2510:
25:
2072:
2505:{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left\\&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left\\&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left\end{aligned}}}
2057:
802:
617:
432:
1519:
1687:
1893:
1790:
1048:
1206:
1361:
1904:
625:
440:
255:
2973:
891:
2077:
1387:
1592:
2727:
2676:
2569:
2541:
1798:
1695:
925:
3223:
2607:
1580:
247:
141:
2769:
1083:
1241:
2836:
2877:
54:
2052:{\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }
914:
1542:
209:
2798:
1229:
1071:
3377:
3216:
797:{\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}
612:{\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}
427:{\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}
3015:
2995:
3382:
3209:
2885:
3179:
813:
1514:{\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}
3302:
3149:
3051:
90:
76:
3327:
3342:
1682:{\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}
3317:
3312:
3292:
3169:
3232:
37:
3297:
3287:
3246:
2879:
are the usual polar and azimuthal angles of spherical coordinates, respectively. The corresponding volume element is
47:
41:
33:
3271:
1888:{\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}
1785:{\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}
1043:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}
3266:
2682:
2631:
2546:
58:
3307:
2518:
3337:
3251:
1583:
2610:
2574:
1547:
214:
148:
108:
100:
3261:
3255:
2622:
2733:
1201:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}
3352:
3332:
2984:
1356:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}
144:
3347:
3196:
3116:
158:
2803:
155:
3136:
Field Theory
Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions
3091:
2841:
3175:
3145:
3141:
3120:
3095:
3066:
3047:
1370:
899:
162:
151:
103:
1527:
176:
3133:
3108:
2777:
3079:
2621:
An alternative parametrization exists that closely follows the angular parametrization of
1214:
1056:
3109:
3084:
3371:
3134:
3201:
1232:
1074:
2063:
917:
1369:
The orthogonal system of quadrics used for the ellipsoidal coordinates are
3140:(corrected 2nd, 3rd print ed.). New York: Springer Verlag. pp.
2989:
2968:{\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}
1211:
because the last term in the lhs is negative, and surfaces of constant
886:{\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}
2609:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
3186:
Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.
3132:
Moon PH, Spencer DE (1988). "Ellipsoidal
Coordinates (η, θ, λ)".
3124:
3099:
3070:
3205:
18:
2800:
parametrizes the concentric ellipsoids around the origin and
1381:
For brevity in the equations below, we introduce a function
3174:(2nd ed.). New York: Pergamon Press. pp. 19–29.
3197:
MathWorld description of confocal ellipsoidal coordinates
3168:
Electrodynamics of
Continuous Media (Volume 8 of the
2888:
2844:
2806:
2780:
2736:
2685:
2634:
2577:
2549:
2521:
2075:
1907:
1801:
1698:
1595:
1550:
1530:
1390:
1244:
1217:
1086:
1059:
928:
902:
816:
628:
443:
258:
217:
179:
111:
1366:
because the last two terms in the lhs are negative.
807:
where the following limits apply to the coordinates
3280:
3239:
3086:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
3083:
2967:
2871:
2830:
2792:
2763:
2721:
2670:
2601:
2563:
2535:
2504:
2051:
1887:
1784:
1681:
1574:
1536:
1513:
1355:
1223:
1200:
1065:
1042:
908:
885:
796:
611:
426:
241:
211:can be produced from the ellipsoidal coordinates
203:
135:
161:, the ellipsoidal coordinate system is based on
46:but its sources remain unclear because it lacks
3065:. New York: Springer Verlag. pp. 101–102.
3046:. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114.
1898:Hence, the infinitesimal volume element equals
3166:Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984).
3217:
8:
2722:{\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}
2671:{\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}
3224:
3210:
3202:
2564:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
2955:
2948:
2941:
2926:
2921:
2902:
2895:
2887:
2843:
2805:
2779:
2735:
2684:
2633:
2576:
2556:
2548:
2536:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
2528:
2520:
2473:
2457:
2437:
2378:
2372:
2337:
2321:
2301:
2242:
2236:
2201:
2185:
2165:
2106:
2100:
2096:
2084:
2076:
2074:
2042:
2035:
2028:
1982:
1917:
1906:
1825:
1815:
1806:
1800:
1722:
1712:
1703:
1697:
1619:
1609:
1600:
1594:
1549:
1544:can represent any of the three variables
1529:
1494:
1468:
1442:
1415:
1414:
1409:
1407:
1406:
1389:
1332:
1321:
1315:
1297:
1286:
1280:
1262:
1251:
1245:
1243:
1216:
1174:
1163:
1157:
1139:
1128:
1122:
1104:
1093:
1087:
1085:
1058:
1016:
1005:
999:
981:
970:
964:
946:
935:
929:
927:
901:
874:
852:
830:
815:
780:
767:
747:
734:
706:
680:
654:
642:
633:
627:
595:
582:
562:
549:
521:
495:
469:
457:
448:
442:
410:
397:
377:
364:
336:
310:
284:
272:
263:
257:
216:
178:
110:
77:Learn how and when to remove this message
3111:The Mathematics of Physics and Chemistry
3063:Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
2996:Map projection of the triaxial ellipsoid
2992:(shell given by two coordinate surfaces)
1377:Scale factors and differential operators
3007:
3115:. New York: D. van Nostrand. pp.
3035:Methods of Theoretical Physics, Part I
3037:. New York: McGraw-Hill. p. 663.
2515:Other differential operators such as
143:that generalizes the two-dimensional
89:For the terrestrial coordinates, see
7:
3378:Three-dimensional coordinate systems
2602:{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
2571:can be expressed in the coordinates
1575:{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
242:{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
136:{\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}
896:Consequently, surfaces of constant
16:Three-dimensional coordinate system
2550:
2522:
2484:
2479:
2476:
2443:
2439:
2348:
2343:
2340:
2307:
2303:
2212:
2207:
2204:
2171:
2167:
2090:
2081:
1422:
1419:
1416:
14:
3090:. New York: McGraw-Hill. p.
2764:{\displaystyle z=cs\cos \theta .}
91:Ellipsoidal coordinates (geodesy)
2557:
2529:
147:. Unlike most three-dimensional
23:
3107:Margenau H, Murphy GM (1956).
2866:
2851:
2825:
2813:
2596:
2578:
2468:
2462:
2389:
2383:
2332:
2326:
2253:
2247:
2196:
2190:
2117:
2111:
2020:
2014:
2008:
2002:
1996:
1990:
1878:
1872:
1775:
1769:
1672:
1666:
1569:
1551:
1400:
1394:
236:
218:
198:
180:
130:
112:
1:
3383:Orthogonal coordinate systems
3233:Orthogonal coordinate systems
3170:Course of Theoretical Physics
3033:Morse PM, Feshbach H (1953).
3016:"Ellipsoid Quadrupole Moment"
1582:. Using this function, the
1053:whereas surfaces of constant
2831:{\displaystyle \theta \in }
3399:
173:The Cartesian coordinates
145:elliptic coordinate system
88:
3061:Sauer R, Szabó I (1967).
2872:{\displaystyle \phi \in }
909:{\displaystyle \lambda }
99:are a three-dimensional
32:This article includes a
3044:Handbook of Integration
2617:Angular parametrization
1537:{\displaystyle \sigma }
204:{\displaystyle (x,y,z)}
97:Ellipsoidal coordinates
61:more precise citations.
2969:
2873:
2832:
2794:
2793:{\displaystyle s>0}
2765:
2723:
2672:
2611:orthogonal coordinates
2603:
2565:
2537:
2506:
2053:
1889:
1786:
1683:
1576:
1538:
1515:
1357:
1225:
1202:
1067:
1044:
910:
887:
798:
613:
428:
243:
205:
137:
3042:Zwillinger D (1992).
2970:
2874:
2833:
2795:
2766:
2724:
2673:
2623:spherical coordinates
2604:
2566:
2538:
2507:
2054:
1890:
1787:
1684:
1577:
1539:
1516:
1358:
1226:
1203:
1068:
1045:
911:
888:
799:
614:
429:
244:
206:
138:
3328:Elliptic cylindrical
2985:Ellipsoidal latitude
2886:
2842:
2804:
2778:
2734:
2683:
2632:
2575:
2547:
2519:
2073:
1905:
1799:
1696:
1593:
1548:
1528:
1388:
1242:
1224:{\displaystyle \nu }
1215:
1084:
1066:{\displaystyle \mu }
1057:
926:
900:
814:
626:
441:
256:
215:
177:
109:
3343:Bipolar cylindrical
159:coordinate surfaces
3318:Prolate spheroidal
3160:Unusual convention
3144:–44 (Table 1.10).
2965:
2869:
2828:
2790:
2761:
2719:
2668:
2599:
2561:
2533:
2502:
2500:
2049:
1885:
1782:
1679:
1572:
1534:
1511:
1353:
1221:
1198:
1063:
1040:
906:
883:
794:
609:
424:
239:
201:
152:coordinate systems
133:
34:list of references
3365:
3364:
3313:Oblate spheroidal
3281:Three dimensional
3181:978-0-7506-2634-7
2491:
2471:
2450:
2435:
2392:
2355:
2335:
2314:
2299:
2256:
2219:
2199:
2178:
2163:
2120:
2026:
2023:
1883:
1882:
1823:
1780:
1779:
1720:
1677:
1676:
1617:
1432:
1427:
1405:
1371:confocal quadrics
1345:
1310:
1275:
1187:
1152:
1117:
1029:
994:
959:
792:
607:
422:
249:by the equations
163:confocal quadrics
104:coordinate system
87:
86:
79:
3390:
3226:
3219:
3212:
3203:
3185:
3155:
3139:
3128:
3114:
3103:
3089:
3074:
3057:
3038:
3020:
3019:
3012:
2974:
2972:
2971:
2966:
2931:
2930:
2878:
2876:
2875:
2870:
2837:
2835:
2834:
2829:
2799:
2797:
2796:
2791:
2770:
2768:
2767:
2762:
2728:
2726:
2725:
2720:
2677:
2675:
2674:
2669:
2608:
2606:
2605:
2600:
2570:
2568:
2567:
2562:
2560:
2542:
2540:
2539:
2534:
2532:
2511:
2509:
2508:
2503:
2501:
2497:
2493:
2492:
2490:
2482:
2474:
2472:
2458:
2451:
2449:
2438:
2436:
2434:
2433:
2429:
2414:
2410:
2394:
2393:
2379:
2373:
2365:
2361:
2357:
2356:
2354:
2346:
2338:
2336:
2322:
2315:
2313:
2302:
2300:
2298:
2297:
2293:
2278:
2274:
2258:
2257:
2243:
2237:
2229:
2225:
2221:
2220:
2218:
2210:
2202:
2200:
2186:
2179:
2177:
2166:
2164:
2162:
2161:
2157:
2142:
2138:
2122:
2121:
2107:
2101:
2097:
2089:
2088:
2058:
2056:
2055:
2050:
2027:
2025:
2024:
1983:
1977:
1976:
1972:
1957:
1953:
1938:
1934:
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