4427:
1109:
3895:
2993:
584:
4713:
4422:{\displaystyle {\begin{array}{l}m_{2}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{2}\left(\left(\theta _{2}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)+\theta _{2}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)+m_{1}\left(g\sin \left(\theta _{1}\right)+l_{1}\theta _{1}''\right)=0\\g\sin \left(\theta _{2}\right)+l_{1}\left(\theta _{1}''\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)-\left(\theta _{1}'\right){}^{2}\sin \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+l_{2}\theta _{2}''=0\\\end{array}}}
25:
6034:
165:
2534:
2162:
1104:{\displaystyle {\begin{aligned}L&={\text{kinetic energy}}-{\text{potential energy}}\\&={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\\&={\tfrac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}_{1}}^{2}+{{\dot {y}}_{1}}^{2}+{{\dot {x}}_{2}}^{2}+{{\dot {y}}_{2}}^{2}\right)+{\tfrac {1}{2}}I\left({{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+{{\dot {\theta }}_{2}}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)\end{aligned}}}
2540:
3555:
4487:
2168:
1796:
6026:
2988:{\displaystyle {\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)}
3191:
82:
3831:
4470:
2529:{\displaystyle {\dot {y}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\sin ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\sin ^{2}\theta _{2}\right)}
2157:{\displaystyle {\dot {x}}_{2}=l\left({\dot {\theta }}_{1}\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{2}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{2}^{2}=l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}\cos ^{2}\theta _{1}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}\cos ^{2}\theta _{2}\right)}
1562:
1357:
3550:{\displaystyle L={\tfrac {ml^{2}}{2}}\left({\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right)+{\tfrac {ml^{2}}{24}}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mg\left(y_{1}+y_{2}\right)}
1785:
561:
3180:
3561:
4495:
1363:
1158:
369:
1568:
380:
2999:
3826:{\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}ml^{2}\left({{\dot {\theta }}_{2}}^{2}+4{{\dot {\theta }}_{1}}^{2}+3{{\dot {\theta }}_{1}}{{\dot {\theta }}_{2}}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})\right)+{\tfrac {1}{2}}mgl\left(3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}\right).}
4892:
then it is energetically impossible for either pendulum to flip. Outside this region, the pendulum can flip, but it is a complex question to determine when it will flip. Similar behavior is observed for a double pendulum composed of two
1557:{\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\sin \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\sin ^{2}\theta _{1}\right)}
1352:{\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}\left({\tfrac {l}{2}}\cos \theta _{1}\right)\quad \rightarrow \quad {\dot {x}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}\left({\tfrac {l^{2}}{4}}\cos ^{2}\theta _{1}\right)}
5590:, (2013). A report produced as an example for students. Includes a derivation of the equations of motion, and a comparison between the double pendulum with 2 point masses and the double pendulum with 2 rods.
153:(also called complex pendulums) and the motion may be in three dimensions or restricted to the vertical plane. In the following analysis, the limbs are taken to be identical compound pendulums of length
256:
4887:
4817:
1780:{\displaystyle {\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2}={\dot {\theta }}_{1}^{2}{\tfrac {l^{2}}{4}}\left(\cos ^{2}\theta _{1}+\sin ^{2}\theta _{1}\right)={\tfrac {l^{2}}{4}}{\dot {\theta }}_{1}^{2},}
556:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}&=l\left(\sin \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\sin \theta _{2}\right)\\y_{2}&=-l\left(\cos \theta _{1}+{\tfrac {1}{2}}\cos \theta _{2}\right)\end{aligned}}}
589:
385:
261:
4750:
4706:
4672:
4638:
3887:
4604:
3175:{\displaystyle =l^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\tfrac {1}{4}}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\right),}
4570:
4463:
4938:
Mid-20th century physics textbooks use the term "double pendulum" to mean a single bob suspended from a string which is in turn suspended from a V-shaped string. This type of
4514:. The image to the right shows the amount of elapsed time before the pendulum flips over, as a function of initial position when released at rest. Here, the initial value of
5702:
6323:
6153:
173:
6033:
5643:
5793:
5658:
4904:
in buildings, where the building itself is the primary inverted pendulum, and a secondary mass is connected to complete the double pendulum.
5986:
46:
5933:
6266:
6308:
5996:
6501:
5757:
5608:
145:
Several variants of the double pendulum may be considered; the two limbs may be of equal or unequal lengths and masses, they may be
68:
364:{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {l}{2}}\sin \theta _{1}\\y_{1}&=-{\frac {l}{2}}\cos \theta _{1}\end{aligned}}}
5674:
6183:
1149:
4828:
4716:
Three double pendulums with near identical initial conditions diverge over time, displaying the chaotic nature of the system.
184:
In a compound pendulum, the mass is distributed along its length. If the double pendulum mass is evenly distributed, then the
5632:
130:
6001:
5991:
4761:
6610:
225:
6256:
6348:
6121:
5586:
4473:
Parametric plot for the time evolution of the angles of a double pendulum. It can be noticed that the graph resembles a
246:. The position of the center of mass of each rod may be written in terms of these two coordinates. If the origin of the
5638:
5550:
247:
6261:
39:
33:
6328:
6605:
5786:
5735:
4712:
6376:
4723:
4679:
250:
is taken to be at the point of suspension of the first pendulum, then the center of mass of this pendulum is at:
4645:
50:
6080:
6025:
4913:
4611:
3846:
3840:
4577:
4459:
4755:
The boundary of the central white region is defined in part by energy conservation with the following curve:
6241:
6006:
5913:
4546:
221:
6281:
5893:
5765:
4433:
164:
4540:-direction, from â3.14 to 3.14. The colour of each pixel indicates whether either pendulum flips within:
6600:
6431:
6338:
6136:
5963:
5898:
5873:
5779:
4455:
177:
6193:
6441:
6271:
6093:
5938:
5559:
4918:
1134:
575:
6401:
6358:
6343:
6188:
6141:
6126:
6111:
6011:
5943:
5918:
5903:
5888:
5655:
4486:
6615:
6579:
6446:
6276:
6163:
6158:
6050:
5928:
5830:
4947:
4511:
6466:
6451:
6416:
6406:
6303:
5923:
5845:
5619:
5604:
4901:
189:
150:
122:
102:
6559:
6471:
6421:
6318:
6246:
6198:
6075:
6060:
6055:
5850:
5567:
4943:
1130:
126:
6491:
6386:
6146:
5958:
5948:
5761:
5662:
4474:
1138:
172:
146:
118:
6481:
6426:
5754:
5708:
5563:
6574:
6541:
6536:
6531:
6333:
6223:
6218:
6116:
6065:
5981:
5855:
4507:
1122:
1118:
185:
6594:
6569:
6526:
6516:
6511:
6411:
6391:
6251:
6173:
6070:
5878:
5740:
5689:
5628:
6521:
6486:
6396:
6353:
6208:
6203:
5802:
5748:
4490:
Graph of the time for the pendulum to flip over as a function of initial conditions
134:
6168:
5714:
6506:
6496:
6381:
6131:
5953:
5860:
5731:
Comparison videos of a double pendulum with the same initial starting conditions
5693:
4968:
4933:
98:
5718:
3843:
then give the two following second-order, non-linear differential equations in
6564:
6461:
5908:
5729:
5701:
Interactive Open Source
Physics JavaScript simulation with detailed equations
4894:
4469:
4454:
as functions of time are known, therefore solving the system can only be done
1145:
81:
5548:
Levien, R. B.; Tan, S. M. (1993). "Double
Pendulum: An experiment in chaos".
220:
It is convenient to use the angles between each limb and the vertical as the
6476:
6436:
6178:
5840:
5825:
4923:
4498:
Long exposure of double pendulum exhibiting chaotic motion (tracked with an
1129:
kinetic energy around the center of mass of each rod. The last term is the
6213:
4939:
3900:
114:
86:
5883:
5835:
94:
3185:
substituting the coordinates above and rearranging the equation gives
6456:
5724:
5571:
5744:
5587:
Sample Final
Project: One Signature of Chaos in the Double Pendulum
4928:
4711:
4493:
4485:
4468:
171:
163:
129:. The motion of a double pendulum is governed by a set of coupled
80:
4900:
The lack of a natural excitation frequency has led to the use of
5775:
5771:
4494:
4499:
18:
117:
with another pendulum attached to its end, forming a simple
4822:
Within the region thats defined by this curve, that is if
5625:(contains details of the complicated equations involved)
4882:{\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}>2,}
566:
This is enough information to write out the
Lagrangian.
5603:(2nd ed.). McGraw-Hill Science/Engineering/Math.
3752:
3569:
3421:
3297:
3231:
3202:
3049:
2776:
2714:
2463:
2241:
2091:
1869:
1732:
1651:
1508:
1414:
1303:
1209:
972:
823:
687:
626:
517:
433:
4902:
double pendulum systems in seismic resistance designs
4831:
4812:{\displaystyle 3\cos \theta _{1}+\cos \theta _{2}=2.}
4764:
4726:
4720:
Initial conditions that do not lead to a flip within
4682:
4648:
4614:
4580:
4549:
3898:
3849:
3564:
3194:
3002:
2543:
2171:
1799:
1571:
1366:
1161:
587:
383:
259:
1133:
of the bodies in a uniform gravitational field. The
374:
and the center of mass of the second pendulum is at
188:
of each limb is at its midpoint, and the limb has a
6550:
6367:
6294:
6232:
6102:
6089:
6041:
5972:
5816:
5809:
5672:Theoretical High-Energy Astrophysics Group at UBC,
4881:
4811:
4744:
4700:
4666:
4632:
4598:
4564:
4421:
3881:
3825:
3549:
3174:
2987:
2528:
2156:
1779:
1556:
1351:
1103:
555:
363:
161:, and the motion is restricted to two dimensions.
16:Pendulum with another pendulum attached to its end
4527:-direction from â3.14 to 3.14. The initial value
4967:The equations were obtained with the following
5787:
4510:, and cleary shows a sensitive dependence on
176:Motion of the double compound pendulum (from
8:
5694:physical double pendulum (two square plates)
4897:rather than two rods with distributed mass.
4745:{\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}
4701:{\displaystyle 10000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}
6099:
5813:
5794:
5780:
5772:
4667:{\displaystyle 1000{\sqrt {\frac {l}{g}}}}
5723:Simulation, equations and explanation of
4864:
4845:
4830:
4797:
4778:
4763:
4730:
4725:
4686:
4681:
4652:
4647:
4633:{\displaystyle 100{\sqrt {\frac {l}{g}}}}
4618:
4613:
4584:
4579:
4550:
4548:
4400:
4390:
4367:
4354:
4333:
4331:
4317:
4295:
4282:
4258:
4243:
4226:
4185:
4175:
4158:
4130:
4109:
4099:
4076:
4063:
4039:
4021:
4008:
3987:
3985:
3971:
3952:
3935:
3907:
3899:
3897:
3882:{\displaystyle (\theta _{1},\theta _{2})}
3870:
3857:
3848:
3809:
3790:
3751:
3734:
3721:
3701:
3690:
3689:
3687:
3680:
3669:
3668:
3666:
3654:
3647:
3636:
3635:
3633:
3620:
3613:
3602:
3601:
3599:
3587:
3568:
3563:
3536:
3523:
3494:
3489:
3478:
3477:
3467:
3462:
3451:
3450:
3431:
3420:
3401:
3388:
3367:
3356:
3355:
3348:
3337:
3336:
3326:
3321:
3310:
3309:
3296:
3287:
3282:
3271:
3270:
3260:
3255:
3244:
3243:
3230:
3212:
3201:
3193:
3153:
3140:
3119:
3108:
3107:
3100:
3089:
3088:
3078:
3073:
3062:
3061:
3048:
3039:
3034:
3023:
3022:
3010:
3001:
2974:
2958:
2942:
2931:
2930:
2923:
2912:
2911:
2901:
2885:
2869:
2858:
2857:
2850:
2839:
2838:
2828:
2815:
2805:
2800:
2789:
2788:
2775:
2766:
2753:
2743:
2738:
2727:
2726:
2713:
2704:
2691:
2681:
2676:
2665:
2664:
2654:
2641:
2631:
2626:
2615:
2614:
2602:
2589:
2584:
2573:
2572:
2562:
2557:
2546:
2545:
2542:
2515:
2502:
2492:
2487:
2476:
2475:
2462:
2453:
2437:
2421:
2410:
2409:
2402:
2391:
2390:
2380:
2367:
2357:
2352:
2341:
2340:
2328:
2315:
2310:
2299:
2298:
2281:
2265:
2254:
2253:
2240:
2231:
2215:
2204:
2203:
2185:
2174:
2173:
2170:
2143:
2130:
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2115:
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2038:
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1927:
1926:
1909:
1893:
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1881:
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1859:
1843:
1832:
1831:
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1798:
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1752:
1751:
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1731:
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1704:
1691:
1678:
1657:
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1644:
1639:
1628:
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1125:of the bodies and the second term is the
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69:Learn how and when to remove this message
5713:Double pendulum physics simulation from
4599:{\displaystyle 10{\sqrt {\frac {l}{g}}}}
228:of the system. These angles are denoted
127:strong sensitivity to initial conditions
32:This article includes a list of general
5707:Interactive Javascript simulation of a
5635:, 2007 (animations of those equations).
5540:
4960:
5743:- An open source simulator written in
4565:{\displaystyle {\sqrt {\frac {l}{g}}}}
7:
5934:Measure-preserving dynamical system
85:A double pendulum consists of two
38:it lacks sufficient corresponding
14:
6502:Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky
5688:Animations and explanations of a
6032:
6024:
5696:by Mike Wheatland (Univ. Sydney)
1150:List of trigonometric identities
23:
2296:
2292:
1924:
1920:
1450:
1446:
1245:
1241:
131:ordinary differential equations
6267:RabinovichâFabrikant equations
5633:Wolfram Demonstrations Project
5601:Elements of Vibration Analysis
4506:The double pendulum undergoes
3876:
3850:
3740:
3714:
2293:
1921:
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1242:
1:
1141:of the variable in question.
5599:Meirovitch, Leonard (1986).
6002:Poincaré recurrence theorem
5719:open source JavaScript code
5551:American Journal of Physics
248:Cartesian coordinate system
180:of the equations of motion)
141:Analysis and interpretation
6632:
5997:PoincarĂ©âBendixson theorem
4946:, is now referred to as a
6349:Swinging Atwood's machine
6022:
5992:KrylovâBogolyubov theorem
5869:
5741:Double Pendulum Simulator
5668:(Java applet simulation.)
5653:Northwestern University,
5649:(Java applet simulation.)
6257:LotkaâVolterra equations
6081:Synchronization of chaos
5884:axiom A dynamical system
4972:
4914:Double inverted pendulum
3841:Euler-Lagrange equations
168:Double compound pendulum
6242:Double scroll attractor
6007:Stable manifold theorem
5914:False nearest neighbors
222:generalized coordinates
53:more precise citations.
6282:Van der Pol oscillator
6262:MackeyâGlass equations
5894:Box-counting dimension
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1114:The first term is the
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6137:Dyadic transformation
6122:Complex quadratic map
5964:Topological conjugacy
5899:Correlation dimension
5874:Anosov diffeomorphism
5755:Online Java simulator
5623:(2005), ScienceWorld
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84:
6611:Mathematical physics
6442:Edward Norton Lorenz
5766:Imaginary exhibition
5715:www.myphysicslab.com
4919:Pendulum (mechanics)
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89:attached end to end.
6402:Mitchell Feigenbaum
6344:Population dynamics
6329:HĂ©nonâHeiles system
6189:Irrational rotation
6142:Dynamical billiards
6127:Coupled map lattice
5987:Liouville's theorem
5919:Hausdorff dimension
5904:Conservative system
5889:Bifurcation diagram
5617:Eric W. Weisstein,
5564:1993AmJPh..61.1038L
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121:that exhibits rich
6580:Santa Fe Institute
6447:Aleksandr Lyapunov
6277:Three-body problem
6164:Gingerbreadman map
6051:Bifurcation theory
5929:Lyapunov stability
5760:2022-08-16 at the
5661:2007-06-03 at the
4948:Blackburn pendulum
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