2932:
2625:
820:
2439:
3276:
2573:
1344:
306:
2199:
1920:
562:
1184:
822:
This estimate is a little better than that described by Erdős–Fuchs, but at the cost of a slight loss of precision, P. Erdős and W. H. J. Fuchs achieved complete generality in their result (at least for the case
1793:
681:
1605:
1543:
1069:
1007:
3574:
1688:
2093:
1468:
414:
3615:
3501:
600:
88:
2927:{\displaystyle |\{(i_{1},\ldots ,i_{k}):a_{i_{1}}^{(1)}+\ldots +a_{i_{k}}^{(k)}\leqslant n,~a_{i_{j}}^{(j)}\in {\mathcal {A}}^{(j)}(j=1,\ldots ,k)\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{1-3k/4}{\big )}}
672:
3676:
1984:, is known to hold with same strength as the Montgomery–Vaughan's version. In fact, M. Tang showed in 2009 that, in the same conditions as in the original statement of Erdős–Fuchs, for every
921:
358:
3018:
138:
206:
3582:
3431:
2611:
2237:
2008:
1982:
214:
3405:
3313:
2269:
3127:
3975:
3469:
923:
could not hold. This fact remained unproven until 1956, when Erdős and Fuchs obtained their theorem, which is even stronger than the previously conjectured estimate.
3067:
2962:
1946:
1371:
440:
2445:
445:
3344:
3109:
3373:
1189:
847:
3041:
2258:
182:
162:
2107:
1798:
1074:
4056:
2013:
1388:
4088:
4083:
1693:
856:
4024:
3839:
1548:
1486:
1012:
950:
47:
2095:
cannot hold. In another direction, in 2002, Gábor Horváth gave a precise generalization of Sárközy's 1980 result, showing that
3506:
1610:
3896:
363:
4016:
3588:
3474:
573:
61:
617:
3380:
At the end of their paper, it is also remarked that it is possible to extend their method to obtain results considering
3442:
815:{\displaystyle \limsup _{n\to +\infty }{\frac {\left|s_{{\mathcal {Q}},2}(n)-\pi n\right|}{n^{1/4}\log(n)^{1/4}}}>0}
610:
The Erdős–Fuchs theorem has an interesting history of precedents and generalizations. In 1915, it was already known by
3620:
3822:
Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1990). "On the Erdős–Fuchs theorem". In Baker, A; Bollobas, B; Hajnal, A (eds.).
311:
3861:
1471:
2977:
97:
3112:
3762:
Erdős, P.; Turán, P. (1941). "On a problem of Sidon in additive number theory, and some related problems".
3123:
from some point onward. Then, on the same conditions as in the original Erdős–Fuchs theorem, we cannot have
2974:
Yet another direction in which the Erdős–Fuchs theorem can be improved is by considering approximations to
932:
4093:
1378:
24:
31:
is a statement about the number of ways that numbers can be represented as a sum of elements of a given
3938:
1385:
were able to remove the log from the right-hand side of Erdős–Fuchs original statement, showing that
2434:{\displaystyle a_{i}^{(1)}-a_{i}^{(2)}=o{\big (}(a_{i}^{(1)})^{1/2}\log(a_{i}^{(1)})^{-k/2}{\big )}}
187:
3410:
2578:
2204:
3271:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=nL(n)+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{-1/2}L(n)^{\alpha }{\big )}}
1987:
1961:
849:). Another reason this result is so celebrated may be due to the fact that, in 1941, P. Erdős and
3383:
3284:
4052:
4020:
3835:
2568:{\displaystyle |{\mathcal {A}}^{(j)}\cap |=\Theta {\big (}|{\mathcal {A}}^{(1)}\cap |{\big )}}
3448:
3073:, Eugene E. Kohlbecker and Jack P. Tull proved a slightly stronger version of the following:
4042:
4034:
4008:
3984:
3946:
3905:
3870:
3827:
3802:
3771:
3723:
3715:
3120:
3046:
2941:
1925:
1350:
1339:{\displaystyle |\{(i,j):a_{i}+b_{j}\leqslant n\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}\log(n)^{-1/2}{\big )}}
419:
4066:
4062:
4048:
3966:
3320:
3116:
3085:
3070:
36:
3875:
3856:
3350:
2261:(at least two) infinite subsets of natural numbers and the following estimates are valid:
850:
826:
16:
On the number of ways numbers can be represented as sums of elements of an additive basis
3942:
3023:
853:
conjectured that, subject to the same hypotheses as in the theorem stated, the relation
2243:
167:
147:
91:
32:
3989:
3970:
4077:
3703:
675:
301:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(x):=\sum _{n\leqslant x}r_{{\mathcal {A}},h}(n),}
43:
3728:
935:
considered two sequences which are "near" in some sense. He proved the following:
3831:
3743:
Hardy, G. H. (1915). "On the expression of a number as the sum of two squares".
1382:
611:
20:
3910:
3891:
3775:
35:, stating that the average order of this number cannot be too close to being a
4038:
3719:
2194:{\displaystyle {\mathcal {A}}^{(j)}=\{a_{1}^{(j)}<a_{2}^{(j)}<\ldots \}}
1915:{\displaystyle |\{(i,j):a_{i}+b_{j}\leqslant n\}|=cn+o{\big (}n^{1/4}{\big )}}
557:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+o\left(n^{1/4}\log(n)^{-1/2}\right)}
931:
This theorem has been extended in a number of different directions. In 1980,
3807:
3790:
308:
which counts (also taking order into account) the number of solutions to
1179:{\displaystyle a_{i}-b_{i}=o{\big (}a_{i}^{1/2}\log(a_{i})^{-1}{\big )}}
3951:
3926:
3706:; Fuchs, W. H. J. (1956). "On a Problem of Additive Number Theory".
3857:"An improvement of an extension of a theorem of Erdős and Fuchs"
1788:{\displaystyle |{\mathcal {A}}\cap |-|{\mathcal {B}}\cap |=O(1)}
3433:, but such results are deemed as not sufficiently definitive.
1958:
The natural generalization to Erdős–Fuchs theorem, namely for
3631:
3594:
3517:
3480:
3138:
2988:
2786:
2518:
2457:
2114:
2024:
1742:
1704:
1600:{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{b_{1}<b_{2}<\ldots \}}
1554:
1538:{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}
1492:
1399:
1064:{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{b_{1}<b_{2}<\ldots \}}
1018:
1002:{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{a_{1}<a_{2}<\ldots \}}
956:
867:
718:
623:
579:
456:
401:
273:
225:
193:
108:
67:
3971:"On a theorem of Erdős and Fuchs in additive number theory"
144:, which denotes the number of ways that a natural number
3569:{\displaystyle r_{{\mathcal {A}},h}(n)=\Theta (\log(n))}
1683:{\displaystyle a_{i}-b_{i}=o{\big (}a_{i}^{1/2}{\big )}}
4019:. Vol. 177. New York: Springer. pp. 31–38.
3892:"On a generalization of a theorem of Erdős and Fuchs"
3623:
3591:
3509:
3477:
3451:
3413:
3386:
3353:
3323:
3287:
3130:
3088:
3049:
3026:
2980:
2944:
2628:
2581:
2448:
2272:
2246:
2207:
2110:
2088:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(n)=cn+o(n^{1/4})}
2016:
1990:
1964:
1928:
1801:
1696:
1613:
1551:
1489:
1463:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+o(n^{1/4})}
1391:
1353:
1192:
1077:
1015:
953:
859:
829:
684:
620:
576:
448:
422:
409:{\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{h}\in {\mathcal {A}}}
366:
314:
217:
190:
170:
150:
100:
64:
3610:{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }
3496:{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }
1474:
extended both these results, proving the following:
595:{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }
83:{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \mathbb {N} }
667:{\displaystyle {\mathcal {Q}}:=\{0,1,4,9,\ldots \}}
3670:
3609:
3568:
3495:
3463:
3425:
3399:
3367:
3338:
3307:
3270:
3103:
3061:
3035:
3012:
2956:
2926:
2605:
2567:
2433:
2252:
2231:
2193:
2087:
2002:
1976:
1940:
1914:
1787:
1682:
1599:
1537:
1462:
1365:
1338:
1178:
1063:
1001:
915:
841:
814:
666:
594:
556:
434:
408:
352:
300:
208:(taking order into account). We then consider the
200:
176:
156:
132:
82:
1071:are two infinite subsets of natural numbers with
3976:Proceedings of the American Mathematical Society
3826:. Cambridge University Press. pp. 331–338.
3671:{\displaystyle r_{{\mathcal {A}},2}(n)\neq O(1)}
686:
3969:; Kohlbecker, Eugene E.; Tull, Jack P. (1963).
916:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},2}(n)=cn+O(1)}
416:. The theorem then states that, for any given
353:{\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{h}\leqslant x}
3263:
3186:
2919:
2855:
2560:
2505:
2426:
2326:
1907:
1882:
1675:
1645:
1607:are infinite subsets of natural numbers with
1331:
1273:
1171:
1109:
8:
2830:
2634:
2188:
2134:
1857:
1807:
1594:
1562:
1532:
1500:
1248:
1198:
1058:
1026:
996:
964:
661:
631:
3764:Journal of the London Mathematical Society
3708:Journal of the London Mathematical Society
3988:
3950:
3909:
3874:
3806:
3727:
3630:
3629:
3628:
3622:
3603:
3602:
3593:
3592:
3590:
3516:
3515:
3514:
3508:
3489:
3488:
3479:
3478:
3476:
3450:
3412:
3391:
3385:
3357:
3352:
3322:
3297:
3286:
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3255:
3232:
3225:
3199:
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3185:
3184:
3137:
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2854:
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2510:
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2023:
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1989:
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1895:
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271:
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191:
189:
169:
149:
107:
106:
105:
99:
76:
75:
66:
65:
63:
3583:Erdős–Turán conjecture on additive bases
3695:
3013:{\displaystyle s_{{\mathcal {A}},h}(n)}
133:{\displaystyle r_{{\mathcal {A}},h}(n)}
3617:is an additive basis of order 2, then
7:
210:accumulated representation function
4047:(2nd ed.). Berlin, New York:
3876:10.1023/B:AMHU.0000034360.41926.5a
3542:
2500:
699:
14:
3990:10.1090/S0002-9939-1963-0144876-1
3927:"On a theorem of Erdős and Fuchs"
3791:"On a theorem of Erdős and Fuchs"
3080:(Bateman–Kohlbecker–Tull, 1963).
614:that in the case of the sequence
3745:Quarterly Journal of Mathematics
2265:
567:be satisfied; that is, there is
48:Wolfgang Heinrich Johannes Fuchs
3578:(Existence of economical bases)
602:satisfying the above estimate.
164:can be expressed as the sum of
3665:
3659:
3650:
3644:
3563:
3560:
3554:
3545:
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42:The theorem is named after
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3862:Acta Mathematica Hungarica
4089:Theorems in number theory
4084:Theorems in combinatorics
2970:Non-linear approximations
3789:Sárközy, András (1980).
3776:10.1112/jlms/s1-16.4.212
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3824:A tribute to Paul Erdős
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