38:
1852:
1403:
1420:
1114:
3374:
2205:
1847:{\displaystyle \Gamma _{2}(w\mid a_{1},a_{2})={\frac {e^{\lambda _{1}w+\lambda _{2}w^{2}}}{w}}\prod _{\begin{array}{c}(n_{1},n_{2})\in \mathbb {N} ^{2}\\(n_{1},n_{2})\neq (0,0)\end{array}}{\frac {e^{{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {w^{2}}{(n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2})^{2}}}}}{1+{\frac {w}{n_{1}a_{1}+n_{2}a_{2}}}}}\ ,}
1398:{\displaystyle \Gamma _{2}(w|a_{1},a_{2})\ {\underset {w\to \infty }{\sim }}\ w^{\frac {w^{2}}{2a_{1}a_{2}}}\quad {\text{for}}\quad \left\{{\begin{array}{l}{\frac {a_{1}}{a_{2}}}\in \mathbb {C} \backslash (-\infty ,0]\ ,\\w\in \mathbb {C} \backslash \left(\mathbb {R} _{+}a_{1}+\mathbb {R} _{+}a_{2}\right)\ .\end{array}}\right.}
386:
2835:
3110:
4215:
1077:
3997:
2649:
1999:
37:
3063:
2361:
872:
1993:
1413:
The multiple gamma function has an infinite product representation that makes it manifest that it is meromorphic, and that also makes the positions of its poles manifest. In the case of the double gamma function, this representation is
206:
2664:
3369:{\displaystyle \Gamma _{b}(w+b)={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{bw-{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (bw)}}\Gamma _{b}(w)\quad ,\quad \Gamma _{b}(w+b^{-1})={\sqrt {2\pi }}{\frac {b^{-b^{-1}w+{\frac {1}{2}}}}{\Gamma (b^{-1}w)}}\Gamma _{b}(w)\ .}
4807:
3700:
4530:
4008:
878:
3825:
2479:
2200:{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})+{\frac {1}{2}}{\underset {s=2}{\operatorname {Res} _{1}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}
682:
520:
743:
2922:
2213:
749:
587:
4292:
1883:
4850:
3817:
3739:
198:
4936:
4877:
2437:
1106:
4254:
3102:
150:
119:
73:
3406:
2914:
2872:
416:
3778:
381:{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\exp \left(\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\zeta _{N}(s,w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\right|_{s=0}\right)\ ,}
2412:
614:
2471:
4901:
2381:
1875:
452:
2830:{\displaystyle \Gamma _{2}(w|\alpha ,\alpha )=(2\pi )^{\frac {w}{2\alpha }}\alpha ^{-{\frac {w^{2}}{2\alpha ^{2}}}+{\frac {w}{\alpha }}-1}G(w/\alpha )^{-1}\ .}
41:
Plot of the Barnes G aka double gamma function G(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with
Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D
4538:
3414:
4210:{\displaystyle S_{b}(w+b)=2\sin(\pi bw)S_{b}(w)\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w+b)={\frac {\Gamma (bw)}{\Gamma (1-bw)}}b^{1-2bw}\Upsilon _{b}(w)\ ,}
1072:{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})=\Gamma _{N-1}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N-1})\Gamma _{N}(w+a_{N}\mid a_{1},\ldots ,a_{N})\ .}
4880:
3992:{\displaystyle S_{b}(w)={\frac {\Gamma _{b}(w)}{\Gamma _{b}(Q-w)}}\quad ,\quad \Upsilon _{b}(w)={\frac {1}{\Gamma _{b}(w)\Gamma _{b}(Q-w)}}\ .}
4300:
2644:{\displaystyle \Gamma _{2}(w+1|1,1)={\frac {\sqrt {2\pi }}{\Gamma (w)}}\Gamma _{2}(w|1,1)\quad ,\quad \Gamma _{2}(1|1,1)={\sqrt {2\pi }}\ .}
5264:
87:. At the end of this paper he mentioned the existence of multiple gamma functions generalizing it, and studied these further in
5118:
Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character
3058:{\displaystyle \Gamma _{b}(w)={\frac {\Gamma _{2}(w\mid b,b^{-1})}{\Gamma _{2}\left({\frac {Q}{2}}\mid b,b^{-1}\right)}}\ ,}
2356:{\displaystyle {\underset {s=s_{0}}{\operatorname {Res} _{n}}}f(s)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{s_{0}}(s-s_{0})^{n-1}f(s)\,ds}
619:
457:
690:
867:{\displaystyle \Gamma _{1}(w\mid a)={\frac {a^{a^{-1}w-{\frac {1}{2}}}}{\sqrt {2\pi }}}\Gamma \left(a^{-1}w\right)\ ,}
2384:
525:
616:. These poles are simple unless some of them coincide. Up to multiplication by the exponential of a polynomial,
5217:
5175:
153:
1988:{\displaystyle \lambda _{1}=-{\underset {s=1}{\operatorname {Res} _{0}}}\zeta _{2}(s,0\mid a_{1},a_{2})\ ,}
4908:
4259:
4815:
3786:
5125:
5030:
431:
419:
3708:
167:
4914:
4855:
2420:
1085:
5149:
5105:
5097:
5020:
4959:
4223:
3071:
128:
97:
51:
31:
5173:
Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Shintani–Barnes zeta and gamma functions",
3382:
2877:
2848:
394:
5236:
5192:
5141:
5089:
3747:
2655:
80:
5226:
5184:
5133:
5081:
5061:
4995:
4904:
122:
5248:
5204:
2390:
592:
5244:
5200:
4958:
Alexanian, Shahen; Kuznetsov, Alexey (2022-08-29). "On the Barnes double gamma function".
2450:
5129:
5034:
4886:
2366:
1860:
437:
76:
5258:
5109:
17:
4802:{\displaystyle \log \Upsilon _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left\ .}
5065:
684:
is the unique meromorphic function of finite order with these zeros and poles.
5188:
5000:
4983:
3695:{\displaystyle \log \Gamma _{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left\ .}
5240:
5196:
5145:
5093:
5231:
5137:
5085:
2439:
leads to an algorithm for numerically computing the double Gamma function.
1245:
4525:{\displaystyle \log S_{b}(w)=\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left\ ,}
5025:
1082:
In the case of the double Gamma function, the asymptotic behaviour for
5160:
Barnes, E. W. (1904), "On the theory of the multiple gamma function",
5101:
5153:
4964:
5053:
27:
Generalization of the Euler gamma function and the Barnes G-function
422:. (This differs by a constant from Barnes's original definition.)
36:
5116:
Barnes, E. W. (1901), "The Theory of the Double Gamma
Function",
5072:
Barnes, E. W. (1899), "The Theory of the Double Gamma
Function",
5212:
1322:
1280:
1392:
276:
4903:
being related to the central charge of the underlying
1527:
677:{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}
515:{\displaystyle \Gamma _{N}(w\mid a_{1},\ldots ,a_{N})}
30:
For derivatives of the log of the gamma function, see
4917:
4889:
4858:
4818:
4541:
4303:
4262:
4226:
4011:
3828:
3789:
3750:
3711:
3417:
3385:
3113:
3074:
2925:
2880:
2851:
2667:
2482:
2453:
2423:
2393:
2369:
2216:
2002:
1886:
1863:
1423:
1117:
1088:
881:
752:
738:{\displaystyle \Gamma _{0}(w\mid )={\frac {1}{w}}\ ,}
693:
622:
595:
528:
460:
440:
397:
209:
170:
131:
100:
54:
2841:
The double gamma function and conformal field theory
4930:
4895:
4871:
4844:
4801:
4524:
4286:
4248:
4209:
3991:
3811:
3772:
3733:
3694:
3400:
3368:
3096:
3057:
2908:
2866:
2829:
2643:
2465:
2431:
2406:
2375:
2355:
2199:
1987:
1869:
1846:
1397:
1100:
1071:
866:
737:
676:
608:
581:
514:
446:
410:
380:
192:
144:
113:
67:
4984:"On the Barnes double zeta and gamma functions"
5213:"On Barnes' multiple zeta and gamma functions"
4907:. In particular, the three-point function of
8:
582:{\displaystyle w=-\sum _{i=1}^{N}n_{i}a_{i}}
5054:"The Genesis of the Double Gamma Functions"
4977:
4975:
83:. The double gamma function was studied by
5074:Proceedings of the Royal Society of London
2447:The double gamma function with parameters
5230:
5024:
5017:Recent progress on Liouville Field Theory
4999:
4963:
4922:
4916:
4888:
4863:
4857:
4836:
4823:
4817:
4768:
4754:
4722:
4685:
4670:
4661:
4654:
4642:
4632:
4611:
4585:
4579:
4574:
4552:
4540:
4490:
4467:
4453:
4421:
4381:
4367:
4347:
4341:
4336:
4314:
4302:
4261:
4237:
4225:
4186:
4164:
4116:
4092:
4068:
4016:
4010:
3959:
3940:
3930:
3912:
3879:
3858:
3851:
3833:
3827:
3794:
3788:
3755:
3749:
3716:
3710:
3659:
3656:
3644:
3629:
3608:
3600:
3577:
3569:
3541:
3511:
3507:
3488:
3481:
3461:
3455:
3450:
3428:
3416:
3384:
3345:
3323:
3300:
3285:
3277:
3271:
3261:
3246:
3227:
3203:
3168:
3158:
3152:
3142:
3118:
3112:
3085:
3073:
3032:
3009:
2998:
2980:
2955:
2948:
2930:
2924:
2897:
2879:
2850:
2812:
2800:
2773:
2761:
2747:
2741:
2737:
2717:
2684:
2672:
2666:
2625:
2605:
2593:
2567:
2555:
2525:
2505:
2487:
2481:
2452:
2425:
2424:
2422:
2417:Another representation as a product over
2398:
2392:
2368:
2346:
2322:
2312:
2291:
2286:
2264:
2240:
2223:
2217:
2215:
2182:
2169:
2144:
2121:
2115:
2105:
2093:
2080:
2055:
2032:
2026:
2016:
2007:
2001:
1970:
1957:
1932:
1909:
1903:
1891:
1885:
1862:
1826:
1816:
1803:
1793:
1783:
1765:
1755:
1745:
1732:
1722:
1708:
1702:
1692:
1680:
1670:
1657:
1647:
1637:
1636:
1630:
1598:
1585:
1568:
1564:
1563:
1550:
1537:
1526:
1509:
1499:
1483:
1478:
1472:
1460:
1447:
1428:
1422:
1371:
1361:
1357:
1356:
1346:
1336:
1332:
1331:
1318:
1317:
1276:
1275:
1264:
1254:
1248:
1244:
1234:
1223:
1213:
1199:
1193:
1168:
1156:
1143:
1134:
1122:
1116:
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1035:
1022:
1003:
984:
965:
940:
924:
905:
886:
880:
841:
807:
792:
787:
781:
757:
751:
719:
698:
692:
665:
646:
627:
621:
600:
594:
573:
563:
553:
542:
527:
503:
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465:
459:
439:
402:
396:
356:
342:
323:
298:
279:
252:
233:
214:
208:
178:
169:
136:
130:
105:
99:
59:
53:
4220:plus the relations that are obtained by
4947:
4294:they have the integral representations
4953:
4951:
4881:two-dimensional conformal field theory
88:
84:
3408:, it has the integral representation
7:
4911:is written in terms of the function
4002:These functions obey the relations
1108:is known, and the leading factor is
4879:appear in correlation functions of
4287:{\displaystyle 0<\Re w<\Re Q}
4919:
4860:
4820:
4580:
4549:
4342:
4278:
4269:
4183:
4136:
4119:
4089:
3956:
3937:
3909:
3876:
3855:
3791:
3713:
3456:
3425:
3386:
3342:
3313:
3224:
3200:
3181:
3115:
2995:
2952:
2927:
2852:
2669:
2590:
2552:
2536:
2484:
2443:Reduction to the Barnes G-function
1425:
1289:
1180:
1119:
1095:
1000:
937:
883:
829:
754:
695:
624:
462:
285:
281:
211:
171:
133:
102:
56:
25:
4845:{\displaystyle \Gamma _{b},S_{b}}
75:is a generalization of the Euler
3812:{\displaystyle \Upsilon _{b}(w)}
4087:
4083:
3907:
3903:
3222:
3218:
2588:
2584:
1409:Infinite product representation
1239:
1233:
5211:Ruijsenaars, S. N. M. (2000),
4564:
4558:
4326:
4320:
4230:
4198:
4192:
4154:
4139:
4131:
4122:
4110:
4098:
4080:
4074:
4061:
4049:
4034:
4022:
3977:
3965:
3952:
3946:
3924:
3918:
3897:
3885:
3870:
3864:
3845:
3839:
3806:
3800:
3767:
3761:
3734:{\displaystyle \Gamma _{b}(w)}
3728:
3722:
3591:
3556:
3553:
3528:
3440:
3434:
3357:
3351:
3335:
3316:
3255:
3233:
3215:
3209:
3193:
3184:
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3124:
3078:
2989:
2961:
2942:
2936:
2809:
2794:
2714:
2704:
2698:
2685:
2678:
2619:
2606:
2599:
2581:
2568:
2561:
2545:
2539:
2519:
2506:
2493:
2343:
2337:
2319:
2299:
2258:
2252:
2188:
2150:
2099:
2061:
1976:
1938:
1762:
1715:
1622:
1610:
1604:
1578:
1556:
1530:
1466:
1434:
1298:
1283:
1177:
1162:
1135:
1128:
1092:
1060:
1009:
996:
952:
930:
892:
775:
763:
713:
704:
671:
633:
522:has no zeros. It has poles at
509:
471:
348:
304:
258:
220:
193:{\displaystyle \Re a_{i}>0}
1:
4931:{\displaystyle \Upsilon _{b}}
4872:{\displaystyle \Upsilon _{b}}
125:, and triple gamma functions
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94:Double gamma functions
47:multiple gamma function
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