3344:
1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
8765:
31:
8245:
97:
76:
55:
8933:
3372:
7963:
3458:
8240:{\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)}
3357:
10565:
10815:
3343:
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3,
7884:
11038:
4102:
9786:
7647:
10245:
9912:
4692:
10576:
9648:
10095:
4241:
6075:
11508:
9282:
9406:
4807:
4925:
10203:
11135:
6655:
6310:
11743:
11684:
7714:
3931:
13290:
11195:
in either traditional order (ascending) or non-traditional order (descending). The algorithm computes each successive entry in terms of the previous two entries using the mediant property given above. If
9503:
5002:
4380:
8629:
5323:
5143:
5761:
3546:, had published similar results in 1802 which were not known either to Farey or to Cauchy. Thus it was a historical accident that linked Farey's name with these sequences. This is an example of
6784:
5060:
10826:
3978:
9656:
9053:
4291:
7475:
3808:
8257:
Farey sequences are very useful to find rational approximations of irrational numbers. For example, the construction by
Eliahou of a lower bound on the length of non-trivial cycles in the
9653:
which was conjectured by Harold L. Aaron in 1962 and demonstrated by Jean A. Blake in 1966. A one line proof of the Harold L. Aaron conjecture is as follows. The sum of the numerators is
5565:
10560:{\displaystyle \sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,}
9126:
4581:
5642:
4505:
5852:
6993:
11166:
9791:
5201:
8754:
5953:
9939:
8437:
8405:
5474:
5420:
4439:
3721:
7679:
3963:
10810:{\displaystyle a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor ,}
9159:
6457:
6354:
5356:
5234:
4833:
4465:
10820:
obtaining thus many different sums over the Farey elements with same result. Using the symmetry around 1/2 the former sum can be limited to half of the sequence as
13077:— in particular, see §4.5 (pp. 115–123), Bonus Problem 4.61 (pp. 150, 523–524), §4.9 (pp. 133–139), §9.3, Problem 9.3.6 (pp. 462–463).
8977:
8725:
8373:
4588:
8546:
5792:
12123:
in rationals can often take advantage of the Farey series (to search only reduced forms). While this code uses the first two terms of the sequence to initialize
9514:
8500:
8693:
8673:
8653:
8520:
8477:
8457:
8341:
8321:
8301:
5896:
5872:
4712:
4525:
4403:
9968:
8773:
4117:
12182:
This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1.
8272:
In physical systems with resonance phenomena, Farey sequences provide a very elegant and efficient method to compute resonance locations in 1D and 2D.
12352:
5961:
7325:
expansions. Every fraction has two continued fraction expansions — in one the final term is 1; in the other the final term is greater by 1. If
11404:
9183:
12433:
9297:
8279:
on square-celled grids, for example in characterizing their computational complexity or optimality. The connection can be considered in terms of
4719:
12178:
The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n.
4840:
42:
13151:
12977:
12234:
10106:
7879:{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.}
11053:
6607:
6240:
6946:
are neighbours in a Farey sequence then the first term that appears between them as the order of the Farey sequence is incremented is
13041:
11690:
11631:
3833:
13070:
12315:
12287:
13329:
12139:, one could substitute any pair of adjacent terms in order to exclude those less than (or greater than) a particular threshold.
9429:
3508:... once again the man whose name was given to a mathematical relation was not the original discoverer so far as the records go.
9508:
The sum of the denominators in the Farey sequence is twice the sum of the numerators and relates to Euler's totient function:
12947:
7220:. As any added fraction in between two previous consecutive Farey sequence fractions is calculated as the mediant (⊕), then
4934:
4313:
10570:
which is demonstrated in. Also according to this reference the term inside the sum can be expressed in many different ways:
8551:
5239:
5077:
13339:
13235:
13033:
12428:
11749:
11033:{\displaystyle \sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil ,}
5648:
4097:{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),}
9781:{\displaystyle {\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}}
7150:
Every consecutive pair of Farey rationals have an equivalent area of 1. See this by interpreting consecutive rationals
6730:
5007:
8879:< 1 then the Ford circles that are tangent to C are precisely the Ford circles for fractions that are neighbours of
7642:{\displaystyle {\text{lcm}}=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}}
3379:
Plotting the numerators versus the denominators of a Farey sequence gives a shape like the one to the right, shown for
13230:
12476:
Wehmeier, Stefan (2009). "The LCM(1,2,...,n) as a product of sine values sampled over the points in Farey sequences".
4294:
12158:
8982:
7694:
4261:
4108:
3692:
3547:
3729:
3966:
13010:
5480:
9058:
4540:
12658:
8276:
7950:
7698:
3530:
in 1816. Farey conjectured, without offering proof, that each new term in a Farey sequence expansion is the
9907:{\displaystyle {\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}}
8764:
5571:
4470:
13334:
13107:
Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey".
12541:
5797:
5358:
occupies in the sequence. This is of special relevance as it is used in an alternative formulation of the
3526:
12153:
7088:
6952:
11140:
7466:
6681:
5875:
3531:
12818:
12796:
12604:
Zhenhua Li, A.; Harter, W.G. (2015). "Quantum
Revivals of Morse Oscillators and Farey–Ford Geometry".
12423:
5151:
12673:
12623:
12120:
8730:
5901:
191:
151:
With the restricted definition, each Farey sequence starts with the value 0, denoted by the fraction
9917:
30:
13200:
13184:
8410:
8378:
5426:
5372:
13225:
13127:
12792:
12455:
Martin, Greg (2009). "A product of Gamma function values at fractions with the same denominator".
9174:
9173:
th member of a set of the same number of points, distributed evenly on the unit interval. In 1924
3461:
Farey sunburst of order 6, with 1 interior (red) and 96 boundary (green) points giving an area of
96:
13286:
13114:
12957:
12896:
12888:
12853:
12772:
12639:
12613:
12523:
12477:
12456:
8949:
8258:
7954:
7682:
7322:
5359:
4415:
3697:
12952:
4255:
75:
13244:
13147:
13066:
13065:(2nd ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. pp. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524.
13037:
12983:
12973:
12397:
12311:
12283:
12240:
12230:
8936:
8926:
7655:
4687:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(p^{m})=\left\lceil (n-p^{m})\left(1-1/p\right)\right\rceil }
3939:
3487:
3407:
9131:
7388:(which will be its neighbour with the larger denominator) has a continued fraction expansion
6424:
6321:
5328:
5206:
4812:
4444:
13050:
12961:
12927:
12880:
12845:
12751:
12714:
12681:
12631:
12584:
12513:
12222:
11044:
12279:
12273:
9643:{\displaystyle \sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),}
8955:
8698:
8346:
13295:
13054:
12498:
12148:
3521:
137:
13172:
8525:
5769:
12892:
12677:
12627:
8932:
8482:
13058:
12969:
10090:{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}}
8678:
8658:
8638:
8505:
8462:
8442:
8326:
8306:
8286:
5881:
5857:
4697:
4510:
4388:
3515:
54:
13247:
12324:
4236:{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,}
13323:
13217:
12814:
12589:
12572:
12527:
12227:
A Motif of
Mathematics: History and Application of the Mediant and the Farey Sequence
12203:
9288:
8852:
8283:-constrained paths, namely paths made up of line segments that each traverse at most
3543:
13158:
12900:
12736:"The Length of Shortest Vertex Paths in Binary Occupancy Grids Compared to Shortest
12701:
Harabor, Daniel Damir; Grastien, Alban; Öz, Dindar; Aksakalli, Vural (26 May 2016).
12643:
8807:(in its lowest terms) there is a Ford circle C, which is the circle with radius 1/(2
3371:
13208:
13192:
12328:
12269:
8929:(0,0,1,1). The picture below illustrates this together with Farey resonance lines.
12686:
8265:
uses Farey sequences to calculate a continued fraction expansion of the number log
3567:
contains all of the members of the Farey sequences of lower orders. In particular
12635:
12368:
13305:
12518:
12342:
12265:
8781:
6070:{\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).}
141:
117:
13204:
13188:
8772:
from 1 to 9. Each arc intersects its corresponding circles at right angles. In
3457:
3399:
connects the visible integer grid points from the origin in the square of side
13299:
12244:
12987:
12932:
12915:
12884:
12836:
Blake, Jean A. (1966). "Some
Characteristic Properties of the Farey Series".
7321:
Fractions that appear as neighbours in a Farey sequence have closely related
13252:
11832:
Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending.
11503:{\displaystyle {\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}}
9277:{\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1}
6085:
Fractions which are neighbouring terms in any Farey sequence are known as a
3518:
17:
13265:
sequence A005728 (Number of fractions in Farey series of order n)
13082:
12499:"Equalities between greatest common divisors involving three coprime pairs"
9401:{\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2}
4802:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n+mh}(h)={\mathcal {N}}_{n}(h)+m\varphi (h)}
3584:
and also contains an additional fraction for each number that is less than
4920:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(4h)={\mathcal {N}}_{n}(2h)-\varphi (2h)}
4467:
and zero otherwise. Concerning the numerators one can define the function
133:
129:
13095:
12871:
Kurt
Girstmair; Girstmair, Kurt (2010). "Farey Sums and Dedekind Sums".
12857:
11578:(as we are only considering numbers with denominators not greater than
8856:
7418:
has the two continued fraction expansions and , and its neighbours in
3589:
3542:, and attributed this result to Farey. In fact, another mathematician,
3356:
12756:
12735:
12719:
12702:
12369:"Farey Fractions with Equal Numerators and the Rank of Unit Fractions"
8768:
Comparison of Ford circles and a Farey diagram with circular arcs for
3391:
Reflecting this shape around the diagonal and main axes generates the
3535:
13281:
sequence A006843 (Denominators of Farey series of order n)
12849:
4507:
that returns the number of Farey fractions with numerators equal to
102:
Symmetrical pattern made by the denominators of the Farey sequence,
81:
Symmetrical pattern made by the denominators of the Farey sequence,
12777:
10198:{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.}
196:, which is not strictly correct, because the terms are not summed.
13273:
sequence A006842 (Numerators of Farey series of order n)
12618:
12482:
12461:
11130:{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}
8931:
6650:{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}}
6305:{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},}
5070:
is the same as the number of fractions with denominators equal to
3456:
3370:
3355:
136:, either between 0 and 1, or without this restriction, which when
13277:
13269:
13261:
8635:-constrained path can be described as a sequence of vectors from
12823:
Nachrichten von der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
12801:
Nachrichten von der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
12573:"The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths"
11738:{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b}
11679:{\displaystyle p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a}
11188:
A surprisingly simple algorithm exists to generate the terms of
7092:
is a data structure showing how the sequence is built up from 0
3926:{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),}
12549:
8948:
Farey sequences are used in two equivalent formulations of the
13083:"The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group"
12819:"Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel"
8776:, hover over a circle or curve to highlight it and its terms.
11147:
11095:
7395:
and its other neighbour has a continued fraction expansion
5084:
5014:
4941:
4931:
In particular, the property in the third line above implies
4876:
4847:
4761:
4726:
4595:
4547:
4477:
3441:
13280:
13272:
13264:
13103:— reviews connections between Farey Fractions and Fractals.
12346:
12210:(Third ed.). John Wiley and Sons. Definition 6.1.
8859:
to one another—two Ford circles never intersect. If 0 <
5062:. The latter means that, for Farey sequences of even order
13008:
Routledge, Norman (March 2008). "Computing Farey series".
12953:"12.2 Miscellany. The Riemann Hypothesis and Farey Series"
9498:{\displaystyle \sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.}
3524:, whose letter about these sequences was published in the
12825:. Mathematisch-Physikalische Klasse (in German): 202–206.
12803:. Mathematisch-Physikalische Klasse (in French): 198–201.
12797:"Les suites de Farey et le problème des nombres premiers"
12424:"Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making"
6789:
This follows easily from the previous property, since if
4385:
The number of Farey fractions with denominators equal to
12771:
Tomas, Rogelio (2020). "Imperfections and corrections".
9291:
remarked (just after Franel's paper) that the statement
13063:
Concrete
Mathematics: A foundation for computer science
12666:
Physical Review
Special Topics - Accelerators and Beams
11835:>>> print(*farey_sequence(5), sep=' ')
8851:). Two Ford circles for different fractions are either
7469:
can be expressed as the products of Farey fractions as
4997:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{mh}(h)=(m-1)\varphi (h)}
4375:{\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.}
13144:
Farey
Sequences: Duality and Maps Between Subsequences
10418:
8735:
8201:
8162:
8110:
8071:
8019:
7980:
6534:
will be neighbours in the Farey sequence of order max(
4269:
4065:
11693:
11634:
11407:
11143:
11056:
10829:
10579:
10248:
10109:
9971:
9920:
9914:. The quotient of the first sum by the second sum is
9796:
9794:
9661:
9659:
9517:
9432:
9300:
9186:
9134:
9061:
8985:
8958:
8733:
8701:
8681:
8661:
8641:
8624:{\displaystyle S=\{(\pm x,\pm y):(x,y)\in Q\cup Q*\}}
8554:
8528:
8508:
8485:
8465:
8445:
8413:
8381:
8349:
8329:
8309:
8289:
7966:
7717:
7658:
7478:
6955:
6733:
6610:
6427:
6324:
6243:
5964:
5904:
5884:
5860:
5800:
5772:
5651:
5574:
5483:
5429:
5375:
5331:
5318:{\displaystyle F_{n}=\{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}
5242:
5209:
5154:
5138:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(n/2)=\varphi (n/2)}
5080:
5010:
4937:
4843:
4815:
4722:
4700:
4591:
4543:
4534:. This function has some interesting properties as
4513:
4473:
4447:
4418:
4391:
4316:
4264:
4120:
3981:
3942:
3836:
3820:| = 2, we can derive an expression for the length of
3732:
3700:
167:, and ends with the value 1, denoted by the fraction
13090:— reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
5756:{\displaystyle I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).}
5066:, the number of fractions with numerators equal to
6998:which first appears in the Farey sequence of order
45:, hover over a curve to highlight it and its terms.
12951:
11737:
11678:
11502:
11160:
11129:
11047:can be expressed as a sum over Farey fractions as
11032:
10809:
10559:
10197:
10089:
9933:
9906:
9780:
9642:
9497:
9400:
9287:is equivalent to the Riemann hypothesis, and then
9276:
9153:
9120:
9047:
8971:
8748:
8719:
8687:
8667:
8647:
8623:
8540:
8514:
8494:
8471:
8451:
8431:
8399:
8367:
8335:
8315:
8295:
8239:
7878:
7673:
7641:
6987:
6779:{\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}.}
6778:
6649:
6451:
6348:
6304:
6069:
5947:
5890:
5866:
5846:
5786:
5755:
5636:
5559:
5468:
5414:
5350:
5317:
5228:
5195:
5137:
5055:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{2h}(h)=\varphi (h)}
5054:
4996:
4919:
4827:
4801:
4706:
4686:
4575:
4519:
4499:
4459:
4433:
4397:
4374:
4285:
4235:
4096:
3957:
3925:
3802:
3715:
8780:There is a connection between Farey sequence and
8149:
8058:
7967:
7831:
3674:> 1. From this, we can relate the lengths of
204:The Farey sequences of orders 1 to 8 are :
12506:Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
9048:{\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}
7689:Farey fractions and the greatest common divisor
4286:{\displaystyle \lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor }
11326:is in lowest terms, there must be an integer
9411:is also equivalent to the Riemann hypothesis.
3803:{\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).}
3534:of its neighbours. Farey's letter was read by
13014:. Vol. 92, no. 523. pp. 55–62.
7461:Farey fractions and the least common multiple
7069:The total number of Farey neighbour pairs in
3500:The history of 'Farey series' is very curious
8:
12659:"From Farey sequences to resonance diagrams"
12310:(Second ed.). Dover. Chapter XVI.
11024:
11010:
10877:
10846:
9042:
8986:
8618:
8561:
8275:Farey sequences are prominent in studies of
5312:
5256:
4280:
4265:
4220:
4206:
12744:Journal of Artificial Intelligence Research
12707:Journal of Artificial Intelligence Research
12703:"Optimal Any-Angle Pathfinding In Practice"
12391:
12389:
12278:(Fifth ed.). Oxford University Press.
3395:, shown below. The Farey sunburst of order
12968:. Pure and Applied Mathematics. New York:
8939:(0,0,1,1) and the Farey resonance diagram.
3375:Starbursts of iterations 1–10 superimposed
3333:
1758:
183:(although some authors omit these terms).
12931:
12776:
12755:
12718:
12685:
12617:
12588:
12517:
12481:
12460:
12353:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
11704:
11692:
11645:
11633:
11564:must be as large as possible, subject to
11456:
11443:
11408:
11406:
11176:This formula is used in the proof of the
11152:
11146:
11145:
11142:
11112:
11100:
11094:
11093:
11085:
11055:
11016:
10993:
10979:
10973:
10964:
10940:
10924:
10905:
10889:
10869:
10864:
10858:
10849:
10845:
10834:
10828:
10792:
10775:
10762:
10747:
10730:
10711:
10704:
10693:
10676:
10657:
10650:
10635:
10619:
10600:
10584:
10578:
10525:
10519:
10510:
10481:
10463:
10443:
10425:
10413:
10400:
10394:
10385:
10384:
10373:
10351:
10335:
10316:
10300:
10280:
10274:
10265:
10264:
10253:
10247:
10180:
10164:
10154:
10141:
10135:
10126:
10125:
10114:
10108:
10070:
10064:
10055:
10049:
10032:
10022:
10016:
10003:
9997:
9988:
9987:
9976:
9970:
9921:
9919:
9869:
9829:
9807:
9795:
9793:
9755:
9734:
9694:
9672:
9660:
9658:
9616:
9605:
9581:
9566:
9562:
9541:
9526:
9522:
9516:
9487:
9481:
9472:
9462:
9448:
9437:
9431:
9390:
9368:
9350:
9338:
9329:
9321:
9316:
9305:
9299:
9249:
9230:
9219:
9207:
9202:
9191:
9185:
9139:
9133:
9112:
9103:
9085:
9066:
9060:
9036:
8993:
8984:
8963:
8957:
8734:
8732:
8700:
8680:
8660:
8640:
8553:
8527:
8507:
8484:
8464:
8444:
8412:
8380:
8348:
8328:
8308:
8288:
8196:
8157:
8105:
8066:
8014:
7975:
7965:
7862:
7855:
7825:
7814:
7804:
7793:
7762:
7751:
7733:
7727:
7718:
7716:
7657:
7633:
7597:
7573:
7562:
7542:
7524:
7479:
7477:
6956:
6954:
6747:
6734:
6732:
6637:
6624:
6611:
6609:
6426:
6323:
6270:
6257:
6244:
6242:
6132:are neighbours in a Farey sequence, with
6025:
6019:
6008:
5981:
5969:
5963:
5912:
5911:
5903:
5883:
5859:
5836:
5804:
5799:
5776:
5771:
5739:
5715:
5697:
5691:
5682:
5668:
5656:
5650:
5620:
5614:
5605:
5591:
5579:
5573:
5560:{\displaystyle I_{n}(1/2)=(|F_{n}|-1)/2,}
5546:
5532:
5526:
5517:
5500:
5488:
5482:
5446:
5434:
5428:
5392:
5380:
5374:
5336:
5330:
5306:
5263:
5247:
5241:
5214:
5208:
5172:
5159:
5153:
5124:
5101:
5089:
5083:
5082:
5079:
5019:
5013:
5012:
5009:
4946:
4940:
4939:
4936:
4881:
4875:
4874:
4852:
4846:
4845:
4842:
4814:
4766:
4760:
4759:
4731:
4725:
4724:
4721:
4699:
4666:
4643:
4613:
4600:
4594:
4593:
4590:
4552:
4546:
4545:
4542:
4512:
4482:
4476:
4475:
4472:
4446:
4417:
4390:
4361:
4350:
4340:
4332:
4326:
4317:
4315:
4268:
4263:
4225:
4212:
4205:
4196:
4190:
4179:
4144:
4136:
4130:
4121:
4119:
4080:
4064:
4041:
4030:
4005:
3997:
3991:
3982:
3980:
3941:
3881:
3870:
3852:
3846:
3837:
3835:
3777:
3765:
3756:
3748:
3742:
3733:
3731:
3699:
12301:
12299:
12275:An Introduction to the Theory of Numbers
12208:An Introduction to the Theory of Numbers
9419:The sum of all Farey fractions of order
8763:
7345:, which first appears in Farey sequence
7317:Farey neighbours and continued fractions
148:, arranged in order of increasing size.
29:
27:Increasing sequence of reduced fractions
12195:
12169:
11838:0 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1
11177:
9121:{\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}}
5363:
4576:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(1)=n}
3559:Sequence length and index of a fraction
12734:Hew, Patrick Chisan (19 August 2017).
12119:Brute-force searches for solutions to
11560:To give the next term in the sequence
11168: is the Farey sequence of order
7011:Thus the first term to appear between
12497:Tomas Garcia, Rogelio (August 2020).
5637:{\displaystyle I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,}
4500:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(h)}
7:
13096:"Symmetries of Period-Doubling Maps"
12436:from the original on 4 February 2020
12308:Recreations in the Theory of Numbers
9415:Other sums involving Farey fractions
7352:, has continued fraction expansions
5847:{\displaystyle n/(i+1)<k\leq n/i}
5366:. Various useful properties follow:
3645:The middle term of a Farey sequence
3514:Farey sequences are named after the
12367:Tomas Garcia, Rogelio (July 2024).
12229:. Boston: Docent Press. p. 7.
7949:the following identity between the
7811:
7790:
6988:{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}},}
6315:this is equivalent to saying that
6089:and have the following properties.
41:represented with circular arcs. In
13109:Acta Univ. Apulensis Math. Inform.
11161:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
9378:
9259:
6052:
5919:
5916:
5913:
3943:
3908:
25:
13218:"A Brocot table of base 120"
12873:The American Mathematical Monthly
12838:The American Mathematical Monthly
7441:, which can be expanded as ; and
7142:, by taking successive mediants.
13301:Funny Fractions and Ford Circles
12206:; Zuckerman, Herbert S. (1972).
12184:” — Niven & Zuckerman (1972)
11256:is the unknown next entry, then
9423:is half the number of elements:
8925:Ford circles appear also in the
8675:and the Farey sequence of order
7701:so is the number of elements in
7188:) in the x–y plane. The area of
5196:{\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k}
3406:, centered at the origin. Using
95:
74:
53:
12916:"The Index of a Farey Sequence"
12571:Eliahou, Shalom (August 1993).
12422:Austin, David (December 2008).
12396:Tomas, Rogelio (January 2022).
11236:are the two given entries, and
9953:be the ordered denominators of
9377:
9258:
8749:{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}
8655:. There is a bijection between
6418:The converse is also true. If
5948:{\displaystyle n={\rm {lcm}}()}
3574:contains all of the members of
12914:Hall, R. R.; Shiu, P. (2003).
11494:
11479:
11434:
11428:
11420:
11414:
11066:
11060:
10990:
10980:
10965:
10961:
10952:
10882:
10865:
10850:
10536:
10526:
10511:
10507:
10496:
10415:
10401:
10386:
10363:
10293:
10281:
10266:
10142:
10127:
10071:
10056:
10004:
9989:
9934:{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
9899:
9893:
9842:
9830:
9767:
9761:
9707:
9695:
9634:
9628:
9488:
9473:
9374:
9361:
9351:
9330:
9255:
9242:
9161:is the difference between the
8714:
8702:
8600:
8588:
8582:
8564:
8362:
8350:
8227:
8198:
8188:
8159:
8136:
8107:
8097:
8068:
8045:
8016:
8006:
7977:
7846:
7834:
7777:
7771:
7734:
7719:
7668:
7662:
7625:
7616:
7534:
7528:
7514:
7484:
7361:then the nearest neighbour of
7146:Equivalent-area interpretation
6601:in some Farey sequence, with
6061:
6055:
6037:
6031:
5989:
5975:
5942:
5939:
5927:
5924:
5821:
5809:
5747:
5736:
5724:
5721:
5698:
5683:
5676:
5662:
5621:
5606:
5599:
5585:
5543:
5533:
5518:
5514:
5508:
5494:
5454:
5440:
5400:
5386:
5184:
5165:
5132:
5118:
5109:
5095:
5049:
5043:
5034:
5028:
4991:
4985:
4979:
4967:
4961:
4955:
4914:
4905:
4896:
4887:
4867:
4858:
4796:
4790:
4778:
4772:
4752:
4746:
4649:
4630:
4619:
4606:
4564:
4558:
4494:
4488:
4428:
4422:
4333:
4318:
4226:
4197:
4166:
4154:
4137:
4122:
4056:
4050:
3998:
3983:
3952:
3946:
3917:
3911:
3896:
3890:
3853:
3838:
3794:
3788:
3778:
3757:
3749:
3734:
3710:
3704:
3538:, who provided a proof in his
3410:, the area of the sunburst is
1:
13034:American Mathematical Society
12687:10.1103/PhysRevSTAB.17.014001
12429:American Mathematical Society
9788:. The sum of denominators is
8432:{\displaystyle 0\leq p\leq q}
8400:{\displaystyle 1\leq q\leq r}
7697:is directly connected to the
7457:, which can be expanded as .
5469:{\displaystyle I_{n}(1/n)=1,}
5415:{\displaystyle I_{n}(0/1)=0,}
4300:The asymptotic behaviour of |
12636:10.1016/j.cplett.2015.05.035
12590:10.1016/0012-365X(93)90052-U
12405:Journal of Integer Sequences
11617:back into the equations for
8502:be the result of reflecting
7313:= 0/1, its area must be 1).
5325:is simply the position that
3610:together with the fractions
3563:The Farey sequence of order
190:is sometimes called a Farey
13231:Encyclopedia of Mathematics
13142:Matveev, Andrey O. (2017).
12519:10.7546/nntdm.2020.26.3.5-7
9169:th Farey sequence, and the
4434:{\displaystyle \varphi (k)}
3716:{\displaystyle \varphi (n)}
3502:— Hardy & Wright (1979)
13356:
13146:. Berlin, DE: De Gruyter.
12343:Sloane, N. J. A.
12306:Beiler, Albert H. (1964).
12221:Guthery, Scott B. (2011).
9177:proved that the statement
7889:For any 3 Farey fractions
6399:, and their difference is
3367:numerators vs denominators
7957:in absolute value holds:
6724:– in other words,
3540:Exercices de mathématique
13011:The Mathematical Gazette
12893:10.4169/000298910X475005
12885:10.4169/000298910X475005
12159:Euler's totient function
11754:
11613:. Putting this value of
8899:in some Farey sequence.
7695:Euler's totient function
7674:{\displaystyle \psi (N)}
6174:, then their difference
4254:is the number-theoretic
4109:Möbius inversion formula
3958:{\displaystyle \Phi (n)}
3693:Euler's totient function
3548:Stigler's law of eponymy
13330:Fractions (mathematics)
13028:Hatcher, Allen (2022),
12966:Riemann's Zeta Function
12347:"Sequence A005728"
12325:"Farey Series, A Story"
11748:This is implemented in
9154:{\displaystyle d_{k,n}}
8952:. Suppose the terms of
8277:any-angle path planning
6452:{\displaystyle bc-ad=1}
6349:{\displaystyle bc-ad=1}
5351:{\displaystyle a_{k,n}}
5229:{\displaystyle a_{k,n}}
4828:{\displaystyle m\geq 0}
4460:{\displaystyle k\leq n}
3442:number of fractions in
12933:10.1307/mmj/1049832901
11739:
11680:
11504:
11162:
11131:
11034:
10881:
10811:
10561:
10412:
10292:
10199:
10153:
10091:
10015:
9935:
9908:
9782:
9644:
9621:
9499:
9402:
9328:
9278:
9214:
9155:
9122:
9049:
8973:
8940:
8777:
8750:
8721:
8689:
8669:
8649:
8625:
8542:
8516:
8496:
8473:
8453:
8433:
8401:
8369:
8343:be the set of vectors
8337:
8323:columns of cells. Let
8317:
8297:
8241:
7880:
7830:
7809:
7767:
7675:
7643:
6989:
6780:
6651:
6462:for positive integers
6453:
6350:
6306:
6071:
6024:
5949:
5892:
5868:
5848:
5788:
5757:
5638:
5561:
5470:
5416:
5352:
5319:
5236:in the Farey sequence
5230:
5197:
5139:
5056:
4998:
4921:
4829:
4803:
4708:
4688:
4577:
4521:
4501:
4461:
4435:
4399:
4376:
4287:
4237:
4195:
4098:
4046:
3959:
3927:
3886:
3804:
3717:
3527:Philosophical Magazine
3490:
3376:
3368:
144:less than or equal to
132:of completely reduced
46:
13173:"Topology of Numbers"
12542:"Farey Approximation"
12398:"Partial Franel sums"
12180:” With the comment: “
12121:Diophantine equations
11740:
11681:
11505:
11178:Franel–Landau theorem
11163:
11132:
11035:
10830:
10812:
10562:
10369:
10249:
10230:th Farey fraction in
10200:
10110:
10092:
9972:
9936:
9909:
9783:
9645:
9601:
9500:
9403:
9301:
9279:
9187:
9156:
9123:
9050:
8974:
8972:{\displaystyle F_{n}}
8935:
8767:
8751:
8722:
8720:{\displaystyle (q,p)}
8690:
8670:
8650:
8626:
8543:
8517:
8497:
8474:
8454:
8434:
8402:
8370:
8368:{\displaystyle (q,p)}
8338:
8318:
8298:
8242:
7881:
7810:
7789:
7747:
7676:
7644:
6990:
6781:
6652:
6454:
6351:
6307:
6072:
6004:
5950:
5893:
5876:least common multiple
5869:
5849:
5789:
5758:
5639:
5562:
5471:
5417:
5353:
5320:
5231:
5198:
5140:
5057:
4999:
4922:
4830:
4804:
4709:
4694:for any prime number
4689:
4578:
4522:
4502:
4462:
4436:
4400:
4377:
4288:
4238:
4175:
4099:
4026:
3960:
3928:
3866:
3813:Using the fact that |
3805:
3718:
3460:
3374:
3359:
33:
13340:Sequences and series
13315:– via YouTube.
13201:Bogomolny, Alexander
13185:Bogomolny, Alexander
13135:Acta Univ. Apulensis
13122:Acta Univ. Apulensis
12972:. pp. 263–267.
12577:Discrete Mathematics
12093:"__main__"
11691:
11632:
11405:
11141:
11137: where
11054:
10827:
10577:
10246:
10107:
9969:
9918:
9792:
9657:
9515:
9430:
9298:
9184:
9132:
9059:
8983:
8956:
8731:
8699:
8679:
8659:
8639:
8552:
8526:
8506:
8483:
8463:
8443:
8411:
8379:
8347:
8327:
8307:
8287:
7964:
7715:
7656:
7476:
6953:
6731:
6608:
6425:
6322:
6241:
5962:
5902:
5882:
5858:
5798:
5770:
5649:
5572:
5481:
5427:
5373:
5329:
5240:
5207:
5152:
5078:
5008:
4935:
4841:
4813:
4720:
4698:
4589:
4541:
4511:
4471:
4445:
4416:
4389:
4314:
4262:
4118:
3979:
3972:We also have :
3940:
3834:
3730:
3698:
13248:"Stern-Brocot Tree"
13216:Pennestri, Ettore.
13205:"Stern-Brocot Tree"
13180:Online copy of book
13030:Topology of Numbers
12678:2014PhRvS..17a4001T
12628:2015CPL...633..208L
12552:on 19 November 2018
11394:to be functions of
9235:
8787:For every fraction
8541:{\displaystyle y=x}
7955:matrix determinants
7059:, which appears in
6906:It follows that if
5787:{\displaystyle 1/k}
13245:Weisstein, Eric W.
13032:, Providence, RI:
12948:Edwards, Harold M.
12740:-Constrained Ones"
12657:Tomas, R. (2014).
12356:. OEIS Foundation.
11841:"""
11829:"""
11735:
11676:
11500:
11158:
11127:
11107:
11030:
10807:
10557:
10495:
10195:
10087:
9931:
9904:
9902:
9886:
9852:
9824:
9778:
9776:
9751:
9717:
9689:
9640:
9588:
9548:
9495:
9455:
9398:
9274:
9215:
9151:
9118:
9045:
8969:
8950:Riemann hypothesis
8944:Riemann hypothesis
8941:
8778:
8746:
8744:
8717:
8685:
8665:
8645:
8621:
8538:
8512:
8495:{\displaystyle Q*}
8492:
8469:
8449:
8429:
8397:
8365:
8333:
8313:
8293:
8237:
8226:
8187:
8135:
8096:
8044:
8005:
7876:
7683:Chebyshev function
7671:
7639:
7606:
7323:continued fraction
6985:
6776:
6647:
6449:
6392:are neighbours in
6346:
6302:
6067:
5945:
5888:
5864:
5844:
5784:
5753:
5634:
5557:
5466:
5412:
5360:Riemann hypothesis
5348:
5315:
5226:
5193:
5135:
5052:
4994:
4917:
4825:
4799:
4704:
4684:
4573:
4517:
4497:
4457:
4431:
4395:
4372:
4283:
4278:
4233:
4094:
4074:
3955:
3923:
3800:
3713:
3491:
3377:
3369:
47:
13153:978-3-11-054662-0
13051:Graham, Ronald L.
12979:978-0-08-087373-2
12962:Ellenberg, Samuel
12757:10.1613/jair.5442
12720:10.1613/jair.5007
12236:978-1-4538-1057-6
12154:Stern–Brocot tree
11720:
11661:
11517:gets, the closer
11498:
11451:
11438:
11386:. If we consider
11081:
10798:
10753:
10699:
10187:
10085:
10044:
9929:
9865:
9825:
9803:
9774:
9730:
9690:
9668:
9558:
9518:
9470:
9433:
9128:, in other words
8937:Apollonian gasket
8927:Apollonian gasket
8811:) and centre at (
8743:
8688:{\displaystyle r}
8668:{\displaystyle Q}
8648:{\displaystyle S}
8515:{\displaystyle Q}
8479:are coprime. Let
8472:{\displaystyle q}
8452:{\displaystyle p}
8336:{\displaystyle Q}
8316:{\displaystyle r}
8303:rows and at most
8296:{\displaystyle r}
7870:
7558:
7550:
7482:
7089:Stern–Brocot tree
6980:
6771:
6742:
6645:
6632:
6619:
6297:
6265:
6252:
6044:
5891:{\displaystyle i}
5867:{\displaystyle n}
4809:for any integer
4707:{\displaystyle p}
4520:{\displaystyle h}
4398:{\displaystyle k}
4367:
4277:
4152:
4073:
4013:
3967:summatory totient
3423:| − 1)
3349:
3348:
3332:
3331:
60:Farey diagram to
34:Farey diagram to
16:(Redirected from
13347:
13316:
13314:
13312:
13296:Bonahon, Francis
13279:
13271:
13263:
13258:
13257:
13239:
13221:
13212:
13196:
13179:
13177:
13171:Hatcher, Allen.
13157:
13138:
13132:
13125:
13119:
13112:
13102:
13100:
13094:Vepstas, Linas.
13089:
13087:
13081:Vepstas, Linas.
13076:
13055:Knuth, Donald E.
13046:
13016:
13015:
13005:
12999:
12998:
12996:
12994:
12955:
12944:
12938:
12937:
12935:
12920:Michigan Math. J
12911:
12905:
12904:
12868:
12862:
12861:
12833:
12827:
12826:
12811:
12805:
12804:
12789:
12783:
12782:
12780:
12768:
12762:
12761:
12759:
12731:
12725:
12724:
12722:
12698:
12692:
12691:
12689:
12663:
12654:
12648:
12647:
12621:
12606:Chem. Phys. Lett
12601:
12595:
12594:
12592:
12568:
12562:
12561:
12559:
12557:
12548:. Archived from
12538:
12532:
12531:
12521:
12503:
12494:
12488:
12487:
12485:
12473:
12467:
12466:
12464:
12452:
12446:
12445:
12443:
12441:
12432:. Rhode Island.
12419:
12413:
12412:
12402:
12393:
12384:
12383:
12373:
12364:
12358:
12357:
12339:
12333:
12332:
12321:
12303:
12294:
12293:
12280:Chapter III
12262:
12256:
12255:
12253:
12251:
12223:"1. The Mediant"
12218:
12212:
12211:
12200:
12185:
12174:
12115:
12112:
12109:
12106:
12103:
12100:
12097:
12094:
12091:
12088:
12085:
12082:
12079:
12076:
12073:
12070:
12067:
12064:
12061:
12058:
12055:
12052:
12049:
12046:
12043:
12040:
12037:
12034:
12031:
12028:
12025:
12022:
12019:
12016:
12013:
12010:
12007:
12004:
12001:
11998:
11995:
11992:
11989:
11986:
11983:
11980:
11977:
11974:
11971:
11968:
11965:
11962:
11959:
11956:
11953:
11950:
11947:
11944:
11941:
11938:
11935:
11932:
11929:
11926:
11923:
11920:
11917:
11914:
11911:
11908:
11905:
11902:
11899:
11896:
11893:
11890:
11887:
11884:
11881:
11878:
11875:
11872:
11869:
11866:
11863:
11860:
11857:
11854:
11851:
11848:
11845:
11842:
11839:
11836:
11833:
11830:
11827:
11824:
11821:
11818:
11815:
11812:
11809:
11806:
11803:
11800:
11797:
11794:
11791:
11788:
11785:
11782:
11779:
11776:
11773:
11770:
11767:
11764:
11761:
11758:
11744:
11742:
11741:
11736:
11725:
11721:
11716:
11705:
11685:
11683:
11682:
11677:
11666:
11662:
11657:
11646:
11612:
11611:
11609:
11608:
11603:
11600:
11586:is the greatest
11577:
11556:
11554:
11553:
11548:
11545:
11536:
11534:
11533:
11528:
11525:
11509:
11507:
11506:
11501:
11499:
11497:
11474:
11457:
11452:
11444:
11439:
11437:
11423:
11409:
11385:
11371:
11357:
11343:
11325:
11323:
11322:
11317:
11314:
11305:
11304:
11302:
11301:
11292:
11289:
11276:
11274:
11273:
11268:
11265:
11255:
11253:
11252:
11247:
11244:
11235:
11233:
11232:
11227:
11224:
11215:
11213:
11212:
11207:
11204:
11167:
11165:
11164:
11159:
11157:
11156:
11151:
11150:
11136:
11134:
11133:
11128:
11126:
11125:
11106:
11105:
11104:
11099:
11098:
11045:Mertens function
11039:
11037:
11036:
11031:
11020:
10997:
10983:
10978:
10977:
10968:
10951:
10950:
10935:
10934:
10916:
10915:
10900:
10899:
10880:
10873:
10868:
10863:
10862:
10853:
10844:
10816:
10814:
10813:
10808:
10803:
10799:
10797:
10796:
10787:
10786:
10785:
10763:
10754:
10752:
10751:
10742:
10741:
10740:
10722:
10721:
10705:
10700:
10698:
10697:
10688:
10687:
10686:
10668:
10667:
10651:
10646:
10645:
10630:
10629:
10611:
10610:
10595:
10594:
10566:
10564:
10563:
10558:
10529:
10524:
10523:
10514:
10500:
10499:
10492:
10491:
10474:
10473:
10454:
10453:
10436:
10435:
10411:
10404:
10399:
10398:
10389:
10383:
10362:
10361:
10346:
10345:
10327:
10326:
10311:
10310:
10291:
10284:
10279:
10278:
10269:
10263:
10204:
10202:
10201:
10196:
10188:
10186:
10185:
10184:
10175:
10174:
10155:
10152:
10145:
10140:
10139:
10130:
10124:
10096:
10094:
10093:
10088:
10086:
10081:
10074:
10069:
10068:
10059:
10050:
10045:
10043:
10042:
10027:
10026:
10017:
10014:
10007:
10002:
10001:
9992:
9986:
9940:
9938:
9937:
9932:
9930:
9922:
9913:
9911:
9910:
9905:
9903:
9885:
9851:
9823:
9787:
9785:
9784:
9779:
9777:
9775:
9770:
9756:
9750:
9716:
9688:
9649:
9647:
9646:
9641:
9620:
9615:
9587:
9586:
9585:
9570:
9547:
9546:
9545:
9530:
9504:
9502:
9501:
9496:
9491:
9486:
9485:
9476:
9471:
9463:
9454:
9453:
9452:
9407:
9405:
9404:
9399:
9394:
9373:
9372:
9354:
9349:
9348:
9333:
9327:
9326:
9325:
9315:
9283:
9281:
9280:
9275:
9254:
9253:
9234:
9229:
9213:
9212:
9211:
9201:
9160:
9158:
9157:
9152:
9150:
9149:
9127:
9125:
9124:
9119:
9117:
9116:
9107:
9096:
9095:
9077:
9076:
9054:
9052:
9051:
9046:
9041:
9040:
9004:
9003:
8978:
8976:
8975:
8970:
8968:
8967:
8898:
8896:
8895:
8890:
8887:
8878:
8876:
8875:
8870:
8867:
8850:
8848:
8847:
8840:
8837:
8830:
8828:
8827:
8822:
8819:
8806:
8804:
8803:
8798:
8795:
8755:
8753:
8752:
8747:
8745:
8736:
8726:
8724:
8723:
8718:
8694:
8692:
8691:
8686:
8674:
8672:
8671:
8666:
8654:
8652:
8651:
8646:
8630:
8628:
8627:
8622:
8547:
8545:
8544:
8539:
8521:
8519:
8518:
8513:
8501:
8499:
8498:
8493:
8478:
8476:
8475:
8470:
8458:
8456:
8455:
8450:
8438:
8436:
8435:
8430:
8406:
8404:
8403:
8398:
8374:
8372:
8371:
8366:
8342:
8340:
8339:
8334:
8322:
8320:
8319:
8314:
8302:
8300:
8299:
8294:
8246:
8244:
8243:
8238:
8236:
8232:
8231:
8230:
8192:
8191:
8145:
8141:
8140:
8139:
8101:
8100:
8054:
8050:
8049:
8048:
8010:
8009:
7948:
7946:
7945:
7940:
7937:
7928:
7926:
7925:
7920:
7917:
7908:
7906:
7905:
7900:
7897:
7885:
7883:
7882:
7877:
7872:
7871:
7863:
7829:
7824:
7808:
7803:
7766:
7761:
7737:
7732:
7731:
7722:
7680:
7678:
7677:
7672:
7648:
7646:
7645:
7640:
7638:
7637:
7632:
7628:
7605:
7601:
7578:
7577:
7551:
7543:
7538:
7537:
7483:
7480:
7456:
7454:
7453:
7450:
7447:
7440:
7438:
7437:
7434:
7431:
7417:
7415:
7414:
7411:
7408:
7380:
7378:
7377:
7372:
7369:
7344:
7342:
7341:
7336:
7333:
7141:
7138:
7137:
7135:
7134:
7131:
7128:
7120:
7116:
7113:
7112:
7110:
7109:
7106:
7103:
7095:
7058:
7056:
7055:
7052:
7049:
7042:
7040:
7039:
7036:
7033:
7026:
7024:
7023:
7020:
7017:
7007:
6994:
6992:
6991:
6986:
6981:
6979:
6968:
6957:
6945:
6943:
6942:
6937:
6934:
6925:
6923:
6922:
6917:
6914:
6902:
6901:
6899:
6898:
6889:
6886:
6873:
6871:
6870:
6865:
6862:
6852:
6825:
6807:
6785:
6783:
6782:
6777:
6772:
6770:
6759:
6748:
6743:
6735:
6723:
6721:
6720:
6715:
6712:
6703:
6701:
6700:
6695:
6692:
6679:
6677:
6676:
6671:
6668:
6656:
6654:
6653:
6648:
6646:
6638:
6633:
6625:
6620:
6612:
6600:
6598:
6597:
6592:
6589:
6580:
6578:
6577:
6572:
6569:
6560:
6558:
6557:
6552:
6549:
6533:
6531:
6530:
6525:
6522:
6513:
6511:
6510:
6505:
6502:
6458:
6456:
6455:
6450:
6414:
6412:
6411:
6408:
6405:
6391:
6389:
6388:
6385:
6382:
6375:
6373:
6372:
6369:
6366:
6355:
6353:
6352:
6347:
6311:
6309:
6308:
6303:
6298:
6296:
6288:
6271:
6266:
6258:
6253:
6245:
6233:
6231:
6230:
6225:
6222:
6215:
6214:
6212:
6211:
6206:
6203:
6194:
6192:
6191:
6186:
6183:
6173:
6172:
6170:
6169:
6164:
6161:
6152:
6150:
6149:
6144:
6141:
6131:
6129:
6128:
6123:
6120:
6111:
6109:
6108:
6103:
6100:
6081:Farey neighbours
6076:
6074:
6073:
6068:
6045:
6040:
6026:
6023:
6018:
5985:
5974:
5973:
5954:
5952:
5951:
5946:
5923:
5922:
5897:
5895:
5894:
5889:
5873:
5871:
5870:
5865:
5853:
5851:
5850:
5845:
5840:
5808:
5793:
5791:
5790:
5785:
5780:
5762:
5760:
5759:
5754:
5743:
5720:
5719:
5701:
5696:
5695:
5686:
5672:
5661:
5660:
5643:
5641:
5640:
5635:
5624:
5619:
5618:
5609:
5595:
5584:
5583:
5566:
5564:
5563:
5558:
5550:
5536:
5531:
5530:
5521:
5504:
5493:
5492:
5475:
5473:
5472:
5467:
5450:
5439:
5438:
5421:
5419:
5418:
5413:
5396:
5385:
5384:
5357:
5355:
5354:
5349:
5347:
5346:
5324:
5322:
5321:
5316:
5311:
5310:
5274:
5273:
5252:
5251:
5235:
5233:
5232:
5227:
5225:
5224:
5202:
5200:
5199:
5194:
5183:
5182:
5164:
5163:
5144:
5142:
5141:
5136:
5128:
5105:
5094:
5093:
5088:
5087:
5061:
5059:
5058:
5053:
5027:
5026:
5018:
5017:
5003:
5001:
5000:
4995:
4954:
4953:
4945:
4944:
4926:
4924:
4923:
4918:
4886:
4885:
4880:
4879:
4857:
4856:
4851:
4850:
4834:
4832:
4831:
4826:
4808:
4806:
4805:
4800:
4771:
4770:
4765:
4764:
4745:
4744:
4730:
4729:
4713:
4711:
4710:
4705:
4693:
4691:
4690:
4685:
4683:
4679:
4678:
4674:
4670:
4648:
4647:
4618:
4617:
4605:
4604:
4599:
4598:
4582:
4580:
4579:
4574:
4557:
4556:
4551:
4550:
4526:
4524:
4523:
4518:
4506:
4504:
4503:
4498:
4487:
4486:
4481:
4480:
4466:
4464:
4463:
4458:
4440:
4438:
4437:
4432:
4404:
4402:
4401:
4396:
4381:
4379:
4378:
4373:
4368:
4366:
4365:
4356:
4355:
4354:
4341:
4336:
4331:
4330:
4321:
4292:
4290:
4289:
4284:
4279:
4270:
4253:
4242:
4240:
4239:
4234:
4229:
4224:
4223:
4216:
4200:
4194:
4189:
4153:
4145:
4140:
4135:
4134:
4125:
4103:
4101:
4100:
4095:
4090:
4086:
4085:
4084:
4079:
4075:
4066:
4045:
4040:
4014:
4006:
4001:
3996:
3995:
3986:
3964:
3962:
3961:
3956:
3932:
3930:
3929:
3924:
3885:
3880:
3856:
3851:
3850:
3841:
3809:
3807:
3806:
3801:
3781:
3776:
3775:
3760:
3752:
3747:
3746:
3737:
3722:
3720:
3719:
3714:
3669:
3667:
3666:
3663:
3660:
3641:
3639:
3638:
3635:
3632:
3625:
3623:
3622:
3619:
3616:
3485:
3483:
3481:
3480:
3477:
3474:
3473:
3465:
3452:
3439:
3437:
3424:
3422:
3405:
3398:
3388:
3334:
3327:
3325:
3324:
3321:
3318:
3309:
3307:
3306:
3303:
3300:
3291:
3289:
3288:
3285:
3282:
3273:
3271:
3270:
3267:
3264:
3255:
3253:
3252:
3249:
3246:
3237:
3235:
3234:
3231:
3228:
3219:
3217:
3216:
3213:
3210:
3201:
3199:
3198:
3195:
3192:
3183:
3181:
3180:
3177:
3174:
3165:
3163:
3162:
3159:
3156:
3147:
3145:
3144:
3141:
3138:
3129:
3127:
3126:
3123:
3120:
3111:
3109:
3108:
3105:
3102:
3093:
3091:
3090:
3087:
3084:
3075:
3073:
3072:
3069:
3066:
3057:
3055:
3054:
3051:
3048:
3039:
3037:
3036:
3033:
3030:
3021:
3019:
3018:
3015:
3012:
3003:
3001:
3000:
2997:
2994:
2985:
2983:
2982:
2979:
2976:
2967:
2965:
2964:
2961:
2958:
2949:
2947:
2946:
2943:
2940:
2931:
2929:
2928:
2925:
2922:
2904:
2902:
2901:
2898:
2895:
2886:
2884:
2883:
2880:
2877:
2868:
2866:
2865:
2862:
2859:
2850:
2848:
2847:
2844:
2841:
2832:
2830:
2829:
2826:
2823:
2814:
2812:
2811:
2808:
2805:
2796:
2794:
2793:
2790:
2787:
2778:
2776:
2775:
2772:
2769:
2760:
2758:
2757:
2754:
2751:
2742:
2740:
2739:
2736:
2733:
2724:
2722:
2721:
2718:
2715:
2706:
2704:
2703:
2700:
2697:
2688:
2686:
2685:
2682:
2679:
2670:
2668:
2667:
2664:
2661:
2652:
2650:
2649:
2646:
2643:
2634:
2632:
2631:
2628:
2625:
2616:
2614:
2613:
2610:
2607:
2598:
2596:
2595:
2592:
2589:
2580:
2578:
2577:
2574:
2571:
2553:
2551:
2550:
2547:
2544:
2535:
2533:
2532:
2529:
2526:
2517:
2515:
2514:
2511:
2508:
2499:
2497:
2496:
2493:
2490:
2481:
2479:
2478:
2475:
2472:
2463:
2461:
2460:
2457:
2454:
2445:
2443:
2442:
2439:
2436:
2427:
2425:
2424:
2421:
2418:
2409:
2407:
2406:
2403:
2400:
2391:
2389:
2388:
2385:
2382:
2373:
2371:
2370:
2367:
2364:
2355:
2353:
2352:
2349:
2346:
2337:
2335:
2334:
2331:
2328:
2310:
2308:
2307:
2304:
2301:
2292:
2290:
2289:
2286:
2283:
2274:
2272:
2271:
2268:
2265:
2256:
2254:
2253:
2250:
2247:
2238:
2236:
2235:
2232:
2229:
2220:
2218:
2217:
2214:
2211:
2202:
2200:
2199:
2196:
2193:
2184:
2182:
2181:
2178:
2175:
2166:
2164:
2163:
2160:
2157:
2148:
2146:
2145:
2142:
2139:
2130:
2128:
2127:
2124:
2121:
2103:
2101:
2100:
2097:
2094:
2085:
2083:
2082:
2079:
2076:
2067:
2065:
2064:
2061:
2058:
2049:
2047:
2046:
2043:
2040:
2031:
2029:
2028:
2025:
2022:
2013:
2011:
2010:
2007:
2004:
1995:
1993:
1992:
1989:
1986:
1968:
1966:
1965:
1962:
1959:
1950:
1948:
1947:
1944:
1941:
1932:
1930:
1929:
1926:
1923:
1914:
1912:
1911:
1908:
1905:
1896:
1894:
1893:
1890:
1887:
1869:
1867:
1866:
1863:
1860:
1851:
1849:
1848:
1845:
1842:
1833:
1831:
1830:
1827:
1824:
1806:
1804:
1803:
1800:
1797:
1788:
1786:
1785:
1782:
1779:
1759:
1754:
1752:
1751:
1748:
1745:
1736:
1734:
1733:
1730:
1727:
1718:
1716:
1715:
1712:
1709:
1700:
1698:
1697:
1694:
1691:
1682:
1680:
1679:
1676:
1673:
1664:
1662:
1661:
1658:
1655:
1646:
1644:
1643:
1640:
1637:
1628:
1626:
1625:
1622:
1619:
1610:
1608:
1607:
1604:
1601:
1592:
1590:
1589:
1586:
1583:
1574:
1572:
1571:
1568:
1565:
1556:
1554:
1553:
1550:
1547:
1538:
1536:
1535:
1532:
1529:
1520:
1518:
1517:
1514:
1511:
1502:
1500:
1499:
1496:
1493:
1484:
1482:
1481:
1478:
1475:
1466:
1464:
1463:
1460:
1457:
1448:
1446:
1445:
1442:
1439:
1430:
1428:
1427:
1424:
1421:
1412:
1410:
1409:
1406:
1403:
1394:
1392:
1391:
1388:
1385:
1376:
1374:
1373:
1370:
1367:
1358:
1356:
1355:
1352:
1349:
1333:
1331:
1330:
1327:
1324:
1315:
1313:
1312:
1309:
1306:
1297:
1295:
1294:
1291:
1288:
1279:
1277:
1276:
1273:
1270:
1261:
1259:
1258:
1255:
1252:
1243:
1241:
1240:
1237:
1234:
1225:
1223:
1222:
1219:
1216:
1207:
1205:
1204:
1201:
1198:
1189:
1187:
1186:
1183:
1180:
1171:
1169:
1168:
1165:
1162:
1153:
1151:
1150:
1147:
1144:
1135:
1133:
1132:
1129:
1126:
1117:
1115:
1114:
1111:
1108:
1099:
1097:
1096:
1093:
1090:
1081:
1079:
1078:
1075:
1072:
1063:
1061:
1060:
1057:
1054:
1045:
1043:
1042:
1039:
1036:
1027:
1025:
1024:
1021:
1018:
1009:
1007:
1006:
1003:
1000:
984:
982:
981:
978:
975:
966:
964:
963:
960:
957:
948:
946:
945:
942:
939:
930:
928:
927:
924:
921:
912:
910:
909:
906:
903:
894:
892:
891:
888:
885:
876:
874:
873:
870:
867:
858:
856:
855:
852:
849:
840:
838:
837:
834:
831:
822:
820:
819:
816:
813:
804:
802:
801:
798:
795:
786:
784:
783:
780:
777:
768:
766:
765:
762:
759:
743:
741:
740:
737:
734:
725:
723:
722:
719:
716:
707:
705:
704:
701:
698:
689:
687:
686:
683:
680:
671:
669:
668:
665:
662:
653:
651:
650:
647:
644:
635:
633:
632:
629:
626:
617:
615:
614:
611:
608:
599:
597:
596:
593:
590:
581:
579:
578:
575:
572:
563:
561:
560:
557:
554:
538:
536:
535:
532:
529:
520:
518:
517:
514:
511:
502:
500:
499:
496:
493:
484:
482:
481:
478:
475:
466:
464:
463:
460:
457:
448:
446:
445:
442:
439:
430:
428:
427:
424:
421:
405:
403:
402:
399:
396:
387:
385:
384:
381:
378:
369:
367:
366:
363:
360:
351:
349:
348:
345:
342:
333:
331:
330:
327:
324:
308:
306:
305:
302:
299:
290:
288:
287:
284:
281:
272:
270:
269:
266:
263:
247:
245:
244:
241:
238:
229:
227:
226:
223:
220:
182:
180:
179:
176:
173:
166:
164:
163:
160:
157:
99:
78:
57:
21:
13355:
13354:
13350:
13349:
13348:
13346:
13345:
13344:
13320:
13319:
13310:
13308:
13294:
13291:Wayback Machine
13243:
13242:
13224:
13215:
13199:
13183:
13175:
13170:
13167:
13154:
13141:
13130:
13126:
13117:
13113:
13106:
13098:
13093:
13085:
13080:
13073:
13059:Patashnik, Oren
13049:
13044:
13027:
13024:
13022:Further reading
13019:
13007:
13006:
13002:
12992:
12990:
12980:
12946:
12945:
12941:
12913:
12912:
12908:
12870:
12869:
12865:
12850:10.2307/2313922
12835:
12834:
12830:
12813:
12812:
12808:
12791:
12790:
12786:
12770:
12769:
12765:
12733:
12732:
12728:
12700:
12699:
12695:
12661:
12656:
12655:
12651:
12603:
12602:
12598:
12570:
12569:
12565:
12555:
12553:
12546:NRICH.maths.org
12540:
12539:
12535:
12501:
12496:
12495:
12491:
12475:
12474:
12470:
12454:
12453:
12449:
12439:
12437:
12421:
12420:
12416:
12400:
12395:
12394:
12387:
12371:
12366:
12365:
12361:
12341:
12340:
12336:
12323:
12318:
12305:
12304:
12297:
12290:
12264:
12263:
12259:
12249:
12247:
12237:
12220:
12219:
12215:
12202:
12201:
12197:
12193:
12188:
12175:
12171:
12167:
12149:ABACABA pattern
12145:
12117:
12116:
12113:
12110:
12107:
12104:
12101:
12098:
12095:
12092:
12089:
12086:
12083:
12080:
12077:
12074:
12071:
12068:
12065:
12062:
12059:
12056:
12053:
12050:
12047:
12044:
12041:
12038:
12035:
12032:
12029:
12026:
12023:
12020:
12017:
12014:
12011:
12008:
12005:
12002:
11999:
11996:
11993:
11990:
11987:
11984:
11981:
11978:
11975:
11972:
11969:
11966:
11963:
11960:
11957:
11954:
11951:
11948:
11945:
11942:
11939:
11936:
11933:
11930:
11927:
11924:
11921:
11918:
11915:
11912:
11909:
11906:
11903:
11900:
11897:
11894:
11891:
11888:
11885:
11882:
11879:
11876:
11873:
11870:
11867:
11864:
11861:
11858:
11855:
11852:
11849:
11846:
11843:
11840:
11837:
11834:
11831:
11828:
11825:
11822:
11819:
11816:
11813:
11810:
11807:
11804:
11801:
11798:
11795:
11792:
11789:
11786:
11783:
11780:
11777:
11774:
11772:collections.abc
11771:
11768:
11765:
11762:
11759:
11756:
11706:
11700:
11689:
11688:
11647:
11641:
11630:
11629:
11604:
11601:
11592:
11591:
11589:
11587:
11565:
11549:
11546:
11541:
11540:
11538:
11529:
11526:
11521:
11520:
11518:
11475:
11458:
11424:
11410:
11403:
11402:
11373:
11359:
11345:
11331:
11318:
11315:
11310:
11309:
11307:
11293:
11290:
11281:
11280:
11278:
11269:
11266:
11261:
11260:
11258:
11257:
11248:
11245:
11240:
11239:
11237:
11228:
11225:
11220:
11219:
11217:
11208:
11205:
11200:
11199:
11197:
11193:
11186:
11144:
11139:
11138:
11108:
11092:
11052:
11051:
10969:
10936:
10920:
10901:
10885:
10854:
10825:
10824:
10788:
10771:
10764:
10758:
10743:
10726:
10707:
10706:
10689:
10672:
10653:
10652:
10631:
10615:
10596:
10580:
10575:
10574:
10515:
10494:
10493:
10477:
10475:
10459:
10456:
10455:
10439:
10437:
10421:
10414:
10390:
10347:
10331:
10312:
10296:
10270:
10244:
10243:
10238:
10225:
10216:
10176:
10160:
10159:
10131:
10105:
10104:
10060:
10051:
10028:
10018:
9993:
9967:
9966:
9961:
9952:
9916:
9915:
9790:
9789:
9757:
9655:
9654:
9577:
9537:
9513:
9512:
9477:
9444:
9428:
9427:
9417:
9364:
9334:
9317:
9296:
9295:
9245:
9203:
9182:
9181:
9165:th term of the
9135:
9130:
9129:
9108:
9081:
9062:
9057:
9056:
9032:
8989:
8981:
8980:
8959:
8954:
8953:
8946:
8891:
8888:
8883:
8882:
8880:
8871:
8868:
8863:
8862:
8860:
8841:
8838:
8835:
8834:
8832:
8823:
8820:
8815:
8814:
8812:
8799:
8796:
8791:
8790:
8788:
8762:
8729:
8728:
8697:
8696:
8677:
8676:
8657:
8656:
8637:
8636:
8550:
8549:
8524:
8523:
8504:
8503:
8481:
8480:
8461:
8460:
8441:
8440:
8409:
8408:
8377:
8376:
8345:
8344:
8325:
8324:
8305:
8304:
8285:
8284:
8268:
8255:
8225:
8224:
8219:
8213:
8212:
8207:
8197:
8186:
8185:
8180:
8174:
8173:
8168:
8158:
8156:
8152:
8134:
8133:
8128:
8122:
8121:
8116:
8106:
8095:
8094:
8089:
8083:
8082:
8077:
8067:
8065:
8061:
8043:
8042:
8037:
8031:
8030:
8025:
8015:
8004:
8003:
7998:
7992:
7991:
7986:
7976:
7974:
7970:
7962:
7961:
7941:
7938:
7933:
7932:
7930:
7921:
7918:
7913:
7912:
7910:
7901:
7898:
7893:
7892:
7890:
7723:
7713:
7712:
7706:
7691:
7654:
7653:
7569:
7557:
7553:
7552:
7520:
7474:
7473:
7463:
7451:
7448:
7445:
7444:
7442:
7435:
7432:
7429:
7428:
7426:
7424:
7412:
7409:
7406:
7405:
7403:
7386:
7373:
7370:
7365:
7364:
7362:
7350:
7337:
7334:
7329:
7328:
7326:
7319:
7312:
7305:
7298:
7291:
7280:
7273:
7262:
7255:
7244:
7237:
7230:
7208:′) is given by
7171:
7156:
7148:
7139:
7132:
7129:
7126:
7125:
7123:
7121:
7118:
7114:
7107:
7104:
7101:
7100:
7098:
7096:
7093:
7081:
7074:
7065:
7053:
7050:
7047:
7046:
7044:
7037:
7034:
7031:
7030:
7028:
7021:
7018:
7015:
7014:
7012:
6999:
6969:
6958:
6951:
6950:
6938:
6935:
6930:
6929:
6927:
6918:
6915:
6910:
6909:
6907:
6890:
6887:
6878:
6877:
6875:
6866:
6863:
6858:
6857:
6855:
6854:
6827:
6809:
6790:
6760:
6749:
6729:
6728:
6716:
6713:
6708:
6707:
6705:
6696:
6693:
6688:
6687:
6685:
6672:
6669:
6664:
6663:
6661:
6606:
6605:
6593:
6590:
6585:
6584:
6582:
6573:
6570:
6565:
6564:
6562:
6561:has neighbours
6553:
6550:
6545:
6544:
6542:
6526:
6523:
6518:
6517:
6515:
6506:
6503:
6498:
6497:
6495:
6423:
6422:
6409:
6406:
6403:
6402:
6400:
6398:
6386:
6383:
6380:
6379:
6377:
6370:
6367:
6364:
6363:
6361:
6320:
6319:
6289:
6272:
6239:
6238:
6226:
6223:
6220:
6219:
6217:
6207:
6204:
6199:
6198:
6196:
6187:
6184:
6179:
6178:
6176:
6175:
6165:
6162:
6157:
6156:
6154:
6145:
6142:
6137:
6136:
6134:
6133:
6124:
6121:
6116:
6115:
6113:
6104:
6101:
6096:
6095:
6093:
6083:
6027:
5965:
5960:
5959:
5955:, is given by:
5900:
5899:
5880:
5879:
5856:
5855:
5796:
5795:
5768:
5767:
5711:
5687:
5652:
5647:
5646:
5610:
5575:
5570:
5569:
5522:
5484:
5479:
5478:
5430:
5425:
5424:
5376:
5371:
5370:
5332:
5327:
5326:
5302:
5259:
5243:
5238:
5237:
5210:
5205:
5204:
5168:
5155:
5150:
5149:
5081:
5076:
5075:
5011:
5006:
5005:
4938:
4933:
4932:
4873:
4844:
4839:
4838:
4811:
4810:
4758:
4723:
4718:
4717:
4696:
4695:
4656:
4652:
4639:
4629:
4625:
4609:
4592:
4587:
4586:
4544:
4539:
4538:
4532:
4509:
4508:
4474:
4469:
4468:
4443:
4442:
4414:
4413:
4410:
4387:
4386:
4357:
4346:
4342:
4322:
4312:
4311:
4305:
4260:
4259:
4256:Möbius function
4247:
4201:
4126:
4116:
4115:
4060:
4059:
4019:
4015:
3987:
3977:
3976:
3938:
3937:
3842:
3832:
3831:
3825:
3819:
3761:
3738:
3728:
3727:
3696:
3695:
3690:
3679:
3664:
3661:
3658:
3657:
3655:
3653:
3636:
3633:
3630:
3629:
3627:
3620:
3617:
3614:
3613:
3611:
3609:
3602:
3583:
3572:
3561:
3556:
3522:John Farey, Sr.
3510:— Beiler (1964)
3496:
3478:
3475:
3471:
3470:
3469:
3467:
3463:
3462:
3451:
3450:
3446:
3443:
3436:
3435:
3431:
3428:
3426:
3421:
3420:
3416:
3413:
3411:
3404:
3400:
3396:
3386:
3383:
3380:
3366:
3354:
3345:
3322:
3319:
3316:
3315:
3313:
3312:
3304:
3301:
3298:
3297:
3295:
3294:
3286:
3283:
3280:
3279:
3277:
3276:
3268:
3265:
3262:
3261:
3259:
3258:
3250:
3247:
3244:
3243:
3241:
3240:
3232:
3229:
3226:
3225:
3223:
3222:
3214:
3211:
3208:
3207:
3205:
3204:
3196:
3193:
3190:
3189:
3187:
3186:
3178:
3175:
3172:
3171:
3169:
3168:
3160:
3157:
3154:
3153:
3151:
3150:
3142:
3139:
3136:
3135:
3133:
3132:
3124:
3121:
3118:
3117:
3115:
3114:
3106:
3103:
3100:
3099:
3097:
3096:
3088:
3085:
3082:
3081:
3079:
3078:
3070:
3067:
3064:
3063:
3061:
3060:
3052:
3049:
3046:
3045:
3043:
3042:
3034:
3031:
3028:
3027:
3025:
3024:
3016:
3013:
3010:
3009:
3007:
3006:
2998:
2995:
2992:
2991:
2989:
2988:
2980:
2977:
2974:
2973:
2971:
2970:
2962:
2959:
2956:
2955:
2953:
2952:
2944:
2941:
2938:
2937:
2935:
2934:
2926:
2923:
2920:
2919:
2917:
2915:
2899:
2896:
2893:
2892:
2890:
2889:
2881:
2878:
2875:
2874:
2872:
2871:
2863:
2860:
2857:
2856:
2854:
2853:
2845:
2842:
2839:
2838:
2836:
2835:
2827:
2824:
2821:
2820:
2818:
2817:
2809:
2806:
2803:
2802:
2800:
2799:
2791:
2788:
2785:
2784:
2782:
2781:
2773:
2770:
2767:
2766:
2764:
2763:
2755:
2752:
2749:
2748:
2746:
2745:
2737:
2734:
2731:
2730:
2728:
2727:
2719:
2716:
2713:
2712:
2710:
2709:
2701:
2698:
2695:
2694:
2692:
2691:
2683:
2680:
2677:
2676:
2674:
2673:
2665:
2662:
2659:
2658:
2656:
2655:
2647:
2644:
2641:
2640:
2638:
2637:
2629:
2626:
2623:
2622:
2620:
2619:
2611:
2608:
2605:
2604:
2602:
2601:
2593:
2590:
2587:
2586:
2584:
2583:
2575:
2572:
2569:
2568:
2566:
2564:
2548:
2545:
2542:
2541:
2539:
2538:
2530:
2527:
2524:
2523:
2521:
2520:
2512:
2509:
2506:
2505:
2503:
2502:
2494:
2491:
2488:
2487:
2485:
2484:
2476:
2473:
2470:
2469:
2467:
2466:
2458:
2455:
2452:
2451:
2449:
2448:
2440:
2437:
2434:
2433:
2431:
2430:
2422:
2419:
2416:
2415:
2413:
2412:
2404:
2401:
2398:
2397:
2395:
2394:
2386:
2383:
2380:
2379:
2377:
2376:
2368:
2365:
2362:
2361:
2359:
2358:
2350:
2347:
2344:
2343:
2341:
2340:
2332:
2329:
2326:
2325:
2323:
2321:
2305:
2302:
2299:
2298:
2296:
2295:
2287:
2284:
2281:
2280:
2278:
2277:
2269:
2266:
2263:
2262:
2260:
2259:
2251:
2248:
2245:
2244:
2242:
2241:
2233:
2230:
2227:
2226:
2224:
2223:
2215:
2212:
2209:
2208:
2206:
2205:
2197:
2194:
2191:
2190:
2188:
2187:
2179:
2176:
2173:
2172:
2170:
2169:
2161:
2158:
2155:
2154:
2152:
2151:
2143:
2140:
2137:
2136:
2134:
2133:
2125:
2122:
2119:
2118:
2116:
2114:
2098:
2095:
2092:
2091:
2089:
2088:
2080:
2077:
2074:
2073:
2071:
2070:
2062:
2059:
2056:
2055:
2053:
2052:
2044:
2041:
2038:
2037:
2035:
2034:
2026:
2023:
2020:
2019:
2017:
2016:
2008:
2005:
2002:
2001:
1999:
1998:
1990:
1987:
1984:
1983:
1981:
1979:
1963:
1960:
1957:
1956:
1954:
1953:
1945:
1942:
1939:
1938:
1936:
1935:
1927:
1924:
1921:
1920:
1918:
1917:
1909:
1906:
1903:
1902:
1900:
1899:
1891:
1888:
1885:
1884:
1882:
1880:
1864:
1861:
1858:
1857:
1855:
1854:
1846:
1843:
1840:
1839:
1837:
1836:
1828:
1825:
1822:
1821:
1819:
1817:
1801:
1798:
1795:
1794:
1792:
1791:
1783:
1780:
1777:
1776:
1774:
1772:
1749:
1746:
1743:
1742:
1740:
1739:
1731:
1728:
1725:
1724:
1722:
1721:
1713:
1710:
1707:
1706:
1704:
1703:
1695:
1692:
1689:
1688:
1686:
1685:
1677:
1674:
1671:
1670:
1668:
1667:
1659:
1656:
1653:
1652:
1650:
1649:
1641:
1638:
1635:
1634:
1632:
1631:
1623:
1620:
1617:
1616:
1614:
1613:
1605:
1602:
1599:
1598:
1596:
1595:
1587:
1584:
1581:
1580:
1578:
1577:
1569:
1566:
1563:
1562:
1560:
1559:
1551:
1548:
1545:
1544:
1542:
1541:
1533:
1530:
1527:
1526:
1524:
1523:
1515:
1512:
1509:
1508:
1506:
1505:
1497:
1494:
1491:
1490:
1488:
1487:
1479:
1476:
1473:
1472:
1470:
1469:
1461:
1458:
1455:
1454:
1452:
1451:
1443:
1440:
1437:
1436:
1434:
1433:
1425:
1422:
1419:
1418:
1416:
1415:
1407:
1404:
1401:
1400:
1398:
1397:
1389:
1386:
1383:
1382:
1380:
1379:
1371:
1368:
1365:
1364:
1362:
1361:
1353:
1350:
1347:
1346:
1344:
1342:
1328:
1325:
1322:
1321:
1319:
1318:
1310:
1307:
1304:
1303:
1301:
1300:
1292:
1289:
1286:
1285:
1283:
1282:
1274:
1271:
1268:
1267:
1265:
1264:
1256:
1253:
1250:
1249:
1247:
1246:
1238:
1235:
1232:
1231:
1229:
1228:
1220:
1217:
1214:
1213:
1211:
1210:
1202:
1199:
1196:
1195:
1193:
1192:
1184:
1181:
1178:
1177:
1175:
1174:
1166:
1163:
1160:
1159:
1157:
1156:
1148:
1145:
1142:
1141:
1139:
1138:
1130:
1127:
1124:
1123:
1121:
1120:
1112:
1109:
1106:
1105:
1103:
1102:
1094:
1091:
1088:
1087:
1085:
1084:
1076:
1073:
1070:
1069:
1067:
1066:
1058:
1055:
1052:
1051:
1049:
1048:
1040:
1037:
1034:
1033:
1031:
1030:
1022:
1019:
1016:
1015:
1013:
1012:
1004:
1001:
998:
997:
995:
993:
979:
976:
973:
972:
970:
969:
961:
958:
955:
954:
952:
951:
943:
940:
937:
936:
934:
933:
925:
922:
919:
918:
916:
915:
907:
904:
901:
900:
898:
897:
889:
886:
883:
882:
880:
879:
871:
868:
865:
864:
862:
861:
853:
850:
847:
846:
844:
843:
835:
832:
829:
828:
826:
825:
817:
814:
811:
810:
808:
807:
799:
796:
793:
792:
790:
789:
781:
778:
775:
774:
772:
771:
763:
760:
757:
756:
754:
752:
738:
735:
732:
731:
729:
728:
720:
717:
714:
713:
711:
710:
702:
699:
696:
695:
693:
692:
684:
681:
678:
677:
675:
674:
666:
663:
660:
659:
657:
656:
648:
645:
642:
641:
639:
638:
630:
627:
624:
623:
621:
620:
612:
609:
606:
605:
603:
602:
594:
591:
588:
587:
585:
584:
576:
573:
570:
569:
567:
566:
558:
555:
552:
551:
549:
547:
533:
530:
527:
526:
524:
523:
515:
512:
509:
508:
506:
505:
497:
494:
491:
490:
488:
487:
479:
476:
473:
472:
470:
469:
461:
458:
455:
454:
452:
451:
443:
440:
437:
436:
434:
433:
425:
422:
419:
418:
416:
414:
400:
397:
394:
393:
391:
390:
382:
379:
376:
375:
373:
372:
364:
361:
358:
357:
355:
354:
346:
343:
340:
339:
337:
336:
328:
325:
322:
321:
319:
317:
303:
300:
297:
296:
294:
293:
285:
282:
279:
278:
276:
275:
267:
264:
261:
260:
258:
256:
242:
239:
236:
235:
233:
232:
224:
221:
218:
217:
215:
213:
202:
177:
174:
171:
170:
168:
161:
158:
155:
154:
152:
138:in lowest terms
114:
113:
112:
111:
110:
108:
100:
91:
90:
89:
87:
79:
70:
69:
68:
66:
58:
40:
28:
23:
22:
15:
12:
11:
5:
13353:
13351:
13343:
13342:
13337:
13332:
13322:
13321:
13318:
13317:
13283:
13275:
13267:
13259:
13240:
13226:"Farey series"
13222:
13213:
13197:
13189:"Farey series"
13181:
13166:
13165:External links
13163:
13162:
13161:
13152:
13139:
13104:
13091:
13078:
13071:
13047:
13043:978-1470456115
13042:
13023:
13020:
13018:
13017:
13000:
12978:
12970:Academic Press
12958:Smith, Paul A.
12939:
12926:(1): 209–223.
12906:
12863:
12828:
12815:Landau, Edmund
12806:
12793:Franel, Jérôme
12784:
12763:
12726:
12693:
12649:
12596:
12583:(1–3): 45–56.
12563:
12533:
12489:
12468:
12447:
12414:
12385:
12359:
12334:
12316:
12295:
12288:
12257:
12235:
12213:
12204:Niven, Ivan M.
12194:
12192:
12189:
12187:
12186:
12168:
12166:
12163:
12162:
12161:
12156:
12151:
12144:
12141:
11784:farey_sequence
11755:
11746:
11745:
11734:
11731:
11728:
11724:
11719:
11715:
11712:
11709:
11703:
11699:
11696:
11686:
11675:
11672:
11669:
11665:
11660:
11656:
11653:
11650:
11644:
11640:
11637:
11513:so the larger
11511:
11510:
11496:
11493:
11490:
11487:
11484:
11481:
11478:
11473:
11470:
11467:
11464:
11461:
11455:
11450:
11447:
11442:
11436:
11433:
11430:
11427:
11422:
11419:
11416:
11413:
11191:
11185:
11182:
11174:
11173:
11155:
11149:
11124:
11121:
11118:
11115:
11111:
11103:
11097:
11091:
11088:
11084:
11080:
11077:
11074:
11071:
11068:
11065:
11062:
11059:
11041:
11040:
11029:
11026:
11023:
11019:
11015:
11012:
11009:
11006:
11003:
11000:
10996:
10992:
10989:
10986:
10982:
10976:
10972:
10967:
10963:
10960:
10957:
10954:
10949:
10946:
10943:
10939:
10933:
10930:
10927:
10923:
10919:
10914:
10911:
10908:
10904:
10898:
10895:
10892:
10888:
10884:
10879:
10876:
10872:
10867:
10861:
10857:
10852:
10848:
10843:
10840:
10837:
10833:
10818:
10817:
10806:
10802:
10795:
10791:
10784:
10781:
10778:
10774:
10770:
10767:
10761:
10757:
10750:
10746:
10739:
10736:
10733:
10729:
10725:
10720:
10717:
10714:
10710:
10703:
10696:
10692:
10685:
10682:
10679:
10675:
10671:
10666:
10663:
10660:
10656:
10649:
10644:
10641:
10638:
10634:
10628:
10625:
10622:
10618:
10614:
10609:
10606:
10603:
10599:
10593:
10590:
10587:
10583:
10568:
10567:
10556:
10553:
10550:
10547:
10544:
10541:
10538:
10535:
10532:
10528:
10522:
10518:
10513:
10509:
10506:
10503:
10498:
10490:
10487:
10484:
10480:
10476:
10472:
10469:
10466:
10462:
10458:
10457:
10452:
10449:
10446:
10442:
10438:
10434:
10431:
10428:
10424:
10420:
10419:
10417:
10410:
10407:
10403:
10397:
10393:
10388:
10382:
10379:
10376:
10372:
10368:
10365:
10360:
10357:
10354:
10350:
10344:
10341:
10338:
10334:
10330:
10325:
10322:
10319:
10315:
10309:
10306:
10303:
10299:
10295:
10290:
10287:
10283:
10277:
10273:
10268:
10262:
10259:
10256:
10252:
10234:
10221:
10212:
10206:
10205:
10194:
10191:
10183:
10179:
10173:
10170:
10167:
10163:
10158:
10151:
10148:
10144:
10138:
10134:
10129:
10123:
10120:
10117:
10113:
10098:
10097:
10084:
10080:
10077:
10073:
10067:
10063:
10058:
10054:
10048:
10041:
10038:
10035:
10031:
10025:
10021:
10013:
10010:
10006:
10000:
9996:
9991:
9985:
9982:
9979:
9975:
9957:
9948:
9928:
9925:
9901:
9898:
9895:
9892:
9889:
9884:
9881:
9878:
9875:
9872:
9868:
9864:
9861:
9858:
9855:
9850:
9847:
9844:
9841:
9838:
9835:
9832:
9828:
9822:
9819:
9816:
9813:
9810:
9806:
9802:
9799:
9773:
9769:
9766:
9763:
9760:
9754:
9749:
9746:
9743:
9740:
9737:
9733:
9729:
9726:
9723:
9720:
9715:
9712:
9709:
9706:
9703:
9700:
9697:
9693:
9687:
9684:
9681:
9678:
9675:
9671:
9667:
9664:
9651:
9650:
9639:
9636:
9633:
9630:
9627:
9624:
9619:
9614:
9611:
9608:
9604:
9600:
9597:
9594:
9591:
9584:
9580:
9576:
9573:
9569:
9565:
9561:
9557:
9554:
9551:
9544:
9540:
9536:
9533:
9529:
9525:
9521:
9506:
9505:
9494:
9490:
9484:
9480:
9475:
9469:
9466:
9461:
9458:
9451:
9447:
9443:
9440:
9436:
9416:
9413:
9409:
9408:
9397:
9393:
9389:
9386:
9383:
9380:
9376:
9371:
9367:
9363:
9360:
9357:
9353:
9347:
9344:
9341:
9337:
9332:
9324:
9320:
9314:
9311:
9308:
9304:
9285:
9284:
9273:
9270:
9267:
9264:
9261:
9257:
9252:
9248:
9244:
9241:
9238:
9233:
9228:
9225:
9222:
9218:
9210:
9206:
9200:
9197:
9194:
9190:
9148:
9145:
9142:
9138:
9115:
9111:
9106:
9102:
9099:
9094:
9091:
9088:
9084:
9080:
9075:
9072:
9069:
9065:
9044:
9039:
9035:
9031:
9028:
9025:
9022:
9019:
9016:
9013:
9010:
9007:
9002:
8999:
8996:
8992:
8988:
8966:
8962:
8945:
8942:
8906:is tangent to
8761:
8758:
8742:
8739:
8716:
8713:
8710:
8707:
8704:
8684:
8664:
8644:
8620:
8617:
8614:
8611:
8608:
8605:
8602:
8599:
8596:
8593:
8590:
8587:
8584:
8581:
8578:
8575:
8572:
8569:
8566:
8563:
8560:
8557:
8537:
8534:
8531:
8511:
8491:
8488:
8468:
8448:
8428:
8425:
8422:
8419:
8416:
8396:
8393:
8390:
8387:
8384:
8364:
8361:
8358:
8355:
8352:
8332:
8312:
8292:
8266:
8254:
8251:
8248:
8247:
8235:
8229:
8223:
8220:
8218:
8215:
8214:
8211:
8208:
8206:
8203:
8202:
8200:
8195:
8190:
8184:
8181:
8179:
8176:
8175:
8172:
8169:
8167:
8164:
8163:
8161:
8155:
8151:
8148:
8144:
8138:
8132:
8129:
8127:
8124:
8123:
8120:
8117:
8115:
8112:
8111:
8109:
8104:
8099:
8093:
8090:
8088:
8085:
8084:
8081:
8078:
8076:
8073:
8072:
8070:
8064:
8060:
8057:
8053:
8047:
8041:
8038:
8036:
8033:
8032:
8029:
8026:
8024:
8021:
8020:
8018:
8013:
8008:
8002:
7999:
7997:
7994:
7993:
7990:
7987:
7985:
7982:
7981:
7979:
7973:
7969:
7953:'s of the 2x2
7887:
7886:
7875:
7869:
7866:
7861:
7858:
7854:
7851:
7848:
7845:
7842:
7839:
7836:
7833:
7828:
7823:
7820:
7817:
7813:
7807:
7802:
7799:
7796:
7792:
7788:
7785:
7782:
7779:
7776:
7773:
7770:
7765:
7760:
7757:
7754:
7750:
7746:
7743:
7740:
7736:
7730:
7726:
7721:
7704:
7690:
7687:
7681:is the second
7670:
7667:
7664:
7661:
7650:
7649:
7636:
7631:
7627:
7624:
7621:
7618:
7615:
7612:
7609:
7604:
7600:
7596:
7593:
7590:
7587:
7584:
7581:
7576:
7572:
7568:
7565:
7561:
7556:
7549:
7546:
7541:
7536:
7533:
7530:
7527:
7523:
7519:
7516:
7513:
7510:
7507:
7504:
7501:
7498:
7495:
7492:
7489:
7486:
7462:
7459:
7422:
7400:
7399:
7393:
7392:
7384:
7359:
7358:
7356:
7348:
7318:
7315:
7310:
7303:
7296:
7289:
7278:
7271:
7260:
7253:
7242:
7235:
7228:
7180:′ as vectors (
7169:
7154:
7147:
7144:
7079:
7072:
7063:
6996:
6995:
6984:
6978:
6975:
6972:
6967:
6964:
6961:
6787:
6786:
6775:
6769:
6766:
6763:
6758:
6755:
6752:
6746:
6741:
6738:
6658:
6657:
6644:
6641:
6636:
6631:
6628:
6623:
6618:
6615:
6460:
6459:
6448:
6445:
6442:
6439:
6436:
6433:
6430:
6396:
6358:
6357:
6345:
6342:
6339:
6336:
6333:
6330:
6327:
6313:
6312:
6301:
6295:
6292:
6287:
6284:
6281:
6278:
6275:
6269:
6264:
6261:
6256:
6251:
6248:
6082:
6079:
6078:
6077:
6066:
6063:
6060:
6057:
6054:
6051:
6048:
6043:
6039:
6036:
6033:
6030:
6022:
6017:
6014:
6011:
6007:
6003:
6000:
5997:
5994:
5991:
5988:
5984:
5980:
5977:
5972:
5968:
5944:
5941:
5938:
5935:
5932:
5929:
5926:
5921:
5918:
5915:
5910:
5907:
5887:
5863:
5843:
5839:
5835:
5832:
5829:
5826:
5823:
5820:
5817:
5814:
5811:
5807:
5803:
5783:
5779:
5775:
5764:
5763:
5752:
5749:
5746:
5742:
5738:
5735:
5732:
5729:
5726:
5723:
5718:
5714:
5710:
5707:
5704:
5700:
5694:
5690:
5685:
5681:
5678:
5675:
5671:
5667:
5664:
5659:
5655:
5644:
5633:
5630:
5627:
5623:
5617:
5613:
5608:
5604:
5601:
5598:
5594:
5590:
5587:
5582:
5578:
5567:
5556:
5553:
5549:
5545:
5542:
5539:
5535:
5529:
5525:
5520:
5516:
5513:
5510:
5507:
5503:
5499:
5496:
5491:
5487:
5476:
5465:
5462:
5459:
5456:
5453:
5449:
5445:
5442:
5437:
5433:
5422:
5411:
5408:
5405:
5402:
5399:
5395:
5391:
5388:
5383:
5379:
5345:
5342:
5339:
5335:
5314:
5309:
5305:
5301:
5298:
5295:
5292:
5289:
5286:
5283:
5280:
5277:
5272:
5269:
5266:
5262:
5258:
5255:
5250:
5246:
5223:
5220:
5217:
5213:
5203:of a fraction
5192:
5189:
5186:
5181:
5178:
5175:
5171:
5167:
5162:
5158:
5134:
5131:
5127:
5123:
5120:
5117:
5114:
5111:
5108:
5104:
5100:
5097:
5092:
5086:
5051:
5048:
5045:
5042:
5039:
5036:
5033:
5030:
5025:
5022:
5016:
5004:and, further,
4993:
4990:
4987:
4984:
4981:
4978:
4975:
4972:
4969:
4966:
4963:
4960:
4957:
4952:
4949:
4943:
4929:
4928:
4916:
4913:
4910:
4907:
4904:
4901:
4898:
4895:
4892:
4889:
4884:
4878:
4872:
4869:
4866:
4863:
4860:
4855:
4849:
4836:
4824:
4821:
4818:
4798:
4795:
4792:
4789:
4786:
4783:
4780:
4777:
4774:
4769:
4763:
4757:
4754:
4751:
4748:
4743:
4740:
4737:
4734:
4728:
4715:
4703:
4682:
4677:
4673:
4669:
4665:
4662:
4659:
4655:
4651:
4646:
4642:
4638:
4635:
4632:
4628:
4624:
4621:
4616:
4612:
4608:
4603:
4597:
4584:
4572:
4569:
4566:
4563:
4560:
4555:
4549:
4530:
4516:
4496:
4493:
4490:
4485:
4479:
4456:
4453:
4450:
4430:
4427:
4424:
4421:
4408:
4394:
4383:
4382:
4371:
4364:
4360:
4353:
4349:
4345:
4339:
4335:
4329:
4325:
4320:
4303:
4295:floor function
4282:
4276:
4273:
4267:
4244:
4243:
4232:
4228:
4222:
4219:
4215:
4211:
4208:
4204:
4199:
4193:
4188:
4185:
4182:
4178:
4174:
4171:
4168:
4165:
4162:
4159:
4156:
4151:
4148:
4143:
4139:
4133:
4129:
4124:
4105:
4104:
4093:
4089:
4083:
4078:
4072:
4069:
4063:
4058:
4055:
4052:
4049:
4044:
4039:
4036:
4033:
4029:
4025:
4022:
4018:
4012:
4009:
4004:
4000:
3994:
3990:
3985:
3954:
3951:
3948:
3945:
3934:
3933:
3922:
3919:
3916:
3913:
3910:
3907:
3904:
3901:
3898:
3895:
3892:
3889:
3884:
3879:
3876:
3873:
3869:
3865:
3862:
3859:
3855:
3849:
3845:
3840:
3823:
3817:
3811:
3810:
3799:
3796:
3793:
3790:
3787:
3784:
3780:
3774:
3771:
3768:
3764:
3759:
3755:
3751:
3745:
3741:
3736:
3712:
3709:
3706:
3703:
3685:
3677:
3649:
3607:
3600:
3578:
3570:
3560:
3557:
3555:
3552:
3512:
3511:
3504:
3503:
3495:
3492:
3488:Pick's theorem
3448:
3447:
3444:
3433:
3432:
3429:
3418:
3417:
3414:
3408:Pick's theorem
3402:
3393:Farey sunburst
3384:
3381:
3364:
3353:
3352:Farey sunburst
3350:
3347:
3346:
3342:
3339:
3338:
3330:
3329:
3310:
3292:
3274:
3256:
3238:
3220:
3202:
3184:
3166:
3148:
3130:
3112:
3094:
3076:
3058:
3040:
3022:
3004:
2986:
2968:
2950:
2932:
2913:
2907:
2906:
2887:
2869:
2851:
2833:
2815:
2797:
2779:
2761:
2743:
2725:
2707:
2689:
2671:
2653:
2635:
2617:
2599:
2581:
2562:
2556:
2555:
2536:
2518:
2500:
2482:
2464:
2446:
2428:
2410:
2392:
2374:
2356:
2338:
2319:
2313:
2312:
2293:
2275:
2257:
2239:
2221:
2203:
2185:
2167:
2149:
2131:
2112:
2106:
2105:
2086:
2068:
2050:
2032:
2014:
1996:
1977:
1971:
1970:
1951:
1933:
1915:
1897:
1878:
1872:
1871:
1852:
1834:
1815:
1809:
1808:
1789:
1770:
1764:
1763:
1757:
1756:
1737:
1719:
1701:
1683:
1665:
1647:
1629:
1611:
1593:
1575:
1557:
1539:
1521:
1503:
1485:
1467:
1449:
1431:
1413:
1395:
1377:
1359:
1340:
1335:
1316:
1298:
1280:
1262:
1244:
1226:
1208:
1190:
1172:
1154:
1136:
1118:
1100:
1082:
1064:
1046:
1028:
1010:
991:
986:
967:
949:
931:
913:
895:
877:
859:
841:
823:
805:
787:
769:
750:
745:
726:
708:
690:
672:
654:
636:
618:
600:
582:
564:
545:
540:
521:
503:
485:
467:
449:
431:
412:
407:
388:
370:
352:
334:
315:
310:
291:
273:
254:
249:
230:
211:
201:
198:
188:Farey sequence
122:Farey sequence
106:
101:
94:
93:
92:
85:
80:
73:
72:
71:
64:
59:
52:
51:
50:
49:
48:
38:
26:
24:
14:
13:
10:
9:
6:
4:
3:
2:
13352:
13341:
13338:
13336:
13335:Number theory
13333:
13331:
13328:
13327:
13325:
13307:
13303:
13302:
13297:
13292:
13288:
13284:
13282:
13276:
13274:
13268:
13266:
13260:
13255:
13254:
13249:
13246:
13241:
13237:
13233:
13232:
13227:
13223:
13219:
13214:
13210:
13206:
13202:
13198:
13194:
13190:
13186:
13182:
13174:
13169:
13168:
13164:
13160:
13159:Errata + Code
13155:
13149:
13145:
13140:
13136:
13129:
13123:
13116:
13110:
13105:
13097:
13092:
13084:
13079:
13074:
13072:0-201-55802-5
13068:
13064:
13060:
13056:
13052:
13048:
13045:
13039:
13035:
13031:
13026:
13025:
13021:
13013:
13012:
13004:
13001:
12989:
12985:
12981:
12975:
12971:
12967:
12963:
12959:
12954:
12949:
12943:
12940:
12934:
12929:
12925:
12921:
12917:
12910:
12907:
12902:
12898:
12894:
12890:
12886:
12882:
12878:
12874:
12867:
12864:
12859:
12855:
12851:
12847:
12843:
12839:
12832:
12829:
12824:
12820:
12816:
12810:
12807:
12802:
12798:
12794:
12788:
12785:
12779:
12774:
12767:
12764:
12758:
12753:
12749:
12745:
12741:
12739:
12730:
12727:
12721:
12716:
12712:
12708:
12704:
12697:
12694:
12688:
12683:
12679:
12675:
12672:(1): 014001.
12671:
12667:
12660:
12653:
12650:
12645:
12641:
12637:
12633:
12629:
12625:
12620:
12615:
12611:
12607:
12600:
12597:
12591:
12586:
12582:
12578:
12574:
12567:
12564:
12551:
12547:
12543:
12537:
12534:
12529:
12525:
12520:
12515:
12511:
12507:
12500:
12493:
12490:
12484:
12479:
12472:
12469:
12463:
12458:
12451:
12448:
12435:
12431:
12430:
12425:
12418:
12415:
12410:
12406:
12399:
12392:
12390:
12386:
12381:
12377:
12370:
12363:
12360:
12355:
12354:
12348:
12344:
12338:
12335:
12330:
12326:
12319:
12317:0-486-21096-0
12313:
12309:
12302:
12300:
12296:
12291:
12289:0-19-853171-0
12285:
12281:
12277:
12276:
12271:
12267:
12261:
12258:
12246:
12242:
12238:
12232:
12228:
12224:
12217:
12214:
12209:
12205:
12199:
12196:
12190:
12183:
12179:
12173:
12170:
12164:
12160:
12157:
12155:
12152:
12150:
12147:
12146:
12142:
12140:
12138:
12134:
12130:
12126:
12122:
11753:
11751:
11732:
11729:
11726:
11722:
11717:
11713:
11710:
11707:
11701:
11697:
11694:
11687:
11673:
11670:
11667:
11663:
11658:
11654:
11651:
11648:
11642:
11638:
11635:
11628:
11627:
11626:
11624:
11620:
11616:
11607:
11599:
11595:
11585:
11581:
11576:
11572:
11568:
11563:
11558:
11552:
11544:
11532:
11524:
11516:
11491:
11488:
11485:
11482:
11476:
11471:
11468:
11465:
11462:
11459:
11453:
11448:
11445:
11440:
11431:
11425:
11417:
11411:
11401:
11400:
11399:
11397:
11393:
11389:
11384:
11380:
11376:
11370:
11366:
11362:
11356:
11352:
11348:
11342:
11338:
11334:
11329:
11321:
11313:
11300:
11296:
11288:
11284:
11272:
11264:
11251:
11243:
11231:
11223:
11211:
11203:
11194:
11183:
11181:
11179:
11171:
11153:
11122:
11119:
11116:
11113:
11109:
11101:
11089:
11086:
11082:
11078:
11075:
11072:
11069:
11063:
11057:
11050:
11049:
11048:
11046:
11027:
11021:
11017:
11013:
11007:
11004:
11001:
10998:
10994:
10987:
10984:
10974:
10970:
10958:
10955:
10947:
10944:
10941:
10937:
10931:
10928:
10925:
10921:
10917:
10912:
10909:
10906:
10902:
10896:
10893:
10890:
10886:
10874:
10870:
10859:
10855:
10841:
10838:
10835:
10831:
10823:
10822:
10821:
10804:
10800:
10793:
10789:
10782:
10779:
10776:
10772:
10768:
10765:
10759:
10755:
10748:
10744:
10737:
10734:
10731:
10727:
10723:
10718:
10715:
10712:
10708:
10701:
10694:
10690:
10683:
10680:
10677:
10673:
10669:
10664:
10661:
10658:
10654:
10647:
10642:
10639:
10636:
10632:
10626:
10623:
10620:
10616:
10612:
10607:
10604:
10601:
10597:
10591:
10588:
10585:
10581:
10573:
10572:
10571:
10554:
10551:
10548:
10545:
10542:
10539:
10533:
10530:
10520:
10516:
10504:
10501:
10488:
10485:
10482:
10478:
10470:
10467:
10464:
10460:
10450:
10447:
10444:
10440:
10432:
10429:
10426:
10422:
10408:
10405:
10395:
10391:
10380:
10377:
10374:
10370:
10366:
10358:
10355:
10352:
10348:
10342:
10339:
10336:
10332:
10328:
10323:
10320:
10317:
10313:
10307:
10304:
10301:
10297:
10288:
10285:
10275:
10271:
10260:
10257:
10254:
10250:
10242:
10241:
10240:
10237:
10233:
10229:
10224:
10220:
10215:
10211:
10192:
10189:
10181:
10177:
10171:
10168:
10165:
10161:
10156:
10149:
10146:
10136:
10132:
10121:
10118:
10115:
10111:
10103:
10102:
10101:
10082:
10078:
10075:
10065:
10061:
10052:
10046:
10039:
10036:
10033:
10029:
10023:
10019:
10011:
10008:
9998:
9994:
9983:
9980:
9977:
9973:
9965:
9964:
9963:
9960:
9956:
9951:
9947:
9942:
9926:
9923:
9896:
9890:
9887:
9882:
9879:
9876:
9873:
9870:
9866:
9862:
9859:
9856:
9853:
9848:
9845:
9839:
9836:
9833:
9826:
9820:
9817:
9814:
9811:
9808:
9804:
9800:
9797:
9771:
9764:
9758:
9752:
9747:
9744:
9741:
9738:
9735:
9731:
9727:
9724:
9721:
9718:
9713:
9710:
9704:
9701:
9698:
9691:
9685:
9682:
9679:
9676:
9673:
9669:
9665:
9662:
9637:
9631:
9625:
9622:
9617:
9612:
9609:
9606:
9602:
9598:
9595:
9592:
9589:
9582:
9578:
9574:
9571:
9567:
9563:
9559:
9555:
9552:
9549:
9542:
9538:
9534:
9531:
9527:
9523:
9519:
9511:
9510:
9509:
9492:
9482:
9478:
9467:
9464:
9459:
9456:
9449:
9445:
9441:
9438:
9434:
9426:
9425:
9424:
9422:
9414:
9412:
9395:
9391:
9387:
9384:
9381:
9369:
9365:
9358:
9355:
9345:
9342:
9339:
9335:
9322:
9318:
9312:
9309:
9306:
9302:
9294:
9293:
9292:
9290:
9289:Edmund Landau
9271:
9268:
9265:
9262:
9250:
9246:
9239:
9236:
9231:
9226:
9223:
9220:
9216:
9208:
9204:
9198:
9195:
9192:
9188:
9180:
9179:
9178:
9176:
9175:Jérôme Franel
9172:
9168:
9164:
9146:
9143:
9140:
9136:
9113:
9109:
9104:
9100:
9097:
9092:
9089:
9086:
9082:
9078:
9073:
9070:
9067:
9063:
9037:
9033:
9029:
9026:
9023:
9020:
9017:
9014:
9011:
9008:
9005:
9000:
8997:
8994:
8990:
8964:
8960:
8951:
8943:
8938:
8934:
8930:
8928:
8923:
8921:
8917:
8913:
8909:
8905:
8900:
8894:
8886:
8874:
8866:
8858:
8854:
8845:
8826:
8818:
8810:
8802:
8794:
8785:
8783:
8775:
8774:the SVG image
8771:
8766:
8759:
8757:
8740:
8737:
8711:
8708:
8705:
8682:
8662:
8642:
8634:
8615:
8612:
8609:
8606:
8603:
8597:
8594:
8591:
8585:
8579:
8576:
8573:
8570:
8567:
8558:
8555:
8535:
8532:
8529:
8509:
8489:
8486:
8466:
8446:
8426:
8423:
8420:
8417:
8414:
8394:
8391:
8388:
8385:
8382:
8359:
8356:
8353:
8330:
8310:
8290:
8282:
8278:
8273:
8270:
8264:
8262:
8252:
8250:
8233:
8221:
8216:
8209:
8204:
8193:
8182:
8177:
8170:
8165:
8153:
8146:
8142:
8130:
8125:
8118:
8113:
8102:
8091:
8086:
8079:
8074:
8062:
8055:
8051:
8039:
8034:
8027:
8022:
8011:
8000:
7995:
7988:
7983:
7971:
7960:
7959:
7958:
7956:
7952:
7944:
7936:
7924:
7916:
7904:
7896:
7873:
7867:
7864:
7859:
7856:
7852:
7849:
7843:
7840:
7837:
7826:
7821:
7818:
7815:
7805:
7800:
7797:
7794:
7786:
7783:
7780:
7774:
7768:
7763:
7758:
7755:
7752:
7748:
7744:
7741:
7738:
7728:
7724:
7711:
7710:
7709:
7707:
7700:
7696:
7688:
7686:
7684:
7665:
7659:
7634:
7629:
7622:
7619:
7613:
7610:
7607:
7602:
7598:
7594:
7591:
7588:
7585:
7582:
7579:
7574:
7570:
7566:
7563:
7559:
7554:
7547:
7544:
7539:
7531:
7525:
7521:
7517:
7511:
7508:
7505:
7502:
7499:
7496:
7493:
7490:
7487:
7472:
7471:
7470:
7468:
7460:
7458:
7421:
7402:For example,
7398:
7397:
7396:
7391:
7390:
7389:
7387:
7376:
7368:
7357:
7355:
7354:
7353:
7351:
7340:
7332:
7324:
7316:
7314:
7309:
7302:
7299:) = 1 (since
7295:
7288:
7284:
7277:
7270:
7266:
7259:
7252:
7248:
7241:
7234:
7227:
7223:
7219:
7215:
7211:
7207:
7203:
7199:
7195:
7191:
7187:
7183:
7179:
7175:
7168:
7164:
7160:
7153:
7145:
7143:
7091:
7090:
7084:
7083:| − 3.
7082:
7075:
7067:
7062:
7009:
7006:
7002:
6982:
6976:
6973:
6970:
6965:
6962:
6959:
6949:
6948:
6947:
6941:
6933:
6921:
6913:
6904:
6897:
6893:
6885:
6881:
6869:
6861:
6850:
6846:
6842:
6838:
6834:
6830:
6824:
6820:
6816:
6812:
6805:
6801:
6797:
6793:
6773:
6767:
6764:
6761:
6756:
6753:
6750:
6744:
6739:
6736:
6727:
6726:
6725:
6719:
6711:
6699:
6691:
6683:
6675:
6667:
6642:
6639:
6634:
6629:
6626:
6621:
6616:
6613:
6604:
6603:
6602:
6596:
6588:
6576:
6568:
6556:
6548:
6539:
6537:
6529:
6521:
6509:
6501:
6493:
6489:
6485:
6481:
6477:
6473:
6469:
6465:
6446:
6443:
6440:
6437:
6434:
6431:
6428:
6421:
6420:
6419:
6416:
6395:
6343:
6340:
6337:
6334:
6331:
6328:
6325:
6318:
6317:
6316:
6299:
6293:
6290:
6285:
6282:
6279:
6276:
6273:
6267:
6262:
6259:
6254:
6249:
6246:
6237:
6236:
6235:
6229:
6210:
6202:
6190:
6182:
6168:
6160:
6148:
6140:
6127:
6119:
6107:
6099:
6090:
6088:
6080:
6064:
6058:
6049:
6046:
6041:
6034:
6028:
6020:
6015:
6012:
6009:
6005:
6001:
5998:
5995:
5992:
5986:
5982:
5978:
5970:
5966:
5958:
5957:
5956:
5936:
5933:
5930:
5908:
5905:
5885:
5878:of the first
5877:
5861:
5841:
5837:
5833:
5830:
5827:
5824:
5818:
5815:
5812:
5805:
5801:
5781:
5777:
5773:
5766:The index of
5750:
5744:
5740:
5733:
5730:
5727:
5716:
5712:
5708:
5705:
5702:
5692:
5688:
5679:
5673:
5669:
5665:
5657:
5653:
5645:
5631:
5628:
5625:
5615:
5611:
5602:
5596:
5592:
5588:
5580:
5576:
5568:
5554:
5551:
5547:
5540:
5537:
5527:
5523:
5511:
5505:
5501:
5497:
5489:
5485:
5477:
5463:
5460:
5457:
5451:
5447:
5443:
5435:
5431:
5423:
5409:
5406:
5403:
5397:
5393:
5389:
5381:
5377:
5369:
5368:
5367:
5365:
5361:
5343:
5340:
5337:
5333:
5307:
5303:
5299:
5296:
5293:
5290:
5287:
5284:
5281:
5278:
5275:
5270:
5267:
5264:
5260:
5253:
5248:
5244:
5221:
5218:
5215:
5211:
5190:
5187:
5179:
5176:
5173:
5169:
5160:
5156:
5146:
5129:
5125:
5121:
5115:
5112:
5106:
5102:
5098:
5090:
5073:
5069:
5065:
5046:
5040:
5037:
5031:
5023:
5020:
4988:
4982:
4976:
4973:
4970:
4964:
4958:
4950:
4947:
4911:
4908:
4902:
4899:
4893:
4890:
4882:
4870:
4864:
4861:
4853:
4837:
4822:
4819:
4816:
4793:
4787:
4784:
4781:
4775:
4767:
4755:
4749:
4741:
4738:
4735:
4732:
4716:
4701:
4680:
4675:
4671:
4667:
4663:
4660:
4657:
4653:
4644:
4640:
4636:
4633:
4626:
4622:
4614:
4610:
4601:
4585:
4570:
4567:
4561:
4553:
4537:
4536:
4535:
4533:
4514:
4491:
4483:
4454:
4451:
4448:
4425:
4419:
4411:
4392:
4369:
4362:
4358:
4351:
4347:
4343:
4337:
4327:
4323:
4310:
4309:
4308:
4306:
4298:
4296:
4274:
4271:
4257:
4251:
4230:
4217:
4213:
4209:
4202:
4191:
4186:
4183:
4180:
4176:
4172:
4169:
4163:
4160:
4157:
4149:
4146:
4141:
4131:
4127:
4114:
4113:
4112:
4110:
4091:
4087:
4081:
4076:
4070:
4067:
4061:
4053:
4047:
4042:
4037:
4034:
4031:
4027:
4023:
4020:
4016:
4010:
4007:
4002:
3992:
3988:
3975:
3974:
3973:
3970:
3968:
3949:
3920:
3914:
3905:
3902:
3899:
3893:
3887:
3882:
3877:
3874:
3871:
3867:
3863:
3860:
3857:
3847:
3843:
3830:
3829:
3828:
3826:
3816:
3797:
3791:
3785:
3782:
3772:
3769:
3766:
3762:
3753:
3743:
3739:
3726:
3725:
3724:
3707:
3701:
3694:
3688:
3684:
3680:
3673:
3652:
3648:
3643:
3606:
3599:
3595:
3591:
3587:
3581:
3577:
3573:
3566:
3558:
3553:
3551:
3549:
3545:
3544:Charles Haros
3541:
3537:
3533:
3529:
3528:
3523:
3520:
3517:
3509:
3506:
3505:
3501:
3498:
3497:
3493:
3489:
3486:according to
3459:
3455:
3453:
3409:
3394:
3389:
3373:
3363:
3358:
3351:
3341:
3340:
3336:
3335:
2912:
2909:
2908:
2561:
2558:
2557:
2318:
2315:
2314:
2111:
2108:
2107:
1976:
1973:
1972:
1877:
1874:
1873:
1814:
1811:
1810:
1769:
1766:
1765:
1761:
1760:
1339:
1336:
990:
987:
749:
746:
544:
541:
411:
408:
314:
311:
253:
250:
210:
207:
206:
205:
199:
197:
195:
194:
189:
184:
149:
147:
143:
139:
135:
131:
127:
123:
119:
105:
98:
84:
77:
63:
56:
44:
43:the SVG image
37:
32:
19:
13309:. Retrieved
13300:
13287:Ghostarchive
13285:Archived at
13251:
13229:
13209:Cut-the-Knot
13193:Cut-the-Knot
13143:
13134:
13121:
13108:
13062:
13029:
13009:
13003:
12993:30 September
12991:. Retrieved
12965:
12942:
12923:
12919:
12909:
12879:(1): 72–78.
12876:
12872:
12866:
12844:(1): 50–52.
12841:
12837:
12831:
12822:
12809:
12800:
12787:
12766:
12747:
12743:
12737:
12729:
12710:
12706:
12696:
12669:
12665:
12652:
12609:
12605:
12599:
12580:
12576:
12566:
12554:. Retrieved
12550:the original
12545:
12536:
12509:
12505:
12492:
12471:
12450:
12440:28 September
12438:. Retrieved
12427:
12417:
12408:
12404:
12379:
12375:
12362:
12350:
12337:
12329:Cut-the-Knot
12307:
12274:
12270:Wright, E.M.
12260:
12250:28 September
12248:. Retrieved
12226:
12216:
12207:
12198:
12181:
12177:
12172:
12136:
12132:
12128:
12124:
12118:
11752:as follows:
11747:
11622:
11618:
11614:
11605:
11597:
11593:
11583:
11579:
11574:
11570:
11566:
11561:
11559:
11550:
11542:
11530:
11522:
11514:
11512:
11395:
11391:
11387:
11382:
11378:
11374:
11368:
11364:
11360:
11354:
11350:
11346:
11340:
11336:
11332:
11327:
11319:
11311:
11298:
11294:
11286:
11282:
11270:
11262:
11249:
11241:
11229:
11221:
11209:
11201:
11189:
11187:
11175:
11169:
11042:
10819:
10569:
10235:
10231:
10227:
10222:
10218:
10213:
10209:
10207:
10099:
9958:
9954:
9949:
9945:
9943:
9652:
9507:
9420:
9418:
9410:
9286:
9170:
9166:
9162:
8947:
8924:
8919:
8915:
8911:
8907:
8903:
8901:
8892:
8884:
8872:
8864:
8855:or they are
8843:
8824:
8816:
8808:
8800:
8792:
8786:
8782:Ford circles
8779:
8769:
8760:Ford circles
8632:
8522:in the line
8280:
8274:
8271:
8260:
8256:
8253:Applications
8249:
7942:
7934:
7922:
7914:
7902:
7894:
7888:
7702:
7692:
7651:
7464:
7419:
7401:
7394:
7382:
7374:
7366:
7360:
7346:
7338:
7330:
7320:
7307:
7300:
7293:
7286:
7282:
7275:
7268:
7264:
7257:
7250:
7246:
7239:
7232:
7225:
7221:
7217:
7213:
7209:
7205:
7201:
7197:
7193:
7189:
7185:
7181:
7177:
7173:
7166:
7162:
7158:
7151:
7149:
7087:
7085:
7077:
7070:
7068:
7060:
7010:
7004:
7000:
6997:
6939:
6931:
6919:
6911:
6905:
6895:
6891:
6883:
6879:
6867:
6859:
6848:
6844:
6840:
6836:
6832:
6828:
6822:
6818:
6814:
6810:
6803:
6799:
6795:
6791:
6788:
6717:
6709:
6697:
6689:
6673:
6665:
6659:
6594:
6586:
6574:
6566:
6554:
6546:
6540:
6535:
6527:
6519:
6507:
6499:
6491:
6487:
6483:
6479:
6475:
6471:
6467:
6463:
6461:
6417:
6393:
6359:
6314:
6227:
6216:is equal to
6208:
6200:
6188:
6180:
6166:
6158:
6146:
6138:
6125:
6117:
6105:
6097:
6091:
6086:
6084:
5765:
5147:
5071:
5067:
5063:
4930:
4528:
4412:is given by
4406:
4384:
4307:| is :
4301:
4299:
4249:
4245:
4106:
3971:
3935:
3821:
3814:
3812:
3686:
3682:
3675:
3671:
3650:
3646:
3644:
3604:
3603:consists of
3597:
3593:
3585:
3579:
3575:
3568:
3564:
3562:
3539:
3525:
3513:
3507:
3499:
3392:
3390:
3378:
3361:
2910:
2559:
2316:
2109:
1974:
1875:
1812:
1767:
1337:
988:
747:
542:
409:
312:
251:
208:
203:
192:
187:
185:
150:
145:
142:denominators
125:
121:
115:
103:
82:
61:
35:
18:Farey number
13306:Brady Haran
13128:"pp. 21–38"
12750:: 543–563.
12612:: 208–213.
12556:18 November
12266:Hardy, G.H.
8727:mapping to
8631:. Then any
118:mathematics
13324:Categories
13115:"pp. 1–20"
13111:(5): 1–38.
12778:2006.10661
12713:: 89–118.
12512:(3): 5–7.
12245:1031694495
12191:References
11892:descending
11802:descending
11588:integer ≤
11330:such that
8375:such that
8263:+1 process
7693:Since the
7306:= 1/0 and
6087:Farey pair
5148:The index
5074:, that is
3654:is always
3554:Properties
13304:(video).
13253:MathWorld
13236:EMS Press
12988:316553016
12619:1308.4470
12528:225280271
12483:0909.1838
12462:0907.4384
12322:Cited in
12165:Footnotes
11823:Generator
11778:Generator
11760:fractions
11730:−
11671:−
11489:−
11466:−
11441:−
11358:, giving
11184:Next term
11117:π
11090:∈
11083:∑
11073:−
11025:⌉
11011:⌈
11008:−
11002:−
10985:−
10945:−
10918:−
10894:−
10878:⌋
10847:⌊
10832:∑
10780:−
10716:−
10662:−
10640:−
10613:−
10589:−
10549:−
10540:−
10531:−
10468:−
10430:−
10406:−
10371:∑
10356:−
10329:−
10305:−
10286:−
10251:∑
10147:−
10112:∑
10076:−
10009:−
9974:∑
9891:φ
9880:≤
9874:≤
9867:∑
9827:∑
9818:≤
9812:≤
9805:∑
9759:φ
9745:≤
9739:≤
9732:∑
9692:∑
9683:≤
9677:≤
9670:∑
9626:φ
9603:∑
9575:∈
9560:∑
9535:∈
9520:∑
9442:∈
9435:∑
9379:∀
9303:∑
9269:−
9260:∀
9189:∑
9098:−
9055:. Define
9027:…
8695:given by
8616:∗
8610:∪
8604:∈
8577:±
8568:±
8490:∗
8424:≤
8418:≤
8392:≤
8386:≤
7860:π
7853:
7812:∑
7791:∑
7769:φ
7749:∑
7660:ψ
7620:π
7614:
7592:≤
7567:∈
7560:∏
7526:ψ
6435:−
6332:−
6280:−
6255:−
6053:Φ
6047:−
6029:φ
6006:∑
5898:numbers,
5831:≤
5731:−
5709:−
5703:−
5626:−
5538:−
5297:…
5116:φ
5041:φ
4983:φ
4974:−
4903:φ
4900:−
4820:≥
4788:φ
4661:−
4637:−
4452:≤
4420:φ
4359:π
4338:∼
4281:⌋
4266:⌊
4221:⌋
4207:⌊
4177:∑
4173:−
4111: :
4107:and by a
4048:μ
4028:∑
3944:Φ
3909:Φ
3888:φ
3868:∑
3786:φ
3770:−
3702:φ
3519:geologist
3484:− 1 = 48,
3360:Plotting
1762:Centered
134:fractions
124:of order
13289:and the
13061:(1989).
12964:(eds.).
12950:(1974).
12901:31933470
12817:(1924).
12795:(1924).
12644:66213897
12434:Archived
12376:Integers
12272:(1979).
12143:See also
12087:__name__
12066:Fraction
11928:Fraction
11766:Fraction
11723:⌋
11702:⌊
11664:⌋
11643:⌊
11569:−
11537:gets to
11381:−
11367:−
11306:. Since
10801:⌋
10760:⌊
10497:‖
10416:‖
9962:, then:
8853:disjoint
8228:‖
8199:‖
8189:‖
8160:‖
8137:‖
8108:‖
8098:‖
8069:‖
8046:‖
8017:‖
8007:‖
7978:‖
6234:. Since
6195:−
4681:⌉
4627:⌈
4077:⌋
4062:⌊
3723: :
3689:−1
3582:−1
3425:, where
3412:4(|
200:Examples
130:sequence
13238:, 2001
12858:2313922
12674:Bibcode
12624:Bibcode
12345:(ed.).
12111:testmod
12105:doctest
12102:doctest
11610:
11590:
11555:
11539:
11535:
11519:
11398:, then
11324:
11308:
11303:
11279:
11275:
11259:
11254:
11238:
11234:
11218:
11214:
11198:
10239:, then
8922:, etc.
8897:
8881:
8877:
8861:
8857:tangent
8849:
8842: 2
8833:
8829:
8813:
8805:
8789:
7947:
7931:
7927:
7911:
7907:
7891:
7455:
7443:
7439:
7427:
7416:
7404:
7379:
7363:
7343:
7327:
7136:
7124:
7111:
7099:
7057:
7045:
7041:
7029:
7025:
7013:
6944:
6928:
6924:
6908:
6900:
6876:
6872:
6856:
6808:, then
6722:
6706:
6702:
6686:
6682:mediant
6680:is the
6678:
6662:
6599:
6583:
6579:
6563:
6559:
6543:
6532:
6516:
6512:
6496:
6413:
6401:
6390:
6378:
6374:
6362:
6232:
6218:
6213:
6197:
6193:
6177:
6171:
6155:
6151:
6135:
6130:
6114:
6110:
6094:
5874:is the
4293:is the
4258:, and
3965:is the
3670:, for
3668:
3656:
3640:
3628:
3624:
3612:
3596:. Thus
3590:coprime
3532:mediant
3516:British
3494:History
3482:
3468:
3440:is the
3337:Sorted
3326:
3314:
3308:
3296:
3290:
3278:
3272:
3260:
3254:
3242:
3236:
3224:
3218:
3206:
3200:
3188:
3182:
3170:
3164:
3152:
3146:
3134:
3128:
3116:
3110:
3098:
3092:
3080:
3074:
3062:
3056:
3044:
3038:
3026:
3020:
3008:
3002:
2990:
2984:
2972:
2966:
2954:
2948:
2936:
2930:
2918:
2903:
2891:
2885:
2873:
2867:
2855:
2849:
2837:
2831:
2819:
2813:
2801:
2795:
2783:
2777:
2765:
2759:
2747:
2741:
2729:
2723:
2711:
2705:
2693:
2687:
2675:
2669:
2657:
2651:
2639:
2633:
2621:
2615:
2603:
2597:
2585:
2579:
2567:
2552:
2540:
2534:
2522:
2516:
2504:
2498:
2486:
2480:
2468:
2462:
2450:
2444:
2432:
2426:
2414:
2408:
2396:
2390:
2378:
2372:
2360:
2354:
2342:
2336:
2324:
2309:
2297:
2291:
2279:
2273:
2261:
2255:
2243:
2237:
2225:
2219:
2207:
2201:
2189:
2183:
2171:
2165:
2153:
2147:
2135:
2129:
2117:
2102:
2090:
2084:
2072:
2066:
2054:
2048:
2036:
2030:
2018:
2012:
2000:
1994:
1982:
1967:
1955:
1949:
1937:
1931:
1919:
1913:
1901:
1895:
1883:
1868:
1856:
1850:
1838:
1832:
1820:
1805:
1793:
1787:
1775:
1753:
1741:
1735:
1723:
1717:
1705:
1699:
1687:
1681:
1669:
1663:
1651:
1645:
1633:
1627:
1615:
1609:
1597:
1591:
1579:
1573:
1561:
1555:
1543:
1537:
1525:
1519:
1507:
1501:
1489:
1483:
1471:
1465:
1453:
1447:
1435:
1429:
1417:
1411:
1399:
1393:
1381:
1375:
1363:
1357:
1345:
1332:
1320:
1314:
1302:
1296:
1284:
1278:
1266:
1260:
1248:
1242:
1230:
1224:
1212:
1206:
1194:
1188:
1176:
1170:
1158:
1152:
1140:
1134:
1122:
1116:
1104:
1098:
1086:
1080:
1068:
1062:
1050:
1044:
1032:
1026:
1014:
1008:
996:
983:
971:
965:
953:
947:
935:
929:
917:
911:
899:
893:
881:
875:
863:
857:
845:
839:
827:
821:
809:
803:
791:
785:
773:
767:
755:
742:
730:
724:
712:
706:
694:
688:
676:
670:
658:
652:
640:
634:
622:
616:
604:
598:
586:
580:
568:
562:
550:
537:
525:
519:
507:
501:
489:
483:
471:
465:
453:
447:
435:
429:
417:
404:
392:
386:
374:
368:
356:
350:
338:
332:
320:
307:
295:
289:
277:
271:
259:
246:
234:
228:
216:
181:
169:
165:
153:
128:is the
13311:9 June
13150:
13069:
13040:
12986:
12976:
12899:
12891:
12856:
12642:
12526:
12314:
12286:
12243:
12233:
12135:, and
12099:import
11775:import
11763:import
11750:Python
11625:gives
11582:), so
8846:
8548:. Let
8439:, and
7652:where
7117:and 1
5794:where
5362:, see
4246:where
3936:where
3691:using
3536:Cauchy
3438:|
3427:|
193:series
120:, the
13176:(PDF)
13131:(PDF)
13118:(PDF)
13099:(PDF)
13086:(PDF)
12956:. In
12897:S2CID
12889:JSTOR
12854:JSTOR
12773:arXiv
12662:(PDF)
12640:S2CID
12614:arXiv
12524:S2CID
12502:(PDF)
12478:arXiv
12457:arXiv
12401:(PDF)
12372:(PDF)
12063:yield
11958:<=
11952:<=
11946:while
11925:yield
11820:->
11814:False
8902:Thus
8269:(3).
7076:is 2|
6660:then
6494:then
6490:<
6482:<
6478:with
6360:Thus
6153:<
5364:below
4441:when
140:have
13313:2015
13278:OEIS
13270:OEIS
13262:OEIS
13148:ISBN
13067:ISBN
13038:ISBN
12995:2020
12984:OCLC
12974:ISBN
12558:2018
12442:2020
12411:(1).
12351:The
12312:ISBN
12284:ISBN
12252:2020
12241:OCLC
12231:ISBN
11808:bool
11769:from
11757:from
11621:and
11390:and
11372:and
11344:and
11216:and
11043:The
10226:the
10208:Let
10100:and
9944:Let
9385:>
9266:>
8979:are
7929:and
7586:<
7465:The
7425:are
7281:) =
7263:) +
7245:) =
7212:′ −
7165:and
7086:The
7027:and
6926:and
6839:) =
6704:and
6635:<
6622:<
6581:and
6514:and
6486:and
6474:and
6376:and
6112:and
5854:and
5825:<
3681:and
3626:and
3588:and
2916:= {
2565:= {
2322:= {
2115:= {
1980:= {
1881:= {
1818:= {
1773:= {
1343:= {
994:= {
753:= {
548:= {
415:= {
318:= {
257:= {
214:= {
12928:doi
12881:doi
12877:117
12846:doi
12752:doi
12715:doi
12682:doi
12632:doi
12610:633
12585:doi
12581:118
12514:doi
11796:int
11781:def
8150:gcd
8059:gcd
7968:gcd
7951:gcd
7850:cos
7832:gcd
7699:gcd
7611:sin
7481:lcm
7467:lcm
7381:in
7043:is
6806:= 1
6684:of
6541:If
6538:).
6536:b,d
6092:If
5145:.
5072:n/2
5068:n/2
4527:in
4405:in
3592:to
116:In
13326::
13298:.
13293::
13250:.
13234:,
13228:,
13207:.
13203:.
13191:.
13187:.
13133:.
13120:.
13057:;
13053:;
13036:,
12982:.
12960:;
12924:51
12922:.
12918:.
12895:.
12887:.
12875:.
12852:.
12842:73
12840:.
12821:.
12799:.
12748:59
12746:.
12742:.
12711:56
12709:.
12705:.
12680:.
12670:17
12668:.
12664:.
12638:.
12630:.
12622:.
12608:.
12579:.
12575:.
12544:.
12522:.
12510:26
12508:.
12504:.
12426:.
12409:25
12407:.
12403:.
12388:^
12380:24
12378:.
12374:.
12349:.
12327:.
12298:^
12282:.
12268:;
12239:.
12225:.
12131:,
12127:,
12114:()
12090:==
12084:if
11988://
11889:if
11596:+
11573:≤
11567:kd
11557:.
11379:kd
11377:=
11365:kc
11363:=
11353:+
11349:=
11347:kd
11339:+
11335:=
11333:kc
11297:+
11285:+
11277:=
11180:.
10193:1.
9941:.
8918:,
8914:,
8910:,
8831:,
8784:.
8756:.
8459:,
8407:,
7909:,
7708:,
7685:.
7292:,
7274:,
7256:,
7238:⊕
7231:,
7210:qp
7204:′/
7200:,
7184:,
7176:′/
7172:=
7157:=
7122:=
7097:=
7066:.
7008:.
7003:+
6903:.
6894:+
6882:+
6874:=
6853:,
6847:+
6835:+
6826:,
6823:aq
6821:+
6819:qc
6817:=
6815:pd
6813:+
6811:bp
6804:pd
6802:–
6800:qc
6798:=
6796:aq
6794:–
6792:bp
6415:.
6410:15
6228:bd
4297:.
4248:μ(
3969:.
3827::
3642:.
3550:.
3472:96
3466:+
3454:.
3328:}
2905:}
2554:}
2311:}
2104:}
1969:}
1870:}
1807:}
186:A
107:25
13256:.
13220:.
13211:.
13195:.
13178:.
13156:.
13137:.
13124:.
13101:.
13088:.
13075:.
12997:.
12936:.
12930::
12903:.
12883::
12860:.
12848::
12781:.
12775::
12760:.
12754::
12738:r
12723:.
12717::
12690:.
12684::
12676::
12646:.
12634::
12626::
12616::
12593:.
12587::
12560:.
12530:.
12516::
12486:.
12480::
12465:.
12459::
12444:.
12382:.
12331:.
12320:.
12292:.
12254:.
12176:“
12137:d
12133:c
12129:b
12125:a
12108:.
12096::
12081:)
12078:b
12075:,
12072:a
12069:(
12060:b
12057:-
12054:d
12051:*
12048:k
12045:,
12042:a
12039:-
12036:c
12033:*
12030:k
12027:,
12024:d
12021:,
12018:c
12015:=
12012:d
12009:,
12006:c
12003:,
12000:b
11997:,
11994:a
11991:d
11985:)
11982:b
11979:+
11976:n
11973:(
11970:=
11967:k
11964::
11961:n
11955:c
11949:0
11943:)
11940:b
11937:,
11934:a
11931:(
11922:1
11919:-
11916:n
11913:,
11910:1
11907:=
11904:c
11901:,
11898:a
11895::
11886:n
11883:,
11880:1
11877:,
11874:1
11871:,
11868:0
11865:=
11862:d
11859:,
11856:c
11853:,
11850:b
11847:,
11844:a
11826::
11817:)
11811:=
11805::
11799:,
11793::
11790:n
11787:(
11733:b
11727:d
11718:d
11714:b
11711:+
11708:n
11698:=
11695:q
11674:a
11668:c
11659:d
11655:b
11652:+
11649:n
11639:=
11636:p
11623:q
11619:p
11615:k
11606:d
11602:/
11598:b
11594:n
11584:k
11580:n
11575:n
11571:b
11562:k
11551:d
11547:/
11543:c
11531:q
11527:/
11523:p
11515:k
11495:)
11492:b
11486:d
11483:k
11480:(
11477:d
11472:a
11469:d
11463:b
11460:c
11454:=
11449:d
11446:c
11435:)
11432:k
11429:(
11426:q
11421:)
11418:k
11415:(
11412:p
11396:k
11392:q
11388:p
11383:b
11375:q
11369:a
11361:p
11355:q
11351:b
11341:p
11337:a
11328:k
11320:d
11316:/
11312:c
11299:q
11295:b
11291:/
11287:p
11283:a
11271:d
11267:/
11263:c
11250:q
11246:/
11242:p
11230:d
11226:/
11222:c
11210:b
11206:/
11202:a
11192:n
11190:F
11172:.
11170:n
11154:n
11148:F
11123:a
11120:i
11114:2
11110:e
11102:n
11096:F
11087:a
11079:+
11076:1
11070:=
11067:)
11064:n
11061:(
11058:M
11028:,
11022:2
11018:/
11014:n
11005:n
10999:2
10995:/
10991:)
10988:1
10981:|
10975:n
10971:F
10966:|
10962:(
10959:3
10956:=
10953:)
10948:1
10942:j
10938:b
10932:1
10929:+
10926:j
10922:a
10913:1
10910:+
10907:j
10903:b
10897:1
10891:j
10887:a
10883:(
10875:2
10871:/
10866:|
10860:n
10856:F
10851:|
10842:1
10839:=
10836:j
10805:,
10794:j
10790:b
10783:1
10777:j
10773:b
10769:+
10766:n
10756:=
10749:j
10745:a
10738:1
10735:+
10732:j
10728:a
10724:+
10719:1
10713:j
10709:a
10702:=
10695:j
10691:b
10684:1
10681:+
10678:j
10674:b
10670:+
10665:1
10659:j
10655:b
10648:=
10643:1
10637:j
10633:b
10627:1
10624:+
10621:j
10617:a
10608:1
10605:+
10602:j
10598:b
10592:1
10586:j
10582:a
10555:,
10552:1
10546:n
10543:2
10537:)
10534:1
10527:|
10521:n
10517:F
10512:|
10508:(
10505:3
10502:=
10489:1
10486:+
10483:j
10479:b
10471:1
10465:j
10461:b
10451:1
10448:+
10445:j
10441:a
10433:1
10427:j
10423:a
10409:1
10402:|
10396:n
10392:F
10387:|
10381:1
10378:=
10375:j
10367:=
10364:)
10359:1
10353:j
10349:b
10343:1
10340:+
10337:j
10333:a
10324:1
10321:+
10318:j
10314:b
10308:1
10302:j
10298:a
10294:(
10289:1
10282:|
10276:n
10272:F
10267:|
10261:1
10258:=
10255:j
10236:n
10232:F
10228:j
10223:j
10219:b
10217:/
10214:j
10210:a
10190:=
10182:j
10178:b
10172:1
10169:+
10166:j
10162:b
10157:1
10150:1
10143:|
10137:n
10133:F
10128:|
10122:0
10119:=
10116:j
10083:2
10079:4
10072:|
10066:n
10062:F
10057:|
10053:3
10047:=
10040:1
10037:+
10034:j
10030:b
10024:j
10020:b
10012:1
10005:|
9999:n
9995:F
9990:|
9984:0
9981:=
9978:j
9959:n
9955:F
9950:j
9946:b
9927:2
9924:1
9900:)
9897:b
9894:(
9888:b
9883:n
9877:b
9871:2
9863:+
9860:2
9857:=
9854:b
9849:1
9846:=
9843:)
9840:b
9837:,
9834:a
9831:(
9821:n
9815:b
9809:2
9801:+
9798:2
9772:2
9768:)
9765:b
9762:(
9753:b
9748:n
9742:b
9736:2
9728:+
9725:1
9722:=
9719:a
9714:1
9711:=
9708:)
9705:b
9702:,
9699:a
9696:(
9686:n
9680:b
9674:2
9666:+
9663:1
9638:,
9635:)
9632:i
9629:(
9623:i
9618:n
9613:1
9610:=
9607:i
9599:+
9596:1
9593:=
9590:a
9583:n
9579:F
9572:b
9568:/
9564:a
9556:2
9553:=
9550:b
9543:n
9539:F
9532:b
9528:/
9524:a
9493:.
9489:|
9483:n
9479:F
9474:|
9468:2
9465:1
9460:=
9457:r
9450:n
9446:F
9439:r
9421:n
9396:2
9392:/
9388:1
9382:r
9375:)
9370:r
9366:n
9362:(
9359:O
9356:=
9352:|
9346:n
9343:,
9340:k
9336:d
9331:|
9323:n
9319:m
9313:1
9310:=
9307:k
9272:1
9263:r
9256:)
9251:r
9247:n
9243:(
9240:O
9237:=
9232:2
9227:n
9224:,
9221:k
9217:d
9209:n
9205:m
9199:1
9196:=
9193:k
9171:k
9167:n
9163:k
9147:n
9144:,
9141:k
9137:d
9114:n
9110:m
9105:/
9101:k
9093:n
9090:,
9087:k
9083:a
9079:=
9074:n
9071:,
9068:k
9064:d
9043:}
9038:n
9034:m
9030:,
9024:,
9021:1
9018:,
9015:0
9012:=
9009:k
9006::
9001:n
8998:,
8995:k
8991:a
8987:{
8965:n
8961:F
8920:C
8916:C
8912:C
8908:C
8904:C
8893:q
8889:/
8885:p
8873:q
8869:/
8865:p
8844:q
8839:/
8836:1
8825:q
8821:/
8817:p
8809:q
8801:q
8797:/
8793:p
8770:n
8741:q
8738:p
8715:)
8712:p
8709:,
8706:q
8703:(
8683:r
8663:Q
8643:S
8633:r
8619:}
8613:Q
8607:Q
8601:)
8598:y
8595:,
8592:x
8589:(
8586::
8583:)
8580:y
8574:,
8571:x
8565:(
8562:{
8559:=
8556:S
8536:x
8533:=
8530:y
8510:Q
8487:Q
8467:q
8447:p
8427:q
8421:p
8415:0
8395:r
8389:q
8383:1
8363:)
8360:p
8357:,
8354:q
8351:(
8331:Q
8311:r
8291:r
8281:r
8267:2
8261:x
8259:3
8234:)
8222:f
8217:d
8210:e
8205:c
8194:,
8183:f
8178:b
8171:e
8166:a
8154:(
8147:=
8143:)
8131:f
8126:d
8119:e
8114:c
8103:,
8092:d
8087:b
8080:c
8075:a
8063:(
8056:=
8052:)
8040:f
8035:b
8028:e
8023:a
8012:,
8001:d
7996:b
7989:c
7984:a
7972:(
7943:f
7939:/
7935:e
7923:d
7919:/
7915:c
7903:b
7899:/
7895:a
7874:.
7868:m
7865:k
7857:2
7847:)
7844:m
7841:,
7838:k
7835:(
7827:m
7822:1
7819:=
7816:k
7806:n
7801:1
7798:=
7795:m
7787:+
7784:1
7781:=
7778:)
7775:m
7772:(
7764:n
7759:1
7756:=
7753:m
7745:+
7742:1
7739:=
7735:|
7729:n
7725:F
7720:|
7705:n
7703:F
7669:)
7666:N
7663:(
7635:2
7630:)
7626:)
7623:r
7617:(
7608:2
7603:2
7599:/
7595:1
7589:r
7583:0
7580:,
7575:N
7571:F
7564:r
7555:(
7548:2
7545:1
7540:=
7535:)
7532:N
7529:(
7522:e
7518:=
7515:]
7512:N
7509:,
7506:.
7503:.
7500:.
7497:,
7494:2
7491:,
7488:1
7485:[
7452:3
7449:/
7446:1
7436:5
7433:/
7430:2
7423:8
7420:F
7413:8
7410:/
7407:3
7385:q
7383:F
7375:q
7371:/
7367:p
7349:q
7347:F
7339:q
7335:/
7331:p
7311:2
7308:r
7304:1
7301:r
7297:2
7294:r
7290:1
7287:r
7285:(
7283:A
7279:2
7276:r
7272:1
7269:r
7267:(
7265:A
7261:1
7258:r
7254:1
7251:r
7249:(
7247:A
7243:2
7240:r
7236:1
7233:r
7229:1
7226:r
7224:(
7222:A
7218:p
7216:′
7214:q
7206:q
7202:p
7198:q
7196:/
7194:p
7192:(
7190:A
7186:q
7182:p
7178:q
7174:p
7170:2
7167:r
7163:q
7161:/
7159:p
7155:1
7152:r
7140:)
7133:1
7130:/
7127:1
7119:(
7115:)
7108:1
7105:/
7102:0
7094:(
7080:n
7078:F
7073:n
7071:F
7064:8
7061:F
7054:8
7051:/
7048:3
7038:5
7035:/
7032:2
7022:3
7019:/
7016:1
7005:d
7001:b
6983:,
6977:d
6974:+
6971:b
6966:c
6963:+
6960:a
6940:d
6936:/
6932:c
6920:b
6916:/
6912:a
6896:d
6892:b
6888:/
6884:c
6880:a
6868:q
6864:/
6860:p
6851:)
6849:c
6845:a
6843:(
6841:q
6837:d
6833:b
6831:(
6829:p
6774:.
6768:d
6765:+
6762:b
6757:c
6754:+
6751:a
6745:=
6740:q
6737:p
6718:d
6714:/
6710:c
6698:b
6694:/
6690:a
6674:q
6670:/
6666:p
6643:d
6640:c
6630:q
6627:p
6617:b
6614:a
6595:d
6591:/
6587:c
6575:b
6571:/
6567:a
6555:q
6551:/
6547:p
6528:d
6524:/
6520:c
6508:b
6504:/
6500:a
6492:d
6488:c
6484:b
6480:a
6476:d
6472:c
6470:,
6468:b
6466:,
6464:a
6447:1
6444:=
6441:d
6438:a
6432:c
6429:b
6407:/
6404:1
6397:5
6394:F
6387:5
6384:/
6381:2
6371:3
6368:/
6365:1
6356:.
6344:1
6341:=
6338:d
6335:a
6329:c
6326:b
6300:,
6294:d
6291:b
6286:d
6283:a
6277:c
6274:b
6268:=
6263:b
6260:a
6250:d
6247:c
6224:/
6221:1
6209:b
6205:/
6201:a
6189:d
6185:/
6181:c
6167:d
6163:/
6159:c
6147:b
6143:/
6139:a
6126:d
6122:/
6118:c
6106:b
6102:/
6098:a
6065:.
6062:)
6059:i
6056:(
6050:k
6042:j
6038:)
6035:j
6032:(
6021:i
6016:1
6013:=
6010:j
6002:n
5999:+
5996:1
5993:=
5990:)
5987:k
5983:/
5979:1
5976:(
5971:n
5967:I
5943:)
5940:]
5937:i
5934:,
5931:2
5928:[
5925:(
5920:m
5917:c
5914:l
5909:=
5906:n
5886:i
5862:n
5842:i
5838:/
5834:n
5828:k
5822:)
5819:1
5816:+
5813:i
5810:(
5806:/
5802:n
5782:k
5778:/
5774:1
5751:.
5748:)
5745:k
5741:/
5737:)
5734:h
5728:k
5725:(
5722:(
5717:n
5713:I
5706:1
5699:|
5693:n
5689:F
5684:|
5680:=
5677:)
5674:k
5670:/
5666:h
5663:(
5658:n
5654:I
5632:,
5629:1
5622:|
5616:n
5612:F
5607:|
5603:=
5600:)
5597:1
5593:/
5589:1
5586:(
5581:n
5577:I
5555:,
5552:2
5548:/
5544:)
5541:1
5534:|
5528:n
5524:F
5519:|
5515:(
5512:=
5509:)
5506:2
5502:/
5498:1
5495:(
5490:n
5486:I
5464:,
5461:1
5458:=
5455:)
5452:n
5448:/
5444:1
5441:(
5436:n
5432:I
5410:,
5407:0
5404:=
5401:)
5398:1
5394:/
5390:0
5387:(
5382:n
5378:I
5344:n
5341:,
5338:k
5334:a
5313:}
5308:n
5304:m
5300:,
5294:,
5291:1
5288:,
5285:0
5282:=
5279:k
5276::
5271:n
5268:,
5265:k
5261:a
5257:{
5254:=
5249:n
5245:F
5222:n
5219:,
5216:k
5212:a
5191:k
5188:=
5185:)
5180:n
5177:,
5174:k
5170:a
5166:(
5161:n
5157:I
5133:)
5130:2
5126:/
5122:n
5119:(
5113:=
5110:)
5107:2
5103:/
5099:n
5096:(
5091:n
5085:N
5064:n
5050:)
5047:h
5044:(
5038:=
5035:)
5032:h
5029:(
5024:h
5021:2
5015:N
4992:)
4989:h
4986:(
4980:)
4977:1
4971:m
4968:(
4965:=
4962:)
4959:h
4956:(
4951:h
4948:m
4942:N
4927:.
4915:)
4912:h
4909:2
4906:(
4897:)
4894:h
4891:2
4888:(
4883:n
4877:N
4871:=
4868:)
4865:h
4862:4
4859:(
4854:n
4848:N
4835:,
4823:0
4817:m
4797:)
4794:h
4791:(
4785:m
4782:+
4779:)
4776:h
4773:(
4768:n
4762:N
4756:=
4753:)
4750:h
4747:(
4742:h
4739:m
4736:+
4733:n
4727:N
4714:,
4702:p
4676:)
4672:p
4668:/
4664:1
4658:1
4654:(
4650:)
4645:m
4641:p
4634:n
4631:(
4623:=
4620:)
4615:m
4611:p
4607:(
4602:n
4596:N
4583:,
4571:n
4568:=
4565:)
4562:1
4559:(
4554:n
4548:N
4531:n
4529:F
4515:h
4495:)
4492:h
4489:(
4484:n
4478:N
4455:n
4449:k
4429:)
4426:k
4423:(
4409:n
4407:F
4393:k
4370:.
4363:2
4352:2
4348:n
4344:3
4334:|
4328:n
4324:F
4319:|
4304:n
4302:F
4275:d
4272:n
4252:)
4250:d
4231:,
4227:|
4218:d
4214:/
4210:n
4203:F
4198:|
4192:n
4187:2
4184:=
4181:d
4170:n
4167:)
4164:3
4161:+
4158:n
4155:(
4150:2
4147:1
4142:=
4138:|
4132:n
4128:F
4123:|
4092:,
4088:)
4082:2
4071:d
4068:n
4057:)
4054:d
4051:(
4043:n
4038:1
4035:=
4032:d
4024:+
4021:3
4017:(
4011:2
4008:1
4003:=
3999:|
3993:n
3989:F
3984:|
3953:)
3950:n
3947:(
3921:,
3918:)
3915:n
3912:(
3906:+
3903:1
3900:=
3897:)
3894:m
3891:(
3883:n
3878:1
3875:=
3872:m
3864:+
3861:1
3858:=
3854:|
3848:n
3844:F
3839:|
3824:n
3822:F
3818:1
3815:F
3798:.
3795:)
3792:n
3789:(
3783:+
3779:|
3773:1
3767:n
3763:F
3758:|
3754:=
3750:|
3744:n
3740:F
3735:|
3711:)
3708:n
3705:(
3687:n
3683:F
3678:n
3676:F
3672:n
3665:2
3662:/
3659:1
3651:n
3647:F
3637:6
3634:/
3631:5
3621:6
3618:/
3615:1
3608:5
3605:F
3601:6
3598:F
3594:n
3586:n
3580:n
3576:F
3571:n
3569:F
3565:n
3479:2
3476:/
3464:1
3449:n
3445:F
3434:n
3430:F
3419:n
3415:F
3403:n
3401:2
3397:n
3387:.
3385:6
3382:F
3365:6
3362:F
3323:1
3320:/
3317:1
3311:,
3305:8
3302:/
3299:7
3293:,
3287:7
3284:/
3281:6
3275:,
3269:6
3266:/
3263:5
3257:,
3251:5
3248:/
3245:4
3239:,
3233:4
3230:/
3227:3
3221:,
3215:7
3212:/
3209:5
3203:,
3197:3
3194:/
3191:2
3185:,
3179:8
3176:/
3173:5
3167:,
3161:5
3158:/
3155:3
3149:,
3143:7
3140:/
3137:4
3131:,
3125:2
3122:/
3119:1
3113:,
3107:7
3104:/
3101:3
3095:,
3089:5
3086:/
3083:2
3077:,
3071:8
3068:/
3065:3
3059:,
3053:3
3050:/
3047:1
3041:,
3035:7
3032:/
3029:2
3023:,
3017:4
3014:/
3011:1
3005:,
2999:5
2996:/
2993:1
2987:,
2981:6
2978:/
2975:1
2969:,
2963:7
2960:/
2957:1
2951:,
2945:8
2942:/
2939:1
2933:,
2927:1
2924:/
2921:0
2914:8
2911:F
2900:1
2897:/
2894:1
2888:,
2882:7
2879:/
2876:6
2870:,
2864:6
2861:/
2858:5
2852:,
2846:5
2843:/
2840:4
2834:,
2828:4
2825:/
2822:3
2816:,
2810:7
2807:/
2804:5
2798:,
2792:3
2789:/
2786:2
2780:,
2774:5
2771:/
2768:3
2762:,
2756:7
2753:/
2750:4
2744:,
2738:2
2735:/
2732:1
2726:,
2720:7
2717:/
2714:3
2708:,
2702:5
2699:/
2696:2
2690:,
2684:3
2681:/
2678:1
2672:,
2666:7
2663:/
2660:2
2654:,
2648:4
2645:/
2642:1
2636:,
2630:5
2627:/
2624:1
2618:,
2612:6
2609:/
2606:1
2600:,
2594:7
2591:/
2588:1
2582:,
2576:1
2573:/
2570:0
2563:7
2560:F
2549:1
2546:/
2543:1
2537:,
2531:6
2528:/
2525:5
2519:,
2513:5
2510:/
2507:4
2501:,
2495:4
2492:/
2489:3
2483:,
2477:3
2474:/
2471:2
2465:,
2459:5
2456:/
2453:3
2447:,
2441:2
2438:/
2435:1
2429:,
2423:5
2420:/
2417:2
2411:,
2405:3
2402:/
2399:1
2393:,
2387:4
2384:/
2381:1
2375:,
2369:5
2366:/
2363:1
2357:,
2351:6
2348:/
2345:1
2339:,
2333:1
2330:/
2327:0
2320:6
2317:F
2306:1
2303:/
2300:1
2294:,
2288:5
2285:/
2282:4
2276:,
2270:4
2267:/
2264:3
2258:,
2252:3
2249:/
2246:2
2240:,
2234:5
2231:/
2228:3
2222:,
2216:2
2213:/
2210:1
2204:,
2198:5
2195:/
2192:2
2186:,
2180:3
2177:/
2174:1
2168:,
2162:4
2159:/
2156:1
2150:,
2144:5
2141:/
2138:1
2132:,
2126:1
2123:/
2120:0
2113:5
2110:F
2099:1
2096:/
2093:1
2087:,
2081:4
2078:/
2075:3
2069:,
2063:3
2060:/
2057:2
2051:,
2045:2
2042:/
2039:1
2033:,
2027:3
2024:/
2021:1
2015:,
2009:4
2006:/
2003:1
1997:,
1991:1
1988:/
1985:0
1978:4
1975:F
1964:1
1961:/
1958:1
1952:,
1946:3
1943:/
1940:2
1934:,
1928:2
1925:/
1922:1
1916:,
1910:3
1907:/
1904:1
1898:,
1892:1
1889:/
1886:0
1879:3
1876:F
1865:1
1862:/
1859:1
1853:,
1847:2
1844:/
1841:1
1835:,
1829:1
1826:/
1823:0
1816:2
1813:F
1802:1
1799:/
1796:1
1790:,
1784:1
1781:/
1778:0
1771:1
1768:F
1755:}
1750:1
1747:/
1744:1
1738:,
1732:8
1729:/
1726:7
1720:,
1714:7
1711:/
1708:6
1702:,
1696:6
1693:/
1690:5
1684:,
1678:5
1675:/
1672:4
1666:,
1660:4
1657:/
1654:3
1648:,
1642:7
1639:/
1636:5
1630:,
1624:3
1621:/
1618:2
1612:,
1606:8
1603:/
1600:5
1594:,
1588:5
1585:/
1582:3
1576:,
1570:7
1567:/
1564:4
1558:,
1552:2
1549:/
1546:1
1540:,
1534:7
1531:/
1528:3
1522:,
1516:5
1513:/
1510:2
1504:,
1498:8
1495:/
1492:3
1486:,
1480:3
1477:/
1474:1
1468:,
1462:7
1459:/
1456:2
1450:,
1444:4
1441:/
1438:1
1432:,
1426:5
1423:/
1420:1
1414:,
1408:6
1405:/
1402:1
1396:,
1390:7
1387:/
1384:1
1378:,
1372:8
1369:/
1366:1
1360:,
1354:1
1351:/
1348:0
1341:8
1338:F
1334:}
1329:1
1326:/
1323:1
1317:,
1311:7
1308:/
1305:6
1299:,
1293:6
1290:/
1287:5
1281:,
1275:5
1272:/
1269:4
1263:,
1257:4
1254:/
1251:3
1245:,
1239:7
1236:/
1233:5
1227:,
1221:3
1218:/
1215:2
1209:,
1203:5
1200:/
1197:3
1191:,
1185:7
1182:/
1179:4
1173:,
1167:2
1164:/
1161:1
1155:,
1149:7
1146:/
1143:3
1137:,
1131:5
1128:/
1125:2
1119:,
1113:3
1110:/
1107:1
1101:,
1095:7
1092:/
1089:2
1083:,
1077:4
1074:/
1071:1
1065:,
1059:5
1056:/
1053:1
1047:,
1041:6
1038:/
1035:1
1029:,
1023:7
1020:/
1017:1
1011:,
1005:1
1002:/
999:0
992:7
989:F
985:}
980:1
977:/
974:1
968:,
962:6
959:/
956:5
950:,
944:5
941:/
938:4
932:,
926:4
923:/
920:3
914:,
908:3
905:/
902:2
896:,
890:5
887:/
884:3
878:,
872:2
869:/
866:1
860:,
854:5
851:/
848:2
842:,
836:3
833:/
830:1
824:,
818:4
815:/
812:1
806:,
800:5
797:/
794:1
788:,
782:6
779:/
776:1
770:,
764:1
761:/
758:0
751:6
748:F
744:}
739:1
736:/
733:1
727:,
721:5
718:/
715:4
709:,
703:4
700:/
697:3
691:,
685:3
682:/
679:2
673:,
667:5
664:/
661:3
655:,
649:2
646:/
643:1
637:,
631:5
628:/
625:2
619:,
613:3
610:/
607:1
601:,
595:4
592:/
589:1
583:,
577:5
574:/
571:1
565:,
559:1
556:/
553:0
546:5
543:F
539:}
534:1
531:/
528:1
522:,
516:4
513:/
510:3
504:,
498:3
495:/
492:2
486:,
480:2
477:/
474:1
468:,
462:3
459:/
456:1
450:,
444:4
441:/
438:1
432:,
426:1
423:/
420:0
413:4
410:F
406:}
401:1
398:/
395:1
389:,
383:3
380:/
377:2
371:,
365:2
362:/
359:1
353:,
347:3
344:/
341:1
335:,
329:1
326:/
323:0
316:3
313:F
309:}
304:1
301:/
298:1
292:,
286:2
283:/
280:1
274:,
268:1
265:/
262:0
255:2
252:F
248:}
243:1
240:/
237:1
231:,
225:1
222:/
219:0
212:1
209:F
178:1
175:/
172:1
162:1
159:/
156:0
146:n
126:n
109:.
104:F
88:.
86:9
83:F
67:.
65:9
62:F
39:9
36:F
20:)
Text is available under the Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Additional terms may apply.