7778:
403:
5577:
7265:
5242:
4774:
6926:
42:
416:
5602:, are then used to transform to the lab frame, and the resulting expression (again Lorentz force law) is interpreted in the spirit of Newton's second law, leading to the correct expression for the relativistic three- momentum. The disadvantage, of course, is that it isn't immediately clear that the result applies to all particles, whether charged or not, and that it doesn't yield the complete four-vector.
5572:{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}
4473:
6182:
3391:
7478:
3963:
7260:{\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}
4418:
2094:
2721:
1656:
5942:
3150:
3656:
4769:{\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}
4144:
7273:
1059:
3540:
1871:
2533:
1499:
923:
5234:
2322:
3651:
4135:
1842:
6350:
697:
1320:
2482:
vary. This time, the system is allowed to move through configuration space at "arbitrary speed" or with "more or less energy", the field equations still assumed to hold and variation can be carried out on the integral, but instead observe
6177:{\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}
3386:{\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}
928:
7473:{\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}
3061:
2405:
5051:
3398:
5114:
4887:
7684:
3958:{\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\leftd\tau }
1389:
5579:
which constitute the standard formulae for canonical momentum and energy of a closed (time-independent
Lagrangian) system. With this approach it is less clear that the energy and momentum are parts of a four-vector.
4413:{\displaystyle \delta S=\left_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}
1081:
four-vector for massive particles. The other choice of signature would flip signs in certain formulas (like for the norm here). This choice is not important, but once made it must for consistency be kept throughout.
762:
6918:
6542:
2203:
4958:
5725:
5247:
2465:
3545:
2867:
3968:
2089:{\displaystyle \delta S=\left.\left\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}
5126:
6477:
In the case when there is a moving physical system with a continuous distribution of matter in curved spacetime, the primary expression for four-momentum is four-vector with covariant index:
2794:
2716:{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}
1753:
6457:
6211:
1085:
The
Minkowski norm is Lorentz invariant, meaning its value is not changed by Lorentz transformations/boosting into different frames of reference. More generally, for any two four-momenta
555:
6700:
3127:
1175:
1651:{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}
1166:
7715:
7512:
2524:
447:
7744:
5605:
It is also possible to avoid electromagnetism and use well tuned experiments of thought involving well-trained physicists throwing billiard balls, utilizing knowledge of the
2947:
5750:
7534:
6802:
6614:
2329:
8117:
7920:
6856:
6829:
6757:
6730:
6641:
6572:
5059:
7561:
5903:. By measuring the energies and three-momenta of the daughter particles, one can reconstruct the invariant mass of the two-particle system, which must be equal to
7764:
7581:
6780:
6592:
1409:
1325:
1461:
to derive the four-momentum, including the expression for the energy. One may at once, using the observations detailed below, define four-momentum from the
4973:
4792:
7586:
440:
1054:{\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}
2410:
1453:, being content that it is a four-vector with the correct units and correct behavior. Another, more satisfactory, approach is to begin with the
7777:
402:
8055:
7830:
5939:
is simply zero. The four-acceleration is proportional to the proper time derivative of the four-momentum divided by the particle's mass, so
2817:
8013:
477:
6865:
3535:{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}
41:
6483:
8027:. 4th rev. English edition, reprinted with corrections; translated from the Russian by Morton Hamermesh. Oxford: Butterworth Heinemann.
433:
2728:
8078:
7983:
1062:
61:
8032:
6403:
4913:
5659:
3082:
2931:
81:
7801:
5590:
More pedestrian approaches include expected behavior in electrodynamics. In this approach, the starting point is application of
2527:
5598:
in the rest frame of the particle. The transformation properties of the electromagnetic field tensor, including invariance of
4963:
that holds for massless particles as well. Squaring the expressions for energy and three-momentum and relating them gives the
2127:
follow at once. When the equations of motion are known (or simply assumed to be satisfied), one may let go of the requirement
918:{\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}
6466:
6205:
2923:
5587:
quantities for isolated systems in the
Lagrangian framework. Hence four-momentum is conserved as well. More on this below.
5229:{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}
1429:
There are several ways to arrive at the correct expression for four-momentum. One way is to first define the four-velocity
258:
5117:
4964:
1125:
2486:
2317:{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}
138:
420:
148:
86:
163:
5756:
Note that the invariant mass of a system of particles may be more than the sum of the particles' rest masses, since
5764:
from forces between the particles contribute to the invariant mass. As an example, two particles with four-momenta
4904:
481:
143:
133:
5617:
As shown above, there are three conservation laws (not independent, the last two imply the first and vice versa):
6859:
6649:
5606:
1454:
325:
3646:{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,}
5930:
If the mass of an object does not change, the
Minkowski inner product of its four-momentum and corresponding
4130:{\displaystyle \delta S=\left_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}
2124:
1861:
277:
51:
6461:
This, in turn, allows the potential energy from the charged particle in an electrostatic potential and the
5595:
1469:
727:
101:
96:
8132:
7689:
7486:
1865:
1837:{\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}
7932:
Fedosin, Sergey G. (2024-04-18). "What should we understand by the four-momentum of physical system?".
6920:
of the system is given. The following formulas are obtained for the energy and momentum of the system:
7720:
7941:
6345:{\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}
3068:
2801:
1458:
692:{\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}
497:
222:
56:
5730:
1857:
1315:{\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}
315:
272:
7517:
6785:
6597:
1844:
is a covariant four-vector with the three-vector part being the (negative of) canonical momentum.
7957:
1483:
1066:
461:
128:
33:
6732:
is the generalized four-momentum associated with the action of fields on particles; four-vector
2145:
to satisfy the equations of motion, and the action is a function of the upper integration limit
8137:
8092:
8074:
8051:
8028:
8009:
8005:
7979:
7826:
6834:
6807:
6735:
6708:
6619:
6550:
5931:
5591:
743:
723:
380:
345:
340:
310:
197:
168:
158:
153:
8108:
8088:
7949:
6393:
6389:
6357:
6192:
5816:
5804:. If these particles were to collide and stick, the mass of the composite object would be 10
5761:
1462:
1070:
485:
350:
320:
7539:
6465:
on the charged particle moving in a magnetic field to be incorporated in a compact way, in
6196:
5599:
739:
335:
330:
305:
282:
192:
5841:
of two daughter particles produced in the decay of a heavier particle with four-momentum
7945:
3056:{\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}
17:
8067:
8044:
7997:
7783:
7749:
7566:
6765:
6759:
is the four-momentum of the fields arising from the action of particles on the fields.
6577:
5820:
5757:
5239:
It is also possible to derive the results from the
Lagrangian directly. By definition,
1418:
1394:
1112:
747:
549:
407:
375:
236:
91:
8126:
7961:
7796:
6462:
2400:{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}
1119:
123:
5908:
370:
5609:
and assuming conservation of momentum. This too gives only the three-vector part.
4907:, follows. By comparing the expressions for momentum and energy directly, one has
5046:{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}
5109:{\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}
4882:{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}
756:
489:
355:
231:
7953:
7679:{\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}
7514:
is that part of the
Lagrangian density that contains terms with four-currents;
5915:, where the Z′ boson would show up as a bump in the invariant mass spectrum of
8112:
7993:
7791:
7773:
6643:
can be represented as the sum of two non-local four-vectors of integral type:
5850:
to find the mass of the heavier particle. Conservation of four-momentum gives
385:
365:
207:
202:
4470:
as in the observations above. Now compare the last three expressions to find
726:
vector. This means that it is easy to keep track of how it transforms under
5727:
is conserved (not to be confused with the classic non-relativistic momentum
719:
493:
183:
8069:
Relativistic
Mechanics - Special Relativity and Classical Particle Dynamics
722:. The four-momentum is useful in relativistic calculations because it is a
1384:{\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
5920:
5916:
5912:
5654:
5622:
1078:
711:
360:
5651:
7686:
is the part of the
Lagrangian associated with the Lagrangian density
5632:
1111:
For a massive particle, the four-momentum is given by the particle's
8096:
6913:{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}
6537:{\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}
6187:
Canonical momentum in the presence of an electromagnetic potential
5924:
5907:. This technique is used, e.g., in experimental searches for
1077:. The negativity of the norm reflects that the momentum is a
7696:
7616:
7493:
7321:
7104:
7087:
6972:
6899:
6882:
6871:
4953:{\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}
2530:. Compute using the above expression for canonical momenta,
5720:{\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}
2460:{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}
1886:
8097:"The Principle of Relativity, and Non-Newtonian Mechanics"
1864:, one finds (generally) in an intermediate stage for the
7978:(2nd ed.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co.
5796:
separately, but their total mass (the system mass) is 10
2862:{\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}
953:
7752:
7723:
7692:
7589:
7569:
7563:
is the time component of four-velocity of particles;
7542:
7520:
7489:
7276:
6929:
6868:
6837:
6810:
6788:
6768:
6738:
6711:
6652:
6622:
6600:
6580:
6553:
6486:
6406:
6214:
5945:
5733:
5662:
5245:
5129:
5062:
4976:
4916:
4795:
4476:
4147:
3971:
3659:
3548:
3401:
3153:
3085:
2950:
2820:
2731:
2536:
2489:
2413:
2332:
2206:
2098:
The assumption is then that the varied paths satisfy
1874:
1852:
Consider initially a system of one degree of freedom
1756:
1502:
1397:
1328:
1178:
1128:
931:
765:
558:
500:
four-momentum of a particle with relativistic energy
7825:. New York: W. H. Freeman and Company. p. 191.
7823:
Spacetime physics introduction to special relativity
5116:
in the equation for the norm gives the relativistic
4786:, and the famed result for the relativistic energy,
2469:
In a similar fashion, keep endpoints fixed, but let
8066:
8043:
7758:
7738:
7709:
7678:
7575:
7555:
7528:
7506:
7472:
7259:
6912:
6850:
6823:
6796:
6774:
6751:
6724:
6694:
6635:
6608:
6586:
6566:
6536:
6451:
6344:
6204:, moving in an electromagnetic field given by the
6176:
5744:
5719:
5571:
5228:
5108:
5045:
4952:
4881:
4768:
4422:where the second step employs the field equations
4412:
4129:
3957:
3645:
3534:
3385:
3121:
3055:
2861:
2788:
2715:
2518:
2459:
2399:
2316:
2088:
1836:
1650:
1403:
1383:
1314:
1160:
1053:
917:
691:
8050:(2nd ed.). Oxford: Oxford University Press.
5628:(either covariant or contravariant) is conserved.
2789:{\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}
1468:. Given that in general for a closed system with
1391:is the Lorentz factor (associated with the speed
7746:is velocity of a particle of matter with number
2168:is still fixed. The above equation becomes with
7881:
7869:
7857:
7845:
8004:. Translated from Russian by J. B. Sykes and
6594:of physical system and relativistic momentum
441:
8:
6452:{\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}
7917:
6695:{\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}
3122:{\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}
2200:, and letting in more degrees of freedom,
448:
434:
29:
7751:
7730:
7725:
7722:
7701:
7695:
7694:
7691:
7670:
7657:
7644:
7627:
7621:
7615:
7614:
7607:
7594:
7588:
7568:
7547:
7541:
7521:
7519:
7498:
7492:
7491:
7488:
7458:
7453:
7441:
7431:
7425:
7414:
7401:
7388:
7375:
7358:
7352:
7336:
7326:
7320:
7319:
7316:
7304:
7295:
7289:
7277:
7275:
7240:
7235:
7223:
7213:
7204:
7199:
7187:
7176:
7163:
7150:
7137:
7120:
7109:
7103:
7102:
7092:
7086:
7085:
7073:
7060:
7047:
7034:
7017:
7011:
7002:
6987:
6977:
6971:
6970:
6967:
6955:
6946:
6940:
6928:
6904:
6898:
6897:
6887:
6881:
6880:
6870:
6869:
6867:
6842:
6836:
6815:
6809:
6789:
6787:
6767:
6743:
6737:
6716:
6710:
6683:
6670:
6657:
6651:
6627:
6621:
6601:
6599:
6579:
6558:
6552:
6521:
6505:
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6485:
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6318:
6305:
6288:
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6120:
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5986:
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5661:
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5370:
5356:
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5338:
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5306:
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5276:
5262:
5250:
5246:
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5217:
5207:
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5170:
5161:
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5128:
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5067:
5061:
5034:
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5012:
5004:
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4983:
4977:
4975:
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4915:
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4860:
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4649:
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4614:
4600:
4590:
4584:
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4536:
4518:
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4481:
4475:
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4372:
4356:
4338:
4329:
4316:
4280:
4270:
4264:
4249:
4244:
4237:
4232:
4214:
4209:
4202:
4197:
4186:
4173:
4146:
4104:
4094:
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4073:
4068:
4061:
4056:
4038:
4033:
4026:
4021:
4010:
3997:
3970:
3938:
3919:
3913:
3892:
3882:
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3841:
3813:
3792:
3779:
3770:
3731:
3721:
3704:
3691:
3682:
3658:
3614:
3604:
3587:
3574:
3565:
3547:
3512:
3502:
3496:
3477:
3453:
3443:
3437:
3418:
3400:
3374:
3356:
3332:
3306:
3285:
3269:
3251:
3222:
3209:
3196:
3180:
3164:
3152:
3084:
3040:
3030:
3024:
3016:
3010:
2949:
2836:
2819:
2771:
2760:
2759:
2752:
2742:
2730:
2698:
2687:
2686:
2679:
2669:
2642:
2633:
2622:
2621:
2611:
2593:
2587:
2560:
2537:
2535:
2490:
2488:
2445:
2427:
2418:
2412:
2388:
2372:
2367:
2352:
2346:
2331:
2305:
2292:
2282:
2269:
2253:
2242:
2241:
2226:
2220:
2205:
2052:
2051:
2037:
2022:
1999:
1986:
1981:
1974:
1969:
1954:
1949:
1942:
1937:
1908:
1907:
1893:
1873:
1824:
1808:
1791:
1773:
1761:
1755:
1636:
1618:
1586:
1564:
1546:
1534:
1516:
1507:
1501:
1396:
1370:
1360:
1354:
1342:
1333:
1327:
1298:
1285:
1272:
1251:
1233:
1220:
1207:
1194:
1177:
1149:
1133:
1127:
948:
936:
930:
909:
899:
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878:
872:
867:
856:
846:
840:
828:
818:
805:
795:
782:
764:
675:
662:
649:
632:
613:
600:
587:
574:
557:
6804:, as well as components of four-vectors
8008:. (3rd ed.). Amsterdam: Elsevier.
7813:
5760:in the system center-of-mass frame and
1750:in the present metric convention) that
32:
6616:. At the same time, the four-momentum
5583:The energy and the three-momentum are
8023:Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2000).
7821:Taylor, Edwin; Wheeler, John (1992).
7536:is the velocity of matter particles;
746:quantity equal (up to factors of the
544:is the particle's three-velocity and
7:
7905:
7893:
5879:of the heavier particle is given by
5823:involves combining the four-momenta
478:classical three-dimensional momentum
1161:{\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}
27:4D relativistic energy and momentum
8046:Introduction to Special Relativity
7710:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}
7507:{\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}
7449:
7434:
7301:
7297:
7231:
7216:
6952:
6948:
5367:
5359:
5335:
5327:
5303:
5295:
5273:
5265:
5181:
5173:
5154:
5146:
5090:
5082:
4529:
4521:
4494:
4349:
4341:
2847:
2839:
2653:
2645:
2604:
2596:
2571:
2563:
2519:{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}
2438:
2430:
2363:
2355:
2237:
2229:
2048:
2040:
2010:
2002:
1904:
1896:
1784:
1776:
1629:
1621:
1597:
1589:
1557:
1549:
1527:
1519:
755:) to the square of the particle's
25:
7583:is determinant of metric tensor;
6473:Four-momentum in curved spacetime
6396:) canonical momentum four-vector
2922:in the above equation yields the
7776:
7739:{\displaystyle \mathbf {v} _{n}}
7726:
7522:
7454:
7305:
7278:
7236:
7200:
7003:
6956:
6790:
6602:
6574:is expressed through the energy
6522:
5738:
5664:
5498:
5490:
5468:
5457:
5277:
5251:
5013:
5005:
4931:
4918:
3071:for a free particle. From this,
1825:
873:
415:
414:
401:
40:
5815:One practical application from
3079:The variation of the action is
2993:
2924:Hamilton–Jacobi equations
2528:fundamental theorem of calculus
1576:
488:; similarly four-momentum is a
476:) is the generalization of the
8025:The classical theory of fields
6467:relativistic quantum mechanics
6206:electromagnetic four-potential
5444:
5396:
5118:Hamilton–Jacobi equation
5073:
4509:
4503:
1073:for definiteness chosen to be
879:
868:
1:
6392:, the components of the (not
5745:{\displaystyle m\mathbf {v} }
5613:Conservation of four-momentum
2932:Hamilton's principal function
1118:multiplied by the particle's
742:of the four-momentum gives a
8073:. New York: W. A. Benjamin.
7529:{\displaystyle \mathbf {v} }
6797:{\displaystyle \mathbf {P} }
6609:{\displaystyle \mathbf {P} }
3075:glossing over these details,
7974:Goldstein, Herbert (1980).
7802:Pauli–Lubanski pseudovector
5819:of the conservation of the
2141:. In this case the path is
1856:. In the derivation of the
1658:it is immediate (recalling
149:Relativistic Doppler effect
87:Inertial frame of reference
8154:
8042:Rindler, Wolfgang (1991).
7882:Landau & Lifshitz 1975
7870:Landau & Lifshitz 1975
7858:Landau & Lifshitz 1975
7846:Landau & Lifshitz 2000
484:. Momentum is a vector in
482:four-dimensional spacetime
144:Relativity of simultaneity
8113:10.1080/14786441008636725
6858:can be calculated if the
5607:velocity addition formula
4903:is the now unfashionable
1455:principle of least action
1107:Relation to four-velocity
712:non-relativistic momentum
710:of above is the ordinary
7954:10.1088/1402-4896/ad3b45
6851:{\displaystyle K_{\mu }}
6824:{\displaystyle p_{\mu }}
6752:{\displaystyle K_{\mu }}
6725:{\displaystyle p_{\mu }}
6636:{\displaystyle P_{\mu }}
6567:{\displaystyle P_{\mu }}
5911:at high-energy particle
4965:energy–momentum relation
1168:where the four-velocity
164:Bell's spaceship paradox
18:Energy–momentum 4-vector
7918:Lewis & Tolman 1909
5788:each have (rest) mass 3
1470:generalized coordinates
728:Lorentz transformations
278:Galilean transformation
139:Mass–energy equivalence
52:Principle of relativity
7760:
7740:
7711:
7680:
7577:
7557:
7530:
7508:
7474:
7430:
7261:
7192:
6914:
6852:
6825:
6798:
6776:
6753:
6726:
6696:
6637:
6610:
6588:
6568:
6538:
6453:
6346:
6178:
5746:
5721:
5573:
5230:
5110:
5047:
4954:
4883:
4770:
4414:
4131:
3959:
3647:
3536:
3387:
3123:
3057:
2863:
2790:
2717:
2520:
2461:
2401:
2318:
2090:
1860:from the action using
1838:
1652:
1405:
1385:
1316:
1162:
1055:
919:
740:Minkowski norm squared
693:
102:Lorentz transformation
7761:
7741:
7712:
7681:
7578:
7558:
7556:{\displaystyle u^{0}}
7531:
7509:
7475:
7410:
7262:
7172:
6915:
6853:
6826:
6799:
6777:
6754:
6727:
6697:
6638:
6611:
6589:
6569:
6539:
6454:
6347:
6179:
5747:
5722:
5574:
5231:
5111:
5048:
4955:
4884:
4771:
4415:
4132:
3960:
3648:
3537:
3388:
3137:, observe first that
3124:
3058:
2864:
2814:in the present case,
2791:
2718:
2521:
2462:
2402:
2319:
2091:
1839:
1653:
1406:
1386:
1317:
1163:
1056:
920:
694:
82:Einstein's postulates
8065:Sard, R. D. (1970).
7750:
7721:
7690:
7587:
7567:
7540:
7518:
7487:
7274:
6927:
6866:
6835:
6808:
6786:
6766:
6736:
6709:
6650:
6620:
6598:
6578:
6551:
6484:
6404:
6212:
5943:
5731:
5660:
5585:separately conserved
5243:
5127:
5060:
4974:
4914:
4793:
4474:
4145:
3969:
3657:
3546:
3399:
3151:
3083:
3067:is the relativistic
2948:
2871:Incidentally, using
2818:
2729:
2534:
2487:
2411:
2330:
2204:
2125:Lagrange's equations
1872:
1862:Hamilton's principle
1754:
1500:
1459:Lagrangian framework
1395:
1326:
1176:
1126:
929:
763:
714:of the particle and
556:
57:Theory of relativity
7976:Classical mechanics
7946:2024PhyS...99e5034F
5596:Newton's second law
4256:
4221:
4080:
4045:
2926:. In this context,
1993:
1961:
1858:equations of motion
504:and three-momentum
273:Galilean relativity
193:Minkowski spacetime
97:Maxwell's equations
8118:Wikisource version
7921:Wikisource version
7756:
7736:
7707:
7676:
7573:
7553:
7526:
7504:
7470:
7257:
6910:
6848:
6821:
6794:
6772:
6749:
6722:
6692:
6633:
6606:
6584:
6564:
6534:
6449:
6342:
6174:
5742:
5717:
5569:
5567:
5226:
5106:
5043:
4950:
4879:
4766:
4410:
4228:
4157:
4127:
4052:
3981:
3955:
3643:
3532:
3383:
3119:
3053:
2859:
2804:, leads to, since
2786:
2747:
2713:
2674:
2592:
2516:
2457:
2397:
2351:
2314:
2287:
2225:
2086:
1965:
1884:
1834:
1648:
1443:and simply define
1401:
1381:
1312:
1158:
1067:special relativity
1051:
1045:
915:
689:
462:special relativity
408:Physics portal
129:Length contraction
34:Special relativity
8057:978-0-19-853952-0
7832:978-0-7167-2327-1
7759:{\displaystyle n}
7635:
7576:{\displaystyle g}
7465:
7366:
7342:
7310:
7247:
7128:
7025:
6993:
6961:
6775:{\displaystyle E}
6587:{\displaystyle E}
6513:
6296:
6133:
6118:
6091:
6076:
6058:
6041:
5932:four-acceleration
5927:–antimuon pairs.
5873:, while the mass
5592:Lorentz force law
5560:
5559:
5557:
5383:
5379:
5351:
5347:
5319:
5315:
5282:
5195:
5168:
5104:
4999:
4945:
4905:relativistic mass
4851:
4850:
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