nabla ^{2}u=g(u)}
1594:
1456:
1429:
1423:
1420:
1417:
729:
598:
334:
234:is a differentiable function with
91:
77:
58:
14:
2924:), Derrick's argument shows that
1818:). This result is similar to the
2917:{\displaystyle E'(\theta )=0\,}
1552:
1496:
1455:
170:
140:
47:to the nonlinear wave equation
3489:
3483:
3256:
3250:
3234:
3222:
3186:Relation to linear instability
3116:
3110:
3065:
3059:
3050:
3038:
2982:
2979:
2970:
2964:
2904:
2898:
2848:
2842:
2805:
2802:
2796:
2768:
2688:
2682:
2658:
2646:
2624:
2618:
2557:
2551:
2525:
2513:
2472:
2460:
2436:
2430:
2421:
2409:
2382:
2370:
2349:{\displaystyle \delta _{v}H\,}
2318:{\displaystyle \delta _{u}H\,}
2263:
2257:
2231:
2219:
2195:
2186:
2145:
2133:
2026:
2014:
1962:
1950:
1898:
1892:
1784:
1781:
1775:
1769:
1724:
1719:
1713:
1703:
1680:
1668:
1618:
1612:
1580:be a solution to the equation
1546:
1531:
1515:
1512:
1506:
1500:
1490:
1475:
1449:
1434:
1375:
1369:
1345:
1339:
1310:
1304:
1187:
1181:
771:
758:
743:
726:
669:
663:
605:
595:
538:
529:
520:
514:
453:
447:
362:
356:
341:
331:
293:
287:
255:
249:
221:
215:
156:
144:
134:
128:
45:localized stationary solutions
1:
2399:Then the stationary solution
1636:in the sense of distributions
1204:Derrick's argument works for
3123:{\displaystyle \theta (x)\,}
3021:{\displaystyle \lambda =1\,}
2855:{\displaystyle \theta (x)\,}
2589:and satisfies the equation
1194:{\displaystyle \theta (x)\,}
981:{\displaystyle I_{1}>0\,}
490:{\displaystyle \delta E=0\,}
460:{\displaystyle \theta (x)\,}
300:{\displaystyle \theta (x)\,}
3644:Radiophys. Quantum Electron
467:is a localized solution of
3712:
3551:10.1088/0370-1328/82/2/306
3459:Pokhozhaev, S. I. (1965).
1830:We may write the equation
3596:10.1016/j.jde.2007.06.006
3566:J. Differential Equations
3404:Arch. Rational Mech. Anal
3303:{\displaystyle \omega \,}
1259:{\displaystyle n\geq 3\,}
2832:. Although the solution
2389:{\displaystyle H(u,v)\,}
1269:
565:{\displaystyle \lambda }
3656:1973R&QE...16..783V
3175:{\displaystyle n\geq 2}
2862:is a critical point of
2358:variational derivatives
1658:satisfies the relation
267:{\displaystyle f'(0)=0}
25:nonlinear wave equation
3502:
3361:G. H. Derrick (1964).
3304:
3283:
3190:A stronger statement,
3176:
3150:
3124:
3094:
3073:
3022:
2995:
2918:
2877:
2856:
2826:
2727:
2698:
2583:
2444:
2390:
2350:
2319:
2285:
2110:
2060:
2033:
1969:
1905:
1814:(sometimes spelled as
1801:
1652:
1625:
1571:
1389:
1323:
1322:{\displaystyle g(0)=0}
1288:
1260:
1233:
1195:
1161:
1121:
982:
948:
849:
689:
631:
566:
546:
491:
461:
431:
391:
301:
268:
228:
196:
3512:Dokl. Akad. Nauk SSSR
3503:
3333:Pokhozhaev's identity
3305:
3284:
3177:
3151:
3125:
3095:
3074:
3023:
2996:
2919:
2878:
2857:
2827:
2728:
2699:
2584:
2445:
2391:
2351:
2320:
2286:
2111:
2061:
2059:{\displaystyle u,\,v}
2034:
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