3344:
1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1} F8 = {0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1}
8765:
31:
8245:
97:
76:
55:
8933:
3372:
7963:
3458:
8240:{\displaystyle \gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&c\\b&d\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)=\gcd \left({\begin{Vmatrix}a&e\\b&f\end{Vmatrix}},{\begin{Vmatrix}c&e\\d&f\end{Vmatrix}}\right)}
3357:
10565:
10815:
3343:
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3,
7884:
11038:
4102:
9786:
7647:
10245:
9912:
4692:
10576:
9648:
10095:
4241:
6075:
11508:
9282:
9406:
4807:
4925:
10203:
11135:
6655:
6310:
11743:
11684:
7714:
3931:
13290:
11195:
in either traditional order (ascending) or non-traditional order (descending). The algorithm computes each successive entry in terms of the previous two entries using the mediant property given above. If
9503:
5002:
4380:
8629:
5323:
5143:
5761:
3546:, had published similar results in 1802 which were not known either to Farey or to Cauchy. Thus it was a historical accident that linked Farey's name with these sequences. This is an example of
6784:
5060:
10826:
3978:
9656:
9053:
4291:
7475:
3808:
8257:
Farey sequences are very useful to find rational approximations of irrational numbers. For example, the construction by
Eliahou of a lower bound on the length of non-trivial cycles in the
9653:
which was conjectured by Harold L. Aaron in 1962 and demonstrated by Jean A. Blake in 1966. A one line proof of the Harold L. Aaron conjecture is as follows. The sum of the numerators is
5565:
10560:{\displaystyle \sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=\sum _{j=1}^{|F_{n}|-1}{\begin{Vmatrix}a_{j-1}&a_{j+1}\\b_{j-1}&b_{j+1}\end{Vmatrix}}=3(|F_{n}|-1)-2n-1,}
9126:
4581:
5642:
4505:
5852:
6993:
11166:
9791:
5201:
8754:
5953:
9939:
8437:
8405:
5474:
5420:
4439:
3721:
7679:
3963:
10810:{\displaystyle a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1}={\frac {b_{j-1}+b_{j+1}}{b_{j}}}={\frac {a_{j-1}+a_{j+1}}{a_{j}}}=\left\lfloor {\frac {n+b_{j-1}}{b_{j}}}\right\rfloor ,}
9159:
6457:
6354:
5356:
5234:
4833:
4465:
10820:
obtaining thus many different sums over the Farey elements with same result. Using the symmetry around 1/2 the former sum can be limited to half of the sequence as
13077:— in particular, see §4.5 (pp. 115–123), Bonus Problem 4.61 (pp. 150, 523–524), §4.9 (pp. 133–139), §9.3, Problem 9.3.6 (pp. 462–463).
8977:
8725:
8373:
4588:
8546:
5792:
12123:
in rationals can often take advantage of the Farey series (to search only reduced forms). While this code uses the first two terms of the sequence to initialize
9514:
8500:
8693:
8673:
8653:
8520:
8477:
8457:
8341:
8321:
8301:
5896:
5872:
4712:
4525:
4403:
9968:
8773:
4117:
12182:
This definition of the Farey sequences seems to be the most convenient. However, some authors prefer to restrict the fractions to the interval from 0 to 1.
8272:
In physical systems with resonance phenomena, Farey sequences provide a very elegant and efficient method to compute resonance locations in 1D and 2D.
12352:
5961:
7325:
expansions. Every fraction has two continued fraction expansions — in one the final term is 1; in the other the final term is greater by 1. If
11404:
9183:
12433:
9297:
8279:
on square-celled grids, for example in characterizing their computational complexity or optimality. The connection can be considered in terms of
4719:
12178:
The sequence of all reduced fractions with denominators not exceeding n, listed in order of their size, is called the Farey sequence of order n.
4840:
42:
13151:
12977:
12234:
10106:
7879:{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\sum \limits _{m=1}^{n}\sum \limits _{k=1}^{m}\gcd(k,m)\cos {2\pi {\frac {k}{m}}}.}
11053:
6607:
6240:
6946:
are neighbours in a Farey sequence then the first term that appears between them as the order of the Farey sequence is incremented is
13041:
11690:
11631:
3833:
13070:
12315:
12287:
13329:
12139:, one could substitute any pair of adjacent terms in order to exclude those less than (or greater than) a particular threshold.
9429:
3508:... once again the man whose name was given to a mathematical relation was not the original discoverer so far as the records go.
9508:
The sum of the denominators in the Farey sequence is twice the sum of the numerators and relates to Euler's totient function:
12947:
7220:. As any added fraction in between two previous consecutive Farey sequence fractions is calculated as the mediant (⊕), then
4934:
4313:
10570:
which is demonstrated in. Also according to this reference the term inside the sum can be expressed in many different ways:
8551:
5239:
5077:
13339:
13235:
13033:
12428:
11749:
11033:{\displaystyle \sum _{j=1}^{\lfloor |F_{n}|/2\rfloor }(a_{j-1}b_{j+1}-a_{j+1}b_{j-1})=3(|F_{n}|-1)/2-n-\lceil n/2\rceil ,}
5648:
4097:{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}\left(3+\sum _{d=1}^{n}\mu (d)\left\lfloor {\tfrac {n}{d}}\right\rfloor ^{2}\right),}
9781:{\displaystyle {\displaystyle 1+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}a=1+\sum _{2\leq b\leq n}b{\frac {\varphi (b)}{2}}}}
7150:
Every consecutive pair of Farey rationals have an equivalent area of 1. See this by interpreting consecutive rationals
6730:
5007:
8879:< 1 then the Ford circles that are tangent to C are precisely the Ford circles for fractions that are neighbours of
7642:{\displaystyle {\text{lcm}}=e^{\psi (N)}={\frac {1}{2}}\left(\prod _{r\in F_{N},0<r\leq 1/2}2\sin(\pi r)\right)^{2}}
3379:
Plotting the numerators versus the denominators of a Farey sequence gives a shape like the one to the right, shown for
13230:
12476:
Wehmeier, Stefan (2009). "The LCM(1,2,...,n) as a product of sine values sampled over the points in Farey sequences".
4294:
12158:
8982:
7694:
4261:
4108:
3692:
3547:
3729:
3966:
13010:
5480:
9058:
4540:
12658:
8276:
7950:
7698:
3530:
in 1816. Farey conjectured, without offering proof, that each new term in a Farey sequence expansion is the
9907:{\displaystyle {\displaystyle 2+\sum _{2\leq b\leq n}\sum _{(a,b)=1}b=2+\sum _{2\leq b\leq n}b\varphi (b)}}
8764:
5571:
4470:
13334:
13107:
Cobeli, Cristian; Zaharescu, Alexandru (2003). "The Haros–Farey sequence at two hundred years. A survey".
12541:
5797:
5358:
occupies in the sequence. This is of special relevance as it is used in an alternative formulation of the
3526:
12153:
7088:
6952:
11140:
7466:
6681:
5875:
3531:
12818:
12796:
12604:
Zhenhua Li, A.; Harter, W.G. (2015). "Quantum
Revivals of Morse Oscillators and Farey–Ford Geometry".
12423:
5151:
12673:
12623:
12120:
8730:
5901:
191:
151:
With the restricted definition, each Farey sequence starts with the value 0, denoted by the fraction
9917:
30:
13200:
13184:
8410:
8378:
5426:
5372:
13225:
13127:
12792:
12455:
Martin, Greg (2009). "A product of Gamma function values at fractions with the same denominator".
9174:
9173:
th member of a set of the same number of points, distributed evenly on the unit interval. In 1924
3461:
Farey sunburst of order 6, with 1 interior (red) and 96 boundary (green) points giving an area of
96:
13286:
13114:
12957:
12896:
12888:
12853:
12772:
12639:
12613:
12523:
12477:
12456:
8949:
8258:
7954:
7682:
7322:
5359:
4415:
3697:
12952:
4255:
75:
13244:
13147:
13066:
13065:(2nd ed.). Boston, MA: Addison-Wesley. pp. 115–123, 133–139, 150, 462–463, 523–524.
13037:
12983:
12973:
12397:
12311:
12283:
12240:
12230:
8936:
8926:
7655:
4687:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(p^{m})=\left\lceil (n-p^{m})\left(1-1/p\right)\right\rceil }
3939:
3487:
3407:
9131:
7388:(which will be its neighbour with the larger denominator) has a continued fraction expansion
6424:
6321:
5328:
5206:
4812:
4444:
13050:
12961:
12927:
12880:
12845:
12751:
12714:
12681:
12631:
12584:
12513:
12222:
11044:
12279:
12273:
9643:{\displaystyle \sum _{a/b\in F_{n}}b=2\sum _{a/b\in F_{n}}a=1+\sum _{i=1}^{n}i\varphi (i),}
8955:
8698:
8346:
13295:
13054:
12498:
12148:
3521:
137:
13172:
8525:
5769:
12892:
12677:
12627:
8932:
8482:
13058:
12969:
10090:{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {b_{j}}{b_{j+1}}}={\frac {3|F_{n}|-4}{2}}}
8678:
8658:
8638:
8505:
8462:
8442:
8326:
8306:
8286:
5881:
5857:
4697:
4510:
4388:
3515:
54:
13247:
12324:
4236:{\displaystyle |F_{n}|={\frac {1}{2}}(n+3)n-\sum _{d=2}^{n}|F_{\lfloor n/d\rfloor }|,}
13323:
13217:
12814:
12589:
12572:
12527:
12227:
A Motif of
Mathematics: History and Application of the Mediant and the Farey Sequence
12203:
9288:
8852:
8283:-constrained paths, namely paths made up of line segments that each traverse at most
3543:
13158:
12900:
12736:"The Length of Shortest Vertex Paths in Binary Occupancy Grids Compared to Shortest
12701:
Harabor, Daniel Damir; Grastien, Alban; Öz, Dindar; Aksakalli, Vural (26 May 2016).
12643:
8807:(in its lowest terms) there is a Ford circle C, which is the circle with radius 1/(2
3371:
13208:
13192:
12328:
12269:
8929:(0,0,1,1). The picture below illustrates this together with Farey resonance lines.
12686:
8265:
uses Farey sequences to calculate a continued fraction expansion of the number log
3567:
contains all of the members of the Farey sequences of lower orders. In particular
12635:
12368:
13305:
12518:
12342:
12265:
8781:
6070:{\displaystyle I_{n}(1/k)=1+n\sum _{j=1}^{i}{\frac {\varphi (j)}{j}}-k\Phi (i).}
141:
117:
13204:
13188:
8772:
from 1 to 9. Each arc intersects its corresponding circles at right angles. In
3457:
3399:
connects the visible integer grid points from the origin in the square of side
13299:
12244:
12987:
12932:
12915:
12884:
12836:
Blake, Jean A. (1966). "Some
Characteristic Properties of the Farey Series".
7321:
Fractions that appear as neighbours in a Farey sequence have closely related
17:
13252:
11832:
Print the n'th Farey sequence. Allow for either ascending or descending.
11503:{\displaystyle {\frac {p(k)}{q(k)}}-{\frac {c}{d}}={\frac {cb-da}{d(kd-b)}}}
9277:{\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}d_{k,n}^{2}=O(n^{r})\quad \forall r>-1}
6085:
Fractions which are neighbouring terms in any Farey sequence are known as a
3518:
13265:
sequence A005728 (Number of fractions in Farey series of order n)
13082:
12499:"Equalities between greatest common divisors involving three coprime pairs"
9401:{\displaystyle \sum _{k=1}^{m_{n}}|d_{k,n}|=O(n^{r})\quad \forall r>1/2}
4802:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n+mh}(h)={\mathcal {N}}_{n}(h)+m\varphi (h)}
3584:
and also contains an additional fraction for each number that is less than
4920:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(4h)={\mathcal {N}}_{n}(2h)-\varphi (2h)}
4467:
and zero otherwise. Concerning the numerators one can define the function
133:
129:
13095:
12871:
Kurt
Girstmair; Girstmair, Kurt (2010). "Farey Sums and Dedekind Sums".
12857:
11578:(as we are only considering numbers with denominators not greater than
8856:
7418:
has the two continued fraction expansions and , and its neighbours in
3589:
3542:, and attributed this result to Farey. In fact, another mathematician,
3356:
12756:
12735:
12719:
12702:
12369:"Farey Fractions with Equal Numerators and the Rank of Unit Fractions"
8768:
Comparison of Ford circles and a Farey diagram with circular arcs for
3391:
Reflecting this shape around the diagonal and main axes generates the
3535:
13281:
sequence A006843 (Denominators of Farey series of order n)
12849:
4507:
that returns the number of Farey fractions with numerators equal to
102:
Symmetrical pattern made by the denominators of the Farey sequence,
81:
Symmetrical pattern made by the denominators of the Farey sequence,
12777:
10198:{\displaystyle \sum _{j=0}^{|F_{n}|-1}{\frac {1}{b_{j+1}b_{j}}}=1.}
196:, which is not strictly correct, because the terms are not summed.
13273:
sequence A006842 (Numerators of Farey series of order n)
12618:
12482:
12461:
11130:{\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}}
8931:
6650:{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {p}{q}}<{\frac {c}{d}}}
6305:{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {bc-ad}{bd}},}
5070:
is the same as the number of fractions with denominators equal to
3456:
3370:
3355:
136:, either between 0 and 1, or without this restriction, which when
13277:
13269:
13261:
8635:-constrained path can be described as a sequence of vectors from
12823:
Nachrichten von der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
12801:
Nachrichten von der
Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
12573:"The 3x+1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths"
11738:{\displaystyle q=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor d-b}
11679:{\displaystyle p=\left\lfloor {\frac {n+b}{d}}\right\rfloor c-a}
11188:
A surprisingly simple algorithm exists to generate the terms of
7092:
is a data structure showing how the sequence is built up from 0
3926:{\displaystyle |F_{n}|=1+\sum _{m=1}^{n}\varphi (m)=1+\Phi (n),}
12549:
8948:
Farey sequences are used in two equivalent formulations of the
13083:"The Minkowski Question Mark, GL(2,Z), and the Modular Group"
12819:"Bemerkungen zu der vorstehenden Abhandlung von Herrn Franel"
8776:, hover over a circle or curve to highlight it and its terms.
11147:
11095:
7395:
and its other neighbour has a continued fraction expansion
5084:
5014:
4941:
4931:
In particular, the property in the third line above implies
4876:
4847:
4761:
4726:
4595:
4547:
4477:
3441:
13280:
13272:
13264:
13103:— reviews connections between Farey Fractions and Fractals.
12346:
12210:(Third ed.). John Wiley and Sons. Definition 6.1.
8859:
to one another—two Ford circles never intersect. If 0 <
5062:. The latter means that, for Farey sequences of even order
13008:
Routledge, Norman (March 2008). "Computing Farey series".
12953:"12.2 Miscellany. The Riemann Hypothesis and Farey Series"
9498:{\displaystyle \sum _{r\in F_{n}}r={\frac {1}{2}}|F_{n}|.}
3524:, whose letter about these sequences was published in the
12825:. Mathematisch-Physikalische Klasse (in German): 202–206.
12803:. Mathematisch-Physikalische Klasse (in French): 198–201.
12797:"Les suites de Farey et le problème des nombres premiers"
12424:"Trees, Teeth, and Time: The mathematics of clock making"
6789:
This follows easily from the previous property, since if
4385:
The number of Farey fractions with denominators equal to
12771:
Tomas, Rogelio (2020). "Imperfections and corrections".
9291:
remarked (just after Franel's paper) that the statement
13063:
Concrete
Mathematics: A foundation for computer science
12666:
Physical Review
Special Topics - Accelerators and Beams
11835:>>> print(*farey_sequence(5), sep=' ')
8851:). Two Ford circles for different fractions are either
7469:
can be expressed as the products of Farey fractions as
4997:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{mh}(h)=(m-1)\varphi (h)}
4375:{\displaystyle |F_{n}|\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}.}
13144:
Farey
Sequences: Duality and Maps Between Subsequences
10418:
8735:
8201:
8162:
8110:
8071:
8019:
7980:
6534:
will be neighbours in the Farey sequence of order max(
4269:
4065:
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11143:
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10579:
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9914:. The quotient of the first sum by the second sum is
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4534:. This function has some interesting properties as
4513:
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3836:
3820:| = 2, we can derive an expression for the length of
3732:
3700:
167:, and ends with the value 1, denoted by the fraction
13090:— reviews the isomorphisms of the Stern-Brocot Tree.
5756:{\displaystyle I_{n}(h/k)=|F_{n}|-1-I_{n}((k-h)/k).}
5066:, the number of fractions with numerators equal to
6998:which first appears in the Farey sequence of order
45:, hover over a curve to highlight it and its terms.
12951:
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11678:
11502:
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11129:
11047:can be expressed as a sum over Farey fractions as
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6778:
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5054:
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3925:
3802:
3715:
8780:There is a connection between Farey sequence and
8149:
8058:
7967:
7831:
3674:> 1. From this, we can relate the lengths of
204:The Farey sequences of orders 1 to 8 are :
12506:Notes on Number Theory and Discrete Mathematics
9048:{\displaystyle \{a_{k,n}:k=0,1,\ldots ,m_{n}\}}
7689:Farey fractions and the greatest common divisor
4286:{\displaystyle \lfloor {\tfrac {n}{d}}\rfloor }
11326:is in lowest terms, there must be an integer
9411:is also equivalent to the Riemann hypothesis.
3803:{\displaystyle |F_{n}|=|F_{n-1}|+\varphi (n).}
3534:of its neighbours. Farey's letter was read by
13014:. Vol. 92, no. 523. pp. 55–62.
7461:Farey fractions and the least common multiple
7069:The total number of Farey neighbour pairs in
3500:The history of 'Farey series' is very curious
8:
12659:"From Farey sequences to resonance diagrams"
12310:(Second ed.). Dover. Chapter XVI.
11024:
11010:
10877:
10846:
9042:
8986:
8618:
8561:
8275:Farey sequences are prominent in studies of
5312:
5256:
4280:
4265:
4220:
4206:
12744:Journal of Artificial Intelligence Research
12707:Journal of Artificial Intelligence Research
12703:"Optimal Any-Angle Pathfinding In Practice"
12391:
12389:
12278:(Fifth ed.). Oxford University Press.
3395:, shown below. The Farey sunburst of order
12968:. Pure and Applied Mathematics. New York:
8939:(0,0,1,1) and the Farey resonance diagram.
3375:Starbursts of iterations 1–10 superimposed
3333:
1758:
183:(although some authors omit these terms).
12931:
12776:
12755:
12718:
12685:
12617:
12588:
12517:
12481:
12460:
12353:On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
11704:
11692:
11645:
11633:
11564:must be as large as possible, subject to
11456:
11443:
11408:
11406:
11176:This formula is used in the proof of the
11152:
11146:
11145:
11142:
11112:
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6257:
6244:
6242:
6132:are neighbours in a Farey sequence, with
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3748:
3742:
3733:
3731:
3699:
12301:
12299:
12275:An Introduction to the Theory of Numbers
12208:An Introduction to the Theory of Numbers
9419:The sum of all Farey fractions of order
8763:
7345:, which first appears in Farey sequence
7317:Farey neighbours and continued fractions
148:, arranged in order of increasing size.
29:
27:Increasing sequence of reduced fractions
12195:
12169:
11838:0 1/5 1/4 1/3 2/5 1/2 3/5 2/3 3/4 4/5 1
11177:
9121:{\displaystyle d_{k,n}=a_{k,n}-k/m_{n}}
5363:
4576:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(1)=n}
3559:Sequence length and index of a fraction
12734:Hew, Patrick Chisan (19 August 2017).
12119:Brute-force searches for solutions to
11560:To give the next term in the sequence
11168: is the Farey sequence of order
7011:Thus the first term to appear between
12497:Tomas Garcia, Rogelio (August 2020).
5637:{\displaystyle I_{n}(1/1)=|F_{n}|-1,}
4500:{\displaystyle {\mathcal {N}}_{n}(h)}
7:
13096:"Symmetries of Period-Doubling Maps"
12436:from the original on 4 February 2020
12308:Recreations in the Theory of Numbers
9415:Other sums involving Farey fractions
7352:, has continued fraction expansions
5847:{\displaystyle n/(i+1)<k\leq n/i}
5366:. Various useful properties follow:
3645:The middle term of a Farey sequence
3514:Farey sequences are named after the
12367:Tomas Garcia, Rogelio (July 2024).
12229:. Boston: Docent Press. p. 7.
7949:the following identity between the
7811:
7790:
6988:{\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}},}
6315:this is equivalent to saying that
6089:and have the following properties.
41:represented with circular arcs. In
13109:Acta Univ. Apulensis Math. Inform.
11161:{\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}
9378:
9259:
6052:
5919:
5916:
5913:
3943:
3908:
25:
13218:"A Brocot table of base 120"
12873:The American Mathematical Monthly
12838:The American Mathematical Monthly
7441:, which can be expanded as ; and
7142:, by taking successive mediants.
13301:Funny Fractions and Ford Circles
12206:; Zuckerman, Herbert S. (1972).
12184:” — Niven & Zuckerman (1972)
11256:is the unknown next entry, then
9423:is half the number of elements:
8925:Ford circles appear also in the
8675:and the Farey sequence of order
7701:so is the number of elements in
7188:) in the x–y plane. The area of
5196:{\displaystyle I_{n}(a_{k,n})=k}
3406:, centered at the origin. Using
95:
74:
53:
12916:"The Index of a Farey Sequence"
12571:Eliahou, Shalom (August 1993).
12422:Austin, David (December 2008).
12396:Tomas, Rogelio (January 2022).
11236:are the two given entries, and
9953:be the ordered denominators of
9377:
9258:
8749:{\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}
8655:. There is a bijection between
6418:The converse is also true. If
5948:{\displaystyle n={\rm {lcm}}()}
3574:contains all of the members of
12914:Hall, R. R.; Shiu, P. (2003).
11494:
11479:
11434:
11428:
11420:
11414:
11066:
11060:
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10980:
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10004:
9989:
9934:{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
9899:
9893:
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9242:
9161:is the difference between the
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7361:then the nearest neighbour of
7146:Equivalent-area interpretation
6601:in some Farey sequence, with
6061:
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3794:
3788:
3778:
3757:
3749:
3734:
3710:
3704:
3538:, who provided a proof in his
3410:, the area of the sunburst is
1:
13034:American Mathematical Society
12687:10.1103/PhysRevSTAB.17.014001
12429:American Mathematical Society
9788:. The sum of denominators is
8432:{\displaystyle 0\leq p\leq q}
8400:{\displaystyle 1\leq q\leq r}
7697:is directly connected to the
7457:, which can be expanded as .
5469:{\displaystyle I_{n}(1/n)=1,}
5415:{\displaystyle I_{n}(0/1)=0,}
4300:The asymptotic behaviour of |
12636:10.1016/j.cplett.2015.05.035
12590:10.1016/0012-365X(93)90052-U
12405:Journal of Integer Sequences
11617:back into the equations for
8502:be the result of reflecting
7313:= 0/1, its area must be 1).
5325:is simply the position that
3610:together with the fractions
3563:The Farey sequence of order
190:is sometimes called a Farey
13231:Encyclopedia of Mathematics
13142:Matveev, Andrey O. (2017).
12519:10.7546/nntdm.2020.26.3.5-7
9169:th Farey sequence, and the
4434:{\displaystyle \varphi (k)}
3716:{\displaystyle \varphi (n)}
3502:— Hardy & Wright (1979)
13356:
13146:. Berlin, DE: De Gruyter.
12343:Sloane, N. J. A.
12306:Beiler, Albert H. (1964).
12221:Guthery, Scott B. (2011).
9177:proved that the statement
7889:For any 3 Farey fractions
6399:, and their difference is
3367:numerators vs denominators
7957:in absolute value holds:
6724:– in other words,
3540:Exercices de mathématique
13011:The Mathematical Gazette
12893:10.4169/000298910X475005
12885:10.4169/000298910X475005
12159:Euler's totient function
11754:
11613:. Putting this value of
8899:in some Farey sequence.
7695:Euler's totient function
7674:{\displaystyle \psi (N)}
6174:, then their difference
4254:is the number-theoretic
4109:Möbius inversion formula
3958:{\displaystyle \Phi (n)}
3693:Euler's totient function
3548:Stigler's law of eponymy
13330:Fractions (mathematics)
13028:Hatcher, Allen (2022),
12966:Riemann's Zeta Function
12347:"Sequence A005728"
12325:"Farey Series, A Story"
11748:This is implemented in
9154:{\displaystyle d_{k,n}}
8952:. Suppose the terms of
8277:any-angle path planning
6452:{\displaystyle bc-ad=1}
6349:{\displaystyle bc-ad=1}
5351:{\displaystyle a_{k,n}}
5229:{\displaystyle a_{k,n}}
4828:{\displaystyle m\geq 0}
4460:{\displaystyle k\leq n}
3442:number of fractions in
12933:10.1307/mmj/1049832901
11739:
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8343:be the set of vectors
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8323:columns of cells. Let
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3717:
3527:Philosophical Magazine
3490:
3376:
3368:
144:less than or equal to
132:of completely reduced
46:
13173:"Topology of Numbers"
12542:"Farey Approximation"
12398:"Partial Franel sums"
12180:” With the comment: “
12121:Diophantine equations
11740:
11681:
11505:
11178:Franel–Landau theorem
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3928:
3866:
3813:Using the fact that |
3805:
3718:
3460:
3374:
3359:
33:
13340:Sequences and series
13315:– via YouTube.
13201:Bogomolny, Alexander
13185:Bogomolny, Alexander
13135:Acta Univ. Apulensis
13122:Acta Univ. Apulensis
12972:. pp. 263–267.
12577:Discrete Mathematics
12093:"__main__"
11691:
11632:
11405:
11141:
11137: where
11054:
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4118:
3979:
3972:We also have :
3940:
3834:
3730:
3698:
13248:"Stern-Brocot Tree"
13216:Pennestri, Ettore.
13205:"Stern-Brocot Tree"
13180:Online copy of book
13030:Topology of Numbers
12678:2014PhRvS..17a4001T
12628:2015CPL...633..208L
12552:on 19 November 2018
11394:to be functions of
9235:
8787:For every fraction
8541:{\displaystyle y=x}
7955:matrix determinants
7059:, which appears in
6906:It follows that if
5787:{\displaystyle 1/k}
13245:Weisstein, Eric W.
13032:, Providence, RI:
12948:Edwards, Harold M.
12740:-Constrained Ones"
12657:Tomas, R. (2014).
12356:. OEIS Foundation.
11841:"""
11829:"""
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8944:Riemann hypothesis
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13051:Graham, Ronald L.
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12720:10.1613/jair.5007
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12154:Stern–Brocot tree
11720:
11661:
11517:gets, the closer
11498:
11451:
11438:
11386:. If we consider
11081:
10798:
10753:
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10085:
10044:
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9558:
9518:
9470:
9433:
9128:, in other words
8937:Apollonian gasket
8927:Apollonian gasket
8811:) and centre at (
8743:
8688:{\displaystyle r}
8668:{\displaystyle Q}
8648:{\displaystyle S}
8515:{\displaystyle Q}
8479:are coprime. Let
8472:{\displaystyle q}
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8303:rows and at most
8296:{\displaystyle r}
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7089:Stern–Brocot tree
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4277:
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3967:summatory totient
3423:| − 1)
3349:
3348:
3332:
3331:
60:Farey diagram to
34:Farey diagram to
16:(Redirected from
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13296:Bonahon, Francis
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12432:. Rhode Island.
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12333:
12332:
12321:
12303:
12294:
12293:
12280:Chapter III
12262:
12256:
12255:
12253:
12251:
12223:"1. The Mediant"
12218:
12212:
12211:
12200:
12185:
12174:
12115:
12112:
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