891:
651:
480:
1163:
122:
307:
196:
886:{\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )={\frac {\Gamma (n+1)\Gamma (b)}{\Gamma (b+n)}}\cdot D_{n}{\text{ with }}D_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left(\sum _{i=1}^{N}b_{i}\cdot z_{i}^{k}\right)\cdot D_{n-k}}
313:. They were introduced by the mathematician Bille C. Carlson in the '70s who noticed that the simple notion of this type of averaging generalizes and unifies many special functions, among them generalized
549:
597:
382:
643:
1070:
32:
1027:
991:
969:
927:
1062:
374:
947:
503:
201:
130:
1224:
Glüsenkamp, T. (2018). "Probabilistic treatment of the uncertainty from the finite size of weighted Monte Carlo data".
508:
554:
475:{\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int (\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )^{n}\,d\mu _{b}(\mathbf {u} )}
1158:{\displaystyle S(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )=\int \exp(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ).}
608:
1197:
Dickey, J.M. (1983). "Multiple hypergeometric functions: Probabilistic interpretations and statistical uses".
117:{\displaystyle F(\mathbf {b} ;\mathbf {z} )=\int f(\mathbf {u} \cdot \mathbf {z} )\,d\mu _{b}(\mathbf {u} ),}
314:
326:
318:
23:
996:
974:
952:
1233:
1267:
330:
322:
899:
1243:
1206:
1040:
352:
302:{\displaystyle d\mu _{b}(\mathbf {u} )=u_{1}^{b_{1}-1}\cdots u_{N}^{b_{N}-1}d\mathbf {u} }
26:. An important one are dirichlet averages that have a certain argument structure, namely
341:
Some
Dirichlet averages are so fundamental that they are named. A few are listed below.
932:
488:
1261:
1247:
329:) and are connected to statistical applications in various ways, for example in
191:{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {z} =\sum _{i}^{N}u_{i}\cdot z_{i}}
645:
it is possible to write an exact solution in the form of an iterative sum
1210:
1238:
321::. They also play an important role for the solution of
16:
Averages of functions under the
Dirichlet distribution
1073:
1043:
1037:
The (Carlson) S-function is the
Dirichlet average of
999:
977:
955:
935:
902:
654:
611:
557:
511:
491:
385:
355:
349:
The (Carlson) R-function is the
Dirichlet average of
204:
133:
35:
1157:
1056:
1021:
985:
963:
941:
921:
885:
637:
591:
543:
497:
474:
368:
301:
190:
116:
544:{\displaystyle R_{n}(\mathbf {b} ,\mathbf {z} )}
1199:Journal of the American Statistical Association
592:{\displaystyle R(-n;\mathbf {b} ,\mathbf {z} )}
309:is the Dirichlet measure with dimension
8:
1237:
1144:
1135:
1127:
1119:
1111:
1088:
1080:
1072:
1048:
1042:
1013:
998:
978:
976:
956:
954:
934:
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901:
871:
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835:
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814:
799:
788:
774:
765:
756:
750:
687:
676:
668:
659:
653:
638:{\displaystyle n\geq 0,n\in \mathbb {N} }
631:
630:
610:
581:
573:
556:
533:
525:
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236:
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212:
203:
182:
169:
159:
154:
142:
134:
132:
103:
94:
86:
78:
70:
50:
42:
34:
1184:Special functions of applied mathematics
1174:
7:
22:are averages of functions under the
722:
708:
690:
14:
1145:
1120:
1112:
1089:
1081:
979:
957:
677:
669:
582:
574:
534:
526:
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433:
425:
408:
400:
295:
222:
143:
135:
104:
79:
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51:
43:
1149:
1141:
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1108:
1093:
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725:
717:
711:
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226:
218:
108:
100:
83:
67:
55:
39:
1:
1022:{\displaystyle b=\sum b_{i}}
986:{\displaystyle \mathbf {z} }
964:{\displaystyle \mathbf {b} }
1284:
1248:10.1140/epjp/i2018-12042-x
337:Notable Dirichlet averages
315:hypergeometric functions
922:{\displaystyle D_{0}=1}
1182:Carlson, B.C. (1977).
1159:
1058:
1023:
987:
965:
943:
923:
887:
830:
804:
639:
593:
545:
499:
476:
370:
327:Carlson symmetric form
319:orthogonal polynomials
303:
192:
164:
118:
24:Dirichlet distribution
1160:
1059:
1057:{\displaystyle e^{x}}
1024:
988:
966:
944:
924:
888:
810:
784:
640:
594:
546:
500:
477:
371:
369:{\displaystyle x^{n}}
304:
193:
150:
119:
1071:
1041:
997:
975:
953:
949:is the dimension of
933:
900:
652:
609:
555:
509:
489:
383:
353:
202:
131:
33:
858:
551:is also denoted by
290:
259:
1155:
1054:
1019:
983:
961:
939:
919:
883:
844:
635:
589:
541:
495:
472:
366:
323:elliptic integrals
299:
263:
232:
188:
114:
20:Dirichlet averages
942:{\displaystyle N}
782:
759:
741:
602:Exact solutions:
498:{\displaystyle n}
331:Bayesian analysis
1275:
1252:
1251:
1241:
1221:
1215:
1214:
1194:
1188:
1187:
1179:
1164:
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1156:
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1092:
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1017:
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770:
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758: with
757:
755:
754:
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740:
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365:
364:
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1205:(383): 628.
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