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1456:
3433:(the familiar soccerball) is not isotoxal, as it has two edge types: hexagon-hexagon and hexagon-pentagon, and it is not possible for a symmetry of the solid to move a hexagon-hexagon edge onto a hexagon-pentagon edge.
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606:
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3493:
There are at least five isotoxal polygonal tilings of the
Euclidean plane, and infinitely many isotoxal polygonal tilings of the hyperbolic plane, including the Wythoff constructions from the
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3479:, the two (quasiregular) common cores of dual Kepler–Poinsot polyhedra, and their two duals, plus the three quasiregular ditrigonal (3 |
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87:. Informally, this means that there is only one type of edge to the object: given two edges, there is a
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Philosophical
Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences
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that will move one edge to the other while leaving the region occupied by the object unchanged.
3273:
are isohedral (face-transitive), isogonal (vertex-transitive), and isotoxal (edge-transitive).
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The dual of a non-convex polyhedron is also a non-convex polyhedron. (By contraposition.)
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3490:; their five duals are also the five regular polyhedral compounds (or one chiral twin).
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3557:, Branko Gruenbaum, G. C. Shephard, 1987, 2.5 Tilings using star polygons, pp. 82–85.
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using isotoxal polygons as less symmetric faces than regular ones, can be defined.
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The dual of an isotoxal polyhedron is also an isotoxal polyhedron. (See the
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3287:, are isogonal and isotoxal, but not isohedral. Their duals, including the
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This article is about geometry. For edge transitivity in graph theory, see
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3640:; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954), "Uniform polyhedra",
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There are fourteen non-convex isotoxal polyhedra: the four (regular)
370:) are isotoxal, having double the minimum symmetry order: a regular
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3486:
There are at least five isotoxal polyhedral compounds: the five
3703:
3411:
is an isohedral and isotoxal tiling with p6m (*632) symmetry.
3472:) common cores of dual Platonic solids, and their two duals.
3443:
The dual of a convex polyhedron is also a convex polyhedron.
967:{\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}=\{(Dm/Dp)_{\alpha }\}}
1261:
Examples of non-regular isotoxal polygons and compounds
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609:making convex or concave polygons respectively.
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804:. Concave inner vertices can be defined for
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3708:
3700:
107:An isotoxal polygon is an even-sided i.e.
3483:) star polyhedra, and their three duals.
3235:
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3163:
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355:
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315:{\displaystyle \mathrm {D} _{2},(^{*}22)}
300:
287:
282:
279:
259:
239:
220:{\displaystyle \mathrm {D} _{n},(^{*}nn)}
202:
189:
184:
181:
158:
124:
3359:is an isohedral and isotoxal polyhedron
1259:
27:Polytope or tiling with one type of edge
3545:
3346:is an isogonal and isotoxal polyhedron
1445:{\displaystyle \beta >180^{\circ }.}
1407:{\displaystyle \beta <180^{\circ }.}
622:
581:
332:
3266:List of isotoxal polyhedra and tilings
587:
1217:are placed like those of the regular
341:{\displaystyle {\color {royalblue}n}}
153:In general, a (non-regular) isotoxal
7:
3598:, Cambridge University Press, 1997,
3565:
3563:
3436:An isotoxal polyhedron has the same
3123:{\displaystyle 2\{(4/3)_{\alpha }\}}
2622:{\displaystyle 2\{(3/2)_{\alpha }\}}
1183:whereas the vertices of the regular
1147:are not always placed like those of
1087:{\displaystyle \{(m/p)_{\alpha }\}.}
1017:{\displaystyle D\{(m/p)_{\alpha }\}}
690:{\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\},}
3633:(6.4 Isotoxal tilings, pp. 309–321)
3519:Table of polyhedron dihedral angles
3398:is an isogonal and isotoxal tiling
3247:{\displaystyle \{(8/7)_{\alpha }\}}
3175:{\displaystyle \{(n/7)_{\alpha }\}}
3066:{\displaystyle \{(7/6)_{\alpha }\}}
2997:{\displaystyle \{(n/6)_{\alpha }\}}
2945:{\displaystyle \{(8/5)_{\alpha }\}}
2891:{\displaystyle \{(7/5)_{\alpha }\}}
2837:{\displaystyle \{(6/5)_{\alpha }\}}
2771:{\displaystyle \{(n/5)_{\alpha }\}}
2676:{\displaystyle \{(7/4)_{\alpha }\}}
2565:{\displaystyle \{(5/4)_{\alpha }\}}
2502:{\displaystyle \{(n/4)_{\alpha }\}}
2450:{\displaystyle \{(8/3)_{\alpha }\}}
2391:{\displaystyle \{(7/3)_{\alpha }\}}
2289:{\displaystyle \{(5/3)_{\alpha }\}}
2235:{\displaystyle \{(4/3)_{\alpha }\}}
2175:{\displaystyle \{(n/3)_{\alpha }\}}
2075:{\displaystyle \{(7/2)_{\alpha }\}}
1968:{\displaystyle \{(5/2)_{\alpha }\}}
1866:{\displaystyle \{(3/2)_{\alpha }\}}
1809:{\displaystyle \{(n/2)_{\alpha }\}}
1140:{\displaystyle \{(n/q)_{\alpha }\}}
881:{\displaystyle D=\gcd(n,q)\geq 2,}
399:
283:
185:
25:
647:can also be isotoxal, denoted by
3401:
3388:
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3336:
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625:
520:{\displaystyle \{n_{\alpha }\}.}
453:
3638:Coxeter, Harold Scott MacDonald
3429:is isotoxal. For instance, the
3074:
2684:
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2297:
2083:
1976:
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1755:{\displaystyle \{8_{\alpha }\}}
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1575:{\displaystyle \{4_{\alpha }\}}
1530:{\displaystyle \{3_{\alpha }\}}
1485:{\displaystyle \{2_{\alpha }\}}
1369:{\displaystyle \{n_{\alpha }\}}
471:-gon with outer internal angle
3460:isotoxal polyhedra: the five (
3260:Isotoxal polyhedra and tilings
3232:
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428:
413:
309:
297:
230:. For example, a (non-square)
214:
199:
1:
3383:great rhombic triacontahedron
3488:regular polyhedral compounds
3132:
2954:
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2459:
2132:
1764:
1342:
769:{\displaystyle \gcd(n,q)=1,}
553:may be less or greater than
3621:. New York: W. H. Freeman.
974:is "reduced" to a compound
274:-gon" (quadrilateral) with
4273:
3613:; Shephard, G. C. (1987).
3495:regular hyperbolic tilings
3334:
3263:
29:
831:{\displaystyle q<n/2.}
722:{\displaystyle q\leq n-1}
527:The inner internal angle
115:of isotoxal polygons are
3477:Kepler–Poinsot polyhedra
546:{\displaystyle (\beta )}
3370:great icosidodecahedron
3293:rhombic triacontahedron
1210:{\displaystyle \{n/q\}}
731:greatest common divisor
484:{\displaystyle \alpha }
3662:10.1098/rsta.1954.0003
3606:, Transitivity, p. 371
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3431:truncated icosahedron
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3885:Tangential trapezoid
3617:Tilings and Patterns
3554:Tilings and patterns
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3289:rhombic dodecahedron
3279:polyhedra, like the
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3592:Peter R. Cromwell,
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3425:constructed from
3421:or 2-dimensional
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3414:
3329:Quasiregular dual
3319:Quasiregular dual
3309:Quasiregular dual
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3271:Regular polyhedra
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3256:
1266:Number of sides:
1251:"uniform" tilings
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363:{\displaystyle n}
267:{\displaystyle 2}
247:{\displaystyle 2}
228:dihedral symmetry
117:isogonal polygons
103:Isotoxal polygons
16:(Redirected from
4264:
4052:Chiliagon (1000)
4032:Icositrigon (23)
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