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1049:
765:
1853:
314:
1416:{\displaystyle \nabla |f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right)\leq \left|{\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\mathbf {D} f(x)\right|=|\mathbf {D} f(x)|}
1723:
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1180:{\displaystyle \operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}iA_{j}f(x)\right)=\operatorname {Im} (A_{j}f)=0.}
894:{\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=\operatorname {Re} \left({\frac {{\overline {f}}(x)}{|f(x)|}}\partial _{j}f(x)\right)}
2759:
Oh, Sung-Jin; Tataru, Daniel (2016). "Local well-posedness of the (4+1)-dimensional
Maxwell-Klein-Gordon equation".
608:
759:
2274:
2814:
1524:
122:
69:
2604:
The diamagnetic inequality guarantees that the energy is minimized in the absence of electromagnetism, thus
2597:{\displaystyle {\frac {||F(t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}+{\frac {||\mathbf {D} \phi (t)||_{L_{x}^{2}}^{2}}{2}}.}
1994:
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36:
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44:
2329:
2143:
1981:{\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
1748:
462:{\displaystyle f,(\partial _{1}+iA_{1})f,\dots ,(\partial _{n}+iA_{n})f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
221:
1636:
2786:
2768:
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2730:
2688:
2280:
2726:
2689:"Diamagnetic inequalities for systems of nonrelativistic particles with a quantized field"
2239:
2157:
675:
48:
2607:
16:
Mathematical inequality relating the derivative of a function to its covariant derivative
2704:
2300:
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56:
2147:
40:
20:
2782:
2712:
47:. The diamagnetic inequality has an important physical interpretation, that a
751:{\displaystyle \partial _{j}|f|\in L_{\text{loc}}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
168:
of square-integrable functions with square-integrable derivatives. Let
24:
2721:
2443:
60:
2773:
1563:
1848:{\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
309:{\displaystyle A_{j}\in L_{\text{loc}}^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
2428:
2113:
The above case is of the most physical interest. We view
1718:{\displaystyle \mathbf {D} f_{j}=(\partial _{j}+iA_{j})f}
2104:{\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |\mathbf {D} f(x)|.}
598:{\displaystyle |\nabla |f|(x)|\leq |(\nabla +iA)f(x)|.}
2610:
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2134:
2103:
2026:, it follows from the diamagnetic inequality that
2018:
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103:
1772:are the components of the trivial connection for
2642: – Magnetic property of ordinary materials
659:{\displaystyle |f|\in H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
2666:. Providence: American Mathematical Society.
8:
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157:{\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
104:{\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}
66:To precisely state the inequality, let
2657:
2655:
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2019:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
1004:{\displaystyle \partial _{j}|f|(x)=0}
500:{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}
7:
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2229:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2203:are nothing more than the valid
2135:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
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1641:
1392:
1362:
1283:
246:{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
2693:Reviews in Mathematical Physics
2205:electromagnetic four-potentials
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2446:of this physical system is
1648:{\displaystyle \mathbf {D} }
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1072:
823:
758:when viewed in the sense of
1517:Application to line bundles
35:of the absolute value of a
2831:
1471:{\displaystyle f(x)\neq 0}
949:{\displaystyle f(x)\neq 0}
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2687:Hiroshima, Fumio (1996).
2183:, connection 1-forms for
674:For this proof we follow
1630:is real-valued, and the
682:. From the assumptions,
336:is complex-valued, and
55:has more energy in its
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1610:. In this situation,
1605:
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1566:line bundle, and let
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222:measurable functions
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45:covariant derivative
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59:than it would in a
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1603:{\displaystyle L}
1588:connection 1-form
1579:{\displaystyle A}
1436:{\displaystyle x}
1423:for almost every
1359:
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1280:
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1075:
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901:for almost every
862:
826:
722:
329:{\displaystyle f}
280:
253:and suppose that
117:square-integrable
111:denote the usual
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2815:Electromagnetism
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