2229:
1775:
2027:
1108:
1310:
1241:
149:
745:
954:
449:
1393:
1625:
622:
315:
2410:
2485:
454:
The definition extends to more general projective systems, such as those indexed by the positive integers ordered by divisibility. As an important special case consider the projective system
1513:
799:
2224:{\displaystyle (T_{l}f)\left({\frac {a}{b}}\right)=f\left({\frac {la}{b}}\right)+\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {a+kb}{lb}}\right)-\sum _{k=0}^{l-1}f\left({\frac {k}{l}}\right)\ .}
985:
1252:
1122:
57:
633:
837:
1770:{\displaystyle g_{N}(r)={\frac {1}{|G(N)|}}\sum _{a\in G(N)}h\left({\left\langle {\frac {ra}{N}}\right\rangle }\right)\sigma _{a}^{-1}\ .}
361:
1321:
2615:
2577:
543:
242:
2331:
2603:
2421:
33:
2680:
1453:
2642:
757:
2685:
531:
2637:
819:
535:
37:
977:
2611:
2573:
1103:{\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\ .}
206:
185:
2659:
2651:
2621:
2583:
973:
466:
indexed by positive integers ordered by divisibility. We identify this with the system (1/
193:
2663:
2625:
2607:
2587:
2569:
1407:
1305:{\displaystyle \phi _{n}:{\frac {1}{n}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Q} }
1946:
159:
1236:{\displaystyle B_{k}(x)=n^{k-1}\sum _{a=0}^{n-1}b_{k}\left({\frac {x+a}{n}}\right)\ .}
2674:
2557:
1942:
214:
29:
21:
2633:
1830:
144:{\displaystyle \sum _{r=0}^{N-1}\phi \left(x+{\frac {r}{N}}\right)=\phi (Nx)\ .}
2595:
2561:
154:
Such distributions are called ordinary distributions. They also occur in
32:
which is analogous to an integral: it is thus the algebraic analogue of a
1997:-module of all functions on rational numbers with denominator coprime to
188:
of finite sets with surjections, indexed by the natural numbers, and let
43:
The original examples of distributions occur, unnamed, as functions φ on
2655:
740:{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\zeta (s,a+p/q)=q^{s}\,\zeta (s,qa)\ .}
346:
is "locally constant", or a "step function" if it factors through some
17:
949:{\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose n-k}b_{k}x^{n-k}\ ,}
444:{\displaystyle \int f\,d\phi =\sum _{x\in X_{n}}f(x)\phi _{n}(x)\ .}
1388:{\displaystyle \phi _{n}:x\mapsto n^{k-1}B_{k}(\langle x\rangle )}
2568:. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Vol. 244.
1531:
and seek the "universal" or most general distribution possible.
513:} denote the fractional part normalised to 0 < {
355:. We can define an integral of a step function against φ as
617:{\displaystyle \zeta (s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }(n+a)^{-s}}
1901:. Up to scaling a measure may be taken to have values in
310:{\displaystyle w(m,n)\sum _{y\mapsto x}\phi (y)=\phi (x)}
1780:
The group algebras form a projective system with limit
2424:
2405:{\displaystyle a_{k+2}=\lambda _{p}a_{k+1}-pa_{k}\ ,}
2334:
2030:
1965:. We describe a procedure for deriving a measure of
1628:
1456:
1324:
1255:
1125:
988:
840:
760:
636:
546:
364:
245:
60:
2480:{\displaystyle a_{k}=\pi _{1}^{k}+\pi _{2}^{k}\ .}
2479:
2404:
2223:
1769:
1507:
1387:
1304:
1235:
1102:
948:
793:
739:
616:
443:
309:
143:
908:
887:
28:is a function on a system of finite sets into an
1821:Consider the special case when the value group
2521:Mazur & Swinnerton-Dyer (1972) p. 36
1861:if |φ| is bounded on compact open subsets of
1845:, or more generally, in a finite-dimensional
8:
2606:. Vol. 121 (second combined ed.).
1379:
1373:
785:
779:
1615:). Define an element of the group algebra
1508:{\displaystyle \prod _{pb=a}g_{b}=g_{a}\ .}
236:and compatible with the projective system:
2465:
2460:
2447:
2442:
2429:
2423:
2390:
2368:
2358:
2339:
2333:
2201:
2182:
2171:
2134:
2115:
2104:
2078:
2054:
2038:
2029:
1752:
1747:
1719:
1714:
1686:
1674:
1657:
1651:
1633:
1627:
1493:
1480:
1461:
1455:
1364:
1348:
1329:
1323:
1298:
1297:
1290:
1289:
1284:
1280:
1279:
1269:
1260:
1254:
1205:
1195:
1179:
1168:
1152:
1130:
1124:
1078:
1072:
1057:
1047:
1036:
1014:
999:
989:
987:
928:
918:
907:
886:
884:
878:
867:
845:
839:
759:
709:
703:
685:
652:
641:
635:
605:
583:
572:
545:
420:
396:
385:
371:
363:
268:
244:
102:
76:
65:
59:
794:{\displaystyle t\mapsto \zeta (s,\{t\})}
2548:Mazur & Swinnerton-Dyer (1974) p.37
2496:
2640:(1974). "Arithmetic of Weil curves".
1563:) denote the multiplicative group of
7:
1857:, with valuation |·|. We call φ a
1523:One considers the distributions on
1527:with values in some abelian group
1048:
891:
584:
232:taking values in an abelian group
14:
501:⟩ denote the fractional part of
1543:be an ordinary distribution on
2047:
2031:
1702:
1696:
1675:
1671:
1665:
1658:
1645:
1639:
1382:
1370:
1341:
1294:
1142:
1136:
1069:
1063:
857:
851:
788:
770:
764:
728:
713:
693:
667:
627:gives a distribution relation
602:
589:
562:
550:
432:
426:
413:
407:
304:
298:
289:
283:
272:
261:
249:
223:) be a family of functions on
132:
123:
1:
2604:Graduate Texts in Mathematics
2503:Kubert & Lang (1981) p.1
1917:be a fixed integer prime to
1909:Hecke operators and measures
158:-adic integration theory in
1869:be the ring of integers of
1535:Stickelberger distributions
2702:
2600:Cyclotomic Fields I and II
2274: = 0 has roots π
2257:. The quadratic equation
1930:, the limit of the system
1807:Stickelberger distribution
327:. The family φ is then a
1551:taking values in a field
331:on the projective system
2643:Inventiones Mathematicae
2238:be an eigenfunction for
1825:of a distribution φ on
1793:form a distribution on
1575:, and for any function
2481:
2406:
2225:
2193:
2126:
1784:. Then the functions
1771:
1519:Universal distribution
1509:
1412:distribution relations
1389:
1306:
1237:
1190:
1104:
1052:
950:
883:
813:Bernoulli distribution
795:
741:
663:
618:
588:
532:multiplication theorem
445:
311:
145:
87:
2482:
2407:
2294:. Define a sequence
2226:
2167:
2100:
1772:
1510:
1390:
1307:
1238:
1164:
1115:distribution relation
1105:
1032:
951:
863:
820:Bernoulli polynomials
801:is a distribution on
796:
742:
637:
619:
568:
536:Hurwitz zeta function
526:Hurwitz zeta function
446:
312:
146:
61:
2422:
2332:
2028:
1626:
1454:
1322:
1253:
1123:
986:
838:
758:
634:
544:
362:
243:
58:
38:generalised function
2638:Swinnerton-Dyer, P.
2470:
2452:
1849:-adic Banach space
1760:
1398:is a distribution.
978:generating function
509:⟩ < 1, and let {
505:normalised to 0 ≤ ⟨
2656:10.1007/BF01389997
2477:
2456:
2438:
2402:
2221:
1881:, that is, a free
1829:takes values in a
1767:
1743:
1706:
1505:
1475:
1385:
1302:
1233:
1100:
946:
791:
737:
614:
441:
403:
307:
279:
141:
2558:Kubert, Daniel S.
2539:Lang (1990) p.157
2473:
2398:
2247:with eigenvalue λ
2217:
2209:
2158:
2091:
2062:
2001:. For any prime
1763:
1732:
1682:
1680:
1591:to a function on
1501:
1457:
1418:be an element of
1277:
1229:
1221:
1113:They satisfy the
1096:
1092:
1027:
974:Bernoulli numbers
942:
906:
733:
517:} ≤ 1.
437:
381:
264:
207:discrete topology
186:projective system
137:
110:
2693:
2681:Abstract algebra
2667:
2629:
2591:
2549:
2546:
2540:
2537:
2531:
2530:Lang (1990) p.36
2528:
2522:
2519:
2513:
2512:Lang (1990) p.53
2510:
2504:
2501:
2486:
2484:
2483:
2478:
2471:
2469:
2464:
2451:
2446:
2434:
2433:
2411:
2409:
2408:
2403:
2396:
2395:
2394:
2379:
2378:
2363:
2362:
2350:
2349:
2301: = 2,
2230:
2228:
2227:
2222:
2215:
2214:
2210:
2202:
2192:
2181:
2163:
2159:
2157:
2149:
2135:
2125:
2114:
2096:
2092:
2087:
2079:
2067:
2063:
2055:
2043:
2042:
1952:with eigenvalue
1941:. Consider any
1809:associated with
1776:
1774:
1773:
1768:
1761:
1759:
1751:
1742:
1738:
1737:
1733:
1728:
1720:
1705:
1681:
1679:
1678:
1661:
1652:
1638:
1637:
1514:
1512:
1511:
1506:
1499:
1498:
1497:
1485:
1484:
1474:
1408:cyclotomic units
1402:Cyclotomic units
1394:
1392:
1391:
1386:
1369:
1368:
1359:
1358:
1334:
1333:
1311:
1309:
1308:
1303:
1301:
1293:
1288:
1283:
1278:
1270:
1265:
1264:
1242:
1240:
1239:
1234:
1227:
1226:
1222:
1217:
1206:
1200:
1199:
1189:
1178:
1163:
1162:
1135:
1134:
1109:
1107:
1106:
1101:
1094:
1093:
1091:
1083:
1082:
1073:
1062:
1061:
1051:
1046:
1028:
1026:
1019:
1018:
1008:
1007:
1006:
990:
955:
953:
952:
947:
940:
939:
938:
923:
922:
913:
912:
911:
905:
890:
882:
877:
850:
849:
817:Recall that the
800:
798:
797:
792:
750:Hence for given
746:
744:
743:
738:
731:
708:
707:
689:
662:
651:
623:
621:
620:
615:
613:
612:
587:
582:
450:
448:
447:
442:
435:
425:
424:
402:
401:
400:
316:
314:
313:
308:
278:
196:. We give each
194:projective limit
150:
148:
147:
142:
135:
116:
112:
111:
103:
86:
75:
36:in the sense of
2701:
2700:
2696:
2695:
2694:
2692:
2691:
2690:
2671:
2670:
2632:
2618:
2608:Springer Verlag
2594:
2580:
2570:Springer-Verlag
2556:
2553:
2552:
2547:
2543:
2538:
2534:
2529:
2525:
2520:
2516:
2511:
2507:
2502:
2498:
2493:
2425:
2420:
2419:
2386:
2364:
2354:
2335:
2330:
2329:
2324:
2315:
2311:
2307:
2300:
2289:
2285:
2281:
2277:
2266:
2252:
2246:
2197:
2150:
2136:
2130:
2080:
2074:
2050:
2034:
2026:
2025:
2020:
1977:Fix an integer
1973:
1960:
1929:
1911:
1844:
1819:
1817:p-adic measures
1801:with values in
1792:
1721:
1715:
1710:
1656:
1629:
1624:
1623:
1607:to be zero off
1537:
1521:
1489:
1476:
1452:
1451:
1443:)−1. Then for
1438:
1404:
1360:
1344:
1325:
1320:
1319:
1256:
1251:
1250:
1207:
1201:
1191:
1148:
1126:
1121:
1120:
1084:
1074:
1053:
1010:
1009:
995:
991:
984:
983:
971:
924:
914:
895:
885:
841:
836:
835:
831:are defined by
830:
815:
756:
755:
699:
632:
631:
601:
542:
541:
528:
523:
416:
392:
360:
359:
354:
322:weight function
241:
240:
231:
222:
204:
183:
174:
95:
91:
56:
55:
12:
11:
5:
2699:
2697:
2689:
2688:
2683:
2673:
2672:
2669:
2668:
2630:
2616:
2592:
2578:
2551:
2550:
2541:
2532:
2523:
2514:
2505:
2495:
2494:
2492:
2489:
2488:
2487:
2476:
2468:
2463:
2459:
2455:
2450:
2445:
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