17:
1318:
1108:
2917:
2606:
796:
618:
1313:{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
2345:
2430:
2214:
1097:
959:
23:
of elliptic cylindrical coordinates. The yellow sheet is the prism of a half-hyperbola corresponding to ν=-45°, whereas the red tube is an elliptical prism corresponding to μ=1. The blue sheet corresponds to
2617:
2474:
3159:
3376:
of a particle and its decomposition products, respectively, and the integrand might involve the kinetic energies of the products (which are proportional to the squared lengths of the momenta).
3304:
653:
475:
2976:
1377:
371:
318:
3219:
3189:
2948:
1349:
3573:
1497:
2260:
1650:
1465:
1966:
1904:
3008:
2119:
1529:
1415:
265:
3370:
3348:
3326:
3241:
3121:
3099:
1816:
1747:
1773:
464:
2466:
1842:
1609:
1549:
995:
2020:
1993:
1931:
1869:
1704:
1677:
1589:
1569:
149:
122:
2078:
2049:
871:
851:
819:
641:
423:
400:
3063:
195:
172:
3727:
3261:
215:
76:
3566:
2268:
2353:
2127:
1003:
3079:
The geometric properties of elliptic coordinates can also be useful. A typical example might involve an integration over all pairs of vectors
3732:
3559:
879:
3530:
2912:{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
3652:
3495:
3402:
2601:{\displaystyle dV=a^{2}{\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau dz}
3692:
3667:
3023:
3126:
3662:
3642:
3073:
3582:
3266:
791:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
613:{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
3647:
3637:
3596:
218:
33:
3621:
3616:
2953:
1354:
326:
273:
3657:
3194:
3164:
3072:, when expressed in elliptic cylindrical coordinates, may be solved by separation of variables, leading to the
2925:
1326:
3687:
3672:
3601:
3035:
3011:
1418:
48:
3611:
3605:
2084:
1470:
3027:
2227:
1617:
1432:
1936:
1874:
3702:
3682:
2981:
2092:
1502:
55:
16:
3697:
3546:
1382:
232:
79:
20:
3353:
3331:
3309:
3224:
3104:
3082:
3525:(corrected 2nd ed., 3rd print ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 17–20 (Table 1.03).
3031:
1781:
1712:
3523:
Field Theory
Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions
3432:
1752:
3526:
3491:
3474:
3457:
3436:
3408:
3398:
428:
51:
2438:
1821:
1594:
1534:
967:
95:
83:
1998:
1971:
1909:
1847:
1682:
1655:
1574:
1554:
127:
100:
3449:
3390:
3386:
2054:
2025:
856:
836:
804:
626:
408:
379:
3045:
2083:
A drawback of these coordinates is that they do not have a 1-to-1 transformation to the
177:
154:
3425:
3420:
3246:
3039:
200:
61:
3721:
3069:
469:
These definitions correspond to ellipses and hyperbolae. The trigonometric identity
2340:{\displaystyle h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}}
3551:
2425:{\displaystyle h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}}
2209:{\displaystyle y^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}
1092:{\displaystyle dV=a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu dz}
3022:
The classic applications of elliptic cylindrical coordinates are in solving
822:
91:
36:
roughly (2.182, -1.661, 1.0). The foci of the ellipse and hyperbola lie at
3373:
954:{\displaystyle h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}
3010:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
1429:
An alternative and geometrically intuitive set of elliptic coordinates
644:
87:
3521:
Moon P, Spencer DE (1988). "Elliptic-Cylinder
Coordinates (η, ψ, z)".
1417:
by substituting the scale factors into the general formulae found in
15:
3478:
3461:
3440:
3412:
3555:
229:
The most common definition of elliptic cylindrical coordinates
3161:, where the integrand was a function of the vector lengths
2224:
The scale factors for the alternative elliptic coordinates
833:
The scale factors for the elliptic cylindrical coordinates
3547:
MathWorld description of elliptic cylindrical coordinates
997:. Consequently, an infinitesimal volume element equals
3154:{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {p} +\mathbf {q} }
3034:, for which elliptic cylindrical coordinates allow a
3356:
3334:
3312:
3269:
3249:
3227:
3197:
3167:
3129:
3107:
3085:
3048:
2984:
2956:
2928:
2620:
2477:
2441:
2356:
2271:
2230:
2130:
2095:
2057:
2028:
2001:
1974:
1939:
1912:
1877:
1850:
1824:
1784:
1755:
1715:
1685:
1658:
1620:
1597:
1577:
1557:
1537:
1505:
1473:
1435:
1385:
1357:
1329:
1111:
1006:
970:
882:
859:
839:
807:
656:
629:
478:
431:
411:
382:
329:
276:
235:
203:
180:
157:
130:
103:
64:
2468:. Hence, the infinitesimal volume element becomes
1652:
have a simple relation to the distances to the foci
3630:
3589:
3502:Same as Morse & Feshbach (1953), substituting
3454:Mathematical Handbook for Scientists and Engineers
3424:
3364:
3342:
3320:
3299:{\displaystyle \mathbf {r} =2a\mathbf {\hat {x}} }
3298:
3255:
3235:
3213:
3183:
3153:
3115:
3093:
3057:
3002:
2970:
2942:
2911:
2600:
2460:
2424:
2339:
2254:
2208:
2113:
2072:
2043:
2014:
1987:
1960:
1925:
1898:
1863:
1836:
1810:
1767:
1741:
1698:
1671:
1644:
1603:
1583:
1563:
1543:
1523:
1491:
1459:
1409:
1371:
1343:
1312:
1091:
989:
953:
865:
845:
813:
790:
635:
612:
458:
417:
394:
365:
312:
259:
209:
189:
166:
143:
116:
70:
3290:
1611:coordinate must be greater than or equal to one.
54:that results from projecting the two-dimensional
647:, whereas the hyperbolic trigonometric identity
3490:. Boston, MA: Jones and Bartlett. p. 114.
28:=1. The three surfaces intersect at the point
3042:surrounding a flat conducting plate of width
3567:
1551:are ellipses, whereas the curves of constant
8:
3574:
3560:
3552:
3243:between the two foci and aligned with the
2971:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
1591:must belong to the interval , whereas the
1372:{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
366:{\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
313:{\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
3473:. New York: Springer Verlag. p. 97.
3357:
3355:
3335:
3333:
3313:
3311:
3285:
3284:
3270:
3268:
3248:
3228:
3226:
3214:{\displaystyle \left|\mathbf {q} \right|}
3202:
3196:
3184:{\displaystyle \left|\mathbf {p} \right|}
3172:
3166:
3146:
3138:
3130:
3128:
3108:
3106:
3086:
3084:
3047:
2983:
2963:
2955:
2943:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
2935:
2927:
2900:
2882:
2875:
2842:
2834:
2822:
2802:
2794:
2782:
2754:
2740:
2734:
2714:
2700:
2694:
2675:
2662:
2647:
2637:
2625:
2619:
2566:
2534:
2517:
2504:
2497:
2491:
2476:
2446:
2440:
2412:
2394:
2381:
2373:
2361:
2355:
2321:
2309:
2296:
2288:
2276:
2270:
2229:
2195:
2163:
2148:
2135:
2129:
2094:
2056:
2027:
2006:
2000:
1979:
1973:
1938:
1917:
1911:
1876:
1855:
1849:
1823:
1802:
1789:
1783:
1754:
1733:
1720:
1714:
1706:. For any point in the (x,y) plane, the
1690:
1684:
1663:
1657:
1619:
1596:
1576:
1556:
1536:
1504:
1472:
1434:
1384:
1364:
1356:
1344:{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
1336:
1328:
1301:
1283:
1276:
1259:
1241:
1234:
1222:
1204:
1197:
1172:
1153:
1138:
1128:
1116:
1110:
1054:
1035:
1020:
1005:
975:
969:
937:
918:
912:
900:
887:
881:
858:
838:
806:
770:
751:
729:
719:
708:
702:
684:
674:
663:
657:
655:
628:
592:
573:
551:
541:
530:
524:
506:
496:
485:
479:
477:
430:
410:
381:
328:
275:
234:
202:
179:
156:
135:
129:
108:
102:
63:
3471:Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs
3427:The Mathematics of Physics and Chemistry
3221:. (In such a case, one would position
3456:. New York: McGraw-Hill. p. 179.
3431:. New York: D. van Nostrand. pp.
3397:. New York: McGraw-Hill. p. 657.
3395:Methods of Theoretical Physics, Part I
2922:Other differential operators such as
1323:Other differential operators such as
7:
3728:Three-dimensional coordinate systems
2978:can be expressed in the coordinates
1749:of its distances to the foci equals
1379:can be expressed in the coordinates
964:whereas the remaining scale factor
151:are generally taken to be fixed at
3038:. A typical example would be the
2957:
2929:
2893:
2888:
2879:
2853:
2848:
2845:
2808:
2804:
2765:
2760:
2757:
2720:
2716:
2631:
2622:
1492:{\displaystyle \sigma =\cosh \mu }
1358:
1330:
1294:
1289:
1280:
1252:
1247:
1238:
1215:
1210:
1201:
1122:
1113:
14:
2255:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}
1645:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}
1531:. Hence, the curves of constant
1460:{\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}
425:is a nonnegative real number and
3358:
3336:
3314:
3287:
3271:
3229:
3203:
3173:
3147:
3139:
3131:
3109:
3087:
2964:
2936:
1961:{\displaystyle a(\sigma -\tau )}
1899:{\displaystyle a(\sigma +\tau )}
1571:are hyperbolae. The coordinate
1365:
1337:
45:Elliptic cylindrical coordinates
3003:{\displaystyle (\sigma ,\tau )}
2114:{\displaystyle x=a\sigma \tau }
1524:{\displaystyle \tau =\cos \nu }
32:(shown as a black sphere) with
3074:Mathieu differential equations
3024:partial differential equations
2997:
2985:
2249:
2231:
1955:
1943:
1893:
1881:
1639:
1621:
1454:
1436:
1404:
1386:
801:shows that curves of constant
623:shows that curves of constant
453:
438:
254:
236:
1:
3733:Orthogonal coordinate systems
3583:Orthogonal coordinate systems
1410:{\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}
260:{\displaystyle (\mu ,\nu ,z)}
3365:{\displaystyle \mathbf {q} }
3343:{\displaystyle \mathbf {p} }
3321:{\displaystyle \mathbf {r} }
3236:{\displaystyle \mathbf {r} }
3116:{\displaystyle \mathbf {q} }
3094:{\displaystyle \mathbf {p} }
3123:that sum to a fixed vector
1811:{\displaystyle d_{1}-d_{2}}
1742:{\displaystyle d_{1}+d_{2}}
219:Cartesian coordinate system
3749:
1906:, whereas the distance to
1467:are sometimes used, where
1102:and the Laplacian equals
56:elliptic coordinate system
3469:Sauer R, Szabó I (1967).
2611:and the Laplacian equals
2220:Alternative scale factors
1768:{\displaystyle 2a\sigma }
1844:. Thus, the distance to
459:{\displaystyle \nu \in }
78:-direction. Hence, the
47:are a three-dimensional
3488:Handbook of Integration
3306:.) For concreteness,
3036:separation of variables
2461:{\displaystyle h_{z}=1}
1837:{\displaystyle 2a\tau }
1604:{\displaystyle \sigma }
1544:{\displaystyle \sigma }
990:{\displaystyle h_{z}=1}
197:, respectively, on the
3366:
3344:
3322:
3300:
3257:
3237:
3215:
3185:
3155:
3117:
3095:
3068:The three-dimensional
3059:
3012:orthogonal coordinates
3004:
2972:
2944:
2913:
2602:
2462:
2426:
2341:
2256:
2210:
2115:
2074:
2045:
2016:
1989:
1962:
1927:
1900:
1865:
1838:
1812:
1769:
1743:
1700:
1673:
1646:
1605:
1585:
1565:
1545:
1525:
1493:
1461:
1425:Alternative definition
1419:orthogonal coordinates
1411:
1373:
1345:
1314:
1093:
991:
955:
867:
847:
815:
792:
637:
614:
460:
419:
396:
367:
314:
261:
211:
191:
168:
145:
118:
72:
41:
3486:Zwillinger D (1992).
3367:
3345:
3323:
3301:
3258:
3238:
3216:
3186:
3156:
3118:
3096:
3060:
3005:
2973:
2945:
2914:
2603:
2463:
2427:
2342:
2257:
2211:
2116:
2085:Cartesian coordinates
2075:
2046:
2017:
2015:{\displaystyle F_{2}}
1990:
1988:{\displaystyle F_{1}}
1963:
1928:
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1901:
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